技术湃︱速度之谜：朝鲜舞水端导弹能射多远？

2月12日，朝鲜进行北极星二型导弹试射，其飞行距离为500公里，飞行最大的高度为500公里，使用了抬高弹道。我们可以根据这些数据，用简单的办法估算北极星二型的发动机关机速度，也可称其为弹头再入大气层的速度。有了这个速度，还可估算北极星二型导弹的射程。一般我们不加说明地提到导弹射程的时候，往往就是指最大射程。

朝鲜去年六月份密集地进行了多次舞水端导弹飞行试验，其中一次试射据报道是成功的，而且导弹走的也是抬高弹道。当时，导弹的飞行距离仅仅为400公里，飞行最大高度居然达到了1400公里。与这次北极星二型导弹试射相比，去年六月的这次舞水端试射的弹道实在是太陡了，差不多就是直上直下。我们也可用初等方法估算一下舞水端导弹的发动机关机速度，也是其弹头再入大气层的速度；有了这个速度我们还可以了解舞水端的射程。

这次导弹试射中，舞水端导弹水平方向的飞行距离仅为400公里，但是，在竖直方向居然飞行了1400公里，这还是克服了重力之后的飞行距离。可以想象，在发动机关机点，导弹向上的速度远远大于水平方向的速度。因此，我们可以忽略水平方向的速度，把这次导弹试射看作一个上抛运动。

做了这些简化之后，问题很简单了：一个物体竖直上抛之后，达到最大高度1400公里，问上抛速度为多少？

上抛速度的公式是：初始速度的平方等于重力加速度乘以最大高度的二倍【v²=2gh】。把重力加速度10米每秒的平方，高度1400000米代入公式，可以算出初始速度为5300米/秒。

有初中物理的基础就有足够的知识解答这个问题；难点在于如何简化问题，找到思路。有了思路之后，计算这个题目的过程简直易如反掌。

上述解答方法有些粗疏，答案有些误差，原因在于1400公里的高度太高了。相对于地球的半径6400公里，1400公里不算太小。在这个高度的重力加速度会有明显下降，而我们在前面的公式中用的重力加速度是一个固定值。这可能带来一些计算误差，因此，在计算中我们需要考虑重力加速度的变化来减少误差。

前面的上抛运动所用的公式其实是一个能量守恒的公式：上抛物体在起始点的动能转化为最高点的势能【½m v²=mgh】。这个公式中两边都有物体的质量，因此可以约分掉。我们可以把这个公式修改一下，使得它能描述变化的重力加速度，为此，我们需要一个一般性的重力场势能公式。

在地表以上，重力场势能为：重力场常数乘以物体的质量、乘以地球质量、除以该物体距离地心的距离、再取负号【P=-GmM/r】。在上抛开始的时候，物体在地表附近，其势能公式中距离地心的距离就是地球的半径6400公里；当物体高度达到1400公里的时候，它距离地心的距离是7800公里（6400+1400）。这样我们可以写出一个上抛的动能转变为势能的公式：物体在地表附近的动能加上物体在地表附近的势能，等于物体在1400公里高的势能【-GmM/R+½m v²=- GmM/(R+h)】。

同样的，公式两边都有物体的质量，可以约分掉。这样仍可以用初等方法求出上抛物体的初始速度为：4800米/秒。

用这个速度来推算舞水端的射程，初等的数学方法已经不够用了。因为这个时候导弹的射程已经能够与地球的半径相比较，地球的曲率不能忽略。这时的导弹轨道是椭圆的一部分，而不是一段抛物线。4800米/秒的关机点速度对应的导弹射程大约是3000公里。

看了这个计算，我们发现，朝鲜从去年夏天开始就尝试高弹道的导弹试射。这应该是朝鲜系列性的活动，而不是一时的心血来潮。我们还发现，只要我们有一些科学常识，哪怕只是初中的科学基础，我们也能够了解那些看上去很神秘、很保密的东西。