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200年前的数学研究解决了现代人的容貌焦虑

2022-05-11 15:07

来源：澎湃新闻·澎湃号·湃客

原创 as center 科学艺术研究中心

文 Nichz

让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅立叶男爵（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768年3月21日－1830年5月16日），法国数学家、物理学家，提出“傅立叶级数”概念，广泛应用于热传导理论与振动理论，后世的一系列算法和概念都以他的名字命名。1798年，他随拿破仑远征埃及，被任命为下埃及的总督。1801年，拿破仑远征军队失败后，他便被任命为法国伊泽尔省长官。1809年被封为男爵，妥妥的学霸贵族，为了增加时代感，后文我们就叫他傅老爷好了。

科学的美是极简的，用一个简单的公式来阐释世间万物的规律和道理，是科学家们所追求的终极目标。傅老爷提出的“傅立叶级数”概念所衍生出的各种算法，化繁为简，作为信号分析和处理的工具，被广泛应用于各个领域。

相信大家在听音乐的时候，都看到过这种与音乐同步的动态图像，这也是很多音频播放器的默认播放界面。

audioSpectrum，来源：Aaron Relph

这些起起伏伏的动态柱状图，其实就是此时此刻声音的“形状”，可将其理解为坐标系，横轴为从小到大的声音频率分布，纵轴则为相应频率的响度值（幅度），随时间的流动，声音的“形状”也在不断的变化。

逝者如斯夫，我们对世间万物的观察不可能略去时间的流动，即存在于“时域”中的世界，而傅老爷认为，在理论上刨去时间，去分析这个静止的世界，就可能在混乱中找到秩序。分析这静止的世界，即是分析每个时间点上频率的“快照”，这就是“频域”。

Sound_Wave_Animation，来源：网络

如上三维图，横轴为频率由低到高的分布，纵轴为幅度，代表了各个频率点的震动幅度，深度为时间轴，呈现时间的流逝；即平面为频域，深度为时域。

简单来说，“傅立叶级数”（Fourier Series）贯穿了时域与频域，将任何形式的周期性信号无限拆解，分为多个有规律的简单正弦波信号。

那么对于非周期性信号呢？我们把镜头拉远，任何非周期性信号其实可以看做是超大号的周期信号，作为“傅立叶级数”的延展，“傅立叶变换”（Fourier Transform，FT）可以将任何复杂的的非周期性信号规律性拆解。

换一种说法，这就像是把西红柿炒鸡蛋还原成西红柿、鸡蛋、葱、蒜、糖、盐，并强迫症一般的整齐排开摆放，这难度，赶上煮鸡蛋反生了吧？

信号分解示意图，来源：jezzamon.com

那么，信号是什么？信号可以用数学函数来表示，它的物理体现其实就是震动，那么，震动又是什么呢？Well, theoretically it is everything，理论上，我们看到色彩，光线，听到的声音，无一例外，都可以理解为震动（至少现在的科学认知是这样)。某种角度看，傅老爷抽丝剥茧，成功解构了这个大千世界。

“傅立叶变换”最初被运用于热力学分析中，随着时代与科技的发展，在信号处理的过程中，傅立叶的一系列理论起着关键性作用，按照不同的需求，它也被不断延展和推导，各变种呈家族式分布，可谓子子孙孙无穷尽也，它们也以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、概率论、海洋学、计算机科学、量子力学等各个领域。

傅立叶级数家族以及其数学推导关系，来源：网络

将一段声音进行“快速傅里叶变换”（Fast Fourier Transform，FFT），时域转换为频域，我们就会得到每个时间点上每个频率点的震荡幅度，按照时间顺序逐个播放，就得到了前文音频播放器的动态效果，这其实是最基本的声音可视化形式。

在视觉上做一些变化、设计和编程，就便可得到这种很酷的可视化效果，数字媒体艺术家们都离不开傅老爷。

坂本龙一&真锅大度 “Sensing Streams”，来源：Youtube

其实人类大脑本身就具有“傅立叶变换”的功能。

例如，我们可以从一段嘈杂的公园环境音里分辨出男声、女声、老人、儿童、狗叫声、脚步声、水流声和噪声，这也算是数学理论的的肉身体现吧。

人脑能做到的，电脑自然也能做到，而且做的更理性、更卷，这就叫做频谱分析，分解频率后，修修剪剪，声音可以变得悦耳如天籁，也可以变得面目全非，这对音乐录音行业尤为重要，可以说，没有傅老爷就没有现代的音乐产业。

市面上的变声软件，大叔嗓秒变萝莉音的基本原理也是这样，与机器学习、人工智能结合后，甚至可以模仿并实时合成任何人的声音。

学生终于可以模仿老师的声音给家长打电话表扬自己了，理论上，邓丽君的全新专辑也应该不远了。

AI复活日本已故歌手美空云雀-声音合成，来源：Youtube

除了声音，图像也是信号，也可以进行傅立叶变换，经过一定的处理，减少或增添某些频率的幅度，可以让图像变得更模糊或更鲜亮，这也就是当下美颜相机磨皮、美化的基本原理，也就是说，我们自拍时脸上的痘痘、雀斑、黑头、皱纹、粉刺全部剔出，给您整齐排列，任君清除。这么看来，我们现代人建立容貌自信、消除容貌焦虑，也要感谢傅老爷呢！

图像的傅立叶变换（中间是频谱图，右边是相角图），来源：https://yangwc.com/2019/10/24/FFT/

再给大家分享一个有趣的数字编程艺术，它非常直观地展现了“傅立叶级数”的基本概念。利用多个规律正弦波信号画出任何的图形：像齿轮一样，所有的圆圈由最大的中心圆圈带动，直径越小，周期就越短，频率也就越高，由最小的圆圈的中心点画出相应的图形。每一个圆圈都可以理解为是原信号经过傅立叶变换分解出的正弦波，将他们周期性“摆动”，就还原了原始图像。