实现加乘自由——James Propp教授专栏

原创 James Propp zzllrr小乐

作者：James Propp 2024-2-17

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-2-18

本文记录了加法和乘法从关于什么类型的东西可以相加和相乘的狭隘观念中的解放，以及相关的话题：数字之类的东西应该是什么样子。随着19世纪末和20世纪初的域（field）和环（ring）等抽象概念的出现，代数学家将加法和减法远远带到数字的边界之外，这样做表明了数字的边界是人为的，是进步的障碍。

笔者将以聚焦于20世纪的视角，展示抽象观点如何能统一我们迄今为止所看到的许多不同的数字系统（以及不完全为数字的系统），通过使用简单但强大的模运算（modding out）的想法，摆脱以数字为中心的偏见。

作为这一切的热身，我想告诉你数学史上一个鲜为人知的悖论：法国数学家奥古斯丁-路易斯·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789 - 1857），在将复数带入微积分方面比任何人都做得更多，但他并不深信最著名的复数√-1。柯西说得再清楚不过了。他写道：“我们完全否认符号 √-1，毫无遗憾地放弃它，因为我们不知道这个所谓的象征意义是什么，也不知道赋予它什么意义。”

柯西（Cauchy，1789 - 1857）

然而，即使柯西拒绝了 √-1，他也接受了欧拉为 √-1 引入的符号 i。事实上，柯西不仅接受了 i，而且还赞扬了 i。那么柯西认为的复数到底是什么或者可能是什么呢？

余数计算

还记得我的文章《西西弗斯的胜利》中的模算术吗？这个想法是，你选择一些称为模数（modulus）的正整数 n，然后查看一个整数除以 n 时得到的所有不同的余数；例如，如果 n 为 10，则你可以获得的余数为 0 到 9。然后你可以对这些余数定义余数运算。要对两个余数执行 mod n 加法，首先将它们作为普通数相加，然后将所得总和除以 n 并取余数。乘法也是如此。例如，在 mod 10 算术中，8 乘以 9 等于 2，因为普通乘积是 72，而当你将 72 除以 10 时，余数是 2。（我们对商不感兴趣；余数为起作用之处。⊃1; ）

柯西提出了类似的方法来使复数变得更合规，只不过他不是使用整数，而是使用变量x的多项式，并且不是除以数字 10，而是除以多项式 x⊃2;+1。例如，在“mod x⊃2;+1多项式算术”中，x+2乘以x+3是5x+5，因为x+2和x+3的普通乘积是x⊃2;+5x+6，在除以 x⊃2;+1 时，余数为 5x+5。这与以通常的方式乘以复数得到的答案相同，这并非巧合。柯西表明这种情况总是会发生。因此，他声称，当我们说 i+2 乘以 i+3 等于 5i+5 时，关于余数的陈述才是我们真正所表达的意思（或者，正如许多老师更喜欢说的那样，2+i 乘以 3+i 等于 5+5i）。

当然，如果柯西方法与我们熟悉的公式 i⊃2; = −1 不兼容，那么它的效果就不会太好。事实上，他的方法告诉我们这个公式是正确的。⊃2; 那么将 i 定义为 −1 的平方根时柯西所面临的问题出在哪？

一方面，i 并不是唯一一个在平方时得到 -1 的复数；复数 −i 也有这个性质。为什么其中一个比另一个更值得称为−1 的平方根？但更重要的是，柯西反对我们用“−1 的平方根”作为 i 的定义。毕竟，假设我说“设ε是零的非零平方根”（尽管平方为零的唯一实数本身也是零）。这样的定义意味着什么？我们有可能创建一个数字系统，其中零有一个非零平方根（事实上我将在本文后面这样做），但你不能只是希望它存在；你必须构造它。

在克罗内克（Leopold Kronecker，1823 - 1891）处理 √2 和其他无理数的方法中也可以找到相同的构造性冲动。克罗内克在代数数论方面做了重要的工作，代数数论都是涉及满足 x⊃2; = 2 等代数方程的无理数，他年轻时的梦想是使用超越函数（就像三角函数一样，只是更奇怪一些）更深入地了解这些数字。但克罗内克对无理数感到不安，即使是那些他敲定证明的定理也是如此。他从未对无限过程感到满意，例如系统性但永无止境的过程，它为我们提供了（更好但永远不完美）2的平方根的有理近似值，并且他不想将他的数学建立在这样的基础上，更不用说 √2 的十进制展开的难以驾驭的混沌了。他认为唯一真正可靠的数字是整数，他甚至说“上帝创造了整数；剩下的一切都是人类的工作。” ⊃3;

克罗内克（Kronecker，1823 - 1891）

那么克罗内克认为 √2 是什么？他认为它是一个余数。如果将 x 的多项式除以二次多项式 x⊃2; -2，则余数（严格而言需称为余式，下同，zzllrr小乐译注）将是变量 x 的一次多项式，如果余数是 ax+b，则对于克罗内克而言，它表示a√2 + b。因此，与柯西的 i 一样，克罗内克的 √2 是将多项式 x 视为余数，只不过现在除式多项式是 x⊃2; -2 而不是 x⊃2;+1。⁴ 这样，克罗内克就能够用 2 的平方根进行算术运算，而不必担心它从哪里来，也不必担心将 2 强制带入数学中是否合法。

这里需要注意的是：尽管这些是柯西和克罗内克的说教，敦促我们所有人将 i 和 √2 视为多项式除法下的余数，但柯西和克罗内克在他们作为研究人员的实际实践中并没有这样做。一旦柯西使用余数乘法证明了 i 乘以 i 为 -1，并且一旦他证明了他的余数加法和乘法满足分配律，就没有理由不使用这些性质来避免多项式除法的繁琐过程。克罗内克也是如此；多项式除法是最后的证明方法。因此，他们关于 i 和 √2 “真正是什么”的理论对他们在实践中如何使用这些表达式没有太大影响。

与此同时，大多数数学家（包括大多数时候的柯西和克罗内克）都非常乐意使用像 i 和 √2 这样的数字作为正式表达式，而不担心它们到底是什么以及它们是否值得被称为数字。他们还有其他的谜题需要忙碌。正如在我的文章《当5不是素数时》中看到的那样，库默尔（Ernst Eduard Kummer，1810 - 1893）试图发明一种新的数字来拯救某些复数系统的独特因式分解，戴德金（Richard Dedekind，1831 - 1916）发现了一种更好的研究库默尔的“理想除数”的方法是观察某些结构良好的复数集合（如下图所示的两个），戴德金称之为理想（ideal）。

当时还不清楚戴德金的理想与柯西和克罗内克的余数理论有什么关系，但到了 20 世纪，这种情况将会改变。

数域、域、数环……

戴德金（Dedekind，1831 - 1916）

1871年，戴德金使用德语单词“Körper”（体）来表示任何一个实数或复数集合，在其中我们可以随意对元素进行加、减、乘或除（只要不被零除）并得到一个仍然属于该集合的数。重要的例子是有理数（体）、实数（体）和复数（体）。“Körper”的字面意思是“身体”（body），而“尸体”（corpse）这个词在语言上是近亲，但我怀疑戴德金想到的更像是个体组织【例如短语“支配团体”（governing body）或实际上是“集团团体”（corporation）这个词】。1893 年，美国数学家莫尔（Eliakim Hastings Moore，1862 - 1932）引入了“域”（field）一词作为英语对应词。⁵

1895年，数学家海因里希·韦伯 (Heinrich Weber，1842 - 1913) 在解放加法和乘法方面迈出了重要一步，他将域定义为满足某些公理的元素（不一定是普通意义上的数字）的集合。例如，变量 x 的有理函数（即 (x+2)/(2x⊃2;−3x+7) 等表达式）形成韦伯意义上的域。1910年，数学家恩斯特·斯坦尼茨（Ernst Steinitz，1871 - 1928）继续对各种域进行了系统研究，包括我在文章《奇妙的距离算术》中所写的p-adic域（p进域），他证明了一些关于域的非明显约束性质。（例如，他证明有限域中的元素数量只能是素数的幂）。

你可能已经注意到，一个重要的数字系统 - 整数 - 不是域的例子，因为 a 除以 b（b 非零）并不总是整数。集合中的数字我们可以随意加、减、乘，但不一定能除，需要它们自己的命名法。戴德金将它们称为“团”（order），但他的同胞大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943）在1892年选择了“数环”这个短语（德语中的复合词“Zahlring” ⁶ ），并在他 1897年发表的著作中引入了这个词。但是希尔伯特将自己限制在复数的集合上，因此柯西的多项式余数不符合条件。

希尔伯特（Hilbert，1862 - 1943）

在某种程度上，奇怪的是希尔伯特，他在他那个时代是知识最广泛的数学家之一，没有看到需要一个包含所有这些例子的概念。毕竟，他负责将“点”、“线”和“面”这些词从几何学中的固定含义中解放出来， ⁷ 而复合词“Zahlring”实际上需要分解。

逻辑学家亚伯拉罕·弗兰克尔 (Abraham Fraenkel，1891 - 1965) 在1914年首次提出了环（与数环相对）的现代抽象概念。弗兰克尔认为没有理由假设环的元素是数字。关于这些组合，我们需要了解的只是这些元素满足各种公理（如下所列）。⁸ 但是弗兰克尔没有详细阐述他的概念。我们需要的是有人来探索环可能是什么，就像斯坦尼茨探索域可能是什么样子一样——有人来完成希尔伯特应用于几何而非代数的抽象。那个人就是埃米·诺特（Emmy Noether）。

埃米·诺特

(Emmy Noether，1882 - 1935)

物理学家阿尔伯特·爱因斯坦 (Albert Einstein) 称埃米·诺特（Emmy Noether，1882 - 1935）为数学天才，也是有史以来最伟大的女性数学天才，因为她所做的工作引起了物理学家的极大兴趣（对此我不再赘述，因为它与数字无关）。但爱因斯坦更多是数学的消费者而不是数学的生产者，所以让我们听听一些数学家的看法。

数学家兼物理学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl，1885 - 1955）在她的葬礼上发表讲话，称赞她“改变了公理思维”。拓扑学家帕维尔·亚历山德罗夫（Pavel Alexandroff，1896 - 1982）在 1935年向莫斯科数学会发表的演讲中说道，“她教会我们用简单、通用的术语来思考。”她的弟子范·德·瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden，1903 - 1996） 写道，她的突出特点之一是“能够孜孜不倦地、持续地追求对其主题的概念渗透，以实现方法论上的最大清晰程度。”

她在生命即将结束时对自己作为研究员和教师的职业生涯做出了清晰的评价：“我总是走自己的路。”但这让她听起来像个隐士，但她根本不是：她的突出特点之一就是她使人们聚集到社区的方式。

阿玛莉·埃米·诺特 (Amalie Emmy Noether) 从一开始就是一个小型数学社区的成员。她的父亲是数学家马克斯·诺特（Max Noether，1844 - 1921），她的弟弟弗里茨·诺特（Fritz Noether，1884 - 1941）也成为了一名数学家。在后来的生活中，埃米和弗里茨会就数学的本质进行友好的争论。弗里茨是一位研究湍流等现象的应用数学家，他认为数学家是科学家，而埃米认为他们主要是艺术家。

埃米的女性身份给她的职业生涯设置了障碍，她的犹太人身份也是如此（前者在她职业生涯的早期，后者在她职业生涯的后期）。为了让她在十年级之后继续学业，她的父亲不得不写信给巴伐利亚教育部，获得她在他任教的埃尔朗根大学旁听课程的许可。当她对数学的天赋和热情显现出来后，她的家人就安排她接受私人课程。有一个比她小一点的弟弟和她一样对数学感兴趣，而且他（作为一个男孩）被允许在埃尔朗根体育馆上课，这对她很有帮助。他们经常一起学习。通过大学入学考试后，她决定进入数学大亨菲利克斯·克莱因（Felix Klein，1849 - 1925）任教的哥廷根大学。热情导致过度劳累和疲惫不堪，因此她搬回家乡，于1904年入读埃尔朗根大学，并于1908年完成学位。但她在哥廷根度过的时光，以及聆听赫尔曼·闵科夫斯基 (Hermann Minkowski，1864 - 1909)、奥托·布卢门撒尔 (Otto Blumenthal，1876 - 1944) 、菲利克斯·克莱因（Felix Klein）和大卫·希尔伯特（David Hilbert）等人的讲座的机会，一直饱受鼓舞。

随着诺特继续学习更多前沿数学，她开始发现别人认为完全不同的主题之间的相似之处。例如，她比周围的人更清楚、更深刻地看到，柯西玩余数来理解复数的游戏与戴德金理解库默尔理想除数的方法密切相关。在这两种情况下，你都有一个包含较小子系统的代数系统。对于戴德金，你有（例如）高斯整数 a + bi 的集合（参见我的文章《当5不是素数时》），并且其中包含可被 2 整除的高斯整数集合；对于柯西，你有x的多项式集合以及其中可被 x⊃2;+1 整除的多项式集合。那么如果多项式不是“数字”怎么办？它们仍然满足数字相对于加法和乘法的大部分性质，因此诺特跟随弗兰克尔，将高斯整数集和x的多项式集视为属于同一属的不同种类：两者都是环（ring）。

环是一个集合 R，具有两种运算，分别写为 + 和 ×，以及两个特殊元素，分别写为 0 和 1， ⁹ 满足以下⊃1;⁰ 公理：

对于R中的所有a，a+0 = a = 0+a。

对于R中的所有a和b，a+b = b+a。

对于R中的所有a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)。

对于R中的每个a，R中都存在某个b，使得a+b = 0。

对于R中的所有a，a×1 = a = 1×a。

对于R中的所有a、b 和c，(a×b)×c = a×(b×c)。

对于R中的所有a、b 和c，a×(b+c) = a×b + a×c。

对于R中的所有a、b 和c，(a+b)×c = a×c + b×c。

当然，如果我们假设R的元素是数字，那么这些公理都是正确的。但我们并不假设它们是数字。“0”不一定是数字零；“1”不一定是数字一；“+”和“×”不必是数值加法和乘法。当我们探索未知领域时，使用这些熟悉的符号会更加方便和舒适。

广义模算术

诺特方法的一个关键特征是代数学家能够从旧环形成新环。如果你有一个环，并且里面有一个特殊类型的较小的环 - 戴德金称之为理想（ideal）的那种 - 那么当你用理想来mod（模）环时，你可以得到新的数学实体，或者如我们所说，“形成商”（form the quotient）。

我们事后可以将19世纪数学中的一小部分视为诺特商构造的一个例子（就像我们对柯西和克罗内克处理 i 和 √2 的方法所做的那样），它是康托尔（Georg Cantor，1845 - 1918）构造实数的方式，我在我的文章《事物、名称和数字》中写到了这一点。这里的大系统是集合 R，由所有具有柯西性质的无限有理数列组成（这些有理数列似乎试图收敛到某个值），而其中的小系统是集合I由所有收敛于0的有理数列组成。注意

(1) I 的两个元素之和都是 I 的一个元素。

(2) I 的每个元素的倍数都是 I 的一个元素。

（这里“I 的倍数”的意思是“I 的元素乘以 R 的元素”。）如果这两个条件看起来很熟悉，那么它们应该是；它们构成了我在《当5不是质数时》中对“理想”（ideal）的定义。在那里，I是一个数字集合；现在它是一个无限的数列集合。但不要惊慌；从诺特的角度来看，那组无限的数列只是另一个环！也就是说，如果将两个无限序列逐项相加或相乘，则满足环的8个公理。而在那个环R中，I 就是一个理想。

现在，你不能在任何明显的意义上将 R 除以 I，但请记住我们在构建实数康托尔方法时所做的事情：我们形成了“袋子”（bag），其中两个柯西数列当它们的差值是一个收敛于零的序列时进入同一个袋子。例如，数列 0.9、0.99、0.999、… 和数列 1、1、1、… 都放入同一个袋子中，因为差值数列 0.1、0.01、0.001、… 的项收敛到零。

当我们探索“袋子”观点时，我们应该注意到，思考模算术的一种方法是，我们不是丢弃所有不在 0 和 n−1 之间的整数，而是保留所有整数，并根据除以 n 后剩下的余数将它们放入袋子中。当这样做时，我们将两个整数放入同一个袋子中，前提是它们相差 n 的倍数。也就是说（用环和理想来表述事物），我们将环的两个元素（整数集）放入同一个袋子中，前提是它们与理想的元素（n 的倍数集）不同。

数学家兼历史学家戴维·E·罗 (David E. Rowe，1950 -) 写了一本关于诺特的书（《Proving It Her Way: Emmy Noether, a Life in Mathematics》实际上是两本书），他说得很好，将诺特的数学超能力描述为“将数学对象剥离到其最基本的要素，以便认识到它们之间更深层的基础关系的能力。”

代数学家的魔杖

商的构造使我们能够创建许多新的数字系统。

例如，如果像柯西和克罗内克一样，我们从 x 的多项式环开始，但不通过模 x⊃2;+1 或 x⊃2;-2，会怎么样？我们用 x⊃2;−1 取模？我们得到了一个不起眼但受人尊敬的数字系统，称为分裂复数（split complex number），也称为双实数（bireal number）、双数（double number）、复复数（perplex number）或时空数（spacetime number）；它们出现在狭义相对论的某些方法中。换句话说，如果我们说“嗯，我希望有一个 1 的平方根，与无聊的旧的 +1 和 −1 不同！”，商结构实现了我们的愿望。传统上，新的“数字”称为 j（不要与汉密尔顿的 j 混淆）。

如果不是用 x⊃2;-1 取模，而是用 x⊃2; 取模，会怎么样？然后我们得到了不起眼但值得尊敬的对偶数（dual number），其特征是 x 不为零但它的平方为零（我向你保证我们会设计这样一个数字系统）。对偶数已应用于刚体力学和静力学。如果你学过微积分，你可能一瞥对偶数背后的动机，即当你的老师告诉你“好吧，epsilon 很小，但是 epsilon 平方真的很小，所以即使我们要跟踪等于 epsilon 的项我们将忽略所有更高的幂，例如 epsilon 的平方。”再一次，商的构造就像一根魔杖，让代数学家们的愿望成真。⊃1;⊃1;

本篇文章的一个重要思想是，商结构统一了我们在之前的文章中遇到的许多不同的数字系统，并且这种结构具有值得关注的更深刻、更早期的根源。如果我们退后一步，不是孤立地看待 20 世纪，而是将其视为半个千年进步的顶峰，我们就会发现抽象代数发展的关键一步是接受了不确定的x，并将其与普通数字平等对待。一旦我们把x请进门，不把它视为我们对某个数值缺乏了解的妥协，而是将其视为一种陌生的数字，许多甚至更陌生的x的朋友都会进来。

但本篇文章的中心思想是，在某种程度上，数学家放弃了对数字和非数字之间边界的监管，对于代数、数学和更广泛的数学应用世界来说，这是快乐的一天。如果有特定的方法来对元素进行加法和乘法，并且这些运算满足某些性质（例如a + b = b + a），那么谁在乎我们是否将元素称为数字呢？环和域的现代概念——对于元素的运算（操作）必须满足的性质是严格的，但对于参与运算（所操作）的元素的性质是宽松的——这让我们进入了这种新的数学思维方式。

当我在高中学习玛丽·多尔恰尼（Mary Dolciani，1923 - 1985）编写的代数教科书时，在复数部分之后有一段关于“幻想数”（fantasy number）的简短段落。如果你还没有听说过幻想数，那是因为它们并不是真正的东西；它只是一个数字。多尔恰尼将它们作为一个简短的警示寓言来呈现，展示了当数学学徒误用巫师的代数魔杖时会发生什么。她定义幻想数 f 具有 f+1 = f 的性质，就像她定义虚数 i 具有 i⊃2; = −1 的性质一样，然后让我们注意：从方程 f+1 = f+0 两边减去 f，我们得出了无意义的方程 1 = 0。这个现象应使学生意识到发明复数不仅仅是一厢情愿；我们怎么知道允许 i 与实数放一起，不会像允许 f 与实数放一起时那样造成同样的破坏呢？

但现在我们可以通过环和理想的镜头来看待幻想数。当我们将 x 的多项式环除以 (x+1)−x 的倍数集时，我们只是模 1。这是什么意思？这意味着 x 的两个多项式如果相差一个 1 的倍数，则应被视为引到相同的幻想数。但每个多项式都是 1 的倍数！因此，所有幻想数都彼此相等：特别是，幻想数 0f + 0（即 0）与幻想数 0f + 1（即 1）相同。但这个令人烦恼的结论并不比观察到 0 和 1 在 mod 1 算术中彼此相等更麻烦；平凡（triviality）的传染性仅限于商环，在那里它不会造成任何伤害。商环中发生的事情就留在商环中。

幻想数商环被称为“零环”（zero ring）。【它也被称为“平凡环”（trivial ring），无意冒犯的命名。】零环是一个必要的平凡集合，就像数字 0 一样。你不会想以它为中心建立一个完整的理论，但平凡性是任何事物的必要元素。就像环论那样，试图跨越从简单到复杂的整个范围的理论。

我并不是说你可以通过模来完成所有事情。例如，我们无法通过这种方式获得四元数（quaternion）或 p进数（p-adic number）。不过，借用社交媒体上的一句话来说，这个奇怪的把戏能起到那么大的作用，真是令人惊讶。

中断的埃米

如果诺特是一个男人，我们知道她的故事会如何继续；她本可以成为德国一所主流大学的正教授。但女性无法获得这样的机会。1907年获得博士学位后，她在埃尔朗根数学研究所无薪工作了七年。1915年，菲利克斯·克莱因（Felix Klein）和大卫·希尔伯特（David Hilbert）邀请她加入哥廷根一流的数学系，担任私人讲师（Privatdozent，现代美国术语，副教授）。不幸的是，哥廷根是一所分裂的大学：数学家和科学家在政治上是进步的，但语言学家和历史学家是保守的，反对女性进入大学生活。尽管希尔伯特大力倡导（生动地宣称“我不认为候选人的性别是反对她成为私人讲师的理由。毕竟，我们是一所大学而不是一个澡堂”），诺特还是被拒绝了这一职位；哥廷根的人文学院认为，女性“完全不适合对我们的学生进行常规指导，因为与女性生理有关的现象”。此外，希尔伯特的一位同事索问：“当我们的士兵回到大学，发现他们被要求在一个女人的脚下学习时，他们会怎么想？”希尔伯特和克莱因花了四年时间才完成她的任命，又过了几年，她才能够开始以代数讲师的身份领取微薄的薪水。

1920年，诺特撰写了她现在的经典论文《环中的理想理论》（Ideal Theory in Ring Domains），建立了现代交换环理论。很快，她周围出现了一个学者团体，她也被誉为在数学其他分支中使用代数方法的拥护者。例如，早在 20 年代中期，代数学家往往不知道拓扑学的最新结果，而拓扑学家往往不知道代数的最新结果，拓扑学家帕维尔·亚历山德罗夫（Pavel Alexandroff）和海因茨·霍普夫（Heinz Hopf，1894 - 1971） 穿过城镇并发表了有关 贝蒂数（Betti数，非正式地说，即计算需要多少次重击才能将拓扑空间分解成碎片）的演讲。诺特指出，这些数字具有代数意义⊃1;⊃2;，现在被称为“代数拓扑”的学科正式启动。

如果诺特是其他种族，她可能能够无限期地继续在哥廷根教数学（尽管她进步的政治观点几乎肯定会让她迟早给当局带来麻烦），但她是犹太人，而且正如一位名叫奥斯瓦尔德·泰希缪勒 (Oswald Teichmüller，1913 - 1943) 的数学研究生当时所写的那样：“德国学生不应该接受犹太老师的培训。” （泰希缪勒曾与诺特一起学习过课程，并且他最终将自己的一些工作建立在她的基础上，然而这无关紧要。）

1933年1月，阿道夫·希特勒（Adolf Hitler）就任总理后，他的首要行动之一就是大规模驱逐犹太人和其他不良人士担任政府职务，其中包括大学职务。到了四月，诺特失去了在哥廷根的职位。幸运的是，年底她在布林莫尔学院（Bryn Mawr College）找到了一个职位，第二年她受邀到普林斯顿高等研究院讲学。但这种田园诗般的生活是短暂的。1935年4月，医生发现她患有一个巨大的卵巢囊肿，一两周后她在手术中死亡。

诺特没有看到环论在20世纪40年代和1950年代的全面开花及其在拓扑学中的应用，因为同调群（homology group）产生了上同调群（cohomology group），而上同调群又组织成上同调环（cohomology ring）。环不再是一个前沿话题，而是成为基础数学，成为所有研究生都应该学习的材料的一部分。在研究生代数课上，你会听到许多关于一般环和特定类型环（例如复数环，或多项式环以及它们产生的商环）的许多问题，但你不太可能听到学生问“等等，这些东西真的存在吗？”以及“这些东西真的是数字吗？”这些问题被视为哲学的一部分，而不是数学的一部分，并且与数学实践的相关性几乎很少。相反，本杰明·皮尔斯 (Benjamin Peirce，1809 - 1880) 1882年提出的结合代数（associative algebra）理论，被当时的许多人视为更类似于哲学而不是数学，现在被视为抽象代数的早期繁荣。但是，皮尔斯象征性地建立了他的代数，而诺特却没有对代数的元素必须是什么做出任何假设。你有所想的对象集合吗？该集合有两个满足我上面给出的八个公理的运算吗？那么诺特的理论有一些有价值的东西可以告诉你。

数学家们不断寻找环论的新用途，其中包括诺特从未梦想过的许多用途。像“环”这样的抽象术语最初可能会令人生畏（特别是如果你还没有看到足够多的环的例子），因为它具有明显的普遍性。在这方面，环的概念让我想起了符号x，由于它非常灵活，它一开始会让学生感到困惑。变量的出现是为了充当占位符；同样，像“环”和“域”这样的抽象结构为我们提供了一种方法，为我们今天可能梦想的数学留出一个位置。

感谢迈克尔·吉尔森（Michael Gilson）、桑迪·古宾（Sandi Gubin）、埃文·罗默（Evan Romer）和格伦·惠特尼（Glen Whitney）。

尾注

#1. 尽管我写的是模数应该是正整数，但没有理由不能让它为零。当你尝试将一个数字除以零时，商是有问题的，但余数则不然：它正是你尝试除以零的数字。所以“模零算术”只是普通的整数算术。

#2. 我们将符号 i 替换为变量 x，因此 i 乘以 i 变为 x 乘以 x，或 x 。然后我们必须将 x⊃2; 除以 x⊃2;+1。现在你可能会认为，因为 x⊃2;+1 大于 x⊃2; ，商为 0，余数为 x⊃2; ，但多项式除法与普通除法不同。我们必须选择 c，以便从 x⊃2; 中减去 c(x⊃2;+1) 会导致 x⊃2; 项消失，获胜的选择是c = 1。当我们从 x⊃2; 中减去 x⊃2;+1 时，x⊃2; 被抵消，余下的就是 -1。

＃3. 德语原文是“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk”。这有时被翻译为“上帝创造了整数，……”，但克罗内克所说的“ganzen Zahlen”只是指非负整数（或者可能只是正整数）。在1887年的一篇文章中，克罗内克通过商结构构造了负整数；具体来说，他采用具有非负整系数的多项式，然后将它们除以 x+1，使用所得余数作为整数的替代（例如 3x 代表 -3）。如果所有的整数都是上帝赋予的，为什么克罗内克会以这种方式构造负整数呢？

＃4. 让我们看一下克罗内克的 √2 方法，并尝试对其进行平方以确保我们确实得到 2。首先，我们将 √2 替换为 x；然后我们对 x 求平方得到 x⊃2; ；最后，我们将 x⊃2; 除以 x⊃2;-2，得到商为 1，余数为 (x⊃2;) − (x⊃2;-2） = 2，正如我们所期望得到的。（我忽略了最后一步，在余数中出现x的任何地方，我们都必须将 x 替换为 √2；但由于本例中的余数中没有 x，因此不需要替换。）

你可能会担心多项式除以 x⊃2;−2 时我们会除以零，因为 x 应该是 √2 的替代项。但在完成多项式除法并取余数之前，我们不会用 √2 替换 x。类似的问题有时会出现在微积分课程中，其中导数被引入为 lim h→0 (f(a+h)−f(a))/h;在将 h 替换为 0 之前先取商，这一点很重要。

＃5. 这些术语并不完全是同义词；莫尔使用这个术语比戴德金更广泛，也将其应用于有限域（正如我的文章《远离域的数字 Numbers Far Afield》中所讨论的那样）。但为什么莫尔引入“域”这个词而不是坚持使用“体”这个词呢？一个有趣但可能是错误的理论是，莫尔认为“体”这个词对于大西洋彼岸那些拘谨的维多利亚时代的英语同行来说过于活泼。

＃6. 德语中的“order”和“ring”这两个词都可以用来指人的集合，就像英语中的“monastic order”（修道会）和“crime ring”（犯罪团伙）一样，所以这些新词可能是为了暗示个体的集合。

#7. 在希尔伯特之前的一代人中，几何学家莫里茨·帕什（Moritz Pasch，1843 - 1930）曾宣称“如果几何学要真正进行演绎，推理过程必须完全独立于几何术语的含义”。在19世纪的最后几年，希尔伯特完成了帕什的使命，并顽皮而令人难忘地将帕什的宣言改述为“人们应该总是能够，不说‘点、线、面’，而说‘桌子、椅子和啤酒杯’”。

＃8. 如果弗兰克尔强调他的新概念允许元素是未指定的事物（Dingen，德语）而不是数字（Zahlen，德语），并且将他的组合称为 Dingringen，那将会很有趣。

＃9. 诺特最初对环的定义在一个小细节上与现代概念有所不同：她并不要求存在一个乘法单位元，即“1”。因此，例如，她也会认为偶数集合也是一个环。她在这件事上的宽容是有先见之明的，因为随着时间的推移，代数学家越来越迫切地想理解“无乘法恒等元的环”。所以现在我们有一个尴尬的词“rng”（无乘法单位元环），发音为“rung”，表示一个满足除乘法单位元之外的所有环公理的代数系统。

＃10. 我的一个朋友曾经抱怨我在口语中使用了太多诸如“考虑以下场景：……”之类的短语。从我读过的所有数学书来看，我确信我陷入了这种书呆子和浮夸的习惯！

＃11. 如果你想将一个新数字（称为 ν）作为特邀嘉宾带入实数，请首先通过引入不确定的 x 来扩展实数系统。这给了我们一个包含 x 的所有多项式的环 R。现在，如果 ν 具有你希望它具有的所有性质，则取 ν 中的所有等于0的多项式表达式，将它们放入称为 I 的理想中（用 x 替换 ν），并用 I 对 R 取模。商就像你想要构造的环（即，放入另外的数字 ν 的实数），除了这一事实：另外的“数字”被称为 x 而不是 ν。

＃12. 更具体地说，贝蒂数是某些阿贝尔群的秩，其中阿贝尔群是一种代数结构，而阿贝尔群的秩是衡量其大小的一种方法。

参考文献

https://mathenchant.wordpress.com/2024/02/17/plus-and-times-set-free/

Clark Kimberling, ”Emmy Noether”, The American Mathematical Monthly, Feb. 1972, Vol. 79, No. 2, pp. 136–149.

Israel Kleiner, ”From Numbers to Rings: The Early History of Ring Theory”, Elemente der Mathematik 53 (1998), 18–35.

David E. Rowe and Mechthild Koreuber, ”Proving it Her Way: Emmy Noether, A Life in Mathematics”. Springer.

David E. Rowe, ”Emmy Noether, Mathematician Extraordinaire”. Springer.