我在复旦学逻辑（一）

逻辑有着独特的魅力，它简洁严谨又多有巧思。它不仅帮助哲学以清晰和精确的方式处理问题，也对不少数学理论的研究有所贡献，更不必说递归论之于计算机，语言哲学之于语言学。逻辑学作为一门交叉学科，以一种和谐优美的方式站在了哲学，数学，语言学，计算机这些完全不同的领域的交汇处对它们产生了不可磨灭的影响。

那么作为国内研究逻辑的一个中心，在复旦大学逻辑组就读研究生的同学们在这里又有什么样的体验呢？复旦逻辑公众号将推出新的系列：我在复旦学逻辑的日子。本篇为此系列的第一篇，由两位主攻模型论方向的同学讲述他们在复旦与逻辑相伴的日子。

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Part.1

王飒 2020级研究生

我高中的时候参加信息学竞赛，取得一点成绩，获得了复旦大学的自主招生优惠，也自然成为了计算机专业的学生。经过本科前一年半的学习，我发现相比实践，我对数学那样严谨的理论更感兴趣。当时我最感兴趣的课程是数学分析、线性代数、离散数学这样的数学课。而算法竞赛中，相对于通过一道题，我更在意算法的复杂度和正确性证明。因此大二下学期的时候我打算转入数学学院，但是因为竞赛自招的身份而失去资格。也是在大二下学期，复旦大学数理逻辑学程项目启动，我看介绍感觉挺有意思，便报名了。

大三上学期，学程正式开课。那个学期我上了郝兆宽老师的《数理逻辑》，从此打开了新世界的大门。那门课程的内容很经典、丰富，基本完全覆盖复旦大学出版社数理逻辑教材。数理逻辑不仅完美符合我心目中“严谨的理论”，而且研究的内容很有趣，蕴含深刻的思想。第二个学期我又上了杨睿之老师的《可计算性理论》，这门课的内容主要是一些图灵度结构的结论。或许是由于对算法的熟悉（虽然这里的算法和计算机中有一定复杂度保证的算法有很大差别），我这门课学得不错，对一些困难的习题能提出新方法。

对角线方法讨论（左：王飒，右：杨跃老师）

我想既然我对数理逻辑感兴趣，而且它又似乎挺适合我，便毫不犹豫地选择继续攻读这个领域。在选择学校方面，我也直接锁定本校。学程的两节课上下来，老师们讲课水平很高，对学生也很好。复旦数理逻辑处于蓬勃发展中，每年都会举办暑期学校，资源丰富。而我属于“半路出家”，数理基础比较薄弱，这里对我来说很熟悉，在这里开始希望能打下比较坚实的基础。

复旦逻辑专业有五位老师，除了陈伟老师是做非形式逻辑、法律逻辑，其余四位都是数理逻辑方向。除了前面提到的郝兆宽老师和杨睿之老师之外，还有姚宁远老师和Will Johnson老师，后两位都做模型论。我本科的时候对模型论几乎没有了解，但对该领域也很有兴趣。因为模型论是个比较活跃的领域，和一般数学关系更紧密，而复旦模型论师资也比较强大，我便选择了模型论作为研究方向，姚宁远老师是我的导师。

复旦数理逻辑暑期学校老师们与同学们的合照

对于之前非哲学专业的同学可能会有顾虑，来了哲学系但是不懂哲学怎么办，是不是要修哲学课。复旦哲学学院确实对跨专业学生有补修要求，学位基础课可能也被迫要选其他哲学课。但经郝老师与学院的沟通，数理逻辑方向的研究生有了一些替代方案，解决了我的困难。

在课程和教学方面，模型论课程一直是Johnson老师在上，第一学期是基础内容，第二学期是稳定性理论相关的选题。集合论两学期课程第一学期也是基础内容（可能以讨论班的形式），第二学期是进阶内容，一般是哥德尔的L和力迫。杨睿之老师讲的话可能讲大基数理论。可计算性理论则通常选择一个前沿方向开展讨论班（如果基础不牢可以旁听杨老师本科生的《可计算性理论》）。一阶逻辑覆盖复旦出版社数理逻辑教材。模态逻辑一般也是讨论班，讲比较前沿的内容（同样有对应的本科基础课）。对于传统形式课程，我还是很适应的。Johnson老师的讲义和讲课都非常清晰严谨，让我的模型论基础比较牢靠。基础课讨论班课程因为之前我已有基础，所以也没什么问题。前沿讨论班课程因为难度比较大，报告人仔细准备也可能出现问题，这时课堂被迫卡住，会出现效率偏低的情况。

Will Johnson老师教授模型论

抛开教学，主要就是自己的研究方向和课题。逻辑专业是联合培养，所以有问题可以找任何一位老师，如果感觉研究方向不合适甚至可以换到另一个老师下。如果对某个领域感兴趣，就算老师们不了解，也可以开讨论班，并获得资金等支持。因为数理逻辑学程的推动，现在复旦数院的同学也和逻辑走得更近了，所以你总能找到志同道合的同学。总体来说，这里的学习氛围非常自由，所以只要你想学，你就不需要担心别的问题。但也正是因为这种自由，同学们需要有充足的动力、行动力和自制力。因为老师们不太给压力，你需要主动和老师交流，而不能总是被动等老师来找你。我在这方面做得还很不够，就不多说了。

另外，复旦逻辑可能在国内算是数理逻辑的一个中心之一，每年都会有很多讲座和报告，每年夏天都会举办复旦大学暑期学校。同学们也有机会去国内其他学校参加会议，去新国大上数理逻辑暑期学校等等。总之，学术资源是很丰富的，要去学会利用它。

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Part.2

凌晨 2020级研究生

研一入学时，我选修了数理逻辑、集合论，旁听了模型论。研一下学期时又选修递归论。其他逻辑学方向的话，复旦也有数学哲学、模态逻辑、逻辑史等介绍课程。进阶课程的设置比较灵活，对某方面感兴趣的话，可以找自己导师开有关方向的进阶课或办讨论班。每年的逻辑学暑期学校也会邀请业界大佬做系列讲座。

武丁教授在复旦开展讲座

我在研二时选择模型论作为研究方向。研一时跟了一年模型论的课程，学了vc-dimension的一些概念。这学期也选了进阶课，讲了稳定性层谱、Morley rank、CB-rank等等。模型论学起来没有什么特别难的概念，与集合论、递归论相比，这可能是更“讲人话”的一个方向。但概念又多又杂，相互的关联性不强。往好了说，即便学习某块内容时状态不好，也不怎么影响的以后学习。但一学期课听下来，自己很难理出一条清晰的脉络。即使是广受好评的模型论教材，编写顺序也往往是一个topic接一个topic。读者在学习对应topic的定义、概念后却看不懂例子，无法培养相应的直观。在这样的学习中，一个优秀的老师十分重要。在入门阶段，需要一个老师帮着把书读薄，告诉学生哪些地方很重要、可以用哪些简单的例子辅助理解。

Will Johnson老师讲义上Morley rank的定义

研二下学期时，姚老师原计划开稳定性理论讨论班。后来中期答辩临近，改让我和王飒轮流读论文做阅读报告。与自己看书相比，定期做阅读报告，既能以相对稳定的速度推进，又能及时发现问题。虽然大部分时间都花在了敲字做讲义上，但不被逼着讲的话，说不定也不会花时间看论文了。虽说论文的大部分内容，只要仔细看都能看懂。但若缺少相关背景，就很难从中挖出更深的东西。我们希望读一个定理，follow它的证明，直观上把握、理解它。但事与愿违，名词的定义套定义，一个小引理的证明也许只是单纯地把定义层层剥开，但读完证明最后一行时便已经忘了证明的起点了。最后，只能说，这个定理的证明看上去没错，但我也不知道它能带来什么。随着定义、定理增多，理解中的错误会随之累积叠加，以致到某个地方就完全看不懂了。

如果学过一些模型论，我们会知道“stable”的结构是一类“好结构”，它可以是“没有序性质”、“型空间小”等等。“NIP”的模型不能表达有“独立性质”的公式，它的型空间也比较小，也对应了一类“好结构”，“o-minimal”也对应一类好结构。但是在这么粗浅的直观下，随着定理增多，就会弄不清定理成立的条件。一篇论文看完，或许能够赞同作者的结论：是的，通过A方法确实能证明，B性质在stable时成立、一般的o-minimal情况下不成立。回顾A方法，好像用到了很多引理，这些引理仿佛都和stable、o-minimal毫无关系。最终没能发现究竟是什么性质，使得stable结构成立的东西无法推广到o-minimal结构。

姚宁远老师正在介绍讲座

吃透这些概念，可能只有反复读、反复讨论。我们也无法精确地描述自己问题出在哪，只好在做具体问题时边做边想。复旦提供了一个优秀的环境：问老师论文中省略的定义、证明；听同学讲论文、讲论文给其他同学听、交流各自对问题的理解等等。如果运气不算太差又确实喜欢搞这些东西并且足够聪明，应该能在复旦度过愉快的三年逻辑研究生生活吧。

原标题：《我在复旦学逻辑（一）》

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