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这条通往高阶学者的必经之路,从两千年前就开始了

2022-12-06 20:33
来源:澎湃新闻·澎湃号·湃客
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提到数学,相信很多人的第一反应是头疼,未读君也是如此,所以选择了文科。

不过,就算走上一条不学高数的路,也还是离不开数学。

除了工作、生活中时常要用到的算法、公式,甚至平日在读的《战争与和平》之类的文学名著也隐藏着微积分的思维。

微积分的存在,更是一条通往高阶学者的必经之路,只有经历苦修般的演算,才能达成来之不易的成果。

而它的历史,甚至可以追溯到两千年前的古罗马时期。

在《疯狂微积分》中,就有一个诞生在那个时期的数学故事。

(美)本·奥尔林 著

未读·探索家 出品

出版社:天津科学技术出版社

01

与罗马军队作战的阿基米德

公元前214年,古罗马名将马塞勒斯率领大军袭击古希腊的叙拉古,却被阿基米德的弹弓和机械爪挡在城下。罗马军队的统帅不禁感叹:“这是一场罗马军队和阿基米德一个人的战争!”

你知道罗马人是怎样的吧?他们骁勇善战、不苟言笑,建造的大理石“垃圾”在世间遗留千年。在公元前212年,他们的军队来到西西里海岸,想要征服顽强抵抗的小城锡拉库萨。正如历史学家波利比乌斯(Polybius)所描述的那样,罗马人全副武装而来,乘坐的60艘大船上“载满了弓箭手、投石手和标枪手”,更不用说船上那4架巨型攻城云梯了。

但是,锡拉库萨人也知道那句古老的谚语,即“如果你在罗马人的地盘上,罗马人怎么做,你就怎么做”。也就是说,他们现在要做的就是和罗马人一样殊死搏斗。因此,锡拉库萨人用大大小小的弹弓发射出巨大的石块、铅块和大量的铁飞镖。然后庞大的机械爪子从城墙内伸出,钳住罗马 的战舰并狠狠摔下,这些船只“撞上陡峭的岩石”,“沉入了海底”。

历史学家普鲁塔克(Plutarch)这样写道:“罗马人眼睁睁地看着军队被一种不可见的方式击溃,开始怀疑自己是不是在与众神作战。”

事实上,情况比他们想象的更糟:对手不是众神,而是阿基米德。

如果要你说出一个有史以来最伟大的数学家,阿基米德是个相当可靠的第一选择。伽利略称他为“超人”。莱布尼茨对阿基米德赞赏有加,说他拔高了人们对天才的期待,在他的光环之下,后来的思想家们都显得平平无奇。

伏尔泰则写道:“阿基米德比荷马更富有想象力。”诚然,阿基米德从未获得过数学界最著名的菲尔兹奖,但有一件事却能证明他的地位之高:菲尔兹奖章正面上的那个头像就是他本人。

02

几何学的消遣,竟能摧毁敌军

你想感受一下他有多聪明吗?去拿一个正方体过来,然后把它小心地切成三部分。

这三部分就像三个形状、大小完全相同的金字塔,而每个金字塔都有一个正方形的底部和一个尖顶。因此,每个金字塔的体积都必须恰好是原来立方体的1/3。

拿起其中一个金字塔,把它横向切成无数片,每一片都要非常薄。如果我完成得不错——毕竟我的刀工笨拙——每个横截面都应该是一个完美的正方形。

最底部的正方形正好就是原来立方体的底部,而最上面的那个正方形则很小很小,只是一个点。在这两个极端之间是无数个中等大小的正方形。

现在,让我们更进一步。

把这些方块想象成无限张纸牌,每一张都很薄。如果将它们重新排列,叠放起来的整体体积并不会改变。

这一次,在叠放的时候,我们让每个正方形的其中一个角重合。这样一来,就把我们时髦的不对称金字塔改造成了经典的埃及金字塔风格。

正如此前所说,整体的体积不会改变,仍然是最初那个立方体体积的1/3。

现在,我们得到了计算立方锥体积既巧妙又简便的方法。

在1800年后, 当数学家博纳文图拉·卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)重新发现这个方法时,他用自己的名字将其命名为“卡瓦列里原理”。

事实上,这个方法最初起源于公元前5世纪的安提丰(Antiphon,公元前426—前373年),与公元前4世纪欧多克斯(他首先提出了我现在介绍的论证过程)的方法一起发展,在公元前3世纪阿基米德的时代达到了无与伦比的高度。

为了纪念罗马的恐慌,我将把它命名为“无穷灾难原则”。

这个方法很简单。在一个三维图形中,当你将横截面的形状从正方形换成其他面积相同的形状时,它的体积并不会受影响。

例如,我们可以把正方形换成等面积的长方形,现在这个被拉长的金字塔的体积仍然占了之前立方体的1/3。

或者在大师级别的终极游戏中,我们还可以把这些方形都变成圆形。想象一下,每个正方形都慢慢地变成一个圆,同时它们的面积永远不变。

我们的金字塔变成了圆锥体,立方体变成了圆柱体。因此,一个圆锥体的体积刚好是和它等底等高的圆柱体体积的1/3。

很酷,对吧?公元2世纪,普鲁塔克滔滔不绝地说:“在几何学中,不可能找到比这更困难、更复杂的问题,也不可找到比这更简洁明了的证明……你进行再多的研究也无法获得证据,然而,一旦看到这样的证据,你会立刻相信自己已经发现了它。阿基米德通过如此顺利和快速的路径引导你得到所需的结论。”

不过,这些几何级别的思考并不能让阿基米德得到“军事天才”的美誉。人们不禁要问:阿基米德那台摧毁罗马军队的战争机器从何而来?

普鲁塔克坚称:“他设计和制造这些机器时,并没有把它们当成什么重要的事,只是作为几何学上的消遣活动。”

虽然这听起来很奇怪,但这就是数学史中的基本模式。漫无目的地航行在幻想之旅中,然后以某种方式未来带来技术上的突破。

虽然罗马人不太喜欢纯粹的数学探究,但他们肯定敬畏能一举摧毁船只的“死亡之爪”。马塞勒斯将军在意识到自己犹如反派后(就像《小鬼当家》中的反派一样),便和他的部队撤退了。

03

离创造微积分只差一点点...

几个月后的一个下午,阿基米德正在沙地上绘制图表。我更愿意认为他当时正在重温他最喜欢的那个证明过程,也就是他让朋友和家人在他的墓碑上刻的那个定理。那个始于一个球体的定理。

我们把这个球装到一个圆柱体里,使它与圆柱体完美贴合,就像自动发球机里的网球一样。

阿基米德的问题是,球的体积占了圆柱体的多少?(事实上,他的问题更直接一些:球的体积有多大?)

首先,把整个球对半切开。

现在,我们不考虑半球的内部容积,先来看看它外部的体积。本着“无穷灾难原则”,我们可以把这部分想象成一堆叠起来的圆环,而且每个圆环的中间都切一个圆洞。

这一堆圆环的最底部是一个超细的环,它中间的洞非常大,几乎占据了整个圆环,只留下一圈极细的边。与此同时,顶部是一个非常粗的圆环,它几乎是完整的圆,上面只有一个极小的针孔。而在这两种极端情况之间,是一系列大小在它们中间的垫圈。

这些圆环的面积是多少呢?通过结合代数运算,我们可以推导出每个圆环的面积都是πh⊃2; ,其中h是它到地面的距离。

这就意味着借助“无穷灾难原则”,每一个圆环都可以用一个半径为h的圆来代替。

看!将它们一个个叠起来后,我们得到的不再是那个怪异的半球状火山坑,而是一个颠倒的圆锥。

我们已经知道,圆锥体的体积是圆柱体的1/3。因此,空的空间——过去是半球的那部分——占了圆柱体体积的2/3。所以得出结论:球的体积为圆柱体的2/3。

有了西西里沙地上的这些图形,阿基米德憧憬着几千年以后才会出现的积分。面积和体积、无数个切片、连续性和曲率问题的解决……这些是积分的化学原料、原始汤剂,而后来的积分正是由此发展而来。

那么,为什么全世界等待了这么久,微积分才诞生?

那一天,罗马军队终于攻破了这座城市。不过是短短几个小时,锡拉库萨就被烧毁了,士兵们疯狂地抢劫和杀戮。

阿基米德甚至都没有注意到这座城市的沦陷。对他来说,与沙地上引人入胜的图形相比,战争中的掠夺和破坏又算得了什么呢?

阿基米德在面对凶神恶煞的罗马士兵时,到底说了什么?历史学家们对此意见不一。

也许他恳求道:“请不要破坏我的圆环。”

也许他怒斥道:“站远点儿,伙计,离我的图形远点儿。”

也许他当时用手挡着沙地上的图形,仿佛他的思想比生命更宝贵:“冲我的脑袋来,别碰我的图!”

无论真实情况是哪个,大家都一致认为是那个士兵杀害了他。

他的血流淌在沙地上,流到了那些他用手指画的沟槽中。马塞勒斯将军坚持要为他举行一场体面的葬礼,并以礼物和恩惠来慰问阿基米德的亲属,但这也无法改变这个创造“无穷灾难原则”的人死了的事实。

今天,阿基米德最伟大的遗产不在于弹弓和阿基米德之爪,而在于几何学。他清晰的论点、他对无穷的把握,以及他已经非常接近微积分的成就。或许,如果再给他一点点外力的推动,他是不是就能到达微积分领域了?那样的话,微积分在地球上出现的时间会比现在早几千年吗?

几个世纪后,当地的叙拉古人几乎已经忘记了阿基米德的遗产。古罗马著名政治家西塞罗(Cicero)在游历锡拉库萨时有心寻找阿基米德的坟墓。他从墓碑上的雕刻图案认出了它,正如阿基米德所要求的,有一个球体和一个圆柱体。

如今,坟墓早已经消失,但证据仍然刻在我们的想象中——那是一种比灰尘、血液或罗马人的手工石雕更持久的媒介。

这是耶鲁大学毕业天才教师本·奥尔林在《疯狂微积分》中讲述的故事,他将球的体积为圆柱体的2/3——这一约定俗成,但可能不明来历的结论通过阿基米德的视角展示给读者,既是生动的数学演算,又是人文的历史云烟。

奥尔林曾坦言自己从数学系毕业时,因悲哀“大多数学校都把数学这门课教得糟透了”而选择当一名中学老师,我想如果能早些接触奥尔林这样的老师,也许就不用像现在一样后悔了!

原标题:《这条通往高阶学者的必经之路,从两千年前就开始了》

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