回答数学的终极问题：上帝是一位数学家吗？

老蝉按：今天下午，收到人民邮电出版社李MM的赠书《最后的数学问题》，英文名为《IS GOD A MATHEMATICIAN?》(上帝是数学家吗？），翻开书看目录，序言，第一章.......久违了的眼前一亮的感觉！数学是发现的还是发明的？这位天体物理学家将回答这个数学家争论千年的问题！

这是老蝉所有藏书中第一本讲“数学是发明的还是发现的”的专著。怎能让人不激动！希望哲友们一起来分享这份激动。

最后感慨一下，中国的学者为什么就写不出这样水平的科普书！？

（说明：该文为之前发文，现在图灵教育已推出《图灵数学史套装》共七本，文末有介绍，赶快去抢购吧！）

上帝用美丽的数学创造世界

---狄拉克

这既是一本经典的思想史巨著，又是一本妙趣横生的故事书，献给所有喜爱数学、历史和哲学的读者。

这是一本畅销世界的数学哲学史经典著作，被译为全球8种语言，改编节目《伟大的数学问题》获得艾美奖提名，展现数学无处不在的非凡力量 。

科学和哲学巨匠们充满智慧的传奇故事，数学、物理、天文学和哲学的恢弘历史画卷，数学是人类的发明还是发现？

数学貌似能解释宇宙万物，而这种无处不在、无所不能的威力究竟从何而来？

从信奉“万物皆数”的毕达哥拉斯、刀斧之下依然从容演算的阿基米德，到探索宇宙奥秘的近代科学巨匠伽利略和提出“我思，故我在”的解析几何之父笛卡尔，再到反对柏拉图主义的现代数学家阿蒂亚，数学思想在千百年来人类的深层思考中不断演变、一脉相承。

这些伟大科学家的传奇经历、重要贡献及其在数学史上的远见卓识，绘成一幅斑斓的历史画卷，在作者的妙笔下缓缓舒展。

蜚声世界的科普作家马里奥·利维奥讲述了数学的演化过程，引经据典地从哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的本质，解释了数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系。讨论了困惑几代思想家的重大问题，并以通俗、曼妙的手笔讲述了从柏拉图、阿基米德、伽利略、笛卡尔等哲学和数学先贤到罗素、哥德尔等现代数学巨匠和科学家的生活经历与思想，识图破解困惑了数代人类思想家的终极问题：

上帝是数学家吗？

作者简介

马里奥·利维奥（Mario Livio ），哈勃太空望远镜科学研究所的天体物理学家，科学和数学科普作家，美国科学促进协会会员，卡内基基金会“世纪教授”，皮亚诺奖和国际毕达哥拉斯数学畅销书奖得主。其众多数学和天体物理学领域的文章在《自然》《经济学人》《科学》等期刊上得到极高评价。

目录

第 1 章 未解之谜 1

第 2 章 神秘学：命理学家和哲学家 16

第 3 章 魔法师：大师和异端 47

第4 章 魔法师：怀疑论者和巨人 101

第5 章 统计学家和概率学家：不确定的科学 139

第6 章 几何学家：未来的冲击 177

第7 章 逻辑学家：思考推理的人 201

第8 章 无理由的有效性？236

第9 章 人类大脑中的数学和宇宙 262

注释 293

参考文献 313

图片版权 333

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第 1 章 未解之谜

几年前，我在美国康奈尔大学做过一个演讲。当时，我的一张幻灯片的标题是：“上帝是数学家吗？”当这张幻灯片放出来时，我听到坐在前排的一位学生倒吸了一口凉气，说：“哦，天啊，我希望不是如此。”

我之所以提出这个问题，既不是因为我打算从哲学上定义上帝，也不是因为我有意吓唬那些害怕数学的人。我只是想向听众介绍一个让众多最富创新的大脑苦苦思索了几个世纪的谜团——数学“无所不在、无所不能”的力量，而这类特征通常只有在人们描述一位神明时才会用到。正如英国物理学家詹姆斯·金斯（James Jeans，1877—1946）所说：“宇宙看上去是由一位理论数学家设计的。”1 数学貌似不仅在描述和解释整个宇宙时太过有效，甚至在描述和解释一些最混沌的人类活动时也是如此。

不论是物理学家试图构造种种关于宇宙的理论，证券分析师绞尽脑汁预测下一次股价暴跌的时间，神经生物学家尝试为脑功能建模，还是军事情报统计师力图优化资源配置，他们都要使用数学。此外，尽管他们应用的可能是从不同数学分支发展出来的形式体系，但他们仍然仰赖的是同一个完整、内在一致的数学。那么，是什么赋予了数学如此惊人的威力？或者，正如爱因斯坦曾好奇地发问：“数学，这个独立于经验的人类思维的产物，为何能如此完美地符合物理实在中的对象？”2

这样的困惑古已有之。一些古希腊哲学家，特别是毕达哥拉斯和柏拉图，早就惊叹于数学塑造并支配宇宙的不言而喻的能力，同时意识到，数学的存在貌似无法被人类所改变、引导或影响。英国政治哲学家托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679）也无法掩饰自己的崇敬之情。在讨论社会和政府基础的《利维坦》一书中，他将几何学作为理性论证的典范：

“既然真理存在于由各种名称正确排序后所组成的断言中，那么追求严谨真理的人就需要记住他所使用的每个名称的含义，并把它们放于相应的地方，否则他会发现自己困于文字的纠缠中，就好像一只被抹了胶的树枝粘住的小鸟，越挣扎越不能自拔。因此，在几何学（这是迄今为止唯一令上帝满意并恩赐给人类的学问）中，人们首先确定名称的含义（他们把确定含义称为‘定义’），并把它们作为认知的起点。”3

上千年来，令人印象深刻的数学研究和广博的哲学思考都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，甚至可以说，在某种意义上，数学的这种神秘感又加剧了。比如，著名的英国牛津大学数学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）意识到，人类周围不仅有一个世界，而应该有三个神秘世界。按彭罗斯的划分，这三个世界是：意识感知的世界、物理现实的世界和数学形式的柏拉图世界。4 第一个世界是我们所有精神影像的家园，包括我们看到自己孩子笑脸时的欢欣愉悦，欣赏落日余晖壮美景色时的心旷神怡，或者观察怵目惊心的战争场面时的恐惧和憎恶。在这个世界中还包括爱、忌妒、偏见、害怕，以及我们欣赏音乐、闻到美食时的感觉。第二个世界就是我们日常所提到的物理现实世界，包括鲜花、阿司匹林药片、白云、喷气式飞机，还有星系、行星、原子、狒狒的心脏和人类的大脑，这些真实存在的东西构成了这个世界。第三个世界是数学形式的柏拉图世界。这里是数学的家园，对彭罗斯而言，这个世界和精神世界与物理世界一样，也是真实存在的，在其中有自然数 1, 2, 3, 4,…，欧几里得几何学中的所有图形和定理，牛顿运动定律、弦论、突变论以及研究股票市场行为的数学模型等。彭罗斯还观察到了这三个世界之间神秘相连的三种现象。首先，物理世界的运行似乎遵循着一定的法则，而这些法则真实存在于数学世界中。这也令爱因斯坦感到困惑。诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner，1902—1995）也有同样的疑惑：

“数学语言适于表达物理法则，这种奇迹是上天赐予我们的绝妙礼物。事实上，我们并未真正理解这份礼物，同时也受之有愧。我们应当感谢这份礼物，希望它在未来的研究中仍然有效，而且可以给予我们欢乐，抑或困惑——无论是好还是坏——以及广泛的学问。”5

其次，人类感知心智（perceiving mind）本身——这是我们主观认知能力的源泉——似乎来自物理世界。心智究竟是如何从物质中产生的？我们是否能够将人类意识的工作机制上升为一种理论，令其如同今天的电磁场理论那样条理清晰、令人信服？最后，这三个世界神秘地联到一起，形成了一个闭合的圆。通过发现或创造抽象的数学公式和概念，并将它们清晰地表达出来，感知心智才得以奇迹般地进入数学王国之中。

彭罗斯并未给出任何关于这三个世界神秘现象的解释。实际上，他的结论非常简洁：“毫无疑问，并不真正存在三个世界，而是只有一个世界。并且直到目前为止，对于这个真实世界的本质，我们对它的认识甚至连肤浅也谈不上。”英国作家艾伦·贝内特（Alan Bennett）创作的戏剧《四十年来》（Forty Years On）中的那位教师也回答过类似的问题，与之相比，彭罗斯的回答可谓谦逊而坦白。下面就是那位教师的回答。

福斯特：先生，我对（圣父、圣灵、圣子）三位一体的说法仍然有点困惑。

教师：三合为一，一分为三，简单明了。对此有任何疑问，就去请教你的数学老师。

这个谜题甚至比我刚才提到的那个问题更错综复杂。利用数学成功解释我们周围的世界（维格纳称之为“数学无理由的有效性”），实际上可以从两个方面去认识，它们都同样令人惊奇。第一，是其“主动”的一面。当物理学家在自然的迷宫里迷失方向时，数学会为他们照亮前方的道路，他们使用和创造的工具、建立的模型，以及他们所期望得到的解释，所有这些都离不开数学。显然，这本身就是一个奇迹。牛顿观察到了落地的苹果、月亮和海滩上的潮汐（我不是很确信他是否真正看见了），不过他所看到的可都不是数学方程式。但是牛顿却从这些自然现象中抽象并总结出了清晰、简洁、精准的数学规律。同样，苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831—1879）在 19 世纪 60 年代拓展了经典物理学范畴。他仅仅使用 4 个数学公式，就解释了所有已知的电磁学现象。可以想象，电磁学和光学实验通常充斥着大量细节性信息，数据量十分巨大，以前都需要用大量篇幅才能归纳和解释所有这些现象和结论，但现在只需要 4 个简洁的方程式就够了！爱因斯坦的广义相对论更令人惊叹，它是数学理论中极度精确与自相一致的一个完美范例，这个理论揭示的正是如时空结构一类的基础事物。

除了“主动”的一面之外，数学的神秘效应还包括“被动”的一面，让人意想不到的是，后者甚至会令前者黯然失色。当数学家研究、探索数学概念以及各种概念之间的关系时，有时仅仅出于理论研究的目的，绝对没有考虑过理论的实用性问题。但是在几十年后（有时甚至是几百年后），人们突然发现，他们的理论出人意料地为物理现实问题提供了解决方案。你可能要问，这怎么可能呢？那位行为古怪的英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）的例子就十分有趣。哈代为他的纯理论数学研究感到非常自豪，他曾断言：“我的发现今天没有、将来也不会给世界带来丝毫影响——无论这种影响是直接还是间接的，有益抑或有害的。”6 猜猜结果如何？他错了！他的一项研究成果被命名为“哈代 – 温伯格定律”7，这是以哈代和德国物理学家威廉·温伯格（Wilhelm Weinberg，1862—1937）的名字命名的，该定律是遗传学家研究人口进化的基础。简单地说，哈代 – 温伯格定律认为：如果一个基数很大的人口群体随机婚配（没有人口迁移、基因突变和选择性婚配），基因构成将保持恒定，而且不因世代变化而变化。表面上，哈代研究的是抽象的数论——一门研究自然数的学科，但人们出乎意料地发现其研究成果能解决现实问题。1973 年，英国数学家克利福德·柯克斯（Clifford Cocks）利用数论在密码学领域取得了突破性进展。8 柯克斯的研究成果再次证明了哈代的言论已经过时。哈代在其 1940 年出版的那本著名的著作《一个数学家的辩白》中声称：“还没有人发现数论能被用于战争目的。”很明显，他又错了！在现代军事信息传递中，密码学绝对不可或缺。因此，尽管哈代是最有名的实用数学批判论者，可是最终还是被“拽去”研究具有实用价值的数学理论了——如果他还在世的话，一定会对此高声抱怨。

这只是冰山一角。开普勒和牛顿发现了太阳系行星运行轨道是椭圆形的，而古希腊数学家门奈赫莫斯（Menaechmus）在两千年前，即大约公元前 350 年就已经研究过这条曲线了。波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）在 1854 年的一次经典演讲中概括了几门新兴几何学的主要内容，它们恰好是爱因斯坦解释宇宙结构时所必需的工具。还有一门叫作“群论”的数学“语言”，它是由年轻的数学天才伽罗瓦（Evariste Galois，1811—1832）创建的。起初，群论仅仅用来判别代数方程式的可解性，但今天，它已经被物理学家、工程师、语言学家甚至人类生态学家们广泛使用，用来研究几乎所有的对称性问题。9 此外，数学上的对称概念在某种程度上还颠覆了整个科学的研究过程。几个世纪以来，科学家认识宇宙的第一步都是在反复实验和试错后，收集汇总数据和结果，再从其中归纳出通用的自然规律。这种梳理过程从局部观察开始，之后像拼图一样，观察结果被一块块地拼接起来。进入 20 世纪后，人们认识到条理清晰的数学设计并描述了亚原子世界的基础结构，于是，当代物理学家们开始反其道而行之 10。他们把数学的对称性置于第一位，坚持认为自然法则和构成事物的基本要素应当遵循某种特定模式，并根据这种要求，推演出通用规律。自然界是如何知道应当遵循数学上的对称原理呢？

在 1975 年的某天，年轻的数学物理学家米奇·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室利用他的 HP - 65 便携式计算器演算一个简单的方程式。他渐渐注意到，计算器上的数 11 越来越接近一个特定的数：4.669...。他惊奇地发现，在演算其他方程式时，这个神奇的数再次出现了。费根鲍姆虽然还不能解释其中的原因，但他很快就得出结论，自己发现的这个数似乎标志着从有序到混沌过渡时的某种普遍性规律。你大可不必对此感到惊讶，物理学家们在一开始时都是怀疑论者。究竟是什么原因导致那些看起来差异极大的系统行为背后拥有相同的数学特征呢？专家经过半年的评审，还是将费根鲍姆就此专题撰写的第一篇论文退稿了。不久之后，实验证明当液态氦从底部开始加热时，其变化过程同费根鲍姆的通用解决方案的预测结果恰好一样。人们发现不仅这一种体系会如此表现。费根鲍姆发现的这一令人惊讶的数不但出现在流体从有序流向紊乱的转换过程中，也会出现在水龙头滴水的过程中。

尔后人们才证实了，很多学科研究都需要数学的“预言”，这样的情况仍在不断上演。数学世界和真实（物理）世界之间那种神秘的、意想不到的相互影响，在纽结理论（这是一门研究绳结的学科）中得到了生动体现。数学上的“纽结”与现实中绳索上的结十分类似，只不过，这根绳索的头与尾必须连接在一起。也就是说，数学上的纽结位于一条闭合的、没有自由活动绳端的曲线之上。说来奇怪，创建纽结理论的主要起因是 19 世纪发展起来的一种错误的原子结构模型。这个模型在提出 20 年后就被证明是错误的了，但是，纽结理论作为一门相对难以理解的理论数学分支，却在不断发展演化。出人意料的是，数学家在纽结理论领域所做的抽象探索，突然间在现代科学研究中有了十分广泛的应用。其应用范围涵盖脱氧核糖核酸（DNA）分子结构、弦论（弦论试图将亚原子世界和引力统一起来 12），等等。我们将在第 8 章详细讨论这个不同寻常的故事，因为这段“循环”的历史也许是一个最好的例证，充分说明了数学各分支如何在人类试图解释物理现象的过程中产生，随后如何进入数学的抽象王国，并在其中发展，最终又如何出人意料地回到了物理世界的起点。

发现还是发明？

我上面讲述的这些简短的故事已经充分证明，我们所处的世界受数学支配——至少认识、分析世界的过程深受数学的影响。正如本书将要展现的，大多数（也许是全部）人类活动似乎源于数学，对此，人类自己甚至根本没有意识到。让我们再用一个金融领域的例子来证明：布莱克 – 斯科尔斯期权定价模型 13 为其发现者们赢得了诺贝尔经济学奖——奖项最终授予了迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·卡哈特·默顿（Robert Carhart Merton），因为费歇尔·布莱克（Fischer Black）在获奖前就已经去世了。模型中的关键平衡等式能帮助人们理解如何确定股票期权价格。（期权是一种金融工具，投资者共同商定在未来一个特定日期的股票价格，并以此价格买入或卖出股票。）令人难以置信的是，该模型的核心问题——布朗运动，此前已经被物理学家研究了几十年了。布朗运动描述了微粒不规则、无休止的运动状态，我们可以从水中悬浮的花粉粒子和空气中烟尘粒子的运动中观察到这种状态。同样的方程式也可以描述星团里无数个恒星的运动。这是不是有点像《爱丽丝梦游仙境》中所说的“神奇啊，太神奇了”？不管宇宙如何运行，商业和经济毕竟是人类思维主导创造的世界。

让我们再来看一个在电路板制造或计算机设计中的常见问题。这些领域都可能要利用激光在平板上钻出数以万计的小孔。为了节约成本，设计人员不希望“钻孔”是一种随机行为，就像“随意的旅行者”一样乱走。他们希望能在钻孔前找出最短“路径”，让每个孔都被“光顾”到，而且只被“光顾”一次。其实从 20 世纪 20 年代起，数学家们就开始研究这个“旅行商问题”了。简单地说，假设有一位商人或者一位参加竞选的参选人，他想要以一种最经济的方式访问给定数量的所有城市，其中任意两座城市之间的旅行花费是已知的。他的问题就是如何找出一条能访问所有城市，并且最后回到原始出发点的、最便宜的那条路线。1954 年解决了美国 49 个城市的“旅行商问题”，2004 年给出了瑞典 24 978 个城镇的解决方案 14。也就是说，电子工业、发送包裹的物流公司，甚至制造弹珠游戏机（手指需要击打数千次）的日本厂商都要依赖于数学解决类似钻孔、调度或计算机物理设计这样的简单问题。

数学还进入了一些在传统上与之联系并不十分紧密的学科领域。例如，有一本期刊名叫《数理社会学杂志》，所谓的数理社会学，就是通过数学工具来研究和分析复杂的社会结构、组织和非正式群体。该杂志中文章的主题覆盖面很广，包括预测公众观点的数学模型、预测社会群体中某些交互行为的数学模型，等等。

让我们换个方向，把目光从数学转向人文学科，来看看计算语言学。这门学科起初只涉及计算机科学家，但今天，它已经发展为一门跨学科的研究领域，将语言学家、认知心理学家、逻辑学家和人工智能专家集中在一起，共同研究自然进化语言的复杂性。

这难道是捉弄我们的恶作剧吗？人类试图领会和理解世界奥秘的所有努力，最终却将他们引入了越来越精细、复杂的数学领域。然而，这个领域正是宇宙，甚至人类所有行为的基础。难道数学就是老师们隐藏的秘籍吗？（为了防止“教会徒弟，饿死师傅”，老师通常会把书上的知识藏起来一部分，不教给学生，这样一来，老师总显得比学生高明。）或者，借用《圣经》上的一个隐喻：数学是智慧之树结出的最终果实吗？

正如我在本章开始时介绍的，数学无理由的有效性产生了许多有趣的问题：数学是一种完全独立于人类心智的存在吗？换句话说，我们是否只是发现了本已存在的数学真理，恰如天文学家发现先前未被人类观察到的星系那样？如若不是，难道数学仅是人类的一项发明？如果数学真实存在于某个抽象世界之中，那么这个神秘的世界与物理现实世界之间是什么关系？仅掌握有限知识的人类如何才能超越时空的限制，进入这个永恒不变的神秘殿堂？另一方面，假如数学仅是人类的发明，并且只存在于人类心智中，那么我们又如何解释，自己“发明”出来的如此之多的数学真理，为何会如神迹一般地准确预言了几十年甚至几百年之后才出现的宇宙和人类生活中的某些问题呢？这些问题并不简单。正如我在书中反复讲到的，即使在今天，数学家、认知学家和哲学家对此还存在分歧。1989 年，法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes），这位赢得了数学界最负盛名的两项荣誉（1982 年的菲尔兹奖和 2001 年的克拉夫德奖）的数学家清晰地表达了自己的观点：

“根据我的观察，质数（仅能被 1 和自己整除的自然数）组成的世界，远比我们周围的物质世界稳定。数学家的工作可以与探险家发现世界相媲美。他们都是从经历中发现基本事实。举例来说，通过简单的计算，我们发现质数的序列似乎永无穷尽。那么，数学家的任务就是证明存在无穷多的质数，当然，这是欧几里得提出的一个古老结论。这个论证中最有趣的一个推论就是，如果某一天有人宣称他发现了最大的质数，很容易就能证明他是错的。对任何其他论证来说同样如此。由此可见，我们面对的数学现实与物理现实一样无可争议。”15

知名而多产的数学科普作家马丁·加德纳（Martin Gardner）支持“数学是一种发现”的观点。对他来说，无论人类认识与否，数与数学都是独立于人类认知存在的，这一点毫无疑问。他曾风趣地评论：“如果森林中有 2 只恐龙与另外 2 只恐龙相遇，不管周围是否有人类在观察，那儿都会有 4 只恐龙。但是，愚蠢的熊却不会知道。”16 正如孔涅所强调的，“数学是一种发现”（这也是柏拉图的看法）的支持者认为，一旦人们理解了某个数学概念，如自然数 1, 2, 3, 4,…，那么就会面临一些无可争议的事实，如 3^2+4^2=5^2，这与人们如何看待它们的关系并无关联。至少，这会给我们留下一种印象：我们接触的就是存在的真实世界。

当然，不是所有人都这么认为。在为孔涅的一本书（在该书中，孔涅表达了他的上述观点）撰写评论文章时，英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士（Michael Atiyah，他在 1966 年获得了菲尔兹奖，在 2004 年获得阿贝尔奖）写道：

“每一位数学家都会支持孔涅。我们都感到整数、圆在某种抽象意义上是真实存在的，并且柏拉图的观点十分有吸引力。（我会在本书第 2 章详细讨论。）但是，我们真的能支持它吗？假如宇宙是一维空间，或者甚至是离散的，很难想象几何学在这个一维空间中是如何孕育发展的。对人类来说，我们对整数似乎更在行，计数是真正的原始概念。但是想象一下，如果文明不是出现在人类之中，而是出现在潜藏于太平洋深处、独居并与世隔绝的水母之中，情况又会如何？水母不会有个体的体验，只会感觉到周围的水。运动、温度和压力将给它提供基本的感知经验。在这样的环境中，就不会出现离散的概念，也不需要计数。”

阿蒂亚确信：“通过理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人类创造了数学。”17 语言学家乔治·莱考夫（George Lakoff）和心理学家拉斐尔·努涅斯（Rafael Núñez）也持同样的观点。二人在合著的《数学从哪里来》一书中总结道：“数学是人类天性的一部分，它源于我们的身体、大脑，以及我们在这个世界中每天的经历。”

阿蒂亚、莱考夫和努涅斯的观点又引出了另一个有趣的问题：如果数学完全是人类发明，那么它真的具有普遍性吗？想象一下，假如外星文明真的存在，它们是否也会发明出与我们相同的数学呢？卡尔·萨根（Carl Sagan，1934—1996）曾认为，答案是肯定的。当他在《宇宙》一书中探讨智能文明会将哪种讯息传播到外空间时，萨根提出：“任何自然的物理进程都不可能只传播仅包括质数的无线电信息。假设接收到这样的信息，我们就能推断出那里存在一个至少喜欢质数的文明。”但这如何确定呢？数学物理学家史蒂芬·沃尔夫拉姆（Stephen Wolfram）在《一门新科学》一书中提到，他认为这种称为“人类的数学”的智慧，也许仅代表盛开在数学之树上的众多不同“花朵”中的一朵。假如不使用基于数学公式的法则来描述自然的话，人类也可以使用其他类型的法则，比如，在简单的计算机程序中所体现的法则。另外，一些宇宙学家已经开始讨论，我们身处的宇宙可能是多元宇宙（众多宇宙的集合体）的一个组成部分。如果多元宇宙真实存在的话，其他宇宙空间中发展出的数学与我们的数学一致吗？

有些分子生物学家和认知学家基于对大脑功能的研究提出了另外一种观点：数学与语言的区别不大。换句话说，基于这种“认知”，无数世代的人类在注意自己的双手、双眼、两腿后，数字“2”的抽象定义就慢慢形成了。同样，“鸟”这个字的概念也是这样形成的——人们逐渐认识到，这个字代表有两只翅膀，并能够飞起来的动物。正如法国神经系统学家让 – 皮埃尔·尚热（Jean - Pierre Changeux）所说的：“对我而言，公理化方法（欧几里得几何学就建立在几条公理之上）就是与使用大脑相关的脑功能的表现。”18 但是，如果数学算作另外一种语言的话，我们又该如何解释，孩子为何在学习语言时相对比较轻松，而相当一部分孩子在学习数学时却倍感吃力呢？苏格兰天才儿童玛乔丽·弗莱明（Marjory Fleming，1803—1811）就用一种极无奈的语气描述了她在面对数学时的痛苦。弗莱明不到 9 岁就夭折了，她的日记中留下了 9000 多字的散文和 500 多行的诗歌。在一篇日记中，她曾抱怨道：“我要告诉你的是，乘法表带给我无尽的痛苦和烦恼。你可能难以想象。最难对付的就是 8 乘 8 和 7 乘 7，这真是让人无法忍受。”19

这个问题很难回答。如果考虑其他一些因素的话，它可能就会转变成另一个问题：与其他表现人类思维的方式（如美术和音乐）相比，数学和它们有什么本质上的不同？如果没有什么本质上的不同，那么，数学为什么会表现出一种不可思议的逻辑性和自洽性？而这些特征为什么是其他任何一种人类创造都不具备的？比如，欧几里得几何学虽然是在公元前 300 年创立的，但直到今天，它依然是正确的（当然要看它的应用领域），我们仍要服从它表达的“真理”。相比之下，今天，我们既无法强迫现代人喜欢古希腊人所听的音乐，也无法继续支持亚里士多德“幼稚”的宇宙模型。

在科学研究的各个领域中，人们很少会继续沿用 300 年前的思想和概念。然而，最新的数学研究既有可能参考去年甚至上周才发表的数学定理，也有可能引用公元前 250 年阿基米德所证明的球表面积公式。19 世纪的原子结构模型的理论仅存在了 20 年就被抛弃了，那是因为有新的发现证明该理论的基本原理有错误，这也是大多数科研发展的一般过程。牛顿对历史上的巨人不吝溢美之词，因为他站在了巨人的肩上（也许没有，参见第 4 章），才能看得更远。但同时，牛顿也许应该向巨人们道歉，因为他的工作让他脚下很多巨人的理论过时了。

然而，这不是数学理论发展的路线图，尽管用来证明某些结论的形式已经改变，但数学结论本身却始终没有什么差别。事实上，正如数学家及作家伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）曾经指出的：“在数学领域里，谬误一词表示先前以为是正确的、而后来却发现有错误并被纠正的结论。”20 这些结论之所以被证明是谬误，也不是因为其他学科领域有了新的发现，而是人们更仔细、更严格地参考了那些同样古老的数学真理才证实了的。难道数学真的是上帝的语言吗？

如果你认为弄清数学究竟是一种“发现”还是一种“发明”无关紧要，那么请想想这两个词之间的差异在下面这个问题里的深长意味：“上帝是一种发现还是一种发明？”或者另一个更刺激的问题：“上帝是按自己的模样创造了人，还是人类按自己的形象创造了上帝？”

在本书中，我将和大家一起探寻这一问题和其他问题的答案。我们将回顾历史上以及当今最伟大的数学家、物理学家、哲学家、认知学家和语言学家在各自领域中做出的卓越贡献，以及在其研究过程中体现出的远见卓识。书中还要回顾一些近代思想家们的观点、警句和他们对相关问题持有的保留意见。让我们先以早期哲学家们的某些开创性观点为起点，开始这段激动人心的旅程吧。

注释：

1金斯，1930 年。

2爱因斯坦，1934 年。

3霍布斯，1651 年。

4彭罗斯在《皇帝的新想法》（Emperor's New Mind）和《通往现实之路》（Road to Reality）等书中对这三个世界有非常精彩的讨论。

5维格纳，1960 年。在本书中，我会多次引用这篇文章。

6哈代，1940 年。

7关于哈代 - 温伯格定律的详细讨论，请参阅赫德里克（Hedrick）在 2004 年的一个例子。

8柯克斯早在 1973 年就发明了著名的 RSA 加密算法，但在当时，这是英国的国家机密，未予发表。在此之后不久，这一算法又被美国麻省理工学院的里弗斯特（R. Rivest）、沙缪尔（A. Shamir）和阿多尔曼（L. Adleman）独立地研究了出来，请参阅这三人在 1978 年的著述。

9对称、群论以及相关理论发展过程中的种种纠葛，参见作者在另一本书《无法解出的等式》（The Equation That Couldn't Be Solved，2005）中的讨论。斯图尔特（2007）、洛南（Ronan，2006）和杜·索托伊（Du Sautoy，2008）的著述也有讨论。

10指不必像过去一样先观察现象，后总结规律。——译者注

11格雷克（Gleick，1987）对混沌理论的有过非常精彩的描述。

12量子力学和引力理论在表面上完全不同，但它们在本质上都是场论。弦论认为世界是由非常细小的弦组成。从纽结理论的观点看，可以把弦视为三维空间上的弦，所以，上述两种理论可以放在一起研究。——译者注

13布莱克和斯科尔斯，1973 年。

14阿普尔盖特等人（Applegate et al.，2007）对这一问题给出过精彩而专业的解答。

15尚热、孔涅，1995 年。

17阿蒂亚，1995 年。

18尚热、孔涅，1995 年。

19华勒钦斯基和华莱士（Wallechinsky and Wallace，1975 ～ 1981）对玛乔丽·弗莱明的生平简述。

20斯图尔特，2004 年。

《图灵数学史套装》

《最后的数学问题：上帝是数学家吗？》

《数学那些事：伟大的问题与非凡的人》

《代数的历史：人类对未知量的不舍追踪》

《不可能的几何挑战：数学求索两千年》

《悠扬的素数：二千年数学绝唱黎曼假设》

《春夜十话：数学与情绪》

《我只会算术：小平邦彦自传》

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内容提要：

《最后的数学问题》 数学是人类的发明还是发现？数学无处不在的威力从何而来？本书讲述了数学概念的演化过程，引经据典地从哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的本质，揭示了数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系，讨论了困惑几代思想家的重大问题，并以通俗、曼妙的手笔讲述了从柏拉图、阿基米德、伽利略、笛卡尔等哲学和数学先贤到罗素、哥德尔等现代数学巨匠和科学家的生活经历与思想，是一本妙趣横生而又十分有趣的数学思想史。适合所有对数学感兴趣的读者阅读 。

《数学那些事 伟大的问题与非凡的人》 本书是一部短文集，文章以各自英文标题的首字母按照A到Z的顺序排列，每一篇短文讲述了一个特定的数学主题，介绍了数学不可不谈的伟大定理、难题、争论和未解之谜。作者以简单清晰的笔触，带领读者跨越历史，探索算术的起源、圆的奥秘、无穷级数的难题、无理数的怪异特征等话题，讲述了数学家们的生活轶事和神秘经历，勾勒出数学的概貌。本书荣获美国出版商协会的“数学佳作奖”，适合所有喜爱数学知识和历史故事的读者阅读。

《代数的历史 人类对未知量的不舍追踪 修订版》 本书向读者介绍了代数学自诞生以来的发展历程，内容涵盖代数学中的重要概念，如未知量、抽象概念、方程、向量空间、域论、代数几何，等等。作者以诙谐的笔触展现了代数几千年发展史中的重大事件和核心人物，并介绍了代数的基本知识，以代数这种重要而有趣的角度呈现数学思维的戏剧性进化历程，向读者展现了一种感知的全新方式。作者凭借历史学家的叙事能力，带领读者踏上一段令人称叹、充满挑战的数学之旅。本书适合对代数学及其历史感兴趣的读者阅读。

《不可能的几何挑战 数学求索两千年》 本书以数学史上四大著名的“古代问题”——化圆为方、三等分角、倍立方、作圆内接正多边形为基础，展现了两千多年来，数学家们为解决这些问题而留下的令人拍案叫绝的思想与成就。尺规作图“不可能”解决的问题成为欧几里得、笛卡儿、牛顿和高斯等数学巨擘攀登数学高峰的阶梯，其解决方法也延伸至整个数学领域，众多重大数学发现皆与它们息息相关。这段探索之旅将读者从古典时期引领到今天，纵观两千年来这四个无法解决的问题如何引导、启发人们数学思维的发展，并发掘了数学史中的种种细节。本书适合对数学及数学史感兴趣的读者阅读。

《悠扬的素数：二千年数学绝唱黎曼假设》 黎曼假设，素数的未解谜题，被视为数学研究的“珠峰”，吸引了一代代数学家投身于数论研究中，其中不乏数学大名鼎鼎的人物。而破解这一谜题过程中的发现，已经给电子商务、量子力学和计算机科学等领域带来了举足轻重的影响。本书作者以生动细腻的笔触，将素数的故事娓娓道来。阅读本书能像聆听音乐那样，必须具备数学专业背景可领略数学之美，而且还能近距离体会数学家的心路历程，以及他们之间竞争与合作的复杂关系，从而对数学家这一群体有更深刻的了解。

《春夜十话 数学与情绪》我们通常认为，数学是逻辑性的学问，而日本数学家冈洁先生却认为，数学中重要的是“情绪”。情绪是影响心智与认知发展的重要因素，若不能培育“健全的情绪”，则很难真正理解数学和创造性是什么。本书从“情绪与心智”的角度，论述了认知发展、义务教育中的深层问题，同时阐述了对人性的细微考察与独到理解，是一本影响了日本几代人的经典名作。

《我只会算术 小平邦彦自传》 小平邦彦“抄书学数学”的传闻是真的吗？宽松的教育，是否会影响思考能力，又该如何？日本的现代数学研究是如何传承和发展的？本书为日本数学家、菲尔兹奖与沃尔夫奖得主小平邦彦先生的绝笔自传。作者以成长历程为线索，用反思的视角梳理了自己如何学习数学、走上数学研究道路的经历，再现了成长过程中的细腻思索与感受，以及在数学研究中对数学、数学教育的深入思考。本书语言凝练、行文流畅，是了解小平邦彦先生的数学思想体系与日本数学发展脉络的珍贵资料，对深入理解数学、数学教育也具有深刻启示。

作者简介：

《最后的数学问题》 马里奥·利维奥（Mario Livio ），哈勃太空望远镜科学研究所的天体物理学家，科学和数学科普作家，美国科学促进协会会员，卡内基基金会“世纪教授”，皮亚诺奖和国际毕达哥拉斯数学畅销书奖得主。其众多数学和天体物理学领域的文章在《自然》《经济学人》《科学》等期刊上得到极高评价。

《数学那些事 伟大的问题与非凡的人》 [美] 威廉·邓纳姆（William Dunham） 穆伦堡学院数学教授，代表作有《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》《天才引导的历程》。邓纳姆博士曾获得美国数学协会颁发的“乔治·波利亚奖”“特雷弗·埃文斯奖”和“莱斯特·R. 福特奖”。本书荣获美国出版商协会的“数学佳作奖”。

《代数的历史 人类对未知量的不舍追踪 修订版》[美] 约翰·德比希尔（John Derbyshire） 约翰·德比希尔（John Derbyshire）出生于英国，是一位美国系统分析师、作家和评论家，曾学习过数学和语言学。他曾是美国《国家评论》的专栏作家，其写作题材非常广泛，著有《素数之恋》《梦见柯立芝》等多部作品。

《不可能的几何挑战 数学求索两千年》 大卫·S. 里奇森（David S. Richeson） ，美国迪金森学院数学教授， 美国西北大学博士，密歇根州立大学博士后，研究领域涉及从拓扑学角度研究动态系统，以及几何学、拓扑学的数学史。曾任美国数学学会杂志《数学地平线》编辑，数学科普作家，著有《欧拉宝石：多面体公式与拓扑学的诞生》,曾获得美国数学学会欧拉图书奖。

《悠扬的素数 二千年数学绝唱黎曼假设》 马库斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy） 牛津大学数学教授、西蒙义讲座教授，英国工程暨物理研究委员会研究员，英过皇家学会研究员。他是BBC科普节目嘉宾、TED演讲嘉宾，《泰晤士报》和《卫报》专栏作家，曾获伦敦数学学会的贝维克奖、大英帝国官佐勋章。他的科普《神奇的数学：牛津教授给青少年的讲座》深受读者喜爱。【译者简介】 柏华元 物理化学硕士，研究方向为计算化学，用数学描绘化学，用硅基来度量碳基的。

《春夜十话 数学与情绪》 冈洁（Kiyoshi Oka） 1901—1978，日本天才数学家，毕业于日本京都帝国大学，之后留学法国，研究领域为多复变函数论，后攻克多复变函数论中的“三大难题”，为现代数学的发展做出了杰出贡献，备受大数学家西格尔（C. L. Siegel）、韦伊（A. Weil）、嘉当（H. Cartan）等人的赞誉与推崇。1949年担任奈良女子大学教授，1951年获得日本学士院奖，1954年获得朝日文化奖，1960年获得日本文化勋章，1963年所著文集《春夜十话》获得每日出版文化奖，1973年被授予“勋一等瑞宝章”。除数学外，冈洁先生在教育、文学、艺术等领域也有独到研究，特别是文集《春夜十话》中提出的“情操教育”与“情绪认知”的观点，对日本几代人影响极深，并为理解数学、日本民族性乃至“人”本身提供了一种纯粹而直观的新思考。

《我只会算术 小平邦彦自传》 小平邦彦（Kunihiko Kodaira） 1915—1997，日本数学家，生前被选为日本学士院院士、美国科学院和德国哥廷根科学院外籍院士。先后在美国普林斯顿高等研究院、哈佛大学、约翰斯·霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等处任教授，在调和积分理论、代数几何学和复分析几何学等诸多领域做出了贡献。1954年获菲尔兹奖，1957年被日本政府授予文化勋章，1984年获沃尔夫奖。著有《微积分入门》《复分析》《复流形理论》《惰者集：数感与数学》《几何世界的邀请》等。

原标题：《回答数学的终极问题：上帝是一位数学家吗？》

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