吉尔布雷斯猜想获证与相邻素数公式有望找到快速算法

【编者按】罗莫老师用素数线性空间必有二维素数基底的思想存在性证明了互异型哥德巴赫猜想成立，但构造性证明尚未找到，但本文通过证明吉尔布雷斯猜想，有望找到相邻素数公式并可获得构造性证明，这一结论令我们感到惊讶。素数分布的加性特征鲜有人研究，尤其令我们兴奋的是，该方法一旦通过，离散与连续各说各话的局面将会打破，很多学者反对天人合一，从笛卡尔到哥德尔皆有这样的传统，包括康托尔、杨振宁等大科学家，笃信只有多元角度才可认知天地万物，殊不知多元角度也是可以一以贯之无碍打通的，天人合一依然是行之有效的。关于该思想的证据是，罗莫证明了因与无穷素数互异互素，例外偶数必是空集，该发现非常深刻，不同层次的实无穷是可以用潜无穷来贯通的，希尔伯特的旅店不但可住下所有代数数，依然可不断住下后发现的的实数新客，戴德金无厚度的刀，也是一样没有一劳永逸可封闭的定义，如此不可数亦可数，绝对的不可数是不存在的，闭区间套定理成立是有条件的，两个不同的无穷子集仍然是有秘密交集的，否则完全互异的无穷子集定为空集（无素因子构造），否则“闭域套定理”就真成“避孕套定理”了，没有素数种子数哪有扩域的数系，故不可数是一种人为定义的自闭，解放新算法，可数性仍可继续。天人合一依然成立。不可数亦可数，不对称亦对称，但可数不是僵化的可数，对称不是僵化的对称，这是素数研究的一次巨大收获。

作者/罗莫

【摘要】 吉尔布雷斯猜想体现了相邻素数间隔受素数位序制约，素数间距的数列变化显示素数相邻差值突变中含渐变。它是素数分布规律所表现出的外在性态之一。后继素数与对应的后继偶数之间有着内在的关联，它说明了自然数n与素数p之间存在一一映射关系，存在着唯一可确定的函数迭代表达。跟自然数一样，素数是原始数1在深层次逻辑演绎下的派生结果。作者用哥德巴赫猜想已获证命题和吉尔布雷斯三角中0差值项3/4密率分布定理证明了吉尔布雷斯猜想，于是用吉尔布雷斯（Gilbreath）“差值搭桥法”就可合理寻找新增素数了，它比筛法寻找新增素数要稍微简易一些，尽管迭代计算步骤都很复杂，但做减法显然比做除法容易。因此一旦改进计算机算法程序，可提速捕捉未知素数。这里提出相邻素数公式，即已知前继素数就可求出后继素数，或者已知后继素数就可求出前继素数。关于相邻素数，有一个比互异型哥德巴赫猜想还要更强势的命题，那就是两个相邻素数之差可表所有偶数，即pj - p（j+1）=2n（n＞0），继而可提出比波利尼亚克猜想还要强势的命题，即相邻素数之差等于2n中的每个数值各有无穷组素数对解。如，3和5，11和13……，7和11，13和17，19和23……，23和29，31和37，47和53……，这个猜想获证，是人类探索素数分布又一里程碑式成果。

【关键词】 相邻素数；相邻素数型波利尼亚克猜想；斋藤猜想；邻函数；后继偶数；无穷无漏；皮亚诺公理；广义梁定祥猜想；伯特兰间隔；吉尔布雷斯相邻差值符号判定函数；素数相邻迭代差值数列；后继素数迭代计算公式；差值搭桥法

在数论上，如果将所有素数写出，然后计算出相邻的素数的差，得出一个新的数列，又再计算新数列相邻素数差的相邻差，重复这个动作无限次：

2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， …

1， 2， 2， 4， 2， 4， 2， 4， 6， 2， …

1， 0， 2， 2， 2， 2， 2， 2， 4， …

1， 2， 0， 0， 0， 0， 0， 2， …

1， 2， 0， 0， 0， 0， 2， …

1， 2， 0， 0， 0， 2， …

1， 2， 0， 0， 2， …

1， 2， 0， 2， …

1， 2， 2， …

1， 0， …

1，

…

吉尔布雷斯猜想 ① 猜测除了原本素数数列之外，这些数列的首个数都是 1，在 1958 年由 Norman O. Gilbreath 提出。

素数的差值的差值数列，可理解为是一种分形运算。

更数学化来说，将 d0 (n)定义为第 n 个素数，d（ k+1） (n)=| d k (n)- dk （n+1）|，其中k是非负整数，n是正整数。证明对于所有正整数 j，dj (1)≡1。（本文加粗斜体字母表示下标足码，字母后边的数字皆表示足码，下同）

素数数列 d 0 (n)的相邻差值构成第一行差值新数列 d 1 (n)，新数列的相邻差值又构成更新数列 d 2 (n)…，经过诸如此类的相邻差值迭代运算，所获得的每行数列其首项必恒等于 1，这就是吉尔布雷斯猜想，数学表达式为：

d j (1)≡ 1

其中｛d j (1)｝为吉尔布雷斯差值数列表纵线轴素数相邻差值之相邻差值……的第一列差值数列；

｛d 0 (n)｝为吉尔布雷斯横线轴素数数列；

｛d j-k （1+k）｝为吉尔布雷斯对角线轴素数相邻差值之相邻差值……的第一条数列。

｛d 0 (n)｝、｛d j (1)｝、｛d j-k （1+k）｝三边围成吉尔布雷斯三角。

本书书名为《数学底层引擎相邻论和重合法》，顾名思义就是研究相邻素数的间隔规律的，就是研究素数相邻关系的。吉尔布雷斯猜想是描述相邻素数间隔规律的奇妙猜想，吉尔布雷斯猜想断言，相邻素数的差值数列以及差值数列的差值数列……乃至无穷这样的数列，其首项始终为 1。它体现了相邻素数之间的性态，捕捉到了素数分布的最核心规律。目前素数找寻大多用概率手段进行非确定性检测，确定性检测少之又少，而本课题方向可以帮助通往后一种，因此它是本书重点研究的内容之一。

前文已经证明了属于加性代数数论范畴的哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，在此基础上研究另一个堆垒素数问题吉尔布雷斯猜想也就不再是大海捞针。基于吉尔布雷斯猜想而发现的，求解给定数之后继素数的迭代计算公式，充分展示了素数分布的奥秘。如果说哥德巴赫猜想是摸索素数分布规律的三元一次不定方程的话，那么后继素数迭代计算公式就是捕捉素数分布规律的一元一次迭代方程 ② 。由存在性证明向构造性证明过渡。

从此未知素数的寻找将从撒网打捞开始向定点狙击过渡。之前完成的系列数学猜想大多是存在性证明，而破解吉尔布雷斯猜想将意味着能创造条件给出迭代后继素数公式的构造性证明 ③ ，这是寻找素数分布的一次里程碑式的突破。

1. 两素数定理的推论

两素数定理推论 1.0 ：两素数间的差值等于2有无穷无漏 ④ 组。两素数之和的差值等于2 有无穷无漏组，两素数之差的差值等于2同样有无穷无漏组。波利尼亚克猜想断言差值为任意偶数2n的素数组各有无穷无漏组。孪生素数之间的差值等于18n同样有无穷无漏组。

证明：根据已经获证的两素数定理(即哥德巴赫猜想获证命题)，任意不小于6的偶数皆可表为两不同奇素数之和，即p 1 +p 2 =2n（n≥ 4），以及孪生素数定理两素数之差等于 2 有无穷无漏组，即 p n+1 -p n+2 =2，其中足码n+1，n+2 为孪生素数的位序数。还因为相邻偶数之差等于 2，于是可得（p 1 +p 2）-（p 3 +p 4 ）=2（且两素数组不全等，但其中或p 1 =p 3 或 p 1 =p 4 或 p 2 =p 3 或 p 2 =p 4 或都不相等），若有一对相等，其他一对为孪生素数。有无穷组，表示这样的素数组可无限延伸得到；有无漏组，表示这样的素数组涵盖了每一个素数，没有一个遗漏。

关于无漏性的证明，根据相邻论，两素数之和要获得 2n+2 的偶数，必有一个大于n的新增素数 p k与不大于n的素数相加才能获得。n为密集递增的自然数。就是说，每一个偶数都能通过两素数之和获得，且需要全部素数参与两两相加，才能获得不小于6的全部偶数。如果有一个素数不参与两两相加，必有偶数无法获得，尽管某一个偶数不靠一组素数相加获得，有很多对共轭素数之和都等于该偶数，但从长远看，必须所有素数参与两两相加才能获得所有偶数，否则纵使多个素数相加也不能获得自然数全集（尤其是相邻偶数），二维素数向量所映射的线性空间必有二维素数基底（除了用选择公理可证明外，亦可用三元方程互异互素的思想完成证明），因例外偶数没有二维素数基底，例外偶数若存在就违背了算术基本定理，其无漏性得到了反证（详细证明见《为何用两互异奇素数之和不能表达的例外偶数是空集？》）。这就是两素数之和的差值等于2具有无漏性的结论。综上所述，两素数之和的差值等于2具有无穷无漏组的命题得证。

根据两素数之和的差值等于 2 有无穷无漏组的命题得证，即：

（p 1 +p 2 ）-（p 3 +p 4 ）=2（且两素数组不全等，但其中或p 1 =p 3 或 p 1 =p 4 或p 2 =p 3 或 p 2 =p 4 或都不相等）。经代数转换：（p 1 -p 3 ）-（p 4 -p 2 ）=2（且两素数组不全等，但其中或p 1 =p 3 或 p 1 =p 4 或p 2 =p 3 或p 2 =p 4 或都不相等），于是所得“两素数差值的差值等于 2 也有无穷无漏组”的命题，也就同样得证。详细见《希尔伯特第八问题有望终结：孪生素数猜想获证！》，澎湃新闻发布过，可搜索到，也发表在海天出版社出版的《数学底层引擎相邻论和重合法》一书中。

而两素数之间的差值等于 2 也有无穷无漏组，即孪生素数猜想。前文已经完成证明，这里从略。另外，两个素数之和会带来差值为 2 的偶数数列无穷无漏递增，这就是强哥德巴赫猜想。

整体与局部同胚。

两个不同组的孪生素数之和会带来差值 18（或 16 或 20）的偶数数列无穷无漏递增，这是强梁定祥猜想。证明过程在本书关于孪生素数一文中已经给出。该定理说明，孪生素数的出现是受制约规范的，正如新增偶数迫使新增素数的产生一样，新增 18n 也会迫使新增孪生素数的产生。虽然一个新增素数会带来好几个 18n，可一旦在有限域内穷尽了产生 18n 的范围，新增孪生素数就必然出现。所以除了相邻素数有可控的差值范围外，不同组但间隔距离最近的孪生素数也必有可控的差值范围。

这个范围大概是素数 p n ～（p n ±9）的开方连和，即∑ p n ，其 n 的取值范围为｛n| （n ～ n±9）｝，两个不同组的相邻孪生素数间距 |p n ±1|-l p n | ≤∑ p n ⑤ ，其中n 的取值范围为｛n| （n ～ n±9）｝，该公式判定，在这样的素数差值范围里必有一个孪生素数。具体证明，后文将提到。

该定理显示素数差值等于 2 以及差值的差值等于 2，都有无穷无漏组，意味着差值数列连线呈现波浪状态，且波峰驻点连线平滑，差值越小的素数分布密度越高，差值越大的素数分布密度越低，这就显示了，吉尔布雷斯猜想从直觉上看是成立的。因此相邻素数的差值变化幅度跟素数的位序有关，位序越大的素数，其相邻差值越大，出现同样差值的素数的跨度就越长，其波峰驻点越高，直到无穷。但无穷数列所构成的无穷组差值数列，经过无穷次相邻差值数列的相邻差值式迭代计算后，所得到的新数列，其首项依然会得到 1。后文将以此

方向进行详细证明。

2. 相邻素数差值定理的推论

相邻素数差值定理推论 2.0 ：给定数 a 到 a+ a之间至少有一个素数，其中 a 为可开平方数；若把 a 推广到任意自然数，须修正为，给定数 a 到 a± a之间至少有一个素数。继而可判定，相邻素数之间的差值 |p n ±1-p n | ≤ p n 。

证明：1882 年奥波曼提出猜想 ⑥ ，在 a^ 2 与 a^ 2 +a 之间（即 x 与 x+ x之间）至少有一个素数。当然对于后者 x 为可开平方数。因为用根号 x 取代 a^ 2 ，客观上缩小了a ^2 与a ^2 +a之间的差值范围，故存在例外，如8与8+ 8之间就没有素数，114 与 114+ 114之间就没有素数，故 a 为可开平方数时猜想才生效。当然 a取任意数时，a 与 a+ a之间一个素数都没有的情况是极少的。将两数差值 a稍微拉长点即可做到，如乘以一个大于 1 小于 1.1 的系数 k，x 与 x+k x之间至少有一个素数。

给定数 a 到 a+ a之间至少有一个素数，a 为可开平方数。该判定已经获得证明，本书在《探索素数分布有新进展：奥波曼猜想获证！》 ⑦ 一文中，已经将该命题进行了详细证明。

现回顾下关于该猜想的证明：（x+ x），用 a^ 2 +a 替换以上表达，a^ 2 +a 与a ^2 之间是否存在素数就成了比杰波夫猜想 ⑧ 或布罗卡尔猜想 ⑨ 条件更严苛的推广，奥波曼猜想比杰波夫猜想更精细，显然其判断更强，虽不能由杰波夫猜想成立而直接演绎导出，但可因杰波夫猜想成立而反证出奥波曼猜想成立。a ^2 +a将 a^ 2 到（a+1）^2之间分成了两部分，一部分是a^ 2 +a 与 a^ 2 ，一部分是 a^ 2 +a 与（a+1）^2之间。根据杰波夫猜想已经证明 a ^2 到（a+1）^2之间存在两个素数，如果 a 碰巧也是素数的话，a ^2 到（a+1）^2之间就存在四个素数，即布罗卡尔猜想，该猜想在本书《强伯特兰猜想》一文中已经获得证明。如果不是素数，就至少存在两个素数，这就是杰波夫猜想。该猜想也已经在前章节中完成了详细证明。

对称无所不在

在此基础上可得到：若 a^ 2 +a 与 a^ 2 之间不存在素数，根据杰波夫猜想，剩下的区段 a ^2 +a 与（a+1）^2之间就一定存在两个素数，将（a+1）假设为 x，a^ 2 +a 就等于 x^ 2 -x，（a+1）^ 2 就等于 x^ 2 ，因此 a^ 2 +a 与（a+1）^2等价于 a^ 2 -a 与 a^ 2之间。如果把猜想推广到正负素数中，a 取负数，其结果“a ^2 -a 与 a^ 2 ”与“a^ 2 +a与 a ^2 ”是等价的，故：

若 a ^2 +a 与 a^ 2 之间不存在素数，那么 a ^2 -a 与 a^ 2 之间也不存在素数；若 a ^2 -a 与 a^ 2 之间不存在素数，那么 a ^2 +a 与 a 2 之间也就不存在素数。但事实是 a ^2 到（a+1）^2之间至少存在 2 个素数，杰波夫猜想已经证明了这一点。因此 a ^2 -a 与 a^ 2 之间以及 a^ 2 +a 与 a^ 2 之间两段必须至少都各有一个素数。于是奥波曼猜想就获证。

在奥波曼猜想获证的基础上，修正后得到一个新判断：x 与 x± x之间至少有一个素数，x 为任意自然数。奥波曼猜想仅限于定义域为有一端为平方数的区间数，若推广到任意自然数时就会出现反例。但奥波曼猜想显示 x 到x± x之间是一定有素数的，此时的 x 可为任意自然数。

当 x 不取负数差值即不逆向延伸寻找素数，而是取正向延伸区段寻找素数时，就得让延伸区段 x乘以一个大于 1 小于 1.1 的系数 k，因为该素数在以 x为中值数，共轭差为 x的区域里，故在小于 1.1 的系数范围里。因此相邻素数差值定理推论 2.0，即：相邻素数之间的差值 |p n±1 - p n | ≤ p n 是成立的。

正如新增偶数迫使新增素数的产生一样，新增 18n 也会迫使新增孪生素数的产生。虽然一个新增素数会带来好几个 18n，可一旦在有限域内穷尽了产生18n的范围，新增孪生素数就必出现。所以除了相邻素数有可控的差值范围外，不同组但间隔距离最近的孪生素数也必有可控的差值范围。根据奥波曼猜想获证，可推理出这个范围大概是∑ p n ，其 n 的取值范围为｛n| （n ～ n±9）｝，该差值范围里必有一个非同组孪生素数，两个不同组孪生素数之间存在 9 个左右的新素数对组合。

另外根据已经证明的伯特兰猜想的结论（通过哥德巴赫猜想获证可以得到该推论），n/ 2 到 2n-2 之间至少有一个素数，可推理得到：

|p n+1 - p n | ≤ n/ 2-2

相比较而言， p n 比 n/ 2-2 还小，因此奥波曼猜想是一个更强势的猜想。

以上结论将用在下文吉尔布雷斯猜想的证明中。

3. 吉尔布雷斯相邻素数差值及迭代差值数列首项值定理

吉尔布雷斯相邻素数差值及迭代差值数列首项值定理 3.0 ：

d k+1 (1)=|d k (1)- d k (2)|。

L(n，j)= d j (n)= d k+1 (n)=|d k (n)- d k (n+1)|。

第 j 行第 n 项的差值数，由 (n，j) 坐标数所确定。素数相邻差值数列的差值数列……直至 n 行差值数列，其每一行的第二项展开式都是第一项展开式加正负 1 数。L 函数表相邻差值，用二元自变量表达，等价一元自变量表达的D 函数，即 :

L(2，j)= L(1，j)±1；

L(2，j-1)= L(1，j-1)±1；

L(2，j-2)= L(1，j-2)±1；

…，

L(2，1)= L(1，1)±1。

这就是吉尔布雷斯猜想的等价表达，

即 d j (2)≡1±1。

若 d j (2)≡1±1 成立；

那么 d j (1)≡1就一定成立；

即第 n 个素数所在差值数列的第 n 项差值一定是 1。

证明：吉尔布雷斯差值数列从第二项开始，差值数列的展开式将仅限于奇素数参与的加减运算所得到的结果。并且从第一个奇素数 3 开始，渐次新增。吉尔布雷斯多层数列中每一层的第二项差值数，层级越多的数列第二项需要素数参与运算的就越多，层层括号也越多，乃至找不到有区分性的括号来书写，数学符号体系里，此项尚缺位。于是抽象表示成：

d k+1 (2)=d k (1)+(-1) ^f（j，n）d k (1)

可是要执行具体计算，不得不面对迭代展开项。

非线性数集与线性数集有单满射关系

先分析下证明思路，一旦该正负符号判定函数公式成功找到，并获证明，那么求任意给定数的后继素数就非常明确了，差值数列也就清晰了，证明吉尔布雷斯猜想就变得非常简单了。因为求解后继素数的公式获得证明，吉尔布雷斯猜想也就获得了证明，吉尔布雷斯猜想是后继素数公式的一个逆命题。在这里，原命题成立，逆命题就成立，吉尔布雷斯猜想是后继素数公式的一个推论 ；但逆命题成立，原命题并非就成立。通过不够强势的定理证明吉尔布雷斯猜想，应该更容易些，有望完成存在性证明。而后继素数公式是建立在相邻论的定理基础上的，该定理完成了哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、梁定祥猜想、波利尼亚克猜想的证明。不仅如此，该公式若成立的话还得完成构造性证明，否则无法完成确定值的求解。

既然不能通过先解决较难的强势命题而后将所有问题一锅端，那我们就来先解决弱命题，即完成关于吉尔布雷斯猜想的存在性证明，而后再完成构造性求证后继素数的迭代计算公式。

4. 给定数内非 0 数差值非同数差值运算递减定理

给定数内非 0 数差值非同数差值运算递减定理 4.0： a 与 b 为偶数，当 a、b ≠ 0 时，那么 |a-b| ＜ a 或 |a-b| ＜ b，总之会小于其中一个较大数。若每次把差值代入 a、b，所得到的非负差值继续迭代与 a 与 b 中较小数相减，于是可判定，a 与 b 中的较大数在这样的迭代减法运算中是递减的，在定义域都是偶数的条件下，｛a｝、｛b｝是一个公差为 2 的递减数集或它的子集。其中递减到 0的运算次数 t ≤ a/ 2 或 b/ 2。若 a=0 或 b=0 时，那么 |a-b|=a 或 |a-b|=b，于是可判定，给定数与给定数以内的数 a 与 b 在这样的迭代减法运算中，0 数差值和同数差值联合起来是保值顺延的，其项数的个数是左右等值传递的。只有非0 差值项和非同数差值项的差值运算才发生了递减。

证明：如果 b=0 或 a=0，左边绝对值等于右边 a 或 b，差值没有将原来的数变小，相邻差值是保值顺延的。若 a 与 b 重复相等，且等于同一个数，也列为保值顺延项，因为它们的差值 0 与 a 或 b 相减取绝对值仍是它们原来的数，所以是保值顺延的。此时的等差运算，同列为 0 差值运算，保值顺延的差值运算不占非 0 差值运算指标，所以 a、b=0 或其一等于 0，以及 a=b（且数值重复）都是保值顺延运算，a 等于 b 为什么不全是非 0 差值运算，因为它们的后继被减数除递减过一次外不是处处递减数，所以差值运算必是保值顺延的。

其他情况定是 |a-b| ＜ a 或 |a-b| ＜ b，因为等量的被损方定小于原等量。还因为 |a-b| 是偶数，那么 |a-b| 的最大值将比 a 小一个 2。可见通过一次差值运算，两偶数之间的差值至少要比两偶数中的较大偶数小一个差值 2。除非减数项有 0，否则一次减法运算后所得到的差值至少要比两数中的较大数即被减数项小一个差值 2。可见偶数间的减法运算所得到的差值会比原来较大的数至少变小一个差值 2。

素数分布体现了大自然的核心奥秘

每个素数计算最后的相邻差值构成了吉尔布雷斯三角，三角边的项数是等边的，该三角是一组井然有序的差值数列群。从第 n 个素数的底边一行数列到差值为 1 的顶点项，要经过 n-1 次差值运算得到最后差值数，其中要至少经过n/4-1 次非 0 差值运算，才能获得 0 或 2 差值。其中经过 n/4-2 次差值运算，得到差值 2 或 0。如果 0 差值密率不到 3/4，那么吉尔布雷斯猜想就获证。

由奥波曼猜想获证的结论可知，|p n±1 -p n | ≤ p n 。另外，通过素数公式 ⑩

即 π(x) ≈ x/ ln x 可大致计算出，p n 是第几个素数，π(p n ) ≈ p n / lnp n ，现比较2pn / lnpn 与 2pn 的大小，得到 2pn / lnpn ＞ 2pn ，甚至 pn / lnpn ＞ 2pn ，而出现反例所占的比例非常小。稍做调整，2pn / lnpn ＞ 3pn ，也可表达为 2n ＞ 3pn，n 为素数序列数），调整后的不等式一定是确定的，没有例外。而根据伯特兰猜想这个判定还可以更精准地推理出，第 n 个素数的后继相邻素数差值小于 n / 2-2。虽说素数的相邻差值可以等于 2n，比如说第 3n 个素数的后继相邻差值小于 3n，但有可能等于 2n，只是第 n 个素数的后继相邻素数差值是不会等于 2n 的。根据大素数范围里， p n 比 n / 2-2 更小来判断，相邻素数间距小于n / 2-2 是无疑的。

根据以上结论，我们再来分析吉尔布雷斯三角，从底边第 n 个素数到顶点相邻差值 1，一共经过了 n-1 次相邻差值运算，其中经过了 n-2 次相邻差值运算获得倒数第二行差值数列，该数列一共有两项差值，第一项定是 1，若第二项是 0 或 2。前面已经得证，第 n 个素数的后继相邻素数差值≤ p n 或者 |p n±1 -p n | ＜ n / 2-2。故经过不小于 n/4-1 次差值运算，素数相邻差值的相邻差值……

就会递减为 0 或 2（前项碰到 0 相邻差值），经过不小于 n/4-2 次差值运算，素数相邻差值的相邻差值……就会递减为 2 或 0（前项碰到等值相邻差值），假如之前每次相邻差值项都不碰到 0 为相邻差值项的话。因为每次差值运算，最高差值项每次差值运算都要至少迭代递减一个差值 2，无须经过 n-2 次运算相邻差值就会递减到 2 或 0。这是理想状态，但事实上，两个匹配的相邻差值项会提前遭遇差值为 0 的相邻项，因为 0 差值是不规则分布的。如果差值为 0的相邻项数的密率超过 3/4，在此就难以判定通过最后相邻差值运算获得倒数第二行差值数列第二项差值，究竟是否会等于0或2。因此需要获知，差值为0的项数其分布密率在吉尔布雷斯三角中各对角线上的差值数列到底有多大。

吉尔布雷斯三角，每条第n个素数到顶点差值 1 所对应的对角线上的差值数列，其中等于 0 的差值项含同差值项是否超过 3/4 呢？如果能证明不超过，那么吉尔布雷斯猜想就能获证。根据吉尔布雷斯三角素数相邻差值数列三轴坐标，其中对角线轴第 n 条数列：

L（1，j）；

L（2，j-1）；

L（3，j-2）；

L（4，j-3）；

L（5，j-4）；

L（6，j-5）；

L（7，j-6）；

L（8，j-7）；

…，

L（n，0）。

可求出对角线轴第 n+1 条数列

L（1，j+1）；

L（2，j）；

L（3，j-1）；

L（4，j-2）；

L（5，j-3）；

L（6，j-4）；

L（7，j-5）；

L（8，j-6）；

…，

L（n+1，0）。

其中 L（2，j-1）和 L（2，j）的差值要么等于 2 要么等于 0。这个判定前面刚已经证明，现我们来做差值项的逆运算，通过 L（2，j）来求 L（3，j-1），乃至更多 L（8，j-6），…， L（n+1，0）。在最终增值范围确定的前提下，即不超过 n / 2+2 的差值范围里，在差值 2 或差值 0 的基础上，须至少递增 n/4次的非 0 参与的相邻差值或和值运算，才能还原得到新增素数，因此在第 n+1对角线轴上的差值数列 ，仅剩的0差值分布密率自然就不超过 3/4 了。

5. 吉尔布雷斯三角中0差值项和同差值项分布密率定理

吉尔布雷斯三角中0差值项和同差值项分布密率定理 5.0：一定存在0差值项和同差值项的分布密率在吉尔布雷斯三角中不超过3/4，且在各条对角线上的差值项数列中皆不超过3/4。

证明：根据 0 差值项的分布密率的定义：除了该数列上的0差值项外，还包括相同数的等差值运算项，因为这样的差值项是隐形0差值项，这样的全部差值项所占该数列的比例叫0 差值项分布密率。a 与 b 只有非0差值运算，才会带来差值递减。

命运是一曲围绕素数运行的神秘乐章。

已知 p 1 到 p 47 之间的素数段都满足，0相邻差值（含重复数等相邻差值）在其吉尔布雷斯三角中所占的密率小于3/4，且所在吉尔布雷斯对角线上的差值数列，其倒数第二项都能获得2差值或0差值，经逐一验算是正确的；假设n项素数的0相邻差值项在吉尔布雷斯三角各对角线上的差值数列中密率小于3/4，那么第 n+1 项素数的差值数列0相邻差值密率，根据第n条数列的0差值分布密率条件，若可推理得到也小于 3/4。由此可确定任意项素数的任意数列的 0 相邻差值密率都小于 3/4，这样0差值分布密率大小范围以及吉尔布雷斯对角线上的差值数列倒数第二项一定是2差值或0差值，就可以用完全归纳法给出证明。吉尔布雷斯对角线上的数列如图 11-1 所示：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … P n+1

1, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, … |P n+1 -P n |

2, 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, … ||P n+1 -P n |-|P n -P n-1 ||

3, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

4, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …

5, 1, 2, 0, 0, 0, 2, …

6, 1, 2, 0, 0, 2, …

7, 1, 2, 0, 2, …

8, 1, 2, 2, …

9, 1, 0, …

10, 1, … d k-1 (n)=|d k (n)-d k (n+1)|

11, …

图 11-1 吉尔布雷斯三角数列

吉尔布雷斯三角以项数为单元是一个等边三角，素数数列边线、差值运算阶数边线、单个素数与每阶差值数列的前项相邻差值项数列边线，以上三边相等；以自然数间距为单元则是一个直三角，勾线是差值运算阶数边线（以下称每行），股线是素数数列边线（以下称每列），弦线（即对角线）是单个素数与每阶差值数列的前项相邻差值项数列边线（以下称每条），每条与弦边平行的吉尔布雷斯差值数列称为对角线上的差值数列。其中黑色数字表示由逆差获得差值。

p（n+1）到差值顶点项 D（1，n+1）的所在对角线差值项数列，第一行差值数列项一定不为0，因为素数数列没有等量的两项，第二行开始，可能有差值0，也有可能没有，因为有相邻的等差的素数数列存在，一旦有与前项相邻等差，p（n+1）所对应的对角线上有0差值项，意味着p（n+1）和 pn在等值条件下往下递减到0或2，既然第 n 个素数在 n-2 次内可将相邻差值能够递减到 0 或 2，第n+1 个素数也可以在 n 次内递减到 0 或 2，后文将证明这一点。

后继素数对角线上的第n+1 条数列一旦产生0差值，第n条数列上的差值2a，之所以可以在倒数第二项差值运算中得到2或0，是基于第 n-1 条数列上的相邻等差值 2a 可以在倒数第二项差值运算中得到差值 2 或 0；第 n-1 条数列上的差值 2b（2b ≤ 2a），之所以可以在倒数第二项差值运算中得到 2 或 0，是基于第 n-2 条数列上的相邻等差值 2b 可以得到差值2或0；以此类推，第1到第47个素数对角线上的相邻等差值是可以得到差值2或0的，因此后一条可以基于前一条成立而成立。因为第n条后继数列上的差值项2a的每一项差值运算，其实质等同于前一条数列上的相邻等值2a的后续差值运算，因为同0相减必保留原来的值，这样与其说通过前一条数列上的各项差值运算可求解后一条数列上的各项差值运算，不如说是同首项1开始做差值迭代运算。该差值运算可保证后继各条数列上的0差值分布密率继续保持小于3/4。

根据前面已经证明的a与b差值运算递减原理，差值0参与的相邻差值运算，必是保值顺延的，等值项参与的相邻差值运算，等价于0差值逆运算的保值顺延。所以在相邻两条数列的差值运算中，0差值是互补交换的，0与0差值运算是对等平移的，0差值与非0差值运算时是保值顺延的，而保值顺延项在生成后继一条数列的差值运算中会产生0差值。概括起来描述就是：

第n条数列中的所有0差值一部分平移到了第n+1 条数列中，另一部分则产生了保值顺延差值，而保值顺延差值必为第n+2 条数列产生新增的0差值，而第n+1 条数列中新增的0 差值则来自第n条数列中的保值顺延差值，这样失去平移的0差值又补充了回来。

第n+1条数列比第n条数列要多最后1项，而第n条数列中的0差值都等价平移到了第n+1 条数列的前n项中，第n条数列的倒数第二项是差值0或2。

而第n+1条数列的倒数第三项也是差值2或0，根据平移法则，两者密率是相等的，不考虑第n+1 条数列的最后两项，它们的0差值密率是相等的。而第n+1 条数列的倒数第二项差值或2或0，加进前n项后，平移到第n+2条数列中，与第n+2条数列的前n+1项数列中 0差值密率相等。

而第n+2 条数列中的倒数第二项差值或2或0，如此迭代进行，可见第n条数列中0差值项密率如果是小于3/4，那么第n+1 条数列中0差值密率就会保值顺延下去，并无限延伸。另外，用反证法也可以证明，0差值项的分布密率在任意对角线上的差值项数列中皆不超过 3/4。假如有超过 3/4，非0参与的相邻差值运算就不到1/4，就无法肯定通过差值运算，将差值范围为n/ 2-2 的素数相邻差值递减到2或0，也无法在差值2 或差值0为基础的倒数第二项开始做或相邻相加或相邻相减的还原运算，来获得新增相邻素数。如果0差值密率超过3/4 也能够获得倒数第二项的2差值或0差值，就意味着增加了大量的等差值项，在0 差值密率继续超过 3/4 的前提下，后继对角线上的0差值会越来越多，0差值密率会更加增大，非0参与的相邻差值运算的次数密率会越小于1/4，越无法恒满足相邻素数的差值范围 n/ 2-2，这就同已经完成证明的强伯特兰猜想相矛盾。

0差值密率不可持续递增，一旦持续递增超过 3/4 密率，素数相邻差值就会超过伯特兰间隔，这就反证出了吉尔布雷斯三角第二列数列的差值不可能超过某个范畴地连续出现差值0，一定时候必间隔出现2，0与2反复出现，以保持递增部分密率不超过3/4，非变化部分非0 差值项是可以左右平移传递的，因为0差值项和重复差值项是可以左右平移传递的，pn素数对应的每一条数列除去倒数第一、二项，都可以与前一条数列等值平移0差值和同差值的总项数。

故0差值密率在对角线即斜边上的各条数列中是可以等量传递的。

由于0差值在吉尔布雷斯对角线上的差值数列分布密率只能小于3/4，尽管不是连续递增还原获得新增相邻素数，每次只要在0差值密率不超过 3/4 时就能还原获得相邻等值，最后在0差值密率不超过3/4时还原获得新增相邻素数，否则就不能获得有一定规范间隔的新增相邻素数，就不能恒满足素数相邻差值不大于2n-2 的伯特兰间隔的判定。

关于3/4的密率限制分布在数论领域有许多呼应，比如黎曼猜想中非平凡0点解在1/2的临界线上，其中1/2实部值就是一种保角变换中的斜率，以及米勒-罗宾素性检测用某个底数a测试n是素数的概率是75%，这些性质都体现了素数分布与一些常量紧密关联。

6. 吉尔布雷斯三角 d j（ 2 ）=0 或 2 ， d j（ 3 ）=2 或 0 定理

吉尔布雷斯三角 d j（2）=0 或 2，d j（3）=2 或 0 定理 6.0：吉尔布雷斯三角中，每一行最高项差值继续迭代计算，获得后一项差值，其相邻差值项是依次递减的，且 n/4-1，n/4-2 次非0值参与的差值运算中平均每一行相邻差值迭代数列都递减一个差值 2，故各条数列确定0差值密率为 3/4 时，其各条数列倒数第二项，倒数第三项可最终获得差值2或0，0或2。

证明：这里需要引入前文已经证明过的各类素数差值定理。各种类型的素数差值存在间隔周期。根据哥德巴赫猜想获证，两素数之和的差值等于2的在2n域中有无穷无漏项，两素数之差的差值等于2的在2n域中也有无穷无漏项。

根据波利尼亚克猜想获证，两素数之差的差值等于2n 的在2n 域中也各有无穷无漏项。根据强梁定祥猜想获证，两个不同对的孪生素数的差值等于18的在18n 域中也有无穷无漏项。因为存在差值不断回归的性质，故不断有彼此对称的相邻差值，这是导致差值最后归0 归2的原因，再同首项1相减，终必归1。

更重要的是，素数相邻差值是受素数序列数制约的。根据奥波曼猜想获证的结论可知：

|p n±1 - p n | ≤ p n 或 |p n±1 - p n | ＜ n/ 2-2（伯特兰猜想的推论）。

相邻素数的差值不会超过素数的序列数的 1/ 2， p n 比序列数的 1/ 2 还要小，可见素数的差值在第一行差值数列中，差值的最大值就不到序列数的 1/ 2，而已知第n个素数进行差值迭代运算到仅剩一项时，须进行 n-1 次差值运算，第一次差值运算无0值项出现，剩下的差值运算，若存在 n/4-1 次无0值相邻项出现，那么第n个素数在进行倒数第二行差值运算时，其第二项差值一定是0或2。

素数数列的延伸遵循中庸最优化的规则，决定了吉尔布雷斯猜想成立。将每个素数的相邻差值进行比较，会发现相邻差值项大不可超限，小也不可越界，相邻等值项近不可过密，远不可太疏。正是因为这种中道法则，吉尔布雷斯三角呈现非对称分形结构的钟形正态分布状。正因为如此，每个素数进行相邻差值迭代运算，最后抵达顶点项时，必会递减到 1。前文已经证明了，大不可超限，小也不可越界，决定了相邻差值范围在 |p n±1 - p n | ≤ p n 中。近不可过密，远不可太疏的等项相邻密率范围的证明前文刚已完成。

差值 0 项和同差值项的密率范围已得到精准确认的证明。这种不对称正态分布是由素数的定义决定的，素数是除 1 外，用其他任何整数都不能等量分割的自然数。非0差值运算就是不等量延伸，要保证不等量延伸，就会出现不对称分布。

根据 |p n±1 - p n | ＜ k/ 2-2（伯特兰猜想的推论），以及a与b的差值递减原理，在第n 条数列的0差值密率小于3/4 的前提下，一定可得第n+1条数列的倒数第二项，倒数第三项差值为 0，2；或为 2，0。因为0差值参与的差值运算，差值项是保值顺延的，第n条数列的0差值会等价平移到第n+1 条数列中。因此经过n/4-1，n/4-2 次非0差值参与的差值运算中，定会得到倒数第二项或为2 或为0，倒数第三项的差值或为0或为2。

综上所述：假如在第 n 条数列中 3/4 的0差值密率成立，可得在第 n+1 条数列中也存在3/4的0差值密率，并且根据3/4的0差值密率，一定可推导出第n+1条数列中的倒数第二项差值必或为2或为0。还有第1条到第47条数列在同等要求下经过验证无误（皆小于3/4的0差值密率；皆可得倒数第二项差值或为2或为0），如此才能构成完全归纳法的证明。现每一条皆符合证明要求，故以上所须求证的命题得证。

无独有偶，Miller-Rabin 素性检测（米勒 - 罗宾素性检测）也是通过 3/4的概率分布来判定素数的（用某个底数a测试n不是素数的概率是1/4）：随机数b通过罗宾算法被当成证据的概率为75%，这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数多花费的时间不超过 （1/ 4）^t ，实际上，对大多数随机数，可以 99.99% 肯定b是证据。虽然运算对象和方法程序不同，但对于确认素数目标上，都使用了1/4 和 3/4 这样的概率分布数值，这种“巧合”体现了素数的生成秘密有着可确定的法则，可窥见与哥德巴赫猜想紧密关联。

也就是说，已知 p 1 到 p 47 之间的素数段都满足，0 相邻差值项在其吉尔布雷斯三角中各条对角线上的差值数列所占的分布密率小于 3/4，且所在吉尔布雷斯对角线上的差值数列其倒数第二项都能获得2差值或0差值，经逐一验算是正确的；假设第n个素数所在的对角线上的差值数列其0差值项在吉尔布雷斯三角中密率小于 3/4，现已成功推理得到第 n+1 个素数所在的对角线上的差值数列其 0 差值密率，根据第 n 个素数所在对角线上的差值数列其中 0 差值分布密率条件，可推理得到也小于 3/4，且倒数第二项差值必为2或0。由此可确定任意项素数的 0 相邻差值密率都小于 3/4，这样 0 差值分布密率范围以及吉尔布雷斯对角线上的差值数列倒数第二项一定是 2 差值或 0 差值，这就获得了用完全归纳法给出的证明。

7. 吉尔布雷斯三角 d j（1）≡1 定理

吉尔布雷斯三角d j （1）≡1定理7.0 ：将d 0 （n）定义为第n个素数，d k+1 （n）=|d k（n）- d k（n+1）|，其中 k 是非负整数，n 是正整数。证明对于所有正整数 j，d j （1）≡1。

证明：根据第 n+1 个素数所在对角线上的差值数列倒数第二项一定是 2 差值或0差值，同第 n 个素数所在对角线上的首项差值 1 进行无负相邻差值运算，显然会得到 1，故 d j （1）≡1，因此吉尔布雷斯猜想得证。

8. 后继素数的迭代公式

吉尔布雷斯猜想的一般化推广，给出并证明，任意给定数之后继素数的迭代计算公式 8.0 ：已知吉尔布雷斯素数差值三轴坐标数列对角线轴第n条迭代数列，那么定可求出对角线轴第 n+1 条迭代数列。同样，已知吉尔布雷斯素数差值三轴坐标数列对角线轴第一条迭代数列，那么定可求出对角线轴第二条乃至第 n+1 条迭代数列。

即根据吉尔布雷斯三角素数相邻差值数列三轴坐标，其中对角线轴第 n 条数列：

L（1，j）；

L（2，j-1）；

L（3，j-2）；

L（4，j-3）；

L（5，j-4）；

L（6，j-5）；

L（7，j-6）；

L（8，j-7）；

…；

L（n，0）。

可求出对角线轴第 n+1 条数列：

L（1，j+1）；

L（2，j）；

L（3，j-1）；

L（4，j-2）；

L（5，j-3）；

L（6，j-4）；

L（7，j-5）；

L（8，j-6）；

…；

L（n+1，0）。

其表达式是：

L（1，j+1）= 1；

L（2，j）= L（1，j）+（-1）

f（j） L（1，j+1）；

L（3，j-1）= L（2，j-1）+（-1）

f（j-1） L（2，j）；

L（4，j-2）= L（3，j-2）+（-1）

f（j-2） L（3，j-1）；

L（5，j-3）= L（4，j-3）+（-1）

f（j-3） L（4，j-2）；

L（6，j-4）= L（5，j-4）+（-1）

f（j-4） L（5，j-3）；

L（7，j-5）= L（6，j-5）+（-1）

f（j-5） L（6，j-4）；

L（8，j-6）= L（7，j-6）+（-1）

f（j-6） L（7，j-5）；

…；

L（n+1，0）= L（n，0）+ L（n，1）。

( 其中正负符号幂值判定函数 f（j）是判定正负号的函数，比较复杂，类似勒让德符号的判定。)

证明：根据吉尔布雷斯猜想所描述的求出每行首项值：

p 1 ，

p 2 -p 1 ，

(p 3 -p 2 )-(p 2 -p 1 )，

{(p 4 -p 3 )-(p 3 -p 2 )}-{(p 3 -p 2 )-(p 2 -p 1 )}，

{(p 5 -p 4 )-（p 4 -p 3 )}-{(p 4 -p 3 )-(p 3 -p 2 )}-{(p 4 -p 3 )-(p 3 -p 2 )}-{(p 3 -p 2 )-(p 2 -p 1 )}，

{{(p 6 -p 5 )-(p 5 -p 4 )}-{(p 5 -p 4 )-(p 4 -p 3 )}-{(p 5 -p 4 )-(p 4 -p 3 )}-{(p 4 -p 3 )-(p 3 -p 2 )}}-

{{(p 5 -p 4 )-(p 4 -p 3 )}-{(p 4 -p 3 )-(p 3 -p 2 )}-{(p 4 -p 3 )-(p 3 -p 2 )}-{(p 3 -p 2 )-(p 2 -p 1 )}}，

|d k (n)-d k (n+1)|，

…；

d k+1 (n)=|d k (n)-d k (n+1)|

以上每一条数列，从第二次差值数列开始，其首项值都是 1。第 n 个相邻素数的差值在第 k+1 次数列中所得到的首项值 d k+1 (n)=|d k (n)-d k (n+1)|。从定义中得知，第一条差值数列首项需要前 2 个素数参与相减得到，第二条差值数列首项需要前 3 个素数参与相减得到，第 n 条差值数列首项需要前 n+1 个素数参与方可得到。

d 1 (n) 时为 2 项相减即 2 1 ；

d 2 (n) 时为 4 项相减即 2 2 ；

d 3 (n) 时为 8 项相减即 2 3 ；

d k (n) 时为 2 的 k 次方数项相减即 2 k ；

d k (n) 时，有第 k+1 个素数参与获得数列首项数，由于相减的层次是层层递进的，系列素数差值数列从第二条数列开始，其第二项都是奇素数参与相邻差值运算获得的，前文已经证明，它的差值始终等于 0 或 2，吉尔布雷斯猜想已获证，但不意味着它的逆命题获证。如果逆命题得证，就找到了求解后继素数的公式。

素数相邻差值迭代运算如果要展开表示的话，由于括号层次不够，用减号加数字这样的符号替代括号层次并取绝对值，那么存在如下等式：

D 1（1）=p 2（-1-）p 1 ，

D 2（1）=p 3（-1-）p 2（-2-）p 2 （-1-）p 1 ，

形如（-1-）、（-2-）这样的符号表示，完成第一层对称相减后，再完成第二层对称相减，并每次相减取绝对值。括号数序替代特殊减法运算，有些为顺差，有些为逆差。以此类推，该符号表示 n 级对称括号内的无负差值运算，可得到d j（1）的各行首项值展开的表达式：

p 4（-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-3-）p 3 （-1-）p 2 （-2-）p 2 （-1-）p 1 ，=D 3 （1）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-4-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-3-）p 3 （-1-）p 2 （-2-）p 2 （-1-）p 1 ，=D 4 （1）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）P 4 （-1-）p 3 （-4-）

p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-3-）p 3 （-1-）p 2 （-2-）p 2 （-1-）p 1 （-5-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-4-）

p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-3-）p 3 （-1-）p 2 （-2-）p 2 （-1-）p 1 ，=D 5 （1）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-5-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-6-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-4-）

p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-3-）p 3 （-1-）p 2 （-2-）p 2 （-1-）p 1 （-5-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-4-）

p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-3-）p 3 （-1-）p 2 （-2-）p 2 （-1-）p 1 ，=D 6 （1）

p 8 （-1-）p 7 （-2-）p 7 （-1-）p 6 （-3-）p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-4-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-5-）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-4-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-6-）

p 7 （-1-）p 6（-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-5-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 6 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-7-）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-5-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-6-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-4-）

p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-3-）p 3 （-1-）p 2 （-2-）p 2 （-1-）p 1 （-5-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-4-）

p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-3-）p 3 （-1-）p 2 （-2-）p 2 （-1-）P 1 ，=D 7 （1）

p 9 （-1-）p 8 （-2-）p 8 （-1-）p 7 （-3-）p 8 （-1-）p 7 （-2-）p 7 （-1-）p 6 （-4-）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-5-）

p 8 （-1-）p 7 （-2-）p 7 （-1-）p 6 （-3-）p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-4-）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-6-）

p 8 （-1-）p 7 （-2-）p 7 （-1-）p 6 （-3-）p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-4-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-5-）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 7 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-4-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-7-）

p 8 （-1-）p 7 （-2-）p 7 （-1-）p 6 （-3-）p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-4-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-5-）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 6 （-1-）p 4 （-4-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-6-）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-5-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-8-）

p 8 （-1-）p 7 （-2-）p 7 （-1-）p 6 （-3-）p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-4-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-5-）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-4-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-6-）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-5-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 6 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-7-）

p 7 （-1-）p 6 （-2-）p 6 （-1-）p 5 （-3-）p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-5-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-4-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-6-）

p 6 （-1-）p 5 （-2-）p 5 （-1-）p 4 （-3-）p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-4-）

p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-3-）p 3 （-1-）p 2 （-2-）p 2 （-1-）p 1 （-5-）

p 5 （-1-）p 4 （-2-）p 4 （-1-）p 3 （-3-）p 4 （-1-）p 3 （-2-）p 3 （-1-）p 2 （-4-）

p 4（-1-）p 3 （-2-）p 3（-1-）p 2（-3-）p 3 （-1-）p 2 （-2-）p 2 （-1-）p 1 ，=D 8 （1）

…

从以上1级对称相减到n级对称相减并取绝对值的表达式中不难直观看出，相邻差值数列的每项值的展开式呈现“钟形正态分布”的分形结构状。基于这样的运算规则，素数相邻差值连线也是呈正态分布分形结构状，越多素数参与，分形越细密，每次新增素数相邻差值数列的首项都由一个新增素数参与加减运算而获得，展开式的前半部分总是或为 0 或为 2，后半部分总是为 1，后半部分为1是迭代已知的，前半部分为何会等于0或2呢？这个结论是证明吉尔布雷斯猜想的关键，前文已经完成证明。现在我们要完成的是一个比吉尔布雷斯猜想更强势的命题证明，即构造性证明新增后继素数的求解公式。素数相邻差值迭代归1的逆运算就是素数后继公式，迭代归 1 的绝对值运算可以忽略顺差和逆差，但后继素数公式则需要区分清楚，故后继素数公式命题更强势。经计算得到以下相邻素数差值数列数据。吉尔布雷斯素数差值三角边数列呈现以下相互关系，其中吉尔布雷斯素数差值经迭代运算因 n 个素数形成横线轴 j 行数列，形成纵线轴 n 列数列，形成对角线轴 m 条数列。

欲获得第一行差值数列，须做第一层（或说第一阶）减法运算（-1-）；欲获得第二行差值数列，须在原来的基础上做第二层减法运算（-2-）；以此类推：

欲获得第 n 行差值数列，须在原来的基础上做第 n 层减法运算（-n-）。通过第 n 个素数及其小于它的素数，进行最后 n 次相邻差值运算后，总会得到单独项差值1，该单独项就是第n行的数列首项。吉尔布雷斯三角从底边到顶点，每次总是第 n 个素数经过 n 行相邻差值运算抵达顶点项差值，且吉尔布雷斯猜想断言，该项顶点差值总是等于 1。

根据已经证明的奥波曼猜想，尤其是素数相邻差值定理 2.0 得知，任意给定数 n 在向前或向后延伸 p n 的差值中至少含有一个素数，若只取正数时其中 n为可开平方数。由此判定得知，邻近给定数 n 片区中的素数相邻差值不会大于p n ，当然这是用相邻数区间来表达的，才不超过 p n 。若单独描述，相邻素数之间的差值是可以等于任意偶数 2n 的，除了 2 和 3 的差值是奇数外。

素数在相邻差值数列的基础上通过反复求相邻差值数列这样的迭代运算，可得到每一行差值数列的首项值为 1。根据该结论刚已经获得存在性证明，不难想到，通过以上逆运算，可不断获得新增相邻素数。即根据以上分析可构造性证明后继素数的求解公式成立。该求解公式是：

L（1，j+1）= 1；

L（2，j）= L（1，j）+（-1）

f（j） L（1，j+1）；

L（3，j-1）= L（2，j-1）+（-1）

f（j-1） L（2，j）；

L（4，j-2）= L（3，j-2）+（-1）

f（j-2） L（3，j-1）；

L（5，j-3）= L（4，j-3）+（-1）

f（j-3） L（4，j-2）；

L（6，j-4）= L（5，j-4）+（-1）

f（j-4） L（5，j-3）；

L（7，j-5）= L（6，j-5）+（-1）

f（j-5） L（6，j-4）；

L（8，j-6）= L（7，j-6）+（-1）

f（j-6） L（7，j-5）；

…

L（n+1，0）= L（n，0）+ L（n，1）。

（其中正负号的判定，由负 1 的幂值函数 G(n，j) 给出，类似勒让德符号的判定。）

9. 正负符号判定公式： D j ( n ) ▲=（-1）G ( n，j )

由于每一项吉尔布雷斯素数相邻差值数都由其位置坐标所确定，用来求解相邻差值的步骤之一“正负符号判定”也同样由其坐标数所确定。即：

D j (n)▲=(-1) G(n，j)

n，j 所确定的函数值可判定如何选取 D j (n) 的正负符号，D j (n)▲代表选取每项素数差值正负符号，也叫吉尔布雷斯差值符号，用来判定正负符号的负1 幂值函数 G(n，j)，叫吉尔布雷斯函数，该函数的表达式是：

G(n，j)= ？

这个函数的表达式究竟是怎样的，作为一个新猜想，就留给当今数学界的高手们，期待能够找到表达式，并给出证明。一旦找到，一个令人关注的问题是，该算法是否会威胁现有的RSA公钥密码体系的安全？

已 知 1+、2+、3-、4+、5+、6+、7+、8+、9+、10-、11-、12-、13 -、14-、15-、16+、17+、18+、19+、20+、21-、22-、23+、24+、25+、26-、27+、28-、29-、30+、31+、32+、33+、34-、35-、36+、37+、38-、39-、40-、41-、42-、43-、44-、45+、46 -，…求以后正负符号会如何分布，请写出一次式通项表达或迭代式通项表达。拜托各位数学大家参与求证。

由于无负数的差值运算中很多是逆差获得的差值，如果能判定逆差的减法符号位置，差值联立方程就可以并项，于是就可以得到吉尔布雷斯素数三角阵，根据三角阵可以获得求解未知相邻素数的一元一次迭代方程：

p 2 -p 1 -1=0

p 3 -2p 2 +p 1 -1=0

p 4 -3p 3 +3p 2 -p 1 +1=0

p 5 -2p 4 +0+2p 2 +p 1 +1=0

…

以上是标准模型，在素数相邻差值的相邻差值……反复进行的并项运算过程中，难点是拆解绝对值时须对素数相邻差值的正负符号作出准确判定，这种类似勒让德符号的判定是本文论题的关键。德国数学家高斯 (Gauss) 说：“数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏得极深。”然而有些即便从已知事实中归纳出来也极其不容易，比如就很难找到吉尔布雷斯三角中各项差值正负符号的函数通项表达或是迭代表达。

吉尔布雷斯素数相邻差值数列每行之每项符号判定，即顺差和逆差的选择，是求解给定数之后继素数的关键，我们管这种寻找和计算后继素数的方法，叫“差值搭桥法” 。

D j（n）▲=（-1）

G（j，n）

（j≥ 0，n≥1），

其中 D j（n）▲为素数相邻差值项判定符号，G（j，n），其中坐标点（j，n）是吉氏差值数列轨迹线上的每次拐点位置，为吉氏差值符号的函数变量，那么求解后继素数的公式就能推导得到：

d j（n+1）=d j（n）- d j+1 （n）（-1）G（j，n）

其中 G（j，n）为差值符号判定函数。

以下差值项的函数值可确定为逆差符号：

G（3，1）；

G（10，1）；

G（11，1）；

G（12，1）；

G（13，1）；

G（14，1）；

G（15，1）；

G（18，1）；

G（21，1）；

G（4，2）；

G（5，2）；

G（6，2）；

G（7，2）；

G（8，2）；

…

以下差值项的函数值可确定为顺差符号：

G（4，1）；

G（5，1）；

G（6，1）；

G（7，1）；

G（8，1）；

G（9，1）；

G（16，1）；

G（17，1）；

G（19，1）；

G（20，1）；

G（3，2）；

G（9，2）；

G（10，2）；

G（11，2）；

…

经过归纳，可以得到吉氏差值符号函数 G（j，n）的表达式 。解决了该问题，寻找后继素数，就可以通过延伸根基项 D j (1)，即本原 1，来搭建拱桥。

素数相邻差值点 D j (n) 的连线呈现了渐次上升状的不对称分形正态分布。孪生素数的差值周期、其他间距的素数差值周期，以及素数相邻差值的无穷趋大，决定了这一正态分布曲线。任意给定的素数到第一个素数之间进行相邻差值计算，可得到一组差值数列，将相邻差值数列继续进行相邻差值计算，可得到新的一组差值数列，这个产生新差值数列的过程就是缩减分形层次的过程。素数相邻差值数列 D 1 (n) 是给定的最复杂的分形正态，当压缩到 D 1 (1) 与 D 1 (2) 的相邻差值时，必以归 1 为终结。这就是吉尔布雷斯猜想。不难发现素数相邻差值 D 1 (n)，呈现不对称分形正态分布，其谷底驻点到峰顶驻点连线斜率为 1 ＜ k＜ 2，其峰顶驻点到谷底驻点连线斜率为 -1 ＞ k ＞ -2，其谷底驻点到谷底驻点连线斜率为 k=0，由于差值变化大体是均匀的，因此相邻差值项不断缩小时，生成的新数列其相邻差值会不断趋小，最后归 1。

吉尔布雷斯猜想刚已完成存在性证明，因此完全有理由在已知每行差值数列首项 1、第一列差值数列的所有项 1、每条差值数列的最后一项 1 的基础上用“搭桥法”来寻找后继素数，它比“筛法”等更为简便合理，更符合素数的本质定义。人们通常都用乘除法来寻找素数，“筛法”就是。但事实上，素数是可以用加减法来寻找的。素数除了教科书上定义，除 1 和本身外，不能整除的正整数叫素数；还可以用别的方式定义，除用1外，不能等分的自然数叫素数。

根据前面的定义，寻找新素数得用乘除法，但根据后面的定义，寻找新素数得用加减法，本文的“差值搭桥法”就来自这样的素数定义，这样的定义更符合堆垒素数的本义和性态。举个简单的例子，已知第一个素数 2，如何求解第二个素数呢？以下就来求证，通过“差值搭桥法”是如何得到第二个素数 3 的，乃至又是如何得到无穷个后继延伸素数的。

因为 D 0 (1)=2，又因为 D j (1)=1，且 D 1 (n) 都是顺差（用反证法，此位置若用逆差，则不能实现不等量延伸），所以 D 0 (2)=3，凡后继素数都可以通过已知前项素数连带算法规则获得，以此类推，可以求解出所有的素数 D 0 (n)。

素数的产生和自然数的产生是相似的，自然数是在 1 的基础上，通过差值 1 来不断寻找后继自然数的（皮亚诺公理），先获得大序数，后获得小序数。素数也应该是这样，就像人口普查一样，从长者入手调查，比一开始闷头调查婴儿更靠谱，传统筛法寻找素数有点像从婴儿开始进行人口普查，这是至今没有满意结果的原因。基于这样的理由，用“差值搭桥法”寻找新素数就应运而生了，关键是每个差值到底是顺差还是逆差所得，还须探索出用最简洁的公式来判定。

10. 相邻素数之差可表所有偶数。强波利尼亚克猜想，相邻素数之差可表2n且各有无穷组解。

证明：互异素数之和可表大于6的所有偶数，该命题已获证明（见海天出版社出版的《数学底层引擎相邻论和重合法》第一章节，澎湃新闻也发布过希尔伯特第八问题有望终结： 哥德巴赫猜想获证！_政务_澎湃新闻-The Paper。

核心证法是，根据哥猜问题先精准定义例外偶数，令p、q为互异的所有奇素数，存在正整数m≥4、h、n，有同构表达2m=p+q，而2h≠p+q，2m∪2h=2n，2m∩2h=Փ，则2n为所有偶数，2m为可表偶数，2h为例外偶数。根据例外偶数的定义，再加上已知二项式素数单位元的线性映射能得到所有偶数（2mk=ap+bq），都能完成不等量互素分割（三元方程互素定理笔者已证，有专著已出版，网页版论文可搜索澎湃新闻），而互素方程又必有二元素数基础解系，即用来线性映射的二项式素数单位元，那么无二项式素数单位元，则其线性映射必为空集。故例外偶数是空集。这是最简洁证明。

另外通过互异互素思想也能证明哥猜成立。可表偶数2m=p+q，龙头例外偶数2h=2m+2，h=m+1（此为三元互素方程，若两元互素，则三元必两两互素），故h和m必每次互素，即h同m1互异互素，说明h在其它m的相邻数中，这就要求同其它m互异互素，即同时还要与m2互异互素，同时还要与m3互异互素……，故h不仅与m是每次互素的，而且还是累积互素的。再加上已经证明，m是蕴含所有素因子的（可表偶数蕴含所有素因子定理笔者已证，有专著已出版，网页版论文可搜索澎湃新闻）。于是可推得h要同所有的素因子互异互素，这就表明h是空集（无素因子可构造），2h是空集，龙头例外偶数是空集，那全部例外偶数也就是空集。如此可证明，所有大于6的2n与可表偶数2m是等价的。那两互异的p+q与2n就是同构等价的。

可表偶数2m蕴含所有素因子，可通过所有素数的2倍即2q是可表偶数来归谬证明。假如2q除可表偶数2p外还存在例外偶数2p’，2p’≠p+q，2p' 为例外偶数，它是不能用两互异奇素数之和表达的偶数，p、p'为互异奇素数，它们的并集须囊括所有奇素数q。那么必有2p'-2p=2t，p'与p因互异而互素，根据三元方程若两元互素必三元两两互素的性质，p与t必互素，p' 与 t 必互素。

由于构造t的素因子始终要与p及p'互素，其累积结果，导致要与所有的奇素数互素。该结论可由1.2中的三元方程解集互素推论证得，2p'-2p=2t为三元方程，p'-p=t，因p'与p是互异素数，因互异而互素，故三元方程p'-p=t每次解存在三元两两互素，累次解存在p'与p解集互素（由定义得到）。而p'素数将始终大于t中的素因子，因为可由伯特兰定理得到，若p与2p之间存在例外偶数 2p'所对应的例外素数 p'，p'将大于t中的素因子，如此t解集也就与不大于p的解集互素，由于每次p与2p的新增素数区间若存在例外素数，都必与间隔差2t中的t互素，且知t为偶数，p'素数将始终大于t中的素因子就得证。于是符合了1.2中的三元方程解集互素推论，即p'与p解集互素（由例外素数定义可知），p'与t解集互素（由伯特兰定理t与2t之间必有素数可定义），那么p，p'与t必解集互异，因t的互异域蕴含了所有的素因子，t无因子可构造必与p解集互异互素（由三元方程解集互素推论推得），如此就证明了解集Ut中的素因子与解集Up'和Up都互素，而Up'Up是蕴含所有素因子的，于是t就没有奇素因子可构造，加上2p'-2 ^w =2t，t与偶素数2也互素，故例外偶数 2p' 不存在。再因为所有奇素数q的2倍，定是互异型可表偶数 2p以及互异型非可表偶数2p'的并集，意味着t要始终与所有的奇素数及偶素数互素。

因此2t就不存在，故2p=2q，所有素数的两倍2q必为互异型可表偶数。如此就证明了互异型可表偶数2m包含了所有奇素数q的两倍。也就意味着，可表偶数2m中的m是蕴含所有素因子的，h与m中的所有素因子互异互素，这就证明了h是空集，故可表偶数是空集，于是互异型哥猜获证。

哥德巴赫猜想获证，同理可证明斋藤猜想成立，只需把可表偶数定义为两素数之差即可，该定义下的可表偶数同样可以证明斋藤猜想成立。继而可证明波利尼亚克猜想成立。但更强版的相邻素数之差是否也成立呢？我们知道相邻素数之和不能表所有偶数，这个很容易举出反例，26就不能用两相邻素数之和表达。因为该定义下的例外偶数并不是空集，但相邻素数之差是否可表所有偶数还尚未找到反例，对应各个偶数差有无穷组相邻素数解也未找到反例。

这个就是更强版的波利尼亚克猜想，pj-p（j-1）=2n。

为何相邻素数之和不能表达大于6的所有偶数？为何相邻素数之差却可以表达大于6的所有偶数？

pj-p（j-1）=2n。这是因为偶数分割方程在相邻素数的基底下所匹配的特征值是整数，偶数空间必有相邻素数之差的二维线性基底，不能用相邻素数之差表达的例外偶数是空集，于是强斋藤猜想获证。

我们定义p为素数，f（p）为后继素数，它们的差f（p）- p=2m为可表偶数，化简可得ap-bq=2m，则存在A（p-q）=2m，A为有理数子集的线性算子，只要（p-q）可表所有偶数（斋藤猜想已证成立），任意A映射下的（p-q）就一定仍可表达所有偶数，故相邻素数的差可表所有偶数。

而相邻素数的和，不能表达所有偶数，是因为两互异奇素数p+q不能表达偶数2、4、6，有些线性算子需要约掉2、4、6才能表达所有的2n，否则2n有漏项。全体偶数作用某类有理数子集，仍可构造出所有偶数，非全体偶数作用某类有理数子集，则不能构造出所有偶数，存在某类无限的偶数子集不能构造，因为某类迭代算子可以有无限个，但在2、4、6缺席下不能构造某一无限偶数子集。故相邻素数之和不是构造全体偶数的充要条件，命题仅有满射而无单射关系，而相邻素数之差是构造全体偶数的充要条件，命题为单满射关系。

于是相邻素数之差可表所有偶数获证。下面我们来证强波利尼亚克猜想，相邻素数之差可表2n且各有无穷组解。

在强斋藤猜想成立的前提下，证明强波利尼亚克猜想就容易多了。假如差值为2n的相邻素数有限，即不大于任意给定偶数2n间隔的相邻素数对假如为有限组，那么大素数的增长必然相邻间隔要大于2n，否则素数数列会无限长，矛盾；但选择大素数区间的间隔无穷无漏大于2n，又会与伯特兰定理矛盾，而不新增素数又会与素数无穷个相矛盾。故归谬可知间隔给定数2n的相邻素数对存在无限组。继而可推出给定的互异递减间隔为2n-2t的相邻素数对也有无穷组。因为间隔2n的素数对有无穷组，那无穷组间隔2n的素数对其组间隔偶数又不能仅大于2n，否则大素数的间隔就不能构造所有偶数，也会与伯特兰定理相悖，且不能没有互异组间隔，否则素数数列会无限长，故必有偶数小于2n的相邻素数对有无穷组。如此迭代推进，得到间隔最小的相邻素数即孪生素数，就必有相邻间隔为2的孪生素数对有无穷组。

再根据相邻素数差值的差值等于2n，因为偶数间隔存在任意2n，即根据强斋藤猜想的推论：（p1-p2）-（p3-p4）=2 或2n有无穷无漏组变换，可知（p1-p2）-（p3-p4）=2或2n 也各有无穷无漏组，若（p3-p4）=2或2n各有无限组，于是（p1-p2）也一样能够迭代获得4或2n+2各有无限组，即（p1-p2）=2n有无限组，（p3-p4）=2n+2就有无限组，没有后继匹配的无限组，素数等差数列就会无限长，矛盾，故两类不同间隔差值的相邻素数各有无限组，其中pj为所有奇素数，n>3。 以上就证明了强波利尼亚克猜想是成立的。

互异互素的思想是打开很多久未解决的数论猜想的钥匙。

素数分布的加性特征鲜有人研究，尤其令我们兴奋的是，该方法一旦通过，离散与连续各说各话的局面将会打破，很多学者反对天人合一，从笛卡尔到哥德尔皆有这样的传统，包括康托尔、杨振宁等大科学家，笃信只有多元角度才可认知天地万物，殊不知多元角度也是可以一以贯之无碍打通的，天人合一依然是行之有效的。关于该思想的证据是，罗莫证明了因与无穷素数互异互素，例外偶数必是空集，该发现非常深刻，不同层次的实无穷是可以用潜无穷来贯通的，希尔伯特的旅店不但可住下所有代数数，依然可不断住下后发现的的实数新客，戴德金无厚度的刀，也是一样没有一劳永逸可封闭的定义，如此不可数亦可数，绝对的不可数是不存在的，闭区间套定理成立是有条件的，两个不同的无穷子集仍然是有秘密交集的，否则完全互异的无穷子集定为空集（无素因子构造），否则“闭域套定理”就真成“避孕套定理”了，没有素数种子数哪有扩域的数系，故不可数是一种人为定义的自闭，解放新算法，可数性仍可继续。天人合一依然成立。不可数亦可数，不对称亦对称，但可数不是僵化的可数，对称不是僵化的对称，这是素数研究的一次巨大收获。

2014 年 7 月 17 日于深圳

2018 年 9 月 10 日修改

参考文献：

[1] 华罗庚 . 堆垒素数论 [M]. 北京：科学出版社，1957.

[2] 闵嗣鹤 . 数论的方法 [M]. 北京：科学出版社，1958.

[3] 潘承洞，潘承彪 . 初等数论 [M]. 北京：北京大学出版社，2013.

[4] 西尔弗曼 . 数论概论 [M]. 孙智伟，吴克俭，曹慧琴，译 . 北京：机械

工业出版社，2016.

[5] 高斯 . 算术探索 [M]. 潘承彪，张明尧，译 . 哈尔滨：哈尔滨工业大学

出版社，2011.

注释：

①吉尔布雷斯猜想。堆垒素数范畴中的问题之一，以素数的和差运算为主要运算工具，其他还有哥德巴赫猜想、华林问题、考拉兹猜想等。华罗庚的名著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表 40 余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为 20 世纪经典数论著作之一。

②一元一次迭代方程，就是把一元代数式的函数结果反复代入原函数中继续求解结果的方程式。经过一次迭代，二次迭代，……，n 次迭代，方可求出函数方程的所有值域。

③构造性证明。在数学中，构造性证明是证明方法的一种，通过直接或间接构造出具有命题所要求的性质的实例来完成证明。与构造性证明相对的概念是非构造性证明（有时也称为存在性证明或纯粹存在性证明）。后者只证明满足命题要求的物体存在，而不提供具体的实例或构造这样的实例的方法。

④无穷无漏。集合中元素无限延伸的性质称为无穷，集合中元素连续不缺的性质称为无漏。即大无外（无穷）小无内（无漏）的数学性质。自然数集中，更大的自然数指向无穷，相邻自然数的间隔为 1 就是无漏，若大于 1，则不连续有缺。

⑤ |l p n ±1 -l p n | ≤∑ p n ，这是非同组相邻孪生素数的差值不等式，如 11、13和 17、19 一样，11 与 17 就是非同对的相邻孪生素数，它们之间的间隔素数平均为 9 个左右波动，而差值等于 18 的孪生素数有无穷无漏组。

⑥奥波曼猜想，1882年由奥波曼提出，在a 2 与a 2 +a之间（即x与x+ x之间，x 为可开平方数）至少有一个素数。此猜想在该文发表前尚未获证明，它是有关相邻素数差值判定中最强势的一个命题。

⑦本文作者完成证明的强伯特兰猜想，则是在伯特兰猜想基础上的一般化推广。它在差值范围里无漏包含所有素数时，猜想仍能成立，这是前人尚没有完成的证明。伯特兰―切比雪夫定理说明：若整数n＞3，则至少存在一个质数p，符合 n ＜ p ＜ 2n-2。另一个稍弱说法是：对于所有大于 1 的整数 n，存在一个质数 p，符合 n ＜ p ＜ 2n。1845 年约瑟 • 伯特兰提出这个猜想。伯特兰检查了2 至 3×106 之间的所有数。1850 年切比雪夫证明了这个猜想。拉马努金给出较简单的证明，而保罗 • 艾狄胥则借二项式系数给出了另一个简单的证明。强伯特兰猜想可与哥德巴赫猜想相互证明，即两个判定是等价的，而切比雪夫、

拉马努金和保罗等证明的弱伯特兰猜想则不能证明哥德巴赫猜想成立。

⑧杰波夫猜想。1855 年，杰波夫认为，在 n ^2 和（n+1）^2之间一定有素数，这就是杰波夫猜想。1905 年，迈伦特证明了对于比 9000000 小的平方数，杰波夫猜想成立。本文首次给出纯数学文本证明。

⑨布罗卡尔猜想。法国数学家布罗卡尔（1845-1922）认为在两个素数的平方之间至少有 4 个素数，例如：在 9 和 25 之间有素数 11，13，17，19，23，这个命题既没有被证明，也没有被推翻。本文首次给出证明。

⑩素数公式，又称质数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生质数（素数）的公式。即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的质数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是质数。由于质数的个数是可数的，因此一般假设输入的值是自然数集（或整数集及其他可数集）。迄今为止，人们尚未找到易于计算且符合上述条件的质数公式，但对于质数公式应该具备的性质已经有了大量的了解。通常所说的素数普遍公式是指概率求解素数的公式，即 π（x）≈ x/ lnx 其中 lnx 为 x 的自然对数。

对角线轴上的差值数列。即吉尔布雷斯三角斜线上的差值数列，新素数p n 所在的斜线上的差值数列同已知相邻斜线上的数列各项差值依次做迭代差值运算，直到数列第 n 项时，其差值必为 1。

米勒 - 罗宾素性检测。判断一个给定的数是否为素数，不仅仅是一个基础的数学问题，同时具有很大的实际应用价值。在 RSA 公钥密码体制中，需要用两个很大素数来产生一个（辨别使用者身份的）私钥密码。那么，快速而有效地检测一个数是否为素数就变得非常重要了。要测试 n 是否为素数，首先将 n-1 分解为 2 s d。在每次测试开始时，先随机选一个介于｛1，n-1｝的整数 a，之后如果对所有的 r ∈｛0，s-1｝，若 a d mod n ≠ 1，且 a 2rd mod n ≠ -1，则 n是合数。否则，n 有 3/4 的概率为素数。

“差值搭桥法”，一种不同于筛法求解素数生成的算法，它通过吉尔布雷斯三角的差值逆运算，迭代反推新增相邻素数，在已知素数的基础上，通过差值搭桥来抵达新增素数。该方法的难点是差值项正负符号的确定。

吉氏差值符号函数 D j （n）▲=（-1）G（j，n）（j≥ 0，n≥ 1）的表达式：第一次迭代差值符号，是由不同等差的无穷组有限段素数数列决定的，如孪生素数，意味着相邻差值项2会反复出现，同理，差值2n的素数相邻差值都会反复出现，这些周期连线叠加在一起，大周期包含小周期，最短距离（即两相邻点间）的切线斜率就有正有负，差值位置拐点向下延伸的相邻差值连线就是逆差运算位置。吉氏差值符号类似勒让德符号，而勒让德符号即二次特征，是一个由阿德里安 - 马里 • 勒让德在 1798 年尝试证明二次互反律时引入的函数。这个符号是许多高次剩余符号的原型；其他延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。本文的吉尔布雷斯差值符号则存在更为复杂的性态，尚未找到函数表达式。