量子场论是什么？

原创 戴瑾 返朴

原子和晶体中的电子，在不同的能级之间跃迁时，会辐射或者吸收光子。描述和计算这个物理过程，需要研究粒子的产生和消灭的量子场论。这是量子力学中最高深的部分，然而不提场论的量子力学介绍，是不完整的。下文经授权选自戴瑾博士著《从零开始读懂量子力学》（北京大学出版社，2020年4月）第18章，介绍了量子场论这个复杂理论体系中的一些基本概念。

本书对量子力学做了严谨的科普，回避了复杂的数学表述和方程式，并力求对基本概念清晰解释，对科学原理准确表达。点击文末小程序码或页面左下角“原文链接”可购买此书，点击“在看”并发表您的感想至留言区，截至2020年7月5日中午12点，我们会选出3条留言，每人赠送该书一本。

撰文｜戴瑾

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物质不灭的破灭

在中学的化学课上，学到过一条“物质不灭定律”。当汽油燃烧完后，物质并没有消失，只不过汽油中的碳和氢原子，和空气中的氧气结合成了水蒸汽和二氧化碳。各种化学反应，只不过是物质在不同组合之间的转换。

汽油燃烧时的发热，来自于化学反应中，电子能级改变时辐射出的光子。面对光子被辐射的这个事实，相信物质不灭的人，或许还可以坚持狭隘的物质观，说光子不算物质。但一对正负电子相遇，湮灭成两个光子；这显然不像是这对电子内的成分重新组合，变成了光子；而更像电子消灭了，光子产生了（正电子是电子的反粒子，除了带正电，其他一样），如图1所示。

图1 正负电子的湮灭

物质不灭是一个假象，只是因为在化学反应中，原子和内部的电子没有足够的能量制造光子以外的粒子。自从上世纪50年代粒子加速器发明后，物理学家们发现，高能粒子碰撞出新的粒子，属于家常便饭。大量新的粒子种类在加速器上被发现，成就了量子场论的大发展。

当有粒子产生或消灭时，参与反应的粒子，一般都会接近光速，必须使用相对论。大部分粒子是有静质量的，产生一个粒子，最低限度需要的能量，由爱因斯坦的质能公式给出。

E=mc2

所以，量子场论，也被看成相对论和量子论的融合。

图2 欧洲核子中心的LHC加速器 | 来源：欧洲核子中心官网

欧洲核子中心的LHC加速器，就是找到了著名的希格斯粒子的加速器，如图2所示。它由27公里这样的地下隧道组成一个圆环，高能粒子在隧道内的真空管道中回旋和加速，上千块超导磁铁帮助粒子转弯。它可以把质子加速到6.6TeV（1012电子伏）的能量，跟化学反应中1电子伏的典型能量比，高了1万亿倍。两个这样的质子的一次碰撞，可以产生成百上千个粒子。

量子场论，和高能物理这个领域紧密地联系在一起。所谓高能物理，就是每个粒子的能量很高，不但比化学反应中的高，比核反应中的也高很多。

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什么是场？

粒子为什么可以凭空地产生和消失？解释这样的现象，需要一个理论基础。让我们从最熟悉的电磁场开始，介绍一下场的概念。

在我们的中学物理课本中，库仑定律告诉我们两个电荷之间的力和电荷成正比，和距离平方成反比。细想起来，库伦定律有一个问题：如果两个电荷在运动中，这个定律好像在说一个电荷能随时“感知”另一个电荷的位置，冥冥中有一些不合理。

图3 两个运动电荷间的相互作用

运用麦克斯韦方程这套完整的经典电动力学理论，人们发现库伦定律在两个电荷有运动的情况下是需要修正的，一个电荷“感知”另一个电荷的位置有一个小小的时间延迟，这个延迟等于电磁波从一个电荷到达另一个电荷的时间，如图3所示。麦克斯韦方程和电磁波的发现，使人们认识到，电磁相互作用，是以有限（尽管非常快）的速度传播的。经典电动力学的研究证明，这两个电荷间的能量传递，不是在一方消灭在另一方制造，而是在空间中流过去的。

传播电磁相互作用和电磁波的介质，叫做电磁场。无论是物体的内部，还是抽掉空气的真空，电磁场是无处不在的。电磁场携带着能量和信息，它具有物质的属性。因此，现代物理学接受，看不见摸不到的真空，也是一种物质形态，电磁场是这种物质的一个属性。

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场的量子化与粒子的诞生

量子场论是一种量子力学，只不过，它的第一对象不是粒子，而是场。

描述粒子的状态，用三个位置坐标，或者三个动量分量。描述场，则需要用作为时空函数的场量或者场强。比如电磁场，需要用 A(x, t) 和 φ(x, t) 来描述，在相对论中，A 和 φ 共同组成了四维时空中的向量。描述粒子的状态只需要三个数，术语称为有三个自由度，场则有无穷多个自由度，数学上要复杂多了。

量子力学中，粒子的位置可能不确定，粒子的状态可以是不同位置的叠加，位置和动量不能同时确定。在量子场论中，一个空间点上的场，同样可以是不同强度的叠加，场和场随时间的变化率（相对于粒子的速度）同样不能同时确定。量子场论，有些像晶体，是很多空间点上的量子力学。只不过晶体毕竟只有分布在离散的晶格点上的有限多个原子，场则拥有在连续空间中的无穷多个自由度。

这听起来非常复杂，但量子场论的研究却很快产生了一个简单而重要的结果：所有的场都有波动，比如电磁场有电磁波。在一列波中，每一个点的场都在平衡点附近做周期性振动，就像晶体中的原子的振动。一列波的动力学，就像量子谐振子，它的能级是相等间隔的（E=(n+1/2)hf，n=0，1，2，3，…，其中h为普朗克常量，f为谐振子的频率），每跃迁一个能级需要的能量是hf。这恰恰是一列波中一个粒子的能量！波的能量是量子化的，每一份能量，就是一个粒子，就像晶体中的一个声子。量子谐振子的能级差，和波粒二象性中每个粒子的能量，都是，原来这并不是巧合。

让我们总结一下量子场论的物质观：

每一种基本粒子，都对应着一种场，即使在真空中，这些场都无处不在

在真空中，没有可以观测到的物质，是因为所有的场都处于能量最低的状态

场的能量是量子化的，每一份能量的激发，就在真空中增加了一个粒子

粒子的产生和消灭，是由于不同的场，通过相互作用交换能量的结果

光子的场就是电磁场，电子也有自己的场。电磁场是四维时空中的向量，电子场的类型是旋量，有四个复数的分量。电子场的激发，包括电子和电子的反粒子——带正电的电子。作为费米子，电子场的量子规则和电磁场不同，需要满足泡利不相容原理，同一个状态的电子，最多只能被激发出1个，如图4所示。

图4 量子场在一列波上的能级和粒子的关系

至今，粒子物理学已经确定了17种基本粒子，主要分为两类。一类是狭义的物质粒子，有6种夸克、μ子、

子，还有3种中微子；这些都和电子一样，是自旋1/2的费米子，用旋量场表示。另一类是在这些物质粒子之间，传播相互作用的粒子，有传播强相互作用的胶子、传播弱相互作用的W和Z粒子，它们都和光子一样，自旋是1，用向量场表示，用杨米尔斯场论描述。在这两类之外，还有一个希格斯粒子，它自旋为0，它的场是四维时空中的标量。

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零点能的困惑和宇宙的命运

量子谐振子的最低能量不是0，粒子不可以绝对静止。按同样的原则，量子的场也不允许绝对平静，每一个波动形式下，都有零点的振动能量。

这个问题让量子场论陷入了困难。首先，无限多种波动模式上都有零点能，真空的总能量密度一定是无穷大的。当然，也不是所有零点能都是正的，费米子的零点能是负的，不排除正负能量可以抵消。并且，在真空中存在不同粒子的场，这些场之间还有相互作用，也会影响到真空的能量。量子场论无法计算真空的能量密度，但合理的推测，它不应该是0。

在什么都看不见的真空里，能量是多少有关系吗？真空的能量有没有物理意义？

有一个很有趣的现象，展示了真空的能量，叫卡西米尔（Casimir）效应。两块金属板，真空中靠近时，如果它们带电，你知道会有吸引力或排斥力。但量子场论预言，当它们不带电时，也会有一种吸引力。

图5 两个金属板之间的电磁波振动模式

如图5所示，因为电场不能进入金属，两个金属板之间，电磁波的振动模式受到了限制，只有一系列驻波可以存在。这些驻波上，即使没有任何光子，两块金属板的存在，也影响了夹着中间的一部分真空的零点能。量子场论虽然算不清真空的能量是多少，但能准确计算内外的能量差，以及能差造成的吸引力，这个计算结果被实验证实了。当然，两块板子要靠得非常近（纳米级）才会有显著的吸引力。

还有更重要的：爱因斯坦的狭义相对论告诉我们，能量和质量可以互相换算的，真空中的能量可以换算成质量，也可以产生万有引力。真空的能量密度，就是爱因斯坦广义相对论中的宇宙常数，它对宇宙空间的弯曲和演化，有决定性影响。

这很有趣，最微观的基本粒子的物理学决定了最宏观的宇宙的命运。

中学物理可能让你觉得能量是一个标量；但在狭义相对论里，能量和动量组成了四维时空中的一个矢量，能量是这个矢量在时间方向的分量。能量密度就更复杂。在广义相对论里，它是一个4x4张量中的一个分量，这个张量在对角线上的元素是压强和能量密度。

你可能听说过暗物质和暗能量。暗物质是宇宙中一些不发光的物质，除了不容易被看见，它们和普通物质一样贡献万有引力。

真空能量就是一种暗能量，它的性质非常不同。如果暗能量密度是正的，它本身也贡献吸引力，但正能量密度永远伴随着负的压强，净效果是排斥的。负的暗能量密度则贡献一个净吸引力。

我们的宇宙无比浩瀚，看起来是平直的。很长一段时间，人们认为真空的能量就是0。直到21世纪，天文观测证实了宇宙在加速膨胀，这意味着真空有一个很小的正能量密度。这个能量密度，折算成质量，每立方米只有几个氢原子，但也超过了宇宙所有物质（可见物质加暗物质）的平均总密度，足以克服它们的吸引力让宇宙膨胀。膨胀以后，物质的密度更小了，暗能量的密度还是一样的，所以膨胀会越来越快。

真空能量虽然不完全是0，从粒子物理的角度看，它太小了，随便哪一项暗能量的贡献都比这个值大几十个数量级！从逻辑上来讲，宇宙原来的真空能量和各种量子场的贡献加在一起，可以完全抵消，这能说得通，但很不合理。如果没有更高的机制来制约，宇宙原来的真空能量与各种量子场的贡献加起来怎么能抵消得那么干净？这个巨大的疑问，至今仍是现代物理学的未解之谜。

作者简介

戴瑾，1985年毕业于北京大学物理系。通过李政道CUPSPEA项目赴美留学，获得德克萨斯大学奥斯汀分校物理学博士学位。期间在诺贝尔奖获得者温伯格的研究小组工作，师从于基础物理学突破奖获得者波尔钦斯基，共同创立了弦论中的D膜理论。现为英特尔高管。

原标题：《量子场论是什么？｜展卷》

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