不同于两互异素数之和的例外偶数是空集

【摘要】

根据可表偶数和例外偶数的定义，通过互异必有相邻和相邻必有互素的思想，可证明“整数三元方程若两元互素则三元两两互素”的定理成立.  再使用相邻互素递推法，可证明“三元方程两对解集互素若第三对解集互异必解集基底互素”的推论也成立.  也就是说三元方程互异解集特定情形彼此必有新素因子. 最后凭借摩根律，可殊途同归证明“二元加法运算在可表偶数上封闭”，即例外偶数因无基底而导致无通解，可表偶数与大于6的所有偶数同构. 于是更强版的哥德巴赫猜想获证.

【关键词】相邻互素；解集互异；基底互素；三元整数方程互素定理以及解集基底互素推论；摩根律；中国剩余定理；伯特兰定理；哥德巴赫猜想；斋藤猜想；孪生素数猜想；波利尼亚克猜想；考拉兹猜想；abc猜想；黎曼假设.

区分数学对象需要求异思维，关联数学对象需要求同思维，两类思维交互进行，可解决一系列至今未解的重要猜想.

扩展范畴，互异必有相邻，相邻必有互素，这是生成元和生成对象通过算法能迭代生成各种分形的原因，作者把这一规律叫着相邻论，用泛相邻思想有序地完成域扩张，就象离散数学从抽象的区分出发，回归区分. 此所谓生起次第，法界森严.

限制类型，那二元加法运算在该类型偶数上一定封闭，允许扩域和限制，那相应的二元算法必能在相应的数域里封闭，这是生成元和生成对象通过算法能递归生成确定极值的原因，作者把这一规律叫着重合法，用泛相等思想有界地完成域扩张，就象连续数学从抽象的关联出发，回归关联. 此所谓圆满次第，空色一如.

哥德巴赫猜想的表达式p+q=2n（左边刻画次第，右边刻画平等），就是研究“区分与等量之间关系“的，也是研究“各种分类之间的等价关系”的. 会发现，素数多项式与素数二项式等价，素数二项式与素数单项式等价，排中律以矛盾律为归旨，矛盾律以同一律为归旨.  至简世界必有真值，这是第一性原理.

数学之争归根结底来自“对无穷世界进行分类有分歧”. 皮亚诺公理体系面向实无穷若存在既不能证伪也不能证真的命题，则两种无穷之外一定是存在真值对象的，添加新公理便可. 这一点哥德尔已经表达得很透彻. 皮亚诺公理体系面向潜无穷若存在既不能证真也不能证伪的命题，则两种无穷之外一定是不存在真值对象的，哥德巴赫猜想获证体现了这一思想. 如何让皮亚诺公理体系面向潜无穷呢？即公理不断可扩域可恒久理解. 在这样的前提下，阴阳之外无真值. 真值可永远隐藏在能超越实无穷的潜无穷里，一个命题，要么可证真，要么可证伪，没有第三种选项. 不能用两个素数之和表达的偶数是不存在的. 无穷无漏个素数可一分为二，两类等于全集的互异素数集相加不会生成第三类互异的素因子集，也不在两类素因子的数集中. 实无穷分类对象，其中一定有假，也可能都假，但其它一定有真. 潜无穷分类对象，其中一定有真，也可能都真，但其它一定为假. 如此可解决数学史上很多争论不休的问题. 既要让实无穷存在，易表达，也要让潜无穷存在，有希望. 

以下我们就在“易表达”和“有希望”的引领下尝试证明哥德巴赫猜想.

1.0. 

◎“互素”定义：a和b无共同素因子就叫a和b互素，也叫互质，比如说，3和5，18与35，1和7，1和1，它们都是互素的.

1.1.

◎“三元互素方程”定理：整数三元方程若两元互素则三元两两互素，即 a+b=c，当gcd（a，b）=1，则gcd（b，c）=1，gcd（a，c）=1。

证明：已知 a、b 是一对互素的整数，c是它们的和，即 a+b=c，由于a与b互素，故b与c以及a与c必互素。假如其中两项非互素，有公约数可约掉，另一项不可约而成真分数，如此就会产生整数与真分数相等，矛盾. 故整数三元方程若两元互素则三元两两互素.

1.2.

◎“互异分割方程”定理：大于4的任意偶数2n都能完成互异分割，也能完成互素分割，即a和b必有互异互素解集表达任意偶数. 若有“a+b=2n”，则存在“gcd（a，b）=1，a≠b”.

证明：大于4的任意偶数2n都可以完成等量分割，均分为两个相同量即n+n=2n，以n为中位数可构造共轭差不为0的两个数，其和也等于2n，即n+m+n-m=2n, 当a=n+m，b=n-m，m大于0时，2n完成了互异分割a+b=2n，令a每次与给定的2n互素，则2n也与b互素，我们称所有的2n都能完成互素分割。即关于2n的本原解方程已经囊括了可构造2n的全部解集，2n的本原解三元方程其通解在偶数集上不扩域。本原解方程就是通过数乘逆运算得到每一项都没有公因子的方程，如本原解方程a+b=c的通解方程是ta+tb=tc。以后我们还将证明，2n的最简本原解三元方程其内积通解在偶数集上也不扩域. 最简本原解方程就是通过内积逆运算得到的方程，其生成元为彼此互异的素数，其生成对象与生成元分别互素，如最简本原解方程p+q=2n的内积通解方程是ap+bq=2cn.

1.3.

◎“基底互素”定义：a和b有不同素因子就叫基底互素，如3和5，77和91. 互素关系中，若a≠1或者b≠1，则该类互素也属基底互素; 基底互素关系中，若不含公因子，同时a≠1或者b≠1，则该类基底互素也属互素. 任意偶数可完成互异分割，得到方程2n=a+b，当a或b都不是彼此的公因子时，a和b是基底互素的. 基底互素方程必有二维素数基底.

◎“解集基底互素”定义：在三元互素方程中，每次解是两两互素的，累积解不一定两两互素，若两元的累积解互素，且a和b累积解都非1，则我们称a和b解集基底互素.如，解集a={3，11，30，65}与解集b={7，13，55，99}是解集基底互素的，a中的3与b中的7为不共素因子，故a和b是解集基底互素的.

◎“解集互异”定义：在三元互素方程中，a和b解集中没有任何一个相同解，就叫解集互异. 如a={5，18，22}与b={9,11,17}，a和b解集就没有任何一个相同解，故称a和b解集互异. 

1.4.

◎“三元方程互异解集基底互素”定理：整数三元方程a+b=c，Ubi、Uai、Uci为三元方程解集，若解集gcd(Ubai,Ubi)=1，解集gcd(Uci，Ubi）=1，且Ubi或Uai≠Uci，则解集(Uai,Uci)基底互素，三元方程解集两对互素第三对必基底互素，当Uci与Uai互异，Uai蕴含全部素因子时，同时也严格解集互素gcd(Uai, Uci)=1.

同样，若解集gcd(Ubai,Uci)=1，解集gcd(Uci，Ubi）=1，且Uci或Ubi≠Uai，则解集(Uai,Ubi)基底互素，三元方程解集两对互素第三对必基底互素，当Ubi与Uai互异，Uai蕴含全部素因子时，同时也严格解集互素gcd(Uai, Ubi)=1.

 （i为足码，U为解集的并运算符号）

证明：a和b无共同素因子就叫a和b互素，a和b有不同素因子就叫基底互素. 已知 a、b是一对互素的整数，c是它们的和，即a+b=c，由于gcd(Uai,Ubi)=1，gcd(Ubi,Uci)=1，且a与b、b与c以及a与c必每次互素,则Uai和Uci必基底互素，一个解集跟另一个解集在基底互素的条件下有新增素数因子的性质。基底互素，说明单对单数值每次比较有不共素因子，多对多解集通关比较也有不共素因子. 通俗地说，两大互异阵营都有对方没有的秘密武器. 但基底互素允许存在共素因子. 

同时也严格互素gcd(Uai, Uci)=1，当Uci与Uai互异，Uai蕴含全部素因子时. 1和任何整数都互素，但不属于基底互素，1和1互素，但不属于基底互素，15和3约掉3后互素，但不属于基底互素，21和35非互素，但属于基底互素，因为约掉7后，3和5是互素的，且不含1。有些数是基底互素但不要求互素，如15和9，有些数互素但不基底互素，如5和1，有些数既互素又基底互素，如3和5，有些数既不基底互素也不互素，如15和3，非基底互素的，说明有一方相对没有增添新素数因子. 

假如（Uai,Uci)不是基底互素，移除共因子后，存在gcd(Ua’i,1)=1，Uci相比Uai就没有新增素因子，根据基底互素的定义，两个整数之间相互含有不一样的素因子，就叫基底互素，基底互素的整数也可以含有公因子，解集基底互素，说明解集之间都有不共素因子，不象a和1，仅单方面有不共素因子，基底互素说明，一个解集有对方没有的另类素因子，另一个解集也必有对方没有的另类素因子.

那么根据定义Ubi或Uai≠Uci，在每次解互素的前提下，会导致c解集相对不增加新素因子或a解集相对不增加新素因子，a解集中的素因子都在c中，或者c解集中的素因子都在a中，前者说明，c中有增加新素因子，可不考虑，我们仅假设c没有增加新素因子的情形，在a’是a中素因子的乘积数，b‘是b中素因子的乘积数时，那c中的素因子就不可能是a中素因子的子集，这与不是基底互素的假设相矛盾. 以下用四种方法证明该定理成立.

1.4.1.

已知：三元方程（2p'- p ）+p=2p’是两两互素的，且（2p'- p）与p是解集互素的，p与2p’是解集互素的，（2p'- p）与2p’是解集互异的. p、p’为两分的素因子数集.

求证：（2p'- p）解集相对于2p’解集有增添新素因子，也就是说（2p'- p）与2p’是基底互素的.

证明：假如全部素因子分为两组非空互素解集相加不会增加新素数因子，当然也不会为空集，且与其中一组全部互素，与另一组互异，即可令该组数为（2p'1- p1），与p’互异，与p全集互素，其中p与p’的并为全集素数，则定有(字母后面的数字为足码)： 

p1+（2p'1- p1）=2 p'1，p2+（2p'2- p2）=2 p'2，……pi+（2p'i- pi）=2 p'i，这是伯特兰定理以及三元互素方程性质所得到的结果（该定理切比雪夫已证明，下文1.3作者有简洁证明），因为p’与 p’之间有素数，故定有差值（2p’- p）与p和p’都互素，2p'1和2p'2……中的素因子须与p'1和p'2……全集互素，又不能比（2p'1-p1）和（2p'1-p2）……有更多素因子，也不能同其等值，那只能取其局部素因子，即不到一半，可是我们知道，p与p'已经囊括了所有素因子，（2p'1- p1）与p’1全集互素，与p全集互异，导致就没有素因子，那p'为其中一半不到的素因子，p'也就等于不含素因子，这与解集非空的假设相矛盾，可见“全部素因子分为两组非空互素解集相加不会新增素数因子”的假设是不真的，说明“要么增加新素数因子要么与全集互异无法增加新素因子而属于空集”的判定才是正确的。由此可证明，三元方程两对解集互素那第三对解集互异定是基底互素的.

1.4.2. 

已知：三元方程（2p'- p）+p=2p’是两两互素的，且（2p'- p）与p是解集互素的，p与2p’是解集互素的，（2p'- p）与2p’是解集互异的. p、p'、q为三分的素因子数集.

求证：（2p'- p）解集相对于2p’解集有增添新素因子，也就是说（2p'- p）与2p’是基底互素的.

证明：另外假设全部素因子分为p、p’、非q三组非空互素解集任意配对相加不会增加新素数因子，会导致矛盾，同样也可以归谬证明1.4定理成立。根据条件可知，（2p'1- p1）+p1=2 p'1，（2p'2- p2）+p2=2 p'2，…（2p'i- pi）+ pi =2 p'i，同样符合伯特兰定理要求，2p'与p'之间有素数，故可规定有差值（2p'- p）与p解集互素，与p’解集互异，2p'1和2p'2……中的素因子与p1和p2……pi也是解集互素的，两个非空集任意配对相加不会是空集，能得到素因子p’集合，根据假设它属于（2p'i- pi）的素因子中的真子集，且与其中第一组p全部互素，与第三组q全部互素，即可令三类素数通过三元互素方程构造出的（2p'1- p1），与p’解集互异，与第三类素数q解集互素，与第二类素数p解集互素，其中p与p'以及q的并集为所有素数，但却得出p与p'以及q的并集是（2p'1- p1）中的素因子与p和q之并集的真子集，矛盾，因为全集不可能是真子集. 于是可证明，互素解集任意配对相加不会增加新素数因子的假设是不真的. 说明要么增加新素数因子要么与全集互异无法增加新素因子而不存在的判定才是正确的. 

1.4.3. 

已知：三元方程a+b=c是两两互素的，且a与b是解集互素的，b与c是解集互素的，a与c是解集互异的.a、b、t为三分素因子数集.

求证：c解集相对于a解集有增添新素因子，也就是说c与a是基底互素的.

证明：三元方程a+b=c，其a、b互素集为整数，b、c互素集为整数，a、c互异集为整数时，a和c基底互素的命题也成立，把（2p'- p）换成（2c-b），p换成b，2b换成c，证明一样可行，（2c-b）+b=2c，令b与2c是解集互素的，（2c-b）与b是解集互素的（任意偶数皆可进行互素分割，这是唯一析因定理的一个推论，见1.1，2n=w+t是互素方程，t为大于n的奇数，其素因子与n中素因子不同）.（2c-b）与2c是解集互异的，b、c、t是三分所有素因子的数集，则（2c-b）与2c是基底互素的。假如非基底互素，同理可证会出现矛盾，因为非基底互素，就等于2c中素因子是（2c-b）中素因子的真子集，于是f（b）∪f（c）∪f（t）⊊ f（b）∪f（2c-b）∪f（t），这就导致，素因子全集f（b）∪f（c）∪f（t）是该集（b）∪f（2c-b）∪f（t）的真子集，全集不可能是该全集或其子集的真子集，母鸡毕竟不是自己下的蛋孵出来的，这就证明了三元方程两组解集互素第三组互异会增添新素因子，于是定理1.4获证.

1.4.4.

我们还可用相邻互素递推法来再次证明该定理，上文通过互素递推到整体发现矛盾，后文将通过互素递推到原初也会发现矛盾. 费马的无穷递降法可以用于反证法，因为递降所得到的结果是可验证的，而相邻互素递推是无穷递减法，也可用于反证法，因为递减所得到的结果也是可验证的. 现我们令b=1，如果可行，其它情形也成立，任何一个与a、c解集互素的b解集皆可行，因为1能带来新增素数，兼具基底互素的其它素数因子数一样可行，多个也行，有一个能产生新增素因子，那互素集就带来了新增素数因子，原理一致. 因为c解集中有一个解包含生成的新素因子，就等于c解集有新素因子,

已知：a1+1=c1；a2+1=c2；a3+1=c3；a4+1=c4；a5+1=c5；……ai+1=ci；c解集≠1，以上每个三元方程是互素的，且a解集与1解集是互素的，c解集与1解集是互素的，a解集与c解集是互异的.（当把1换成互素解集b时性质不变）.

求证：c相对于a有新增素数因子.

证明：因为a解集和c解集不可能相同，条件规定不许，说明不是a有就是c有新增素数，c有就不用证明了，现假设c解集素因子∈a解集素因子，a有c没有的素因子，于是可推得，一个数集相邻递减会产生新增素数因子，相邻递增反而会减少素数因子，那么继续递减还会继续新增素数因子，因为{ c1-1；c2-1；c3-1；c4-1；c5-1；……ci-1}比{ c1；c2；c3；c4；c5；……ci}还含更多素因子，进一步互异递推可找到最小初项时的数集，即一个相对更小数集{ c1-w；c2-w；c3-w；c4-w；c5-w；……ci-w}含更多素因子，导致c-1中首项数小于c中含有的素因子，还要蕴含c中的素因子，这与“一个数不能小于该数的素因子“相矛盾. 即当c有w素因子，而a中的最大项递减到小于w时，a必无c中包含的素因子w了，首项无w因子，则a解集无w因子，这必与假设相矛盾。可见假设a相对于c有新增素数因子（c解集素因子∈a解集素因子）是不真的，于是” 三元方程两组解集互素第三组互异会增添新素因子“的推论得证. 当把加项1换成互素解集b时性质不变，命题同理可证。

欧几里得已经证明了，含任意个素因子的若干个整数乘积加1（或加一个互素数）会产生其它素因子. 现我们换个角度也能证明，含任意个素因子的若干个整数分别加1（或加一个互素数）也会产生其它素因子. 如果没有c中的新增素数，就无法互素构造出a中有c中没有的素因子，会导致“首项的数值变小后，所蕴含的素因子仍包含原首项素因子“的这一结果与实情不符的矛盾. 这说明“a中的素因子与c中的素因子非基底互素（c的素数因子∈a中的素因子）“的假设不真. 这就归谬证明了，互素扩域会新增素数因子，不新增素数因子的互素扩域就像“龟毛兔角”，子虚乌有. 可见(Uai,Uci)有不共素因子，于是“三元方程解集(Uai,Uci)一定基底互素”的推论成立.

于是(Uai,Uci)非基底互素的假设是不真的. 故c中的新素因子是每个a和b的基底素因子补元不断筛查所剩的交集. 在此前提下，就会导出一个重要性质：

意味着要同所有的a基底互素才能筛查出c中的新素因子. c中的新素因子同每个a和b中的素因子都是互异集，尤其是针对可表偶数2p，可清晰地判定c中的新素因子同每个p是互异集. 于是根据摩根律就可得到这样一组表达：

在a+b=c中，c中首项数的素因子=Cu（a1中的素因子）∩Cu（a2中的素因子）∩Cu（a3中的素因子）∩Cu（a4中的素因子）∩……Cu（an中的素因子）∩Cu（b1中的素因子）∩Cu（b2中的素因子）∩Cu（b3中的素因子）∩Cu（b4中的素因子）∩……Cu（bn中的素因子）. 根据摩根律“补的交等于并的补”可得：

c中首项数的素因子=Cu{（a1中的素因子）∪（a2中的素因子）∪（a3中的素因子）∪（a4中的素因子）∪……（an中的素因子）∪b1中的素因子）∪（b2中的素因子）∪（b3中的素因子）∪（b4中的素因子）∪……∪（bn中的素因子）}= Cu全体素因子= Ø。而c没有龙头数，c就没有后继同类数,

下文将证可表偶数2p属于a，当解集c同蕴含全部素因子数的a基底互素时，也就等价于a和c两个解集没有公共因子，因此当a为可表偶数时，gcd(Uai,Uci)=1.

在三元互素方程a+b=c中，a与c，b与c解集互素，a与b互异，则a与b基底互素，总之，有两对解集互素，第三对互异必基底互素. 证法同上.

2.0.

◎“中位数”定义：两个整数之和的平均值叫中位数, 两个奇数（含奇素数）之和的中位数都是整数. 比如19和7的中位数是13，21和11的中位数是16.

◎“共轭奇数”定义：与中位数差值相等的一对奇数叫共轭奇数. 如，27和33是一对共轭奇数，它们的中位数是30.

◎“共轭素数”定义：与中位数差值相等的一对素数叫共轭素数.其中与中位数差值非0的一对素数叫共轭互异素数.如，3+7=2X5，5+5=2X5，其中3和7，5和5都是与中位数差值相等的共轭素数对，而3和7是共轭互异素数.

2.1.

◎“伯特兰”定理：任意偶数2n与自然数n之间必有素数（伯特兰-切比雪夫定理的新证法）.

证明：假设2n与n之间不一定有素数（n为大于2的所有自然数），可推出2q与q之间不一定有素数（q为素数），或2（q+t）与q+t之间不一定有素数，2t为相邻素数间隔，即ap+bp‘=2qλ=2n（任意偶数可互素分割，由1.0的三元方程两两互素定理可推理得到，推理的过程是根据算术基本定理，任意给定偶数都有唯一确定的一组素因子，选择互异的一组素因子所得到的数做减数，就能互素分割该偶数, 任意给定2n都可分割出互素奇数ap，剩余所得到的bp’也必与2n互素，即任意2n皆可二元互素表达，也就是说所有偶数二元通解可用二元本原解表达），p、p‘、q为奇素数，导致a或b≠1，p，p‘＜q，说明相邻素数之比大于2倍，因互素分割没有偶数因子，另一合数中的素因子定大于等于3，这会与自然数n的稠密性相矛盾，与已经知道的孪生素数相邻比相矛盾，意味着某些偶数不存在相邻偶数. 

因为根据假定性质q与2q之间或n与2n之间可能没有素数，推导出要表达2n就存在a或b≠1，p，p‘＜q，则p+bp‘≠2q，或ap+p‘≠2q，或p+p‘≠2q，说明存在2qλ无素数因子可构造（因可线性映射但无素数单位元），这与正整数可稠密互素分割（ap+bp‘=2qλ=2n）相矛盾. 2qλ中的特征值λ可以是任意有理数，但2qλ必须是正整数，说明某些自然数n无法构造. 于是归谬可证2q与q之间存在区间没有素数是不真的，那么2n与n之间存在无素数区间也是不真的. 这说明n与2n之间定有素数，而这正是伯特兰猜想，可见伯特兰猜想可以用三元方程互素性质以及特征值性质得到证明，说明不依赖切比雪夫的证明，伯特兰猜想也是成立的, 下文的推导要用到该定理。即任意给定偶数都能进行二元互素分割，其中较大元可定为素数. 

以上是用线性代数基底的思想证明的，以下再用加性数论的思想来完成简洁证明. 假设2q+2 只能用小于q大于2q+2的素数加其它素数才能构造，那么大数区可排除，仅用小于q的素数相加构造，又不能生成大于q小于2q+2的素数，否则等于间接用到了该区段的素数，导致每次再加一个素数所得到的和，它们的素因子都不在“q~2q+2”的范围内. 由于素因子小于q的数进行互素两分，然后相加所得到是数一定会生成新素因子（由三元方程互异解集基底互素定理推得），给定偶数2q+2与共轭奇数对都是解集互素的，因为任意偶数都可以完成互素分割（由1.1偶数互素分割定理推得），三元方程有两对解集互素，第三对解集互异必基底互素（由1.4三元方程互异解集基底互素定理推得）,并已知共轭奇数是互异的，故加性表达2q+2的共轭奇数一定是基底互素的. 但假设却规定较大共轭奇数解集中的素因子都小于中值数q+1，即较大共轭奇数相对较小共轭奇数不会新增素因子，于是产生矛盾，这就归谬证明了，两个小于q+1的素因子数相加无法构造2q+2，从而证明q与2q+2之间必有新增素因子数，由于大于中位数的新增素因子的倍数和更大的素因子数都大于2q+2，所以该新增素因子数必是大于q+1小于2q+2的新增素数，等价于必是大于q小于2q的新增素数，由于最小的奇素数是3，3+2q-1无法得到2q，故可把范围进一步缩小，q与2q-2之间必有新增素数. 把素数q替换成自然数n也一样成立，因为只要q与2q-2之间必有新增素数，n与2n-2之间就必有在区段内的新增素数，于是伯特兰定理获证.

2.2.

◎“相邻互素”定理：除0外的自然数必相邻互素，即 m+1=h，m与h必互素。当m解集∩h解集=空集，且m蕴含所有素因子时，m解集与h解集必基底互素亦严格互素.

证明：已知 m、h 是一对相邻自然数，即m+1=h，由于1与m互素，故m与h必互素. 假如其中两项非互素，有公约数可约掉，就会产生整数与真分数相等，矛盾. 故自然数相邻互素.

在此基础上本定理可通过1.2直接推导成立，m与1全集互素，h与1全集互素，且根据定义m≠h，m+1=h是三元互素方程，故第三对m与h必基底互素。可见递增相邻集是一定会增加新素数因子的.

2.3. 

◎“相邻偶数除以2后必互素“推论：偶数约掉因子2必相邻互素，即2m+2=2h，h与m必互素。如果m解集与h解集互异，m蕴含所有素因子，则m与h也是解集基底互素. 

证明：相邻偶数2h与2m约掉2因子后是一对相邻自然数，据上文已证定理，h与m 一定是基底互素的。根据1.4的推论，如果m解集与h解集互异，m蕴含所有素因子，则m与h也是解集基底互素的. 因为m、h分别与1解集互素，且互异，故m与h必解集基底互素.

本定理亦可通过2.2直接推导成立，约掉2因子后，就是相邻互素方程，m与1全集互素，h与1全集互素，且根据定义m≠h，m+1=h是三元互素方程，故第三对m与h必基底互素, 基底互素，说明单对单数值每次比较有不共素因子，多对多解集通关比较也有不共素因子. 通俗地说，两大互异阵营都有对方没有的秘密武器. 与可表偶数互异的后继偶数必有新素因子. 

3.0. 

◎“素数”定义：除用1外不能等量分割的1的所有后继数叫素数.

为了不循环定义，为了遵守戴德金的倒金字塔定义，我们避开了用自身用整数来定义素数，数学是最反内卷的一门学科，素数须有新的定义. 当然与原教科书的定义并不冲突，素数是除1和自身外不能被其它整数整除的整数. 把该定义理解成是用小素数来定义大素数是可行的，筛法思路就从此而出.

◎“可表偶数”定义：两个任意奇素数p与q互异相加所得到的所有偶数2m（其中存在整数m＞3）叫可表偶数，也叫基础偶数.

◎“例外偶数”定义：与可表偶数互异的所有偶数2h叫例外偶数，也叫非基础偶数，是不含基础偶数的通解偶数. 例外偶数至今举不出1例.

比如3+5=8，8就是互异型的可表偶数，3+3=6，2+2=4，6和4就不是互异型的可表偶数，虽然6是可用两素数之和表达的可表偶数，但本文定义的可表偶数不包含6和4，仅讨论≥8的所有偶数情形，这是为了让可表偶数能顺利地在彼此互素的本原解方程中进行推演，因为互异版的哥德巴赫猜想比欧拉版的更深刻，互异版成立，欧拉版就成立，欧拉版成立，尚不能推出互异版成立.

3.1.

◎“互异型可表偶数蕴含所有素数因子”定理：素数二元相加再分解运算在所有奇素数因子集上封闭. 以下是第一种证明方法.

证明：若互异型可表偶数2m=p+q，p、q 为互异奇素数，则p+q中的所有奇素数因子，与p或q中的所有奇素数因子是一样的. 左右两边的奇素因子，解集等价.

我们来证明2p是可表偶数，蕴含所有素因子，则2m就蕴含所有素因子.

首先令2m（含2^w）为可表偶数，可表偶数就是能用两互异奇素数之和表达的偶数，2p´为例外偶数，例外偶数就是不能用两互异奇素数之和表达的其它偶数，p、p´为互异奇素数，它们的并集q须囊括所有奇素数和偶素数2。那么必有 2p´+2p=2t（即偶数加偶数仍在偶数的集合里），p´与p作为单素数因子因互异而互素，根据三元方程若两元互素必三元两两互素的性质，p与t必解集基底互素，p´与t必解集互素。为何会解集基底互素？如果全都是可表偶数2p1与2p2相加，其和值是不会与可表偶数解集互素的，因为和值会产生其它可表偶数或其它可表偶数共因子.

但与例外偶数2p´相减就不同了，p´除了与p因互异会解集互素外，p´还与t解集互素也解集基底互素，因较大素数p´在t与2t中，且t不为1因子（伯特兰定理），故龙头例外素数与和值因子t是解集互素的，也是基底互素的. 2p可通过1.4三元方程解集互素推论来证明是可表偶数，例外素数p´与可表素数p根据定义是解集互素的，p´与t是解集基底互素的. 另外p´+p=t为三元互素方程，且p≠t，因为p是奇数，t是偶数. 于是根据1.4推论，p与t是解集基底互素的，如此t就与p和p´皆解集基底互素，根据基底互素的定义，t的龙头数须同每一个p都不一样的新素因子，于是t中的新素数因子要同所有的素因子包括2因子不一样，而p和p’已经囊括了所有的素因子，故t为空集，p’不存在，从而证明了所有的2p都是可表偶数，2p蕴含所有素因子.

用更详细的语言表达就是，由于构造初项t的素因子始终要与p及p´累积互素(基底互素)，即同每个p和每个p’相比都有互异因子，其结果，导致要与所有的奇素数p∪p´互异而互素, p1与所有的p´都是互素的，根据整数三元方程两两互素定理，故初项t与p1是基底互素的，t中的新素因子必在p1的互补集里；在与p1互补的基础上，p2与所有的p´都是互素的，故初项t与p2是基底互素的，t中的新素因子必在p2的互补集里；在与p1、p2互补的基础上，p3与所有的p´都是互素的，故初项t与p3是基底互素的，t中的新素因子必在p3的互补集里；在与p1、p2、…，pn互补的基础上，pn与所有的p´都是互素的，故初项t与pn是基底互素的，t中的新素因子必在pn的互补集里。由于基底互素是包含两解集之间有共素因子数的，但共素因子代表重复筛查，不会给补集带来新变化，故可不计，它们都在不共素因子的子集中，只找每项互异因子的补集之交集便可. 

同样，初项t与p´1是互素的，t中的新素因子必在p´1的互补集里；在与p´1互补的基础上，p´2与所有的p都是互素的，故初项t与p´2是互素的，t中的新素因子必在p´2的互补集里；在与p´1、p´2互补的基础上，p´3与所有的p都是互素的，故初项t与p´3是互素的，t中的新素因子必在p´3的互补集里；在与p´1、p´2、…，p´n互补的基础上，p´n与所有的p都是互素的，故初项t与p´n是互素的，t中的新素因子必在p´n的互补集里。因互异定义条件，t中的新素因子须重合在不同的补集里，这是集族交运算.于是可得到：

“例外偶数2p´+可表偶数2p=2t”中的新素因子=Cu（p1中的素因子）∩Cu（p2中的素因子）∩Cu（p3中的素因子）∩Cu（p4中的素因子）∩……Cu（pn中的素因子）∩Cu（p´1中的素因子）∩Cu（p´2中的素因子）∩Cu（p´3中的素因子）∩Cu（p´4中的素因子）∩……Cu（p´n中的素因子）。根据摩根律“补的交等于并的补”可得：

“例外偶数2p´+可表偶数2p=2t”中的t素因子=Cu{（p1中的素因子）∪（p2中的素因子）∪（p3中的素因子）∪（p4中的素因子）∪……（pn中的素因子）∪p´1中的素因子）∪（p´2中的素因子）∪（p´3中的素因子）∪（p´4中的素因子）∪……∪（p´n中的素因子）}= Cu全体素因子= Ø。 

如此t就没有新奇素因子可构造，加上2p1+2p2 =2^w ，而2^w存在2^3=3+5为可表偶数，t与偶素数2也互异，故例外偶数2p´不存在。从而证明所有素数的两倍所得2p都是可表偶数，皆能用两个互异的奇素数之和表示。从而也证明了，可表偶数集合2m蕴含了所有的素数因子. 这就是可表偶数蕴含所有素因子定理的证明. 

3.2.

◎“互异型可表偶数蕴含所有素数因子”定理： 令2m为可表偶数，p+q=2m是同构表达，左右是单满射关系，则2m与 p、q 每次三元互素，但三元累积解集彼此一定是非互素的，当允许m与p、q非互异时，m同p、q一样必定蕴含所有奇素因子，且还蕴含偶素因子2. 即素数二元相加再分解运算在所有奇素数因子集上封闭. 以下提供该定理的第二种证明方法.

证明：令每次 p＞q，且皆为任意奇素数，p、q 的累积解集由定义可知是相同的，皆蕴含所有奇素数，故 p、q 二元累积解集非互素。现假设三元累积解集m欠缺奇素数r，那么这会与p、q含所有奇素数的推论相矛盾。该推论是，根据 p、q皆为奇素数全集，可令其子集不含奇素数 r，r ＜ p，r 就是 p、q的真子集在全集奇素数上的补元，而p+q能生成互素补元因子r，包括2因子，这是由三元互素方程 p+q=2m 的性质决定的。可令方程两边的解集互素，左边的素数解集互素生成了右边的素数解集，即左边为任意奇素数，可取r解集生成右边的非r解集，反过来，也可取非r的解集生成右边的r解集。根据三项互素方程性质，若p+q=p1p2p3 ....pi ...pk(不同序列号的素因子可表相同素因子，但不含素数r因子)，则一定p或q ∈ r；同理，若p，q 不含素数 r，p+q=p（k+1）p（k+2）p（k+3）...p（k+n），则一定p（k+1），p（k+2），p（k+3），...p（k+n） ∈ r，）即新的素数之和必存在p+q=Πpi+Πpk=r，,则r中的素因子属于r.

因左边 p，q为全集奇素数，故右边m欠缺r因子就会与该结论相矛盾. 因此m必定蕴含所有素因子的推论就获得了证明.

3.3.

◎“互异型可表偶数蕴含所有素数因子”定理：素数二元相加再分解运算在所有奇素数因子集上封闭. 以下提供该推论的第三种证明方法.

证明：假如可表偶数中不含奇素因子r，其中 r＜p，由伯特兰-切比雪夫定理（上文1.1已证）得到，大于6的所有偶数可用三项互素方程表达，即2n=p+kq，p＞n，当且仅当 k ≠ 1，gcd（r，p）=1，则2r是例外偶数，2r=p+kq 必每次三项互素。例外偶数存在本原解，才有更多通解，于是我们来考察有三项互素性质的本原解方程.

为何可表偶数的本原解方程可以每次三元互素但累积解集非三元互素呢？

是因为定义允许p与q解集相同, 而例外偶数的本原解方程则要求，不但（2m、p、kq）每次三元互素，且kq的每次解还必须与q的所有解互异（k ≠ 1），因互异必相邻互素（kq 满足乘法交换律）, 由于可表偶数是任意两奇素数的和，说明kq同p、q 的所有累积解集仍三元基底互素。关于会存在累积互素的一个硬核原因，就是k≠1，p会始终大于r中素因子，故p解集与r解集是互素的，另外根据定义p解集与q解集是互素的，再根据1.4定理，r解集与q解集必是基底互素的.

于是可推得p不但同2r与kq每次互素，且会累积解集三元基底互素，而生成元p解集是奇素数全集，既然 r与p基底互素，那r就是奇素数空集，既然k、q与p互素，那 k、q 就是奇素数空集. 可见本原解非可表偶数2r不存在，其通解自然不存在，于是反证了可表偶数必囊括全部奇素数因子及2素数因子. 

4.0.

◎“欧拉版哥德巴赫猜想”定义：哥德巴赫提出猜想“任何一个大于6的奇数都可以写成3个素数之和”，但证明不出，于是写信向欧拉请教. 欧拉回信，表示也证明不出，但欧拉把问题归约为一个更强命题，任何一个大于2的偶数都可以写成2个素数之和. 偶数可用两素数表达为真，则奇数就可用三素数表达为真，反之不能直接推出. 即2n=p+q，n＞0，p和q为素数，该猜想就是欧拉版哥德巴赫猜想.

◎“互异版哥德巴赫猜想”定义：笔者把欧拉版哥德巴赫猜想进一步归约为一个更强命题，任何一个大于6的偶数都可以写成2个互异的奇素数之和. 互异版哥德巴赫猜想为真，则欧拉版哥德巴赫猜想就为真，反之不能直接推出. 即2n=p+q，n＞3，p和q为互异的奇素数，这就是互异版哥德巴赫猜想.

4.1.

◎“例外偶数是空集”定理：例外偶数因无基底解，导致无通解. 不蕴含生成元的扩域集是不存在的，抛弃同类中的异类也就等于抛弃自己.

证明：与可表偶数互异存在的例外偶数，因互异而至少有例外偶数首项生成元与可表偶数相邻，例外偶数与可表偶数之间以及例外偶数与不同例外偶数之间，因须首项偶数相邻互素，故始终没有非2公约数，例外偶数首项生成元与可表偶数因互异而必有首项相邻，因相邻而必须m与h基底互素（自然数相邻互素定理已证）.

而上文2.4已证明，可表偶数2m中的m蕴含所有素因子，h既然要与所有的素因子互素，在三元方程m+1=h中，由于解集m与1互素，解集h与1互素，加上根据定义m与h是互异解集，故解集m必与解集h基底互素。也就是说，例外偶数的素数因子被所有基本偶数的素数因子所筛选，从而没有素数来构造它.. 

h就不存在能超越素数全集的新素数因子，故首项例外偶数2h中的h无新素因子可构造，因此首项例外偶数2h是空集，偶数0不是空集，既然无首项例外偶数，当然也就不存在后继例外偶数. 故例外偶数是空集.

总结下就是，因两类偶数互异，c不等于1，导致例外偶数与可表偶数不但会在素数个数上无穷无漏互异，还会在素数种类上无穷无漏互异。例外偶数通过与可表偶数在两类性质上区分，从而被判定为空集.即可表偶数与例外偶数存在相邻关系和全体互异关系的方程中，2m+2=2m'，故必有：

例外偶数2m'中的新素因子=Cu（m1中的素因子）∩Cu（m2中的素因子）∩Cu（m3中的素因子）∩Cu（m4中的素因子）∩……∩Cu（mi中的素因子）. 

根据摩根律“补的交等于并的补”，又因为2p是已证明的可表偶数，蕴含所有素因子.可得： 

例外偶数2m’中的新素因子=Cu{（m1中的素因子）∪（m2中的素因子）∪（m3中的素因子）∪（m4中的素因子）∪……∪（mi中的素因子）}= Cu全体素因子 =Ø. 

例外偶数2m’中的新素因子为空集，当然例外偶数也就等于空集，即2m' =Ø.

4.2.

◎“互异版两素数”定理（哥德巴赫猜想的归约命题）：不小于 8 的所有偶数皆可表为两互异奇素数之和. 哥德巴赫猜想的原题是：p+q=2n为同构方程，p、q为素数，n为大于1的正整数.（用“三元方程互异解集基底互素”定理完成证明）

证明：既然用“三元方程互异解集基底互素”定理完成证明了例外偶数2h是空集，根据不小于8的所有偶数2n等于可表偶数2m与例外偶数2h的两类偶数并集，可推得不小于8的所有偶数2n与可表偶数2m是无缝重合，是完全同构的，故不小于8的所有偶数2n也就同可表偶数2m一样，与两互异奇素数之和p+q同构，互异版哥德巴赫猜想到此获证. 补上非互异版的 3+3=6，2+2=4，欧拉版的哥德巴赫猜想原题也就获证.

4.3.

哥德巴赫猜想获证的路径总结和其它证法

为何不能直接用欧拉版的可表偶数来证明哥德巴赫猜想？因为欧拉版的可表偶数不能纳入三元互素方程来分析. 况且欧拉版获证不及互异版获证更有意义，因为所有大于6的偶数都有共轭素数对，且共轭差都大于0，意味着可用p以内的素数进行二元加性表达找到新增素数是可确定的，意味着可以用较小素数推导出较大素数.

以往数学家攻克哥德巴赫猜想大多把注意力都用在了先解决哥德巴赫猜想的推论命题，如1920年挪威数学家布朗开创的“a+b”思路，解决了“9+9”，把这一思路做到极致的是陈景润，陈景润拿下了“1+2”，可不回到证明“1+1”，那都解决不了根本. 另外，1930 年苏联数学家什尼尔列曼开始寻找另一个思路，用k个素数之和表达偶数，可把它叫着“1+1+1+1……”问题，也仍是哥德巴赫猜想的推论命题. 这一思路陶哲轩做得最好，他减少到了用不超过5个素数表示大于1的自然数，且去掉了充分大这样一个需要大量验证的限制条件.

研究哥德巴赫猜想的数学家很多很多，但未见直接去关心哥德巴赫猜想可归约命题的，总以为归约命题更难，更解决不了. 这是误解，未解猜想的归约命题是更重要，未必是更难的. 互异型哥德巴赫猜想是欧拉版哥德巴赫猜想的归约命题，当然更重要，但却打开了可破解的大门. 带着解决问题的初心，本文作者找到了哥德巴赫猜想的归约命题，互异型哥德巴赫猜想，不小于8的每个偶数都可用一对互异的奇素数之和表达，它比混搭型的欧拉版哥德巴赫猜想要条件苛刻得多.

哥德巴赫猜想获证的秘密究竟在哪里呢？到此可2句话总结了：一是因为例外偶数2p'与可表偶数2p全体互异于2t必带来累积解相邻互素（基底互素），而累积解相邻互素必导致无素因子可构造2t，故可表偶数2p蕴含所有素因子. 二是因为例外偶数2m’与可表偶数2m互异必带来累积解相邻互素（基底互素），而累积解相邻互素必导致无素因子可构造例外偶数2m’. 基底互素的思想还可直接证明哥德巴赫猜想成立，任意中位数的2倍没有共轭素数对是不存在的，因为仅新增不小于中位数2倍以上的素数，无法相加构造2倍中位数，而没有共轭新增素数意味着1倍也不新增，这就说明了用小于中位数的多个素数相加也不等价于两个共轭素数相加，但这是不可能的，因为与它们的和集互素的两个互异集是基底互素的，不增添新素因子的互异解集会与基底互素矛盾，这意味着定有大于中位数的共轭新素数. 这就是哥德巴赫猜想成立的根本原因，原来证明哥德巴赫猜想就是揭示例外偶数是乌托邦. 关于偶数的最简本原解方程“p+q=2n”，其内积通解“ap+bq=2cn”无法扩域.

所有大于6的偶数都是两个奇素数向量（ap+bq）=2n所张成的空间, 标量（a+b）是基底（p+q）的线性映射所对应的系数组向量，而基底不存在时的类型偶数空间2h为空集，因为线性空间必有二维素数基底，没有基底的线性空间必为空集. 例外偶数的定义决定了，该类型空间没有基底，因为2h≠p+q，故例外偶数2h的通解（位移和旋转）不存在，利用线性代数的思想可以简洁证明例外偶数为空集. 

◎“线性空间必有二维素数基底”定理：二维奇素数解向量（p，q）内积一个矩阵A，就能张成大于6的所有的偶数空间2n，无二维素数基底，必无该类线性空间的通解.

证明：教科书里虽然没有“线性空间必有二维素数基底”的定理，但根据“二维线性空间必有基底”这个更广义的定理不难证明，“线性空间必有二维素数基底”的定理也是成立的. 因为任何一个实数对象，都是整数构造的，而整数在算术基本定理的前提下，都能至少抽离出一个素因子，这也符合选择公理的思想，因此二维素数向量（p，q）内积一个矩阵A，就能张成所有的偶数空间. 如果类型偶数不存在基底（p，q），那该类型空间就是空集. 例外偶数就不存在二维素数基底，这由例外偶数的定义决定，其同类对象皆不能用两个奇素数之和表达，故例外偶数为空集. 为何真分数和整数互异却存在呢？因为真分数作为有理数，是允许整数作为其同类的. 不包含整数却又与整数互异的有理数是不存在的. 既然例外偶数为空集，那可表偶数与所有偶数就等价了，哥德巴赫猜想也就获证了. 例外偶数与可表偶数累积互异互素的思想也印证了，没有二维素数基底就没法张成任意空间. 如果张成某类型空间不扩域，那基底表达与该类型空间等价. 

◎“互异版两素数”定理（用线性代数证明）：不小于8的所有偶数皆可表为两互异奇素数之和.

证明：根据“线性空间必有二维素数基底”定理，可推理出例外偶数是空集，因为例外偶数无二维素数基底，故为空集，又因为，大于6的所有偶数2n是可表偶数与例外偶数的并集，于是所有偶数2n与可表偶数2m同构，2m的通解就是2n，都能用两互异素数之和表示，如此可证，互异版哥德巴赫猜想成立.

因此哥德巴赫猜想可完成存在性证明，至于每个偶数可由哪两个素数构成，还不能给出具体公式，但发现二维素数基底在线性映射下偶数集不扩域的思想可广泛用到很多算法领域，一切高维问题皆可降维到低维问题来处理, 故意义十分重大.

4.3.0

◎“数论倒数解以及余数解“定义：中国剩余定理表明任意整数用不同素数模对应不同余数的不定方程组有特定解法，若X≡a（mod）p，X≡b（mod）q，则可推得X=asp+btq+kpq，我们把s和t叫数论倒数，是可以帮助获得不同模数却都与1同余的匹配量，把s和t叫着模p和q的数论余数，把奇素数p和q叫同余方程的素数模.

◎“模积数乘解”定义：中国剩余定理根据数论倒数推得X=asp+btq+kpq，其中kpq

就是模积数乘，通过模积数乘周期可以得到不同数域层次的通解. 中国剩余定理说明了，大额整数都被一对素数部件布控.

4.3.1

◎“数论倒数解以及余数解必有模素数解”定理：根据X- kpq =asp+btq，当s=1，t=1, a、b同左边稠密偶数可约化为1，asp+btq=可表偶数，由于t、s和a、b分别是素数模p、q的余数和数论倒数，而例外偶数构造不出两互异素数周期模，例外偶数也就构造不出余数和数论倒数，没有模数，就构造不出匹配的余数和数论倒数.

证明：根据中国剩余定理X=asp+btq+kpq可推出，没有模素数解，就没有数论倒数解和余数解。例外偶数没有模素数解，故没有数论倒数解和余数解。根据数论倒数的定义，数论倒数为s、t，而sp、tq与1同余分别模q、p两素数，kpq为模积数乘，即任意给定的偶数皆可如此表示，X=asp+btq+kpq，其中asp+btq可表达所有偶数. 因为任意偶数减去模积数乘仍是任意偶数，稠密偶数集减去任意类型偶数集都仍是稠密偶数集. X能通解表达的前提是必须能用二项式素数基础解系描述，凡素数多项式都是素数二项式的线性映射，这个刚已经完成证明。因为线性映射没有素数基础解系，等价于没有单位元，没有素数二项式最简本原解，就没有素数多项式的类型通解，因为例外偶数没有二维素数基底，故例外偶数不存在.

这也是中国剩余定理所隐含的秘密. 线性空间必有二维素数基底，这个通过中国剩余定理也能推导出来，根据X- kpq =asp+btq，当s=1，t=1, a、b同左边稠密偶数可约化为1，asp+btq=可表偶数，由于t、s和a、b分别是模数p、q的余数和数论倒数，而例外偶数构造不出两互异素数模数，例外偶数也就构造不出余数和数论倒数，没有模数，就构造不出匹配的余数和数论倒数，这由数论倒数的定义决定，基底向量与系数向量在刻画一类对象时存在强相关，这一点是反直觉的，没有基底向量就没有通解，这个好理解，通解需要单位元，而没有基底向量就没有系数向量，似乎有点“管控得太宽”, 可偏偏基底向量与系数向量就属强相关，这是因为素因子需要满足乘法交换律和加法交换律.导致他们各素因子的定义域是相同的，基底解不含的素数，系数向量也不具有，故数论倒数和余数也不具有.

◎“互异版两素数”定理（用中国剩余定理的推论证明）：不小于8的所有偶数皆可表为两互异奇素数之和.

证明：这样就可以通过中国剩余定理的推论“数论倒数解必有模素数解”定理，来快速证明互异版哥德巴赫猜想成立了. 因为任意类型偶数若没模素数解，就没有数论倒数解，没有数论倒数解，就没有数论余数解，没有前两种解，就没有模积数乘解，因此该类型偶数就不存在，故任意类型偶数的并集都属于两模素数的和，除此之外的任意类型扩域都不存在. 不蕴含生成元的扩域集是不存在的，抛弃同类中的异类也就等于抛弃自己. 任意类型偶数没有模素数解就没有任何通解,

中国剩余定理的推论阐述了，系数向量与基底向量是紧密关联的，确定了两素数基底也就确定了两数论倒数，而余数是小于模素数的，模积数乘也是由两模素因子确定的，且倍数k中素因子也要满足乘法交换律，其定义域与模素因子相同. 如果某类偶数要排除某类素数基底（含所有奇素数），等于要排除余数各素因子的定义域，数论倒数各素因子的定义域，以及模积数乘各素因子的定义域，于是该类型偶数必不存在. 于是例外偶数为空集，哥德巴赫猜想获证. 该证明简洁漂亮，容易理解.

随着哥德巴赫猜想获证，可多米诺骨牌式地证明斋藤猜想、孪生素数猜想、波利尼亚克猜想、相邻素数猜想，考拉兹猜想、比尔猜想、费马猜想、abc猜想、黎曼假设等成立，见笔者拙著《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社2019年9月），可见哥德巴赫猜想告破决非孤证，相关内容以后陆续翻译推出. 下文仅简单介绍下，能用本文数学工具证明“相邻素数猜想”和”孪生素数猜想“，小试牛刀就足见其威力.

◎“相邻素数间隔之可表偶数”定义：两个任意相邻奇素数p与q相减所得到的所有偶数2m（其中存在整数m＞0）叫可表偶数，也叫基础偶数.

◎“相邻素数间隔之例外偶数”定义：与相邻素数间隔之可表偶数互异的所有偶数2h叫相邻素数间隔之例外偶数，也叫非相邻素数间隔之基础偶数，是不含基础偶数的通解偶数. 该类型例外偶数也至今举不出1例. 

同样可证明，三元方程p-q=2m，p-p’=2t（2m为可表偶数，2t≠2m，2t为例外偶数，p，q为所有相邻素数，p’为非相邻素数），可证明例外偶数2t为空集. 因为p与q是解集互素的，假如m不含w素因子，那么选取不含w素因子的p和q为互素解集，还可令m与q也是解集互素的（因为可选择先考察这样的解集），2m与p是解集互异的，因为1个偶数1个奇数，于是构造出的可表偶数p-q=2m必有w素因子. 理由是，根据1.4三元方程互异解集基底互素定理，三元方程中，在两组解集互素，第三组解集互异的前提下，可推出m必含与p和q互异的w素因子，这与假设矛盾，可见m不含w素因子不真. 可表偶数2m必含所有素因子. 

而龙头例外偶数2t=2m+2，因为1与m和t解集互素，t与m互异，同样根据1.4三元方程互异解集基底互素定理可推出t必有与m解集互异的素因子，但m中所含的素因子为全集，故2t为空集. 以此证明了“相邻素数间隔之例外偶数”的后继偶数也不存在，因此相邻素数间隔可表所有偶数获证.

用此数学工具来证明孪生素数猜想也极容易. 令N为任意给定的正整数，p为大于N的素数，q为大于N的奇数，存在三元互素方程表达如下：q-p=2.

可知2与p是解集互素的，2与q是解集互素的，p与q是解集互异的，根据1.4三元方程互异解集基底互素定理可推出p解集与q解集是基底互素的，奇数q相对于素数p必会增添新素因子，可是如果q始终是合数，新素因子t数乘k后减去p所得差值会远远大于2，因为t＞p，k≠1，必导致kt-p＞2，故大于N的奇数q只能选择存在素数才能满足1.4定理，否则与所有素数都有后继奇数相矛盾，于是必有差值等于2的素数对大于任意给定的N. 而一旦有这样的素数对，N就可以选择比该素数对更大的整数，同样大于更大N的素数后继奇数对（q，p）仍必有两个都是素数的，否则会与1.4定理“q存在大于p的新素因子”相矛盾. 欧几里得证明了素数是无穷的，利用1.4定理找到无穷素数的后继奇数中必有素数可反复进行，N可以任意给定，这就证明了差值为2的素数对具有无穷组，孪生素数猜想获证.

相邻素数猜想，孪生素数猜想，哥德巴赫猜想获证的启示是，万物都来自互异的生成元. 我们对另类世界要保持宽容和敬畏.（完）（罗莫）

参考文献：

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