数学家新发现：素数的分布有规律可循

桑德拉（左）和奥利弗2月在斯坦福大学

距离“世界上迄今为止最大的素数”被发现不过三个月，素数界又有新发现！这一次的发现，有关素数的分布特征。

素数是比1大，且只能被1和其自身整除的自然数。一直以来，数学家们都以为素数的分布是随机的。然而据科学新闻网（sciencenews）的报道，斯坦福大学博士后研究员奥利弗（Robert Lemke Oliver）与斯坦福大学数字理论家桑德拉（Kannan Soundararajan）一起发现了素数的新特征：这群特别的数字原来更喜欢跟在一个“个位数”不同于自己（个位数）的素数后面。

让我们来解释一下。我们知道，所有两位数及多位数素数的个位数总是1、3、7、9四者之一（或者说除了2和5这两个素数，所有素数都是以1、3、7、9结尾的）。此前数学家们也认为素数以这四个数字结尾的机会大致均等，换言之以1结尾、以3结尾、以7结尾、以9结尾的概率都在25%左右。这一特征已经通过了数以百万的素数的检验。

也因此，数学家们之前认为素数是随机分布的。比如某一个位是1的素数，那么它的下一个素数以1结尾和以3结尾、以7结尾、以9结尾的概率都应大致相等。

“如果素数与素数之间没有相互作用，那么素数分布就应该是之前我们所想的那样。”桑德拉说，“但事实上，一些有趣的事发生了。”

发生了什么？原来桑德拉他们发现，尽管素数分别以这四个数字结尾的总几率大致相同，但它们出现的顺序却有所“偏好”。比如个位为7的素数，它后面更容易跟着一个个位为9、3或者1的素数，而不是个位也为7的素数。据《量子杂志》（Quanta Magazine）3月13日的报道，在前10亿个素数中，以9结尾的素数之后跟着以1结尾的素数的比例比跟着以9结尾的素数的比例高了65%。

当素数趋于无穷时，这样的“偏好”会慢慢消失，分布更趋向于随机。但不可否认的是，“偏好”还是存在的。更重要的是，这些素数对尾数的偏好还很不一致。比如在前1亿个素数中，有750万个以3结尾的素数之后紧跟的是以9结尾的素数，有600万个以3结尾的素数之后紧跟的是以1结尾的素数，而只有440万个以3结尾的素数之后紧跟的是以3结尾的素数。

对于素数这一不同寻常的“偏爱”，奥利弗形容为“不可思议”：“我们还在努力探索这规律深层的奥秘。”目前奥利弗已经在电脑里算了4000亿个素数。

蒙特利尔大学数字理论家格兰维尔（Andrew Granville）表示，这一发现还没有可想象的实际用途，“关键是这一发现本身很神奇”。此前就有两支独立的研究团队指出素数的特有模式，但此番来自斯坦福的发现却是首次对素数模式进行数理阐释。奥利弗与桑德拉于3月11日在论文预印网站arXiv.org上公布了他们的研究发现。格兰维尔评价说，当研究人员处理这些数字时，他们的预测和结果非常吻合，还说这一研究“严谨、精确而细致”。

“任何有关素数的规律都令人兴奋，因为这些规律里有可能隐藏着一些新的架构。”哈佛大学数字理论家马苏尔（Barry Mazur）如是说，“揭示一些我们原本以为没啥特别的分布特征或许能引导我们了解数学的结构。”