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落球法测量液体黏滞系数的实验探究

2023-04-01 10:28

来源：澎湃新闻·澎湃号·媒体

原创宛天健刘立英等物理与工程

摘要

黏滞系数是描述液体内摩擦性质的一个重要物理量，在工业、农业以及医学方面有着重要的应用。在黏滞系数的诸多测量方法中，传统的落球法现象直观，被广泛应用于大学物理实验。然而，目前落球法常用的秒表计时或光电门计时都会代来很大的不确定度。对此，我们提出了全新的测量理念——低速摄影法。与传统光电法以及 CCD 法不同，我们放慢视角，设置较长的曝光时间，用每张图片记录下小球“单位时间”下落轨迹。基于轨迹长度以及曝光时间等参数，可以直接算得小球匀速下落速度，进而求得黏滞系数，具有响应快、精度高、装置简的优势。进一步的，基于低速摄影法，实验观测到高速下落的小球受涡流、压阻作用而旋转、偏离竖直线的现象，并结合数据与模型探讨了其对结果的影响。分析表明，落球法测量黏滞系数实验中可通过小球密度和半径的调节来控制落球速度,有效避免涡旋和压阻带来的误差。

关键词黏滞系数；摄影法；落球法；曝光时间；像素

Abstract Viscosity coefficient is an important physical quantity to describe the internal friction properties of liquid. It has important applications in industry, agriculture, and medicine. Among many ways of viscosity coefficient measurement, the traditional falling ball method is intuitive and widely used in college physics experiments. However, two common program to measure the dropping ball, timing by stopwatch or photoelectric gates, will cause a large uncertainty. In pursuit of an ideal method, we came up with a brand-new concept—Low Speed Photography Measurement. Different from the method of photoelectric gates or CCD, we adopt to a slow perspective. By using a low shutter speed, a single exposure will record a trajectory of the ball. According to shutter speed and length of a certain trajectory, the uniform falling speed of the ball can be calculated directly, and then the viscosity coefficient the liquid can be obtained. Compared to traditional method, Low Speed Photography Measurement shows extraordinary superiorities in speed, accuracy, and simplicity. Furthermore, based on this method, the phenomenon that the small ball falling at high speed rotates and deviates from the vertical line under the action of eddy current and pressure drag is observed experimentally, and its influence on the results is discussed combined with the data and model. The analysis shows that in the experiment of measuring viscosity coefficient by falling ball method, the falling ball speed can be controlled by adjusting the density and radius of the small ball, so as to effectively avoid the errors caused by vortex and pressure drag.

液体黏滞系数是表征液体反抗形变压力的重要参数，是描述液体内摩擦性质的一个重要物理量，在工业、农业以及医学方面有着重要的应用[1]。黏滞系数的测量方法有很多，如毛细管法、奥氏黏度计法、落球法、转筒法等，但是各种测量方法都未尽完善[2-5]。落球法是比较常用的方法，通过测量液体中小球的速度从而计算液体的黏滞系数。目前落球法的实验方案主要有秒表计时，光电门计时。然而这两种方法都存在一定的局限性：秒表本身精度有限，计量又严重依赖人的反应，引入的实验不确定度很大；光电门虽然反应灵敏、抗干扰能力强，但在实际实验操作过程中，需要对两个光电门进行位置上的精确调节，确保小球落下时能经过两束激光。人用肉眼判断本身就不准确，再加上光的折射等问题，在操作上十分困难。

为了寻求一种更优良的方案，我们提出了一种较新的测量理念——低速摄影法。在用相机拍摄运动的小球时，使用较长的曝光时间（实验中根据小球的速度使用了 0.5~6s），利用单张图像即可记录下小球的一段轨迹；对比一系列的图像，基于轨迹长度以及曝光时间，可以准确并迅速地判断出匀速区域，并直接算得小球的下落速度，进而求得黏滞系数。

1 实验原理和设计方案

1.1 黏滞系数力学原理

设液体的黏滞系数为 η，小球的速度为 v，小球的直径为 d。若小球的速度较小，液体无限深广，由斯托克斯定律，黏滞阻力

F = 3πηvd （1）

当小球在竖直方向上匀速下降，重力 mg，浮力 ρgV，黏滞阻力 3πηvd 达到平衡，如图 1 所示，有

mg = ρgV + 3πηvd （2）

解得黏滞系数

代入

，

得

在实验中，小球在量筒中下落，液体不满足无限深广的条件。因此，上式应修正为[3,7]

其中，D 为量筒内径；H 为液柱高度。

1.2 低速摄影法测量原理

用相机拍摄运动中的小球，根据图像中轨迹的像素数量可换算出小球实际的轨迹长度。

竖直放置量筒，于 5m 外设立相机、三脚架，如图 2 所示。

假想平面 1（量筒中轴）上有两参考物 A，B，间距为 l0。

在相机拍摄到的图像中，设 l0 这一段占用了 n0 个像素，而小球的轨迹 l 占用了 n 个像素。按比例关系有

解得

实际上，A，B 上没有参考物，我们无法直接观察 A，B 两点。不过依然有办法“看到”它们。

记 100ml，1000ml 两条刻度线的前端点为 C，D，因为相机、C、A 共线，所以 A，C 成像后重合。同理，B，D 重合。我们在图像中看到的两刻度线的前端点就代表了参考点 A，B。

为换算轨迹长度，还需求 l0。测量 A，C 间距 l′0，由比例关系得

继而得到 l 的换算关系式

实验中，应尽量让小球沿两桶中轴线下降，这才能保持准确的 503/500 的比例关系，同时尽可能地克服“液体有限深广”的限制。

例：图 3 显示了一次小球下落的过程，求该轨迹的实际长度。

由 Photoshop 选区工具读出

n=485，

n0=2825。

用直尺测得

l′0=30.5cm。

代入式（6）得轨迹长度

即，该轨迹的实际长度为 5.27cm。

2 实验装置与系统误差分析

在桌上竖直放置量筒，在量筒上方使用强光手电向下打光，于 5m 左右距离处设立相机、三脚架。实验中，使用无水乙醇清洗小球；使用镊子向量筒释放小球；使用游标卡尺测量筒内径；使用螺旋测微器测量小球直径；使用高精度电子天平测量小球质量；使用直尺测量液柱高度和参考距离。为了进行不同温度下的对比实验，使用数码显示热敏电阻温度计配合可控温加热箱测温并控温。

由于镜头的光学设计不是完美的，镜头拍摄出的图像会出现一定的畸变，如图 4 所示。物 x 经光学系统呈畸变像 f(x)。如果在畸变的图像 f(x) 上取轨迹，测量轨迹像素数量，则不能客观地反应实物的长短，就会引入系统误差。一枚镜头完成对焦后，如果保持对焦状态不变，而且不进行变焦，则镜头的光学畸变是恒定不变的。也就是说，有唯一确定的畸变函数 f。因此，存在逆函数 f -1，使得我们可以把畸变的图像还原，去除畸变。镜头的生产公司通常会提供这一逆函数，我们从镜头公司的网站上下载了该逆函数，去除了畸变，防止了系统误差的产生。

小球轨迹端点的判定影响着轨迹长度的测量。在拍摄该图像的时间内，小球的位移为 Δx。而图像亮线的顶端至底端，包含了小球的位移 Δx 和小球直径 d。为了得到位移 Δx 的像素数量，可以用整个亮线的像素数量，减去小球直径的像素数量。为此，需要测量小球直径的像素数量。并通过多次拍摄取平均值，可以得到更精确的结果。

3 实验过程

用直径为 1.5mm 的大球和直径 1.0mm 的小球分别测量优级纯甘油在 30℃，40℃，50℃，60℃，70℃ 的黏滞系数。首先将甘油沿量筒壁缓慢倒入量筒，放入可控温加热箱加热到设定的温度，并且保证各处均匀无气泡。用直尺测量 100ml、900ml 两条刻度线的距离，记为 l′0。用直尺测量液柱高度，记为 H。用游标卡尺测量量筒内径，记为 D。取大球、小球各 100 个，用无水乙醇浸泡后晾干。分别以 100 个大球和小球为整体，用高精度电子秤测量其质量，并记录测量结果 M。两种球各取 6 个，用螺旋测微器测量其直径，记为 d。预先布置好相机和三脚架，将量筒放在计划位置，用强光手电筒从量筒顶部打光。相机采用连拍模式，设置合适的曝光时间 t 并记录，同时记录相机拍摄两张图片之间的间隙 tint。先后用镊子夹取 5 个大球和 5 个小球，一次一个地将球投入甘油中，相机持续拍摄。分别拍摄 70℃，60℃，50℃，40℃ 和 30℃ 时小球的下落轨迹，并记录相应的曝光时间。

4 实验结果与分析

1）计算小球的加速度，找到匀速运动区段

以某温度下的一次落球实验为例。将小球下落过程中拍摄的图像导入 Photoshop，连续的 5 张图像叠加后的结果如图 5 所示。

设实验中某段轨迹的长度为 l，则该段轨迹的平均速度为 v = l/t。每两段轨迹之间的时间差为 Δt = t + tint，则小球在两段轨迹间的加速度应为

经计算，在所有温度下，在量筒下部，小球的加速度均满足

可以认为小球在量筒下部做匀速直线运动。

2）计算甘油的黏滞系数

取匀速区段的图像，读出每次实验的轨迹像素数，取平均值得到 n，继而换算出对应的轨迹长度 l。测量小球的直径、质量，取甘油密度 ρ = 1256kg/m3，重力加速度 g = 9.807m/s2，将各参量转为国际单位制，代入式（5），得到甘油的黏滞系数如表 1：

对数据做曲线拟合，并与甘油黏滞系数的标准值[8,9]进行比较，如图 6 所示。

结果显示，1.0mm 实验结果（□）与标准数据（○）符合得非常好。1.5mm 实验结果（×）与标准数据（○）在低温段（30~50℃）匹配地很好，但是在高温段（50~70℃），实验结果显著高于标准数据。温度越高，这一误差越显著。

3）高速运动小球运动分析

实验中发现，随着温度的逐渐升高，甘油黏滞系数逐渐减小，小球在其中的匀速区段速度显著增加；另外，不同小球在相同环境中的运动速度也不同，质量越大，运动速度越快，例如本实验中分别采用了直径为 1.5mm、1.0mm 的小球，1.0mm 球的下落速度明显低于 1.5mm 球。用 1.5mm 钢球测得甘油在各温度下的黏滞系数，其相对误差与小球匀速区段速度的关系如图 7 所示，当小球速度 v>2.5cm/s，黏滞系数的相对误差随速度增大而迅速增长。

小球在流体中运动，理想的运动模型如图 8(a) 所示。小球受到的迎面阻力包含两种：黏滞阻力和压差阻力[11,12]。黏滞阻力是流体粘性导致的内摩擦力，压差阻力是小球周围液体压强差的作用结果。落球法测量黏滞系数过程中，通常忽略压差阻力的影响，近似认为小球受到的阻力完全由黏滞阻力构成，得到黏滞系数的表达式，继而通过实验测得甘油的黏滞系数[3,7]。

这一近似在什么条件下才是合理的？小球运动速度较低时，其对周围液体流动情况的影响较小。周围液体流速均匀，压强也均匀，小球受到的压差阻力可以忽略。当小球运动速度加快，周围液体的流动将受到较大影响。如图 8(e) 所示，小球向前运动，前方的液体流动受阻、速度较低；小球的后方却出现“空缺”，周围的液体向“空缺处”填充，流速较高，形成了涡流[11,12]。小球后方液体的流速快于前方，因而后方的压强小于前方，小球将受到向后的压差阻力[11,12]。小球的速度越快，压差阻力就越显著，此时，若仍然认为小球受到的阻力完全由黏滞力构成，就相当于把压差阻力也归于黏滞阻力，高估了液体的黏性，黏滞系数的计算结果就会偏高。

同时，压差阻力的水平分量也对实验结果产生影响。小球运动会导致两侧液体流动不均匀，如图 8(h)、(i) 模型所示。在不均匀涡流的作用下，小球倾向于产生旋转、横移，有偏离竖直线的趋势。此时，小球的运动将不再是竖直方向上的一维问题，其受力情况将更为复杂。30℃、50℃、70℃ 甘油中 1.5mm 直径钢球的下落轨迹分别如图 8(b)、(c)、(d) 所示。仔细观察发现，30℃ 时轨迹基本为一条直线；50℃、70℃ 时，下落轨迹有轻微的扭曲。当采用黏滞系数极小的纯净水作为研究对象，低速摄影法观测到了小球出现明显的横移现象，如图 8(f)、(g) 所示，分别为连续拍摄过程和几个分段过程的叠加，均出现“左右摇摆”的偏离直线现象。

综上所述，当测量黏滞系数较低的液体，为效避免涡旋和压阻的影响，应当把小球的下落速度控制在较低的范围。为控制小球速度，可以通过选择适当密度和直径的小球。使用密度尽量低、直径尽量小的球，则可以保证小球的下落较慢。以本实验为例，当前采用的小球材质为钢，密度 ρ = 7.4g/cm3；若更换小球，采用密度相对较小但略大于待测液体密度的材质，如采用玻璃、铝（密度 ρ < 3g/cm3），相同流体环境下小球的下落速度将大大降低，黏滞系数的测量范围将大大拓展。

4）不确定度分析

基于式（5），根据不确定度的传递法则[7]，得出黏滞系数相对不确定度的表达式

求出各中间量及其不确定度，代入公式(7)，即可得黏滞系数的不确定度 Δη。

根据 1.0mm 小球的实验数据，易得各物理量的测量值为

d=1.000±0.006mm

m=3.850±0.010mg

D=6.250±0.005cm

H=33.90±0.01cm

l′0=30.50±0.01cm

n=391.3±1.4(T=30.7℃)

n=768±12(T=40.0℃)

n=491±11(T=49.0℃)

n=310±7(T=57.0℃)

n=332±6(T=68.0℃)

代入黏滞系数不确定度的表达式，得甘油黏滞系数的相对不确定度和不确定度，如图 9 所示。

结果表明，实验的相对不确定度 Δη/η<3%。不确定度 Δη<0.011Pa·s，实验精度优于 0.01Pa·s。

为分析黏滞系数不确定度受各参数影响的强弱，只需比较不确定度表达式根式中的各项的大小。不妨以 49℃ 的数据为例，代表质量 m 对结果影响程度的项

代表轨迹长度 l (轨迹像素数量 n ) 对结果影响程度的项

D，H 用于修正，影响小。ΔD，ΔH 的两项不予考虑。代表小球直径对结果影响程度的项

比较这三项，可知

。这表明黏滞系数不确定度的主要来源轨迹长度的不确定度。而轨迹长度的不确定度以 A 类不确定度为主，所以可以增加落球试验的重复次数，以降低误差。

通过测量小球的下落速度而计算液体的黏滞系数，这是低速摄影法与传统秒表计量的共同思路。然而，人工控制秒表需要凭肉眼判断小球的速度与位置，还需对运动的小球做出反应，实验过程中一般会出现 0.2~0.5s 甚至更高的时间误差。假设计时总长为 5s，这一时间误差可以占到 4%~10%甚至更高，对结果的准确性产生严重的影响。本文提出的低速摄影法采用自动连续拍摄的方法，时间误差基本可以降为 0%，并发挥了现代相机的高像素优势，获得了高分辨率的图片（2000 万~6000 万像素），不仅拥有更高的精度，而且可以测量黏滞系数更低、小球在其中运动更快的液体。

5 结语

针对落球法测量液体黏滞系数的过程中的“计时”困难，我们提出了全新的测量理念——低速摄影法。与传统光电门法以及 CCD 法不同，面对灵动敏捷的小球，我们不急于通过一帧一帧的去追赶它、以捕捉它在任意时刻迅速变化的位置；而是放慢视角，设置较长的曝光时间，用每张图片记录下小球的一段下落轨迹。基于轨迹长度以及曝光时间等参数，我们可以准确并迅速地判断出匀速区域，并直接算得小球的下落速度，进而求得黏滞系数。该测量方法简洁又精确，具有很强的实用价值。进一步的，基于低速摄影法，我们观测并分析了高速下落的小球受涡流作用下的运动情况，并结合数据与模型探讨了其对结果的影响。分析表明，落球法测量黏滞系数实验中，小球材质宜使用密度尽量低、但又须略大于待测液体密度，小球直径宜尽量小又须能有效分辨的正圆球，以控制落球速度并有效避免涡旋和压阻带来的误差。

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基金项目：北京工业大学教育教学研究课题（ER2022SJB11）；北京工业大学星火基金项目（XH-2022-05-08）。

通讯作者：刘立英，女，高级实验师，研究方向为凝聚态物理、实验物理，liuliying@bjut.edu.cn。

引文格式: 宛天健, 刘立英, 段博方, 等. 落球法测量液体黏滞系数的实验探究[J]. 物理与工程, 2022, 32(4): 171-177.

Cite this article: WAN T J, LIU L Y, DUAN B F, et al. Experimental research on measuring liquid viscosity coefficient by falling ball method[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(4): 171-177. (in Chinese)

END