OpenAI推翻了离散几何学中的一个核心猜想

AI又一里程碑突破：在平面上放置n个点，其中恰好相距为1的点对最多能有多少个？近期OpenAI的一个模型推翻了相应猜想。

作者：OpenAI官网（openai.com） 2026-5-20

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-5-23

近80年来，数学家一直在研究一个看似简单的问题：在平面上放置n个点，其中恰好相距为1的点对最多能有多少个？

这就是平面单位距离问题，由保罗・埃尔德什（Paul Erdős）于1946年首次提出。它是组合几何中最著名的问题之一，表述简单，却极难解决2005年由布拉斯（Brass）、莫泽（Moser）和帕奇（Pach）所著的《离散几何研究问题》一书称其为 “组合几何中可能最著名（也最容易解释）的问题”。普林斯顿大学顶尖组合数学家诺加・阿隆（Noga Alon）将其描述为 “埃尔德什最喜欢的问题之一”。埃尔德什甚至为解决该问题设立了奖金。

今天，我们分享一项在单位距离问题上的突破。自埃尔德什最初提出以来，主流观点一直认为，下文所示的 “正方形网格” 构造在最大化单位距离点对数量上基本是最优的。OpenAI内部一个模型证伪了这一长期存在的猜想，给出了无穷多族能实现多项式阶改进的例子。该证明已由一组外部数学家验证。他们还撰写了一篇配套论文，解释论证过程，并为该结果的重要性提供更多背景与语境。

这一结果的发现方式同样值得关注。该证明来自一个全新的通用推理模型，而非专门为数学训练、为搜索证明策略而搭建，或专门针对单位距离问题的系统。作为检验先进模型能否助力前沿研究的更广泛工作的一部分，我们用一系列埃尔德什问题对其进行了测试。在这个问题上，它给出了一个解决该开放问题的证明。

该证明是数学与人工智能领域的重要里程碑。这是人工智能首次自主解决一个处于数学子领域核心地位的著名开放问题。它也展示了这些系统如今所能支撑的推理深度。数学为推理提供了一个格外清晰的试验场：问题是精确的，潜在证明可以被检验，而一段长论证只有从头到尾的推理都成立才能奏效。该问题的解决方法同样值得关注。该证明将代数数论中出人意料、精妙复杂的思想应用到了一个基础几何问题上。

菲尔兹奖得主蒂姆・高尔斯（Tim Gowers）在配套论文中写道，该结果是 “人工智能数学的一座里程碑”。顶尖数论学家阿鲁尔・尚卡尔（Arul Shankar）表示：“在我看来，这篇论文表明，当前的人工智能模型不再仅仅是人类数学家的助手 —— 它们能够产生原创且巧妙的想法，并将其付诸实现直至成功。”

对该结果数学家们的评价

这一直是埃尔德什最喜欢的问题之一，我亲耳听过他在讲座中多次提到这个问题。我认为可以公平地说，每一位从事组合几何研究的数学家都思考过这个问题，许多其他领域的数学家也至少花过一些时间思考它……OpenAI 内部模型解决这个问题，在我看来是一项杰出成就，解决了一个长期悬而未决的开放问题。正确答案并非 n¹⁺ᵒ⁽¹⁾，这一点令人惊讶，而该构造及其分析以优雅巧妙的方式运用了代数数论中相当高深的工具。

——诺加・阿隆（Noga Alon）

毫无疑问，单位距离问题的解决是人工智能数学的一座里程碑：如果这篇论文由人类撰写并提交给《数学年刊》，而我被要求给出快速意见，我会毫不犹豫地建议录用。此前没有任何人工智能生成的证明能达到这一水平。

——蒂姆・高尔斯（Tim Gowers）

该模型的思维链CoT非常有趣。值得注意的是，它的绝大多数思路都在尝试构造一个反例，推翻广为接受的上界，而非试图证明它。这表明该模型兼具良好的直觉、愿意尝试学界认为希望渺茫的方法，以及倾向于尝试构造的特质…… 在我看来，这篇论文表明，当前的人工智能模型不再仅仅是人类数学家的助手 —— 它们能够产生原创且巧妙的想法，并将其付诸实现直至成功。

——阿鲁尔・尚卡尔（Arul Shankar）

这是一项真正令人印象深刻的工作，我会毫不犹豫地将其发表在任何期刊上。我其实也曾短暂研究过这个问题，尝试构造反例，但未能取得进展…… 即便你明白其中原理，这个构造也相当令人望而生畏，自己动手尝试则更加困难。

——雅各布・齐默尔曼（Jacob Tsimerman）

此前已知的、由缩放正方形网格构造的大量单位距离示例

图源：OpenAI 官网

单位距离问题

设 uₙ为平面上 n 个点中单位距离点对的最大可能数量。容易构造出达到线性增长速率的例子：将 n 个点排成一条直线可得到 n−1 个点对，而正方形网格可得到约 2n 个点对。此前已知最优的构造来自缩放正方形网格，结果能得到更多：n¹⁺ᶜ⁄ˡᵒᵍ ˡᵒᵍ⁽ⁿ⁾，其中 C 为常数。由于 log log (n) 随 n 趋于无穷，指数中的附加项趋于 0，这意味着这些构造的增长仅略快于线性。数十年来，人们普遍认为这一速率基本是最优的，没有构造能显著优于正方形网格。用专业术语说，埃尔德什猜想其上界为 n¹⁺ᵒ⁽¹⁾，其中附加项 o(1) 表示随 n 趋于 0 的项。

我们的新结果证伪了这一猜想。更确切地说，对无穷多个 n 值，该证明构造出 n 个点的构型，其单位距离点对至少为 n¹⁺ᵟ，其中 δ>0 为固定指数。（原始人工智能证明未给出显式 δ，但普林斯顿大学数学教授威尔・索温（Will Sawin）即将发表的改进结果表明可取 δ=0.014。）

了解该问题的历史有助于理解为何这一结果令人惊讶。自埃尔德什1946年最初构造以来，已知最优下界基本没有变化。最优上界 O(n⁴ᐟ³) 可追溯至1984年斯宾塞（Spencer）、塞梅雷迪（Szemerédi）和特罗特（Trotter）的工作，尽管后来塞凯伊（Székely）、卡茨（Katz）、西利尔（Silier）、帕奇（Pach）、拉兹（Raz）、索利莫斯（Solymosi）等人做出了改进与相关结构研究，上界基本保持不变。作为支持该猜想的证据，马图谢克（Matoušek）以及阿隆-布奇奇-绍尔曼（Alon-Bucić-Sauermann）研究了平面上非欧氏距离的情形，并证明 “大多数” 这类非欧氏距离在某种意义下满足该猜想。

令人意外的是，该构造的关键要素来自数学中一个截然不同的领域 —— 代数数论，该领域研究整数扩张（即代数数域）中的因子分解等概念。

在验证初始证明后，我们测试了模型在不同测试时计算量下解决该问题的成功率。结果如下所示。

代数数论衍生的全新方法

从整体层面来看，该证明以经典几何思路为起点，将其拓展至出人意料的研究方向。

埃尔德什最初得出的下界可以借助高斯整数理解，高斯整数的形式为 a+bi，其中a、b均为整数，i为−1的平方根。高斯整数是普通整数的拓展数系，和整数一样具备素因数唯一分解等性质。这类由整数或有理数拓展而来的数系统称为代数数域。本次全新论证不再使用高斯整数，转而采用代数数论中结构更复杂、对称性更丰富的拓展数系，以此构造出数量更多的单位长度差值。

具体论证过程运用无限类域塔（infinite class field towers）、戈洛德-沙法列维奇（Golod–Shafarevich）理论等工具，证实推导所需的数域真实存在。这些理论概念早已被代数数论研究者熟知，但这类理论能够应用于欧氏平面几何问题，着实出乎学界意料。

该成果对数学领域的意义

此次突破是人工智能与数学交融发展进程中的重要节点，人工智能系统独立攻克了前沿数学领域悬置已久的开放性难题，也初步展现出人机协同研究的全新模式。外部数学家后续补充完善的研究内容，相比原始解题结论，进一步丰富了成果内涵。

托马斯・布鲁姆（Thomas Bloom）在配套评述文章中这样写道：

“评判AI人工智能推导证明的价值与影响力时，我常会思考：这项成果是否让我们对问题产生全新认知？我们对离散几何的理解是否得以深化？我认为答案是肯定的。该研究表明，数论构造方法对此类几何问题的解释力远超以往认知，且解题所需用到的数论理论具备极高深度。毫无疑问，未来数月内，众多代数数论学者都会以此为参考，重新审视离散几何领域其余未解难题。”

此次解题过程发掘出代数数论与离散几何之间未曾被发现的关联，这也是该成果备受关注的原因。它不仅推翻了一项具体猜想，还为数学家搭建起研究桥梁，助力探索更多相关问题。

布鲁姆还提出了更为宏观的设想：

“人类知识的边界参差多元，未来数年，人工智能还将在数学诸多分支领域再创佳绩。借助人工智能发掘学科间隐秘关联、极致运用现有理论工具，诸多长期未解的难题都有望迎来解答。人工智能正助力人类全面探索数百年积淀而成的数学体系，这片领域中，还有多少未知奥秘静待发掘？”

该成果具备典型参考价值，人工智能不再只是单纯给出解题答案，还能够完成数学层面的创新发现，而人类学者的后续解读，会不断挖掘并丰富成果的深层价值。

成果的重要价值

这项突破的影响远超单一数学结论本身。不断精进的数学推理能力，能够让人工智能成为实力更强的科研协作伙伴。它可以梳理复杂的逻辑脉络，串联不同学科的理论思想，发掘专家未曾重点关注的可行研究方向，协助科研人员攻克复杂度高、耗时久的疑难问题。

这类能力的应用范畴并不局限于数学领域。倘若模型可以维持复杂论证逻辑自洽、打通跨领域知识体系，产出经得起专业核验的研究成果，那么相关能力同样适用于生物、物理、材料科学、工程以及医学领域。这也是科研自动化发展的长远方向，智能系统能够帮助科研人员拓展研究思路，攻克技术难度更高的课题。

人工智能即将深度参与科研创新工作，人工智能自身领域的研究也同样如此。虽然这类技术进步符合发展预期，但也让各界愈发重视人工智能下一阶段的发展探索、高智能系统的对齐难题，以及人机协作的未来形态。

人机协作的发展始终离不开人类的判断决策，专业能力的价值只会愈发凸显。人工智能可完成思路检索、方案提议与结果核验工作，而人类负责选定核心研究课题、解读研究结论，并规划后续探索方向。

采访视频画面

我认为此刻意义非凡，这是人工智能首次实打实攻克一道知名未解数学难题。

这是首个由人工智能取得的数学突破。该问题是组合几何领域最具知名度的难题，堪称这一分支里最受关注的未解题目。

我最初看到模型输出的结果时，压根不敢相信。我花了许久通读内容，梳理整体思路，心里直呼难以置信，觉得这件事美好得不太真实。

我们随后用诸多学界热议的难题对模型进行测试，出乎意料的是，它成功解答了其中一道核心难题。这是一道平面点位基础几何问题，但其解法用到了代数数论的高深理论。

此前学界普遍认为原有构造方案已是最优水准，而我们的模型证明该方案仍有大幅优化空间。这套解题思路人类难以落地执行，推导过程中需要做出大量精细抉择。人工智能能够全面遍历各类可能性，最终找到了可行的解题路径。

我完全震惊，最初几晚甚至难以入眠。

虽说早有预判人工智能会达成这类成就，但这次突破大大缩短了预期到来的时间。这一成果印证，人工智能能够助力科研取得突破，不仅惠及数学，也将推动工程、物理、生物、医学等领域发展。数学发展的黄金时代已然初现曙光。

相较过往成果，这次突破实现了跨越式进步，日后也必将成为数学史上举足轻重的里程碑。

参考资料

https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=Br4l9YjCyRU