向量视角下的合数类别

编者按：针对“相邻素数内含任意个奇合数猜想”,张煜明老师提出了一种合数分类几何化方向的思路，他认为罗莫老师的二元素数基底思想捕捉到了素数的本质，已经解决了相邻素数问题，也坚定了他用几何化思路证明此猜想的信心，合数就是素数向量组或者说是高维空间数，他邀请罗莫老师对他的证明做些指导补充.以下就是张煜明和张锋露两位老师的论文《向量视角下的合数类别》,合数类别与相邻素数紧密关联，两位老师证得类型合数超正方体数与自然数一一映射（但未完成与任意长的紧邻奇合数数列可一一映射）,于是得到分类合数组的偶合数个数也是任意个的，从而证得相邻素数间隔差可表所有2n. 只是数学归纳法的递推部分证明还需要补充些细节，要映射刻画每段紧邻的奇合数有任意个，仅类型合数的个数有通项表达是不够的，合数组类别n维超正方体格点类别是一一对应的，仍不足以说明紧邻奇合数数列有任意长，有些环节尚需交代.而罗莫老师用斋藤猜想和波利尼亚克猜想以及二元素数基底其通项函数不扩域思想为引理可完成封顶证明，确定了相邻素数间隔差必蕴含所有偶数.

摘要：本文证明相邻质数的间隔规律，对于任意偶数总存在两相邻质数使.通过深挖自然数隐含的几何意义，用向量视角看“合数”，把合数归类，质数的间隔规律得以呈现.

关键词：质数  合数  维度  向量 超正方体 

作者/张煜明、张锋露    点评/罗莫

1.质数定义

质数也叫素数，指在一个大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数.

大于1的自然数，除了质数就是合数.按照规定，1不是素数（也不是合数），最小的素数是2，其后依次是3、5、7、11等等.素数是无穷多的.

2.自然数的几何意义

我们认为，用数轴上的点表示自然数，是把数固定在同一直线上,数的几何意义变得单一化.研究素数的问题上，还应该挖掘数更多的几何意义.[1]

实际上，表示数的点并非都在同一直线的.

如图，表示合数4,6，8的点与其他数不在同一条线上.

同理，表示自然数的点可以不在同一平面（多面体）内.

3.合数归类的作用

除了2，3是连续的质数，其他质数之间的数是合数.合数之间是孤独的质数.我们先把合数从自然数中分出来，单独对合数的性质进行研究.对应地，先把表示合数的点从其他点分出来进行探讨，我们发现，合数的类别能反映质数的间隔规律.

4.合数组定义

我们把两相邻质数之间的合数看成一个整体，称之为合数组.用符号（）表示.比如两相邻质数3和5之间的合数4，看成合数组（4）；两相邻质数7和11之间的合数8,9,10；看成合数组（8,9,10）. 易得：

[性质1]质数是合数组的分隔数.

[性质2]合数组里的合数一偶一奇,从小到大排列,首尾都是偶数.

依性质2，把合数组中的奇数舍去，保留偶数，所得的合数组称为偶数组.

把一个合数组中的奇数舍去，保留偶数，所得的数组称为该合数组的偶数子组，显然有：

[性质3]合数组与偶数子组一一对应.

5.合数的类别

把合数看成向量，向量有维度之分.只有同一维度的向量才可以相加，相加后的和仍然相同维度的向量.

假设正自然数集N只有质数p，此时P=2，因为2为最小的质数.那么N的所有合数都可以表达成c=2+2+2+2+…+2=2n（n∈N，n≥2）的形式，即所有合数是偶数2n（n∈N，n≥2).此时，中有合数维度都相同（与2维度一致），只有1个维度.

我们这样理解此时的正自然数集，所有合数是偶数，只有1个维度，没有其他维度，即所有合数没有维度之分，或说维度是任意的.我们把它2m（m∈N）定义为0维度数.这与零向量定义吻合，偶数2n（n∈N，n≥2）可看作零向量任何维度的向量都必含零向量，即零向量有任意维度.从而偶数()有任意维度，所以，对被相邻质数分隔开的合数组里的偶数的维度差别进行归类，就实现合数（组）的归类.例如，对被相邻质数7和11分隔开的合数组(8,9,10)中的偶数组（8,10）的维度差别进行归类，就实现合数组（8,9,10）的归类.

单个偶数2n（n∈N，n≥2）的几何图形是离散点.与零向量的几何图形一致.

我们借助三维以内的几何图形来理解n维的散点类型n∈N.具体情况如下表1：

这样，用“向量”的眼光来看自然数，实现了合数归类.

大于1的自然数中除合数就是质数，从而合数类别的分隔数只能是质数.至此，质数间隔规律得到证明.即对于任意偶数2n+2（n∈N），总存在两相邻质数p1、p2，p1-p2=2n+2.

补充说明：

第一.表中典型向量是指终点为同类点且模为最小的向量，坐标只能取0或1，典型向量不是唯一的.以三维的例，以棱上的点为终点典型向量OA（1,0,0），还可以是向量（0,1,0）（0,0,1）.若我们约定坐标中“1”的前面没有“0”，则典型向量变成唯一（1,0,0）.

第二.对于任一合数c=p1^t1p2^t2p3^t3p4^t4pr^tk……（r,k∈N）可以看作线段长度，长方形面积，（超）长方体体积，我们把超长方体棱伸缩变形后得超正方体，对应“体积”为V=n^n(n∈N).然后对超正方体所含的“格点[2]”进行分类，这对“点”的分类是没影响的（拓扑性质没变）.

对超正方体所含的“格点”进行分类就是对偶数的分类，从而实现对合数的分类

定义1:  0维超正方体即点元素，1维超正方体即线段, n维超正方体是在n维空间中以n-1维超正方体为边界，且相邻的n-1维超正方体互相垂直的封闭图形.[3]

    二维超正方体即正方形，三维超正方体即正方体.

定义2:  构成n维超正方体的0维几何元素称为这个超正方体的顶点.构成n维超正方体的1维几何元素称为这个超正方体的棱.[3]

利用皮克定理的高维推广（Ehrhart多项式），可以看到n维超正方体所含点元素（格点）有n+1类.

从而，n维超正方体所含的格点有n+1类.结合上表1，可得，合数组类别与n维超正方体格点类别是一一对应的.

 附：以至96的数为例，合数的分类如下表2：

以下是罗莫老师对该论文的补充和点评。

张老师的核心思想是，超正方体合数与分类合数组紧密关联，都能与自然数一一映射，因超正方体合数映射了所有自然数，超正方体合数是无限密集分布在所有合数组里的，它们分布在不同的分类合数组中，各种合数组分布在任意长的格点上.

假如任意长的所有合数组不能区分出所有素数，就会与自然数可三分矛盾，即1，质数，合数，故任意长的所有合数组是定能区分出所有素数的。用合数组梳子压住合数组，全体素数就露出来了。用对应可任意长奇合数的偶数分类合数组布局成一把梳子，可以相邻筛出所有的相邻素数，两个相邻的合数组定能包围任意一个素数，两个相邻的素数定能包围一个任意长的偶合数组，相邻素数间隔猜想于是获证。这个思路是极佳的.

那论文还需要交代的关键环节在哪里呢？任意分类的偶数确实可以映射所有分类合数，但不能保证这些合数是紧邻的，可能会被素数隔断，故不能任意分类偶数来区分合数，也不能用任意分类的自然数来区分超正方体数.各段合数确实会被各段偶数一一映射，但被多少偶数一一映射未知。但张老师的证明可以用反证法完成，为何任意偶数分类可以等价任意合数组分类.假如各段合数数列不任意长跟任意偶数一一映射，合数就构造不了所有的偶数，这会与算术基本定理矛盾.这其间需要一个证明.有限长合数确实构造不了所有偶数，且无限有漏长合数也构造不了所有偶数.但论文没有详细交代这个环节.总之，我们需要证明的关键命题是——

为何差值为1的紧邻奇合数数列可任意长？

这是相邻素数猜想的等价命题。也就是问“非素数的奇数数列为何可任意长？”这个问题完成证明了，相邻素数猜想也就获证了。当年陶哲轩证明过类似问题“素数数列可任意长”，不是初项固定或公差固定的那种，为此陶还获得了菲尔兹数学奖。这是一个很深刻的问题，为了证明该问题，我们要对分类合数组的性质再添加一条。

 在原文基础上添加了一个性质4。

 [性质4] 我们把等差为1且同个数的合数数列叫同类合数组。同类合数必有紧邻关系， k维紧邻合数组f（k）与偶数2k中的k一一映射。合数组中拿走一个偶数，偶数和奇数是一样多的。比如（8，9，10）、（12）、（14，15，16）就是，且两组不能为一组，因为被素数隔开了，不紧邻。相邻素数因为要分割不同维度的合数导致要分割不同个紧邻合数，这就与合数中的偶数产生了一一映射。

论文中超正方体对高维合数的分类可对应偶数的分类，尚不够直观，张老师证得，n维超正方体所含的格点有n+1类.合数组类别与n维超正方体格点类别是一一对应的.相邻素数区间合数要包含这些k维超正方体数，必包含相应k个无漏偶数.

1） 定理：相邻素数间隔非有限长.

证明：假如相邻素数间隔是有限长的，根据鸽笼定理，就必有无限长的某定值等差的素数数列，而这就与定值等差的素数数列不可能无限长矛盾.可见素数数列的公差间隔非有限长的，只是定值公差的素数数列项数不是无限长的.即pn+1- pn=2m，2m为定值时，pn+1与 pn有无穷组解，可见有无穷对相邻素数的间隔差能表某一定值的偶数2m，且这一定值也有无穷个，暂时还不能确定有无漏个，下文会进一步证明.

推论：有限长紧邻合数数列构造不了所有偶数.

证明：根据相邻素数间隔非有限长，那根据鸽笼原理，要么合数非有限长，要么偶数非有限长。根据映射关系，偶数组与合数组它们都是非有限长的.

2） 定理：相邻素数间隔差可表无穷无漏个偶数.

证明：假如素数非相邻新增而偶数能相邻新增，说明可表偶数的相邻偶数是远邻素数的间隔差构造的，说明pk与pt之间至少存在一个相邻素数pk-1或pt+1，是可表偶数2m，那可表偶数的相邻偶数2m+2，减去2m，所剩下的差值是2，说明间隔所含的素数既与pk是孪生素数，又与pt为孪生素数.如果与前项构成2m（含无穷对孪生素数，根据孪生素数猜想获证推得）又与后项构成孪生素数，如果与后项构成2m（含无穷对孪生素数，根据孪生素数猜想获证推得）又与前项构成孪生素数，总之除3、5、7外会构成含三项的公差为2的素数数列，这就与大于7的公差为2的素数数列不含三项相矛盾。于是归谬证得远邻素数也不能构造可表偶数的相邻偶数，该结论进一步与已经获证的斋藤猜想矛盾，斋藤猜想已经证得偶数间隔可表所有偶数，即相邻素数与远邻素数的间隔是可以合伙构造所有偶数的，而以上基于假设素数非相邻新增而偶数能相邻新增，就会推得相邻素数与远邻素数的间隔合伙也构造不了所有偶数，矛盾，可见假设是不真的.于是归谬证明了，素数相邻新增偶数才能相邻新增，相邻素数间隔差可表所有偶数就获得了证明。即pn+1- pn=2w，w为任意正整数时，都有相邻素数共轭差可表。

推论：无限长但有漏项的合数数列构造不了所有偶数.

证明：根据相邻素数间隔差可表无穷无漏个偶数，可推得相邻素数区间有无穷无漏个偶数与合数.

3） 定理：相邻素数共轭差有任意个偶数的推广命题：每一个确定的偶数都有无穷组相邻素数共轭差可表。

证明：根据已证定理“相邻素数间隔差可表所有偶数”，可推得，（pn+1- pn）-（pt+1- pt）=2，该方程的解有两种无穷情形，一种是，两组差同时无穷递增可构造差值2；一种是，两组差皆为定值时有无穷组素数对可构造差值2。前一种情形根据“相邻素数间隔差可表所有偶数”可直接获证。后一种情形，根据pt+1- pt=2即孪生素数有无穷组解，可推出pn+1- pn=4有无穷组解，假如大于定值M后没有相应差值解，大偶数的相邻偶数就无法继续用相邻素数构造，这与“相邻素数间隔差可表所有偶数”相矛盾。因为大于任何定值，都继续存在相邻素数差值的差值等于2。故减数项有无穷组解，那么被减数项就必有无穷组解，依次递推，只要孪生素数猜想成立，差值为任意偶数的相邻素数共轭差都有无穷组解也就能相应地迭代成立.

总结下相邻素数间隔猜想的关键证明就是：因为持续递增有限个偶数不行，会与素数数列有限长矛盾；因为持续递增无穷但有漏个偶数不行，会与素数数组无限长（含孪生素数猜想）矛盾；剩下就是必须持续递增无漏个偶数才行，否则会与素数相隔的合数可任意长（斋藤猜想）矛盾。继而可证明，有无穷组相邻素数有任意定长，否则会与相邻素数猜想（含素数差值的差值定理）矛盾.

这是用获证的猜想来证明相邻素数猜想的.还可以直接用数学工具——二元素数基底不扩域的思想来完成证明.

任意偶数可以完成加性或减性互素分割，即ap+bq=2n或ap-bq=2n.（根据三元方程两元互素则三元两两互素推得）.

先看加性分割。ap+bq=2n，p、q为奇素数，a、b为正整数，n为大于6的任意自然数.当2n为定值偶数时，p、q为相邻素数，系数向量（a、b）映射变换后，可得2n，但p、q、a、b皆为有限值，当p、q限于相邻素数时，通过有限个a、b以及定值2n，互素筛出相邻素数的机会不多.比如素数的2倍26就不能用相邻素数之和表达，也不能用相邻素数的互素线性映射来表达。这就证明了相邻素数之和是表达不了所有偶数的.因为素数的2倍必能用两素数之和表达（根据已经获证的互异性哥猜推得），而这两素数之间已定义有素数，故该偶数不能用相邻素数之和表达.

再看减性分割。ap-bq=2n. p、q为奇素数，a、b为正整数，n为大于0的任意自然数. 当2n为定值偶数时，p、q为相邻素数，系数向量（a、b）映射变换后，可得2n，但p、q、a、b可不为有限值，减项与被减项可以不断相应递增来获得定值，相邻素数不能加性分割所有偶数，但相邻素数可以减性分割所有偶数，假如相邻素数不能减性分割所有偶数，就会推出矛盾，假如相邻素数不能加性分割所有偶数，就不会推出矛盾。假如相邻素数不能减性分割所有偶数，那会怎样推出矛盾呢？可以用相邻素数等于其它量来线性映射一个无限可变的系数向量得到定值。用无限递增的系数向量(a、b)来实现。而系数向量(a、b)中存在相邻素数因子能减性分割该定值偶数，于是矛盾.

还可以换个路径证明，假如相邻素数相减不能表达该偶数，远邻素数才可表达，说明pk与pt之间至少存在一个相邻素数pk-1或pt+1，是可表偶数2m，那可表偶数的相邻偶数2m+2，减去2m，所剩下的差值是2，说明间隔所含的素数既与pk是孪生素数，又与pt为孪生素数。如果与前项构成2m（含无穷对孪生素数，根据孪生素数猜想获证推得）又与后项构成孪生素数，如果与后项构成2m（含无穷对孪生素数，根据孪生素数猜想获证推得）又与前项构成孪生素数，总之除3、5、7外会构成含三项的公差为2的素数数列，这就与大于7的公差为2的素数数列不含三项相矛盾.故相邻素数相减不能表达可表偶数的后继偶数为不真，相邻素数相减是能够表达所有偶数的.

也可以说，令相邻素数相减能表达的偶数叫可表偶数，那系数向量的线性映射叫通解，那通解能够表达所有2n吗？经证明，假如通解能够表达给定值2n，那通解也能表达2n+2，因为孪生素数猜想已经获证（见《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社/作者罗莫）. 根据数学归纳法，故通解可表所有的2n，于是相邻素数相减的可表偶数为所有2n的最简本原解. 根据二元素数基底的线性映射不扩域的思想可知，相邻素数相减在表达所有偶数时不扩域，于是可证相邻素数相减能表达所有偶数.

 

 参考文献 

[1]   张煜明.数字有维度，质数可追寻，中学数学研究(M)，2020,6：46-47

[2]   闵嗣鹤. 《格点与面积》北京市数学会编.人民教育出版社，1964

[3]  李贵祥.n维超正方体中几何元素的数量关系，天津纺织工学院学报，第15卷第1期,1996,72-74