三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题

文/罗莫

摘 要

在a+b=c的三元方程中，如果a解集与b解集彼此有不共素因子，也就是说a解集与b解集是基底互素的，且b解集与c解集也彼此有不共素因子，也是基底互素的。那么三元方程中不共素因子有传递性，两对解集有不共素因子，第三对a解集与c解集互异时彼此必有不共素因子，即第三对解集互异必基底互素。这就是三元方程解集基底互素定理，这是作者于2019年独立提出并独立完成证明的重要定理。证明该定理作者用到了正则公理或选择公理，正则公理的意思是，不存在以自身为元素的集合，不存在无限递降的集合序列。母鸡下的蛋孵不出该母鸡。选择公理的意思是，不同集合必有相应的单位元，向量空间必有向量基。该定理成立可解决一大批丢番图问题，包括哥德巴赫猜想，孪生素数猜想，abc猜想，黎曼猜想，比尔猜想，费马猜想，考拉兹猜想，四色猜想，NP问题等，有多米诺骨牌效应，乐见数学同仁用该方法该引理完成证明更多世界未解猜想。

正如“坚持比天赋”重要一样，“进步快”最终会碾压“底子厚”，求新比求全更能看到希望。坚持解决那些平凡的问题往往有意外惊喜。笔者通过对一些“孤立”的久未解决的丢番图问题寻找解决方案，无意间发现它同很多难题都有广泛关联，它是素数之间能找到“神秘呼应”的桥梁。找到它的来源，有利于发现一些新工具来判定素数是如何分布的。

三元方程中的解集基底互素思想以及可表偶数中的全素因子相同思想就是这样一对好工具，它是用来判定解集素因子是否相同和解集素因子是否相异的一种思想工具。当然，基础数学不仅是滋养目标推动结果的思想工具，也是目标本身，一切原因都仍是结果，需要去溯源。关心数学幕后工具反而是先进数学以及先进科学的研究方向，不可杀鸡取卵式地去使用工具，来谋求数学结果，本末倒置必不可持续，行之不远。不要把数学仅当工具，要当成能不断成长的朋友。

我们是通过关心终极生成对象，来觉醒第一生成元的，没有原因的精彩就没有结果的精彩。哥德巴赫猜想是数学结果，三元方程解集基底互素定理相对哥猜来说是数学原因。数学发展需要证明猜想，是因为原因比结果重要。当然能提出新的数学问题，也能倒逼数学发展。不管这个新问题是谁提出的，去解决它就能推动数学进步。尚未得到科学支持的新技术，要像对待前沿科学一样去敬畏。科学和技术，有时候科学先行，有时候技术先行，其中科学先行为常态。

三元方程解集基底互素定理在笔者已经出版的专著《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社2019年9月）一书中“以累积互素的概念”详细论证过，也在澎湃新闻上连续发布过，很多数学爱好者参与了讨论。有学者说，作者对常识重新直觉，解放数感，提出了数学新工具相邻论和重合法，即求同和求异通过不断扩域来实现相互超越，完成深层抽象和底层计算，从而可倒逼出新的深层抽象，产生新工具，从而可解决哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，abc猜想和比尔猜想，以及黎曼假设和考拉兹猜想，NP问题和四色猜想等一系列丢番图问题，它撼动了数论群山。

本文把一些数学难题集中起来都用基底互素思想来解决，可以让数学爱好者清晰地洞察到，貌似彼此孤立的问题都不孤立，它们都受制于幕后的底层引擎推动，第一张骨牌倒下，一系列的多米诺骨牌都会倒下。

下文我们就用寻找区分（相邻）和共性（重合）的方法来思考以下几个问题：偶数互异分割问题（含哥德巴赫猜想和斋藤猜想），相邻素数间隔问题（含孪生素数猜想和波利尼亚克猜想），互素迭代传递问题（含考拉兹猜想和相邻素数间隔猜想），方程指数递增问题（含比尔猜想和费马猜想），同构同态延伸问题（含黎曼猜想和abc猜想），高阶数学归纳问题（含四色猜想和NP问题）。熟悉本文新工具且关心如何用新工具三元方程解集基底互素定理证明“四色猜想”、“NP问题”以及“ABC猜想”的，可以跳过引理部分和其他猜想的证明部分，直接从9.0后阅读。

1.0  引理一：三元方程解集基底互素定理（新素因子判定方法，也叫相邻论）

人有两种意志，一种是求新冲动，熵减的，关心永恒，一种是求全冲动，关心辽阔，熵增的。前者保护本心保护自由，后者保护公心保护公平。前者有离散特征，后者有连续特征。探索素数分布，也有这两种需求，一种是素数新增的判定，是为了追求了解更多更全，一种是素数增新的判定，是为了追求了解更强更新。新冠病毒新增与新冠病毒增新是不一样的。故了解求新冲动，比了解求全冲动更深刻。是质变在推动量变。

与此相对应，命题保真变换也来自两种情形：

刀不能砍该刀背，不能拽自己的头发升空。

a. 一种来自等量对象的各因子各部件具有相应同类自反性、同类对称性、同类传递性，即等量因子或等量部件因交换而产生的同质传递性，可概括为等量传递，共性传递（玻色子性质）。体现了重合法思想，强调表层共性会被深层共性取代。对应求全冲动，寻找全素因子的判定方法。

b.另一种来自异类对象的各因子各部件具有相应对象异类互异性，异类互素性，异类传递性，即异类因子或异类部件因排序而产生的异质传递性，可概括为差量传递，区分传递（费米子性质）。体现了相邻论思想，强调表层区分会被深层区分取代。对应求新冲动，新素因子的判定方法。

这种区分传递比共性传递，更加隐秘和深刻，正是因为这一点，很多跟它相关的久未解决的难题会因无视它而一筹莫展。为了明确不等量传递的思想，我们来复习一下整数问题中的一些重要概念。本文之所以要重复发布某些概念和定理证明，是因为新添加的内容都跟它们有关。

“互素”定义：a和b无共同素因子就叫a和b互素，也叫互质，比如说，3和5，18与35，1和7，1和1，它们都是互素的。

“三元互素方程”命题：整数三元方程若两元互素则三元两两互素，即 a+b=c，当gcd（a，b）=1，则gcd（b，c）=1，gcd（a，c）=1。

证明：已知 a、b 是一对互素的整数，c是它们的和，即 a+b=c，由于a与b互素，故b与c以及a与c必互素。假如其中两项非互素，有公约数可约掉，另一项不可约而成真分数，如此就会产生整数与真分数相等，于是矛盾。故整数三元方程若两元互素则三元两两互素。本文所有被证明的命题皆可看成定理和推论，可做证明未解猜想的依据。

“互异分割方程”命题：大于4的任意偶数2n都能完成互异分割，也能完成互素分割，即a和b必有互异互素解集表达任意偶数。若有“a+b=2n”，则存在“gcd（a，b）=1，a≠b”。

证明：大于4的任意偶数2n都可以完成等量分割，均分为两个相同量即n+n=2n，以n为中位数可构造共轭差不为0的两个数，其和也等于2n，即n+m+n-m=2n, 当a=n+m，b=n-m，m大于0时，2n完成了互异分割a+b=2n，令a每次与给定的2n互素，则2n也与b互素，我们称所有的2n都能完成互素分割。即关于2n的本原解方程已经囊括了可构造2n的全部解集，2n的本原解三元方程其通解在偶数集上不扩域。本原解方程就是通过数乘逆运算得到每一项都没有公因子的方程，如本原解方程a+b=c的通解方程是ta+tb=tc。

以后我们还将证明，2n的最简本原解三元方程其内积通解在全体偶数集上也不扩域不缩域。最简本原解方程就是通过内积逆运算得到的方程，其生成元为彼此互异的素数，其生成对象与生成元分别互素，如最简本原解方程p+q=2n的内积通解方程是ap+bq=2cn。它显示了最简本原解方程左边乘以加权数以及右边乘以特征数后，右边的偶数解集若依然不扩域也不缩域，则哥德巴赫猜想是成立的。这就明确了可证明哥德巴赫猜想成立的方向。下文将完成证明。

“基底互素”定义：a和b彼此有不同素因子就叫基底互素，如3和5，77和91。互素关系中，若a≠1或者b≠1，则该类互素也属基底互素; 基底互素关系中，若不含公因子，同时a≠1或者b≠1，则该类基底互素也属互素。任意偶数可完成互异分割，得到方程2n=a+b，当a或b都不是彼此的公因子时，a和b是基底互素的。基底互素方程必有二维素数基底。

“解集互素”定义：在三元互素方程中，每次解是两两互素的，累积解也两两互素，就叫“解集互素”。“解集互素”关系的比较，教科书上鲜见，但意义非凡。

“解集基底互素”定义：在三元互素方程中，每次解是两两互素的，累积解不一定两两互素，若两元的累积解互素，且a和b累积解都非1，彼此有不共素因子，则我们称a和b解集基底互素。如，解集a={3，11，30，65}与解集b={7，13，55，99}是解集基底互素的，a中的3与b中的7为不共素因子，解集a和b都必有对方全集没有的素因子，故a和b是解集基底互素的。解集基底互素可包含局部数值仅子集基底互素，以及子集素因子同构或因子同态。解集a和b中素因子有4种关系，第1是a和b解集全部互素（双方没有公共素因子双方仅有不共素因子），第2是a和b解集基底互素（双方有公共素因子双方更有不共素因子），双方不含1的全部互素也是基底互素，第3是a和b解集因子同态（双方有公共素因子且单方有不共素因子），第4是a和b解集因子同构（双方有公共素因子双方没有不共素因子）。基底互素与有一方含1的完全互素进行了本质区分，就像同构与同态一样进行了区分，我们知道所有的悖论以及不可证的命题都是概念混淆造成的，教科书只强调完全互素，对基底互素的性质有所忽视，因此提出基底互素的思想，意义重大。因为它对数值之间关系的分类提出了更丰富更全面的层次。

“解集互异”定义：在三元互素方程中，a和b解集中没有任何一个相同解，就叫解集互异。如a={5，18，22}与b={9,11,17}，a和b解集就没有任何一个相同解，故称a和b解集互异。

“三元方程互异解集基底互素”命题(以下为定义部分)：

整数三元方程a+b=c，Ubi、Uai、Uci为三元方程解集，若解集gcd(Ubai,Ubi)=1，解集gcd(Uci，Ubi）=1，且Ubi或Uai≠Uci，则解集(Uai,Uci)基底互素，三元方程解集两对互素第三对必基底互素，当Uci与Uai互异，Uai蕴含全部素因子时，同时也严格解集互素gcd(Uai, Uci)=1。换成其中任意两对解集互素，甚至基底互素，若第三对解集互异，都能判定第三对解集必基底互素成立。

命题阐述以及概念定义：a和b无共同素因子就叫a和b互素，a和b有不同素因子就叫基底互素。已知a、b是一对互素的整数，c是它们的和，即a+b=c，由于gcd(Uai,Ubi)=1，gcd(Ubi,Uci)=1，且a与b、b与c以及a与c必每次互素,则Uai和Uci必基底互素，一个解集跟另一个解集在基底互素的条件下有增添新素数因子的性质。解集基底互素，说明单对单数值每次比较有不共素因子，多对多解集通关比较也有不共素因子，通关就是两两进行逐一比对。通俗地说，两大互异阵营都有对方没有的秘密武器。但基底互素允许存在共素因子，且允许双方的子集素因子是对方全集素因子的子集。

同时也严格互素gcd(Uai, Uci)=1，当Uci与Uai互异，Uai蕴含全部素因子时，1和任何整数都互素，但不属于基底互素，1和1互素，但不属于基底互素，15和3约掉3后互素，但不属于基底互素，21和35非互素，但属于基底互素，因为约掉7后，3和5是互素的，且不含1。有些数是基底互素但不要求互素，如15和9，有些数互素但不基底互素，如5和1，有些数既互素又基底互素，如3和5，有些数既不基底互素也不互素，如15和3，非基底互素的，说明至少有一方相对没有增添新素因子。

假如（Uai,Uci)不是基底互素，移除共因子后，存在gcd(Ua’i,1)=1，Uci相比Uai就没有增添新素因子，根据基底互素的定义，两个整数之间相互含有不一样的素因子，就叫基底互素，基底互素的整数也可以含有公因子，解集基底互素，说明解集之间都有不共素因子，不象a和1，仅单方面有不共素因子，基底互素说明，一个解集有对方没有的另类素因子，另一个解集也必有对方没有的另类素因子。

那么根据定义Ubi或Uai≠Uci，在每次解互素的前提下，会导致c解集相对不增加新素因子或a解集相对不增加新素因子，a解集中的素因子都在c中，或者c解集中的素因子都在a中。前者说明，c中有增加新素因子，可不考虑，我们仅假设c没有增加新素因子的情形，在a’是a中素因子的乘积数，b’是b中素因子的乘积数时，那c中的素因子就不可能是a中素因子的子集，这与不是基底互素（即仅有共因子而无异因子）的假设相矛盾。以下就用是否有新增新素数因子的思想来证明该基底互素定理成立。

前文说到，命题保真变换来自两种情形，等量传递的情形我们比较熟悉，同态，同构，同伦，同调，皆属此列，不等量传递的情形，教科书上鲜见。谈的比较多是同态关系和蕴含关系。大多从元素即集合论的角度，而不是从数值即序列论的角度，从数值的角度谈不等量传递，我们会有一些意外发现。不等量传递有一个最显著的特例就是分形。比分形更深刻的性质在不等量传递中。不等量传递还有一个最显著的特例就是范畴论。比范畴论还更深刻的性质在不等量传递中。

“三元方程互异解集基底互素”命题（以下为证明部分）： 

在a+b=c的三元方程中，如果a解集相对于b解集有增添新素因子，或者b解集相对于a解集有增添新素因子，也就是说a与b是基底互素的，且b与c也是基底互素的。那么三元方程中不共素因子有传递性，两对有不共素因子，第三对a与c互异时一定彼此必有不共素因子，即第三对互异必解集基底互素。

证明：三元方程a+b=c，其a、b解集基底互素，b、c解集基底互素，a、c解集互异，可证a和c解集基底互素的命题成立。因为任意偶数皆可进行互素分割，这是唯一析因定理的一个推论，2t=a+b是全集偶数互素分割方程，其a、b、t的并集囊括了所有素因子。

现令b为大于t的奇数，其素因子与t中素因子不同，a与b中的素因子也不同。当c=2t时，c中的奇因子与t中奇素因子是彼此蕴含的，偶数比奇数仅多一个偶素因子2。a与c是解集互异的，故a、b、t可三分所有奇素因子集，比如，1和3结尾的素数归a，7和9结尾的素数归b，5和2素因子归c，它们的并集囊括所有奇素因子，即可令a与b含有互异素因子，b与t含有互异素因子，b中至少有素因子，t不取，a也不取，t与a解集互异，则可证a与2t是基底互素的。因为t有时也含2因子，可证a与2t基底互素，故a与c也是基底互素的。以下是证明关键步骤：

在a+b=c（三元皆不含解集为1，某元解集为1时的特例可单独完成证明，因为即便含解集1的三元方程，其中不含解集1的第三对也是基底互素的亦可证成立），a与b解集基底互素，b与c解集基底互素，假如a与c非基底互素，可证推论会出现矛盾。因为非基底互素，且a与c解集互异，本原解方程，互异解集素因子不会完全相同，排除了非基底互素中的素因子全部相同的可能，即解集因子同构排除，双方含1的全部互素也排除；剩下的就是解集因子同态，就等于c中素因子是a中素因子的真子集，或者就等于a中素因子是c中素因子的真子集。

令f(a)为a的素因子解集、f(b)为b的素因子解集、f(c)为c的素因子解集，根据假设f（c）⊊f（a），以及f（a）∪f（b）= f（b）∪f（a），可得到，f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（a）∪f（a），于是f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（a）（两个相同项之并集可合为一项），这就导致，素因子全集f（a）∪f（b）∪f（c）是该集（b）∪f（a）的真子集，全集不可能是该全集或其子集的真子集，母鸡下的蛋孵不出该母鸡自己（与正则公理相矛盾），这就证明了三元方程两组解集互素第三组互异会增添新素因子，于是可判定此命题为真。

根据假设f（a）⊊ f（c），同样可证得f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（c），导致，素因子全集f（a）∪f（b）∪f（c）是该集（b）∪f（c）的真子集，与正则公理相矛盾，这就证明了三元方程两组解集基底互素第三组互异会增添新素因子，于是可判定此命题为真。

罗素悖论不成立时的情形被正则公理消解了，证明确实是不成立的。罗素悖论成立时的情形与正则公理也不冲突，而是有条件成立。理发师仅可给自己理第一次发，此时成立，第一次可无限短暂，但总存在。补元概念如果没有原概念的话，补元概念是不存在的。选择公理就支持存在原概念。罗素悖论成立情形可用选择公理来证明。正则公理与选择公理并不冲突，而是相互支持的。但混淆条件就冲突。选择公理强调有基底元，有普适的公共元，正则公理强调有前后序，有相应的分别序。重合法就是正则公理与选择公理相互不断支持下的选择公理；相邻论就是正则公理与选择公理相互不断支持下的正则公理。阴阳有序阴阳共根。元素具有三性质，不同时情形具有互异性，元素同时情形具有无序性，确定性与非确定性是二者的另类表达。可见明白有序和共根是非常重要的。正则公理说的是公平条件下可得到自由。选择公理说的是自由条件下可得到公平。

三元方程中第一对两元解集彼此有不共素因子，第二对两元解集也彼此有不共素因子，则存在传递性，第三对两元解集互异一定彼此有不共素因子。三元方程a+b=c是两两互素的，且a与c是解集互素的，b与c是解集互素的，a与b每次解不同且解集也是互异的，a、b、t的解集之并含所有素因子。则a解集相对于b解集有增添新素因子，或者b解集相对于a解集有增添新素因子，也就是说a与b是基底互素的。

另一组也一样。证法同上。可见三元方程在特定条件下不共素因子有传递性，两对彼此有不共素因子，第三对互异一定彼此有不共素因子。 

“三元方程互异解集基底互素”命题的特例：在a+b=c中，如果b解集（仅在方程右边）为1，a与b解集互素，b与c解集互素，则a与b解集基底互素。

证明：f（a）是a解集的素因子全集，f（b）是b解集的素因子全集，f（c）是c解集的素因子全集，假如a与c解集非基底互素，因b为1，a与b也含1的可能可排除，故f(a)要么是f(c)的真子集，f(c)要么是f(a)的真子集。前者又因为f（b）∪f（c）=f（b）∪f（c），所以f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（c）∪f（c），合并相同项，所以f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（c），这就导致全集是子集的真子集，与正则公理相矛盾。后者又因为f（b）∪f（a）=f（b）∪f（a），所以f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（a）∪f（a），合并相同项，所以f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（a），这就导致全集是子集的真子集，与正则公理相矛盾。故三元方程含解集为1时基底互素定理也成立，只不过逆命题不都是解集基底互素，第三对会推出解集互素，即便解集互素，右边项也必是新增新素因子的，因为左边的b解集为1。

根据三元方程解集性质，可判定(Uai,Uci)非基底互素的假设是不真的。故c中增添新素因子是每个a和b的基底素因子补元不断筛查所剩的交集。在此前提下，就会导出素数分割偶数方程的一个重要性质（2p+2=c）：

意味着要同所有的a基底互素才能筛查出c中的素因子。c中的素因子同每个a和b中的素因子都是互异集，尤其是针对可表偶数2p，可清晰地判定c中的素因子同每个p是互异集。于是根据摩根律就可得到这样一组表达：

 在a+b=c中，也就是在2p+2=c中，c中首项数的素因子=Cu（a1中的素因子）∩Cu（a2中的素因子）∩Cu（a3中的素因子）∩Cu（a4中的素因子）∩……Cu（an中的素因子）∩Cu（b1中的素因子）∩Cu（b2中的素因子）∩Cu（b3中的素因子）∩Cu（b4中的素因子）∩……Cu（bn中的素因子）。根据摩根律“补的交等于并的补”可得：

c中首项数的素因子=Cu{（a1中的素因子）∪（a2中的素因子）∪（a3中的素因子）∪（a4中的素因子）∪……（an中的素因子）∪b1中的素因子）∪（b2中的素因子）∪（b3中的素因子）∪（b4中的素因子）∪……∪（bn中的素因子）}= Cu全体素因子= Ø。而c没有龙头数，c就没有后继同类数。

下文将证可表偶数2p属于a，当解集c同蕴含全部素因子数的a基底互素时，也就等价于a和c两个解集没有公共因子，因此当a为可表偶数时，gcd(Uai,Uci)=1。

在三元互素方程a+b=c中，a与c，b与c解集互素，a与b互异，则a与b基底互素，总之，有两对解集互素，第三对互异必基底互素。可用相同的思路解决。

“中位数”定义：两个整数之和的平均值叫中位数。两个奇数（含奇素数）之和的中位数都是整数。比如19和7的中位数是13，21和11的中位数是16。

“共轭奇数”定义：与中位数差值相等的一对奇数叫共轭奇数。如，27和33是一对共轭奇数，它们的中位数是30。

“共轭素数”定义：与中位数差值相等的一对素数叫共轭素数。其中与中位数差值非0的一对素数叫共轭互异素数。如，3+7=2X5，5+5=2X5，其中3和7，5和5都是与中位数差值相等的共轭素数对，而3和7是共轭互异素数。

中位数判素命题：任意偶数2n与自然数n之间必有素数（伯特兰定理）。

证明：假设2q+2 只能用小于q大于2q+2的素数加其它素数才能构造，那么大数区可排除，仅用小于q的素数相加构造，又不能生成大于q小于2q+2的素数，否则等于间接用到了该区段的素数，导致每次再加一个素数所得到的和，它们的素因子都不在“q~2q+2”的范围内。由于素因子小于q的数进行互素两分，然后相加所得到的数一定会生成新素因子（由三元方程互异解集基底互素定理推得），给定偶数2q+2与共轭奇数对都是解集互素的，因为任意偶数都可以完成互素分割（由偶数互素分割推得），三元方程有两对解集互素，第三对解集互异必基底互素（由三元方程互异解集基底互素性质推得）,并已知共轭奇数是互异的，故加性表达2q+2的共轭奇数一定是基底互素的。

但假设却规定较大共轭奇数解集中的素因子都小于中值数q+1，即较大共轭奇数相对较小共轭奇数不会新增素因子，于是产生矛盾，这就归谬证明了，两个小于q+1的素因子数相加无法构造2q+2，从而证明q与2q+2之间必有新增素因子数，由于大于中位数的新增素因子的倍数和更大的素因子数都大于2q+2，所以该新增素因子数必是大于q+1小于2q+2的新增素数，等价于必是大于q小于2q的新增素数，由于最小的奇素数是3，3+2q-1无法得到2q，故可把范围进一步缩小，q与2q-2之间必有增添新素数。把素数q替换成自然数n也一样成立，因为只要q与2q-2之间必有增添新素数，n与2n-2之间就必有在区段内增添的新素数，于是伯特兰定理获证。

“相邻互素”命题：除0外的自然数必相邻互素，即 m+1=h，m与h必互素。当m解集∩h解集=空集，且m蕴含所有素因子时，m解集与h解集必基底互素亦严格互素。

证明：已知 m、h 是一对相邻自然数，即m+1=h，由于1与m互素，故m与h必互素。 假如其中两项非互素，有公约数可约掉，就会产生整数与真分数相等，于是矛盾。故自然数相邻互素。

在此基础上本定理可通过直接推导成立，m与1全集互素，h与1全集互素，且根据定义m≠h，m+1=h是三元互素方程，故第三对m与h必基底互素。可见递增相邻集是一定会新增素数因子的。

“相邻偶数除以2后必互素”命题：偶数约掉因子2必相邻互素，即2m+2=2h，h与m必互素。如果m解集与h解集互异，m蕴含所有素因子，则m与h也是解集基底互素。

证明：相邻偶数2h与2m约掉2因子后是一对相邻自然数，据上文已证定理，h与m 一定是基底互素的。根据三元方程解集基底互素定理的推论，如果m解集与h解集互异，m蕴含所有素因子，则m与h也是解集基底互素的。因为m、h分别与1解集互素，且互异，故m与h必解集基底互素。

本定理亦可通过前文已证命题直接推导成立，约掉2因子后，就是相邻互素方程，m与1全集互素，h与1全集互素，且根据定义m≠h，m+1=h是三元互素方程，故第三对m与h必基底互素。基底互素，说明单对单数值每次比较有不共素因子，多对多解集通关比较也有不共素因子。通俗地说，两大互异阵营都有对方没有的秘密武器。与可表偶数互异的后继偶数必有增添新素数因子。

2.0  引理二：互异型可表偶数蕴含所有素数因子（全素因子判定方法，也叫重合法）

定义：除用1外不能等量分割的1的所有后继数叫素数。

为了不循环定义，为了遵守戴德金的倒金字塔定义，我们避开了用自身用整数来定义素数，数学是最反内卷的一门学科，素数须有新的定义。当然与原教科书的素数定义并不冲突，素数是除1和自身外不能被其它数整除的数。把该定义理解成是用小整数来定义大整数是可行的，筛法思路就从此而出。

罗塞塔石碑，象征万物存在可交换的枢纽。万物与自然数都能完成一一映射，自然数为万物的枢纽。

“可表偶数”定义：两个任意奇素数p与q互异相加所得到的所有偶数2m（其中存在m＞3的整数）叫可表偶数，也叫基础偶数。本文所指的可表偶数皆指两个互异的奇素数相加所得到的偶数。因为如此得到的结论比既有互异又有相同的混合型可表偶数所推出的结论更深刻。

“例外偶数”定义：与可表偶数互异的所有偶数2h叫例外偶数，也叫非基础偶数，是不含基础偶数的通解偶数。例外偶数至今举不出1例。

比如3+5=8，8就是互异型的可表偶数，3+3=6，6就不是互异型的可表偶数，虽然6是可用两素数之和表达的可表偶数，但本文定义的可表偶数不包含6，仅讨论≥8的所有偶数情形，这是为了让可表偶数能顺利地在彼此互素的本原解方程中进行推演，因为互异版的哥德巴赫猜想比欧拉版的更深刻，互异版成立，欧拉版就成立，欧拉版成立，尚不能推出互异版成立。

“互异型可表偶数蕴含所有素数因子”命题：素数二元相加再分解运算在所有奇素数因子集上封闭。

若互异型可表偶数2m=p+q，p、q 为互异奇素数，则p+q中的所有奇素数因子，与p或q中的所有奇素数因子是一样的。左右两边的奇素因子，解集等价。

证明：2p是特殊可表偶数，蕴含所有素因子，则一般可表偶数2m就蕴含所有素因子。

首先令2m（含2^w）为可表偶数，可表偶数就是能用两互异奇素数之和表达的偶数，2p´为例外偶数，例外偶数就是不能用两互异奇素数之和表达的其它偶数，p、p´为互异奇素数，它们的并集q须囊括所有奇素数和偶素数2。那么必有 2p´+2p=2t（即偶数加偶数仍在偶数的集合里），p´与p作为单素数因子因互异而互素，根据三元方程若两元互素必三元两两互素的性质，p与t必解集基底互素，p´与t必解集互素。为何会解集基底互素？如果全都是可表偶数2p1与2p2相加，其和值是不会与可表偶数解集互素的，因为和值会产生其它可表偶数或其它可表偶数共因子。

但与例外偶数2p´相减就不同了，p´除了与p因互异会解集互素外，p´还与t解集互素也解集基底互素，因较大素数p´在t与2t中，且t不为1因子（伯特兰定理），故龙头例外素数与和值因子t是解集互素的，也是基底互素的。2p可通过三元方程解集互素推论来证明是可表偶数，例外素数p´与可表素数p根据定义是解集互素的，p´与t是解集基底互素的。另外p´+p=t为三元互素方程，且p≠t，因为p是奇数，t是偶数. 于是根据前文推论，p与t是解集基底互素的，如此t就与p和p´皆解集基底互素，根据基底互素的定义，t的龙头数须同每一个p都不一样的增添新素因子，于是t中增添新素数因子要同所有的素因子包括2因子不一样，而p和p’已经囊括了所有的素因子，故t为空集，p’不存在，从而证明了所有的2p都是可表偶数，2p蕴含所有素因子。

用更详细的语言表达就是，由于构造初项t中的新素因子始终要与p及p´累积互素(基底互素)，即同每个p和每个p’相比都有互异因子，其结果，导致要与所有的奇素数p∪p´互异而互素。p1与所有的p´都是互素的，根据整数三元方程两两互素定理，故初项t与p1是基底互素的，t中的新素因子必在p1的互补集里；在与p1互补的基础上，p2与所有的p´都是互素的，故初项t与p2是基底互素的，t中的新素因子必在p2的互补集里；在与p1、p2互补的基础上，p3与所有的p´都是互素的，故初项t与p3是基底互素的，t中的新素因子必在p3的互补集里；在与p1、p2、…，pn互补的基础上，pn与所有的p´都是互素的，故初项t与pn是基底互素的，t中的新素因子必在pn的互补集里。由于基底互素是包含两解集之间有共素因子数的，但共素因子代表重复筛查，不会给补集带来新变化，故可不计，它们都在不共素因子的子集中，只找每项互异因子的补集之交集便可。

同样，初项t与p´1是互素的，t中的新素因子必在p´1的互补集里；在与p´1互补的基础上，p´2与所有的p都是互素的，故初项t与p´2是互素的，t中的新素因子必在p´2的互补集里；在与p´1、p´2互补的基础上，p´3与所有的p都是互素的，故初项t与p´3是互素的，t中的新素因子必在p´3的互补集里；在与p´1、p´2、…，p´n互补的基础上，p´n与所有的p都是互素的，故初项t与p´n是互素的，t中的新素因子必在p´n的互补集里。因互异定义条件，t中的新素因子须重合在不同的补集里，这是集族交运算。于是可得到：

“例外偶数2p´+可表偶数2p=2t”中的新素因子=Cu（p1中的素因子）∩Cu（p2中的素因子）∩Cu（p3中的素因子）∩Cu（p4中的素因子）∩……Cu（pn中的素因子）∩Cu（p´1中的素因子）∩Cu（p´2中的素因子）∩Cu（p´3中的素因子）∩Cu（p´4中的素因子）∩……Cu（p´n中的素因子）。根据摩根律“补的交等于并的补”可得：

“例外偶数2p´+可表偶数2p=2t”中的t素因子=Cu{（p1中的素因子）∪（p2中的素因子）∪（p3中的素因子）∪（p4中的素因子）∪……（pn中的素因子）∪p´1中的素因子）∪（p´2中的素因子）∪（p´3中的素因子）∪（p´4中的素因子）∪……∪（p´n中的素因子）}= Cu全体素因子= Ø。

如此t就没有新奇素因子可构造，加上2p1+2p2 =2^w ，而2^w存在2^3=3+5为可表偶数，t与偶素数2也互异，故例外偶数2p´不存在。从而证明所有素数的两倍所得2p都是可表偶数，皆能用两个互异的奇素数之和表示。从而也证明了，可表偶数集合2m蕴含了所有的素数因子。这就是可表偶数蕴含所有素因子定理的证明。

3.0 定理：任意两互异奇素数之和与大于6的全体偶数同构。

这是一个比欧拉版更强的互异版哥德巴赫猜想，而哥德巴赫最早提出的三素数猜想可归约为欧拉版的哥德巴赫猜想。互异版哥德巴赫猜想获证的意义是，原来数乘本原解三元方程等式右边偶数集不会扩域，点乘基底解三元方程等式右边偶数集不会扩域，以下就来证明。

“任意偶数可互异素数分割命题”定义：笔者把欧拉版哥德巴赫猜想进一步归约为一个更强命题，任何一个大于6的偶数都可以写成2个互异的奇素数之和。互异版哥德巴赫猜想为真，则欧拉版哥德巴赫猜想就为真，反之不能直接推出。 即2n=p+q，n＞3，p和q为互异的奇素数，这就是“任意偶数可互异素数分割命题”。

哥德巴赫猜想获证，体现了心外无物是真实不虚的。

“例外偶数是空集”命题：例外偶数因无基底解，导致无通解。不蕴含生成元的扩域集是不存在的。抛弃同类中的异类也就等于抛弃自己，抛弃自己也就等于抛弃同类中的异类。我仅服务于不服务自己的人民（这是不存在的乌托邦）。正则公理排除了它，但选择公理支持有基底解，例外偶数不行，可表偶数还是可行的。

证明：与可表偶数互异存在的例外偶数，因互异而至少有例外偶数首项生成元与可表偶数相邻，例外偶数与可表偶数之间以及例外偶数与不同例外偶数之间，因须首项偶数相邻互素，故始终没有非2公约数，例外偶数首项生成元与可表偶数因互异而必有首项相邻，因相邻而必须m与h基底互素（自然数相邻互素定理已证）。

而上文已证明，可表偶数2m中的m蕴含所有素因子，h既然要与所有的素因子互素，在三元方程m+1=h中，由于解集m与1互素，解集h与1互素，加上根据定义m与h是互异解集，根据“三元方程互异解集基底互素定理”，故解集m必与解集h基底互素。也就是说，例外偶数的素数因子被所有基本偶数的素数因子所筛选，从而没有素数来构造它。

h就不存在能超越素数全集的新增素数因子，故首项例外偶数2h中的h无素数因子可构造，因此首项例外偶数2h是空集，偶数0不是空集，既然无首项例外偶数，当然也就不存在后继例外偶数。故例外偶数是空集。

总结下就是，因两类偶数互异，c不等于1，导致例外偶数与可表偶数不但会在素数个数上无穷无漏互异，还会在素数种类上无穷无漏互异。例外偶数通过与可表偶数在两类性质上区分，从而被判定为空集。即可表偶数与例外偶数存在相邻关系和全体互异关系的方程中，2m+2=2m’，故必有：

例外偶数2m’中的新素因子=Cu（m1中的素因子）∩Cu（m2中的素因子）∩Cu（m3中的素因子）∩Cu（m4中的素因子）∩……∩Cu（mi中的素因子）。

根据摩根律“补的交等于并的补”，又因为2p是已证明的可表偶数，蕴含所有素因子。可得：

例外偶数2m’中的新素因子=Cu{（m1中的素因子）∪（m2中的素因子）∪（m3中的素因子）∪（m4中的素因子）∪……∪（mi中的素因子）}= Cu全体素因子 =Ø。

例外偶数2m’中的新素因子为空集，当然例外偶数也就等于空集，即2m’ =Ø。

“任意偶数可互异素数分割”命题的解决方案：不小于 8 的所有偶数皆可表为两互异奇素数之和。

既然用“三元方程互异解集基底互素”定理完成证明了例外偶数2h是空集，根据不小于8的所有偶数2n等于可表偶数2m与例外偶数2h的两类偶数并集，可推得不小于8的所有偶数2n与可表偶数2m是无缝重合，是完全同构的，故不小于8的所有偶数2n也就同可表偶数2m一样，与两互异奇素数之和p+q同构，互异版哥德巴赫猜想到此获证。补上非互异版的 3+3=6，2+2=4，欧拉版的哥德巴赫猜想原题也就获证。

可见例外偶数面对全集素因子会累计增加新素因子，但这是办不到的。这就是哥德巴赫猜想成立的秘密。面对无漏的全集素数不可能有增新素因子，基底互素定理这一加性数论思想就是整个数论的底层引擎。

“两素数之差可表偶数”定义：两个任意相邻奇素数p与q相减所得到的所有偶数2m（其中存在整数m＞0）叫可表偶数，也叫基础偶数。

“两素数之差例外偶数”定义：与相邻素数间隔之可表偶数互异的所有偶数2h叫相邻素数间隔之例外偶数，也叫非相邻素数间隔之基础偶数，是不含基础偶数的通解偶数。该类型例外偶数也至今举不出1例。

“两素数之差可表所有偶数”命题：不小于 8 的所有偶数皆可表为两互异奇素数之差。p-q=2n为同构方程，p、q为奇素数，n为大于1的正整数。（此亦为斋藤猜想）

证明：有解决方案如下：三元方程p-q=2m，p-p’= 2t（2m为可表偶数，2t≠2m，2t为例外偶数，p，q为全相隔素数，p、p’为非全相隔素数），可证明例外偶数2t为空集。因为p与q是解集互素的，假如m不含w素因子，那么选取不含w素因子的p和q为互素解集，还可令m与q也是解集互素的（因为可选择先考察这样的解集），2m与p是解集互异的，因为1个偶数1个奇数，于是构造出的可表偶数p-q=2m必有互异的w素因子。理由是，根据三元方程互异解集基底互素命题，三元方程中，在两组解集互素，第三组解集互异的前提下，可推出m必含与p和q互异的w素因子，这与假设矛盾，可见m不含w素因子不真. 于是可表偶数2m必含所有素因子。

而龙头例外偶数2t=2m+2，因为1与m和t解集互素，t与m互异，同样根据三元方程互异解集基底互素定理（前文已证）可推出t必有与m解集互异的素因子，但m中所含的素因子为全集，故2t为空集。以此证明了“两素数之差例外偶数”的后继偶数也不存在，因此两素数之差可表所有偶数是真命题。于是斋藤猜想获证。斋藤猜想与哥德巴赫猜想是等价命题，都可由基底互素定理推导出，反之，两个命题成立也都可推出基底互素定理成立。可用反证法，如果基底互素定理不成立，那例外偶数就无须有新素因子都可构造新偶数与可表偶数互异，但这与哥德巴赫猜想或斋藤猜想所确定的例外偶数是空集相矛盾。

4.0 定理：所有偶数都能用两个相邻素数间隔表示。

这个猜想比斋藤猜想更强，是斋藤猜想的可归约命题，此猜想成立，斋藤猜想就成立，前面已经证明斋藤猜想是哥德巴赫猜想的等价命题，可见相邻素数间隔猜想比哥德巴赫猜想更牛！它能直接推出哥德巴赫猜想成立，哥德巴赫猜想成立不能直接推出相邻素数间隔猜想成立。

“相邻素数间隔之可表偶数”定义：两个任意相邻奇素数p(n+1)与pn相减所得到的所有偶数2m（其中存在整数m＞0）叫可表偶数，也叫基础偶数。（P右边的字母表示足码）

“相邻素数间隔之例外偶数”定义：与相邻素数间隔之可表偶数互异的所有偶数2h叫相邻素数间隔之例外偶数，也叫非相邻素数间隔之基础偶数，是不含基础偶数的通解偶数。该类型例外偶数也至今举不出1例。

相邻素数之间蕴含任意间隔

相邻素数间隔可表所有偶数命题：p(n+1)-pn=2k，k为大于0的所有自然数，p(n+1)、pn为相邻素数，该猜想断言，所有的偶数都能用两个相邻素数之差表示。这是斋藤猜想的加强版，相邻素数间隔猜想成立，斋藤猜想即成立。意味着丢番图问题中比较典型的难题有解决路径了。

证明：三元方程p(n+1)-pn=2m，p(n+1)-p’=2t（2m为可表偶数，2t≠2m，2t为例外偶数，p(n+1)，pn为所有相邻素数，p’为非相邻素数），可证明例外偶数2t为空集。因为p(n+1)与pn是解集互素的，假如m不含w素因子，也就是假如m解集等于非全集素因子，那么选取不含w素因子的p(n+1)和pn为互素解集，还可令m与pn也是解集互素的（因为可选择先考察这样的解集，一定可做到用所有的素数与另一组所有的素数互异相减，且与可表偶数即差值数集也基底互素），与p(n+1)是解集互异的，因为1个偶数1个奇数，于是构造出的可表偶数p(n+1)-pn=2m必有w素因子。理由是，根据三元方程两组二元解集基底互素则第三组互异解集必基底互素的定理，即在三元方程中，在两组解集基底互素，第三组解集互异的前提下，可推出第三组必是基底互素的，m必含与p(n+1)和pn互异的w素因子，这与假设矛盾，可见m不含w素因子不真。可表偶数2m必含所有素因子。

而龙头例外偶数2t=2m+2，因为1与m和t解集互素，t与m互异，同样根据三元方程互异解集基底互素的判定可推出t必有与m解集互异的素因子，但m中所含的素因子为全集，故2t为空集。可见“相邻素数间隔之例外偶数”的后继偶数也不存在，因此相邻素数间隔可表所有偶数是真命题。于是相邻素数间隔猜想获证。

为何相邻素数之和不能表达所有偶数？因为相邻素数之和无法获得所有素因子，因为相减构造偶数比相加构造偶数在素数定义域上要自由得多，2m可用大于2m的无限种素数对相减构造，但2m只能用小于2m的有限个素数对来相加构造，不能保证相邻对与偶数都互素，20就无法用相邻素数之和来构造。同理很多偶数2h都无法用相邻素数之和来构造，比如一对孪生素数之和的后继偶数就无法用相邻素数之和来表示，因为共轭对素数都被孪生素数岔开了，不可能是相邻偶数。

相邻素数间隔猜想获证意味着人类探索素数分布规律又前进了一大步。

5.0  定理：差值为2的素数对有无穷组。

这个就是孪生素数猜想，属于希尔伯特第八问题。其中有关弱孪生素数猜想，数学界有重大进展，张益唐证明了间隔小于70000000的素数对有无穷组，后推进到能证明间隔小于246的素数对有无穷组。然数学界普遍认为，用张益唐开创的方法无法证明间隔为2的素数对有无穷组，因为会遭遇筛法奇偶性问题的瓶颈。本文不从解析数论出发，自然可规避筛法奇偶性问题。本文从加性代数数论出发存在性证明了孪生素数猜想成立。

有远方的神灵，必有近前的天使。

“最小素数间隔”定义：间隔差为2的素数对有无穷组。

“间隔差为2的素数对有无穷组”命题（即孪生素数猜想）：p(n+1)-pn=2，p(n+1)、pn为相邻素数，该命题断言，间隔为2的相邻素数对有无穷多组。

证明：令N为任意给定的正整数，p为大于N的素数，q为大于N的奇数，存在三元互素方程表达如下：p(n+1)-pn=2。

可知2与p(n+1)是解集基底互素的，2与pn是解集基底互素的，p(n+1)与pn是解集互异的，根据三元方程互异解集基底互素的判定定理可推出p(n+1)解集与pn解集是基底互素的，奇数pn相对于素数p必会增添新素因子，可是如果pn始终是合数，新素因子t数乘k后减去p(n+1)所得差值会远远大于2，因为t＞p(n+1)，k≠1，必导致kt-p(n+1)＞2，故大于N的奇数pn只能选择存在素数才能满足该判断，否则与所有素数都有后继奇数以及后继的素数相矛盾，于是必有差值等于2的素数对大于任意给定的N。而一旦有这样的素数对，N就可以选择给定比该素数对更大的整数，同样大于更大N的素数后继奇数对（pn，p(n+1)）仍必有两个都是素数的，否则会与该判定“p(n+1)存在大于pn的新素因子”相矛盾。 欧几里得证明了素数是无穷的，利用该判定找到无穷素数的后继奇数中必有素数可反复进行，N可以任意给定，N可以不断取大于新找到的孪生素数，在大于N的数中可利用该判定继续找到更新的最小间隔素数对，这就证明了差值为2的素数对具有无穷组，间隔差为2的素数对有无穷组命题为真。于是孪生素数猜想获证。

可见孪生素数猜想是三元方程两组二元解集基底互素则第三组二元解集必基底互素定理的一个简单推论。因为奇数元p（n+1）的解集假设不产生大于素数元pn的新素因子，就会与三元方程解集基底互素定理相矛盾。迫使奇数元p（n+1）解集必含一个新素因子的奇数，且该素因子比素数pn大2，p（n+1）不能增新更多素因子，那样与Pn的间隔会远远大于2，有些偶数就无法构造出，与紧邻无漏的偶数相矛盾，不增新会与基底互素定理相矛盾，增多了新素因子也矛盾，这就归谬反证了必有孪生素数对层层涌现。也就是说，每次给定一个比新确定的孪生素数更大的N，都能找到存在大于N的更新的孪生素数对。这就非常漂亮地证明了孪生素数猜想是成立的。

强孪生素数猜想获证意味着能打破筛法奇偶性问题的瓶颈，虽然该证明为存在性证明，但实锤了一个千年命题，千年前就存在的猜想，今天终于有结论了，孪生素数确有无穷多组。

6.0  间隔差为2k定值的素数对有无穷组。

这个就是波利尼亚克猜想了，它是孪生素数猜想的命题推广，从间隔差为2推广到了间隔差为任意偶数2k。它看上去比孪生素数猜想更丰富，更强势，其实是等价命题，因为间隔2成立，就可推理出间隔4成立，以此类推到任意2k也成立，可见有些一般性问题并不比特殊问题更强。

“间隔差为2k的素数对”性质：间隔差为2k的素数对有无穷组。

“间隔差为任意给定2K的素数对有无穷组”命题：p-q=2k，p、q为间隔差为2k某一确定值的素数对，该命题断言，间隔为2k任意确定值时的素数对有无穷多组。

证明：①根据基底互素思想，可得到如下判定，任意给定的正整数N以内，增加1个以上新素数将无法产生后继等差的偶数；②根据基底互素引理，可得到如下判定，增加0个以上新素数将无法产生后继等差的偶数；③故必有间隔差为2k的素数才能构造任意给定数的无漏的间隔差为2k的偶数；④任意给定的正整数N以外，以上三条仍生效，以上动作可反复进行，故间隔差为2k的素数对有无限组。

素数分疏密布错落有致

令N为任意给定的正整数，p为大于N的素数，q为大于N的奇数，存在三元互素方程表达如下：p-q=2k。

可知每次任意确定的2k与p是解集互素的，每次任意确定的2k与q是解集互素的，p与q是解集互异的，根据三元方程互异解集基底互素的判定可推出p解集与q解集是基底互素的，奇数q相对于素数p必会增添新素因子，可是如果q始终是合数，新素因子t数乘k后减去p所得差值会远远大于2k，因为t＞p，k≠1，必导致kt-p＞2k，故大于N的奇数q只能选择存在素数才能满足该判定，否则与所有素数都有间隔2k的后继奇数相矛盾，于是必有差值等于2k的素数对大于任意给定的N。而一旦有这样的素数对，N就可以选择比该素数对更大的整数，同样大于更大N的素数后继奇数对（p，q）仍必有两个都是素数的，否则会与该判定“q存在大于p的新素因子”相矛盾。 欧几里得证明了素数是无穷的，利用三元方程基底互素定理找到无穷素数的间隔为定值2k的后继奇数中必有素数可反复进行，N可以任意给定，N可以不断取大于新找到间隔差为定值2k的素数对，在大于N的数中可利用该判定继续找到隔差为定值2k的更新素数对，这就证明了差值为任意确定2k的素数对具有无穷组的命题为真。于是波利尼亚克猜想获证。可见波利尼亚克猜想是三元方程两组二元解集基底互素则第三组二元解集必基底互素定理的一个简单推论。

把波利尼亚克猜想中的素数间隔差改为相邻素数间隔差，同理可证明该命题仍成立，它比波利尼亚克猜想更强势，我们把它叫着相邻版的强波利尼亚克猜想。前者是斋藤猜想的推广，后者是相邻素数间隔猜想的推广。相邻版的强波利尼亚克猜想获证，是对素数分布规律的更深刻认知。张益唐的弱孪生素数猜想获证仅是该猜想获证的一个小小的推论。

7.0  定理：形如f（f（x））=（3x＋1）/2＾k的方程解集必奇偶归一

这个就是角谷猜想，也叫考拉兹猜想，题面极其简单，证明起来相当艰难。本文能证明它，其突破点在，用三元方程解集基底互素思想破解了考拉兹迭代方程解集循环性问题和解集无限性问题。

“3x＋1迭代方程”性质：形如f（f（x））=（3x＋1）/2＾k的迭代方程

叫考拉兹迭代方程，该方程的性质有，①任意生成元每次迭代解集除1外，不会无限迭代循环；②任意生成元每次迭代解集有限，必有生成对象1。

“奇偶归一”命题：形如f（f（x））=（3x＋1）/2＾k的迭代方程，其中2＾k为3x＋1中的所有2因子，任意生成元所产生的迭代解集“不会循环””不会无限”，即经过有限次互异迭代运算后必有奇数解1。

奇偶归一，不永远重复，不永远穿越，总是不忘初心。

“3x＋1”问题的神秘在于：一位母亲目送小女儿出去打酱油了，每次母亲都盼着小女儿早点回来，可是不知道小女儿去了哪里打酱油，是否会经过一个老要重复走的迷宫，是否会掉进无限黑洞里再悄然回来，不得而知，甚至是否会回来都不知道。——但基底互素思想可解决这一切。

证明：①迭代方程3x＋1＝2＾k•y，y也是x的解集，取y=f(x)，可得到如下迭代方程：f（f（x））=（3x＋1）/2＾k，(2＾k为每次3x+1迭代函数中的所有2因子)，其中每次迭代生成元x的生成对象f（x）也属于生成元x，那么每次解集一定不会出现循环解。根据基底互素思想，方程3x＋1＝2＾k•y在三项组中，3x与1是解集互素的，2＾k•y与1是解集互素的，3x与2＾k•y是解集互异的，故3x与2＾k•y是解集基底互素的。要么3与2＾k•y彼此有不共素因子，要么x与2＾k•y彼此有不共素因子，可知3x1＋1＝2＾k•x2，3x2＋1＝2＾k•x3，用前一个方程减去后一个方程，3x1-3x2＝2＾k•x2-2＾k•x2，变换为3x1-(3+2^k)x2＝-2＾k•x3，因为3同(3+2^k)x2是互素的，3x1与x2是互素的，故3x1与(3+2^k)x2是基底互素的，彼此有不共素因子，故x1与2＾k•x3也必是基底互素的，三元互素方程性质决定，故x1与x3是互异的。

可见在三元迭代方程每次解集中，x1与x2是互素（或基底互素）故必互异的，x2与x3是互素（或基底互素）故必互异的，于是x1与x3必基底互素；再因为x3与x4是互素（或基底互素）互异的，故x1与x4必基底互素，这说明考拉兹迭代方程每次解集是彼此基底互素的，故彼此互异，我们把它叫着考拉兹迭代方程每次解集具有互异传递性。由此可见，每次x迭代生成的f（x）不是循环解集。只有当f（x）=1时才会生成元与生成对象一致，其他情形f（x）无法产生与x初项相等的数值，因为一旦能产生与初项生成元相同的数值，x解集与f（x）解集就不是基底互素了。故根据基底互素引理，考拉兹迭代方程每次解集x（含f（x））一定没有循环解。1会产生奇数重复解，但不是循环解，尚未构成奇数闭环，1个以上重复才算循环。

除了用基底互素思想可解决外，还有其他解决方案，如果3x＋1＝2＾k无解，则3x＋2＝2＾k，3x＋3＝2＾k也无解，这与“自然数必蕴含2＾k”相矛盾。因为3x＋2＝2＾k，当x为奇数时，方程无解，当x为偶数时，3x＋1＝2＾k是它的本原解方程；而3x＋3＝2＾k，当x为偶数时，方程无解，当x为奇数时，3x＋3＝2＾k为无解方程。故当本原解方程3x＋1＝2＾k无解时，3x＋1＝2＾k，3x＋2＝2＾k，3x＋3＝2＾k等三个方程都无解，这与“自然数n必蕴含2＾k”相矛盾，这样3x＋1＝2＾k必有无限解，因为大于任意给定值后仍有解。由于每次解集的并集包含无数对有自然数1的解，会终止迭代，不会被循环绊住，因解集基底互素，会始终向较小数互异扩展解集，故每次迭代解集连线不会循环延伸，最终会获得2＾k中的迭代奇数解1。

根据基底互素思想，迭代方程累积解x（含f（x））没有循环解＝＞迭代方程3x＋1＝（2＾k）•y，即f（f（x））=（3x＋1）/2＾k，其中x每次迭代生成的f（x）不是无限解集。因为根据x（含f（x））没有循环解，每次迭代解集都是互异扩展的，要求每次解集中的每一个解都有新素数递增，迭代函数要么是总体递减函数（局部有递增递减呈锯齿状），要么是总体递增函数（局部有递增递减呈锯齿状），不会循环平行延伸。假如迭代函数是总体递增函数，那么每次解集就有2倍奇数的无穷数列（形如{2t+1}，t为奇数），形如{2t+1}类的奇数生成元代入（3x＋1）函数会呈递增状。形如{2t+1}的奇数代入（3x＋1）迭代方程不能可持续地产生同类奇数，故解集互异升降不可避免。

因为不循环故不存在迭代通项有无限互异解，通项所产生的基底互素因子是有限个的，素数等差数列是有限长的，通项数列是等差数列的等价变换，故通项素数数列也是有限长的，每次迭代解不可能有新素因子无限递增。用有限个素因子做底数和指数所构造出的互异数值也是有限个的，故每次有限次扩展是一定会包含解集1的。解集未确定递减函数会始终不断地向已确定递减函数互异扩展，因为新素数因子递增在通项数列中是有限次的。故每次迭代解集连线不会无限延伸，必会每次经过有限项迭代后最终碰上2＾k中的奇数1，从而终止迭代。

除了用基底互素思想解决外，还可用反证法证明，如果3x1＋1＝2＾k无奇数1解，3xi＋1＝2＾k无奇数1解，则3（xi+1）＋1＝2＾k亦无奇数1解，xi为偶数时都可以变换为奇数来考察，当奇数时的xi做初项代入时无奇数1解，则3（xi+1）＋1＝2＾k亦无奇数1解，因为（xi+1）是偶数，它的奇数部分xi无解，由于其奇数部分是偶数部分的本原解，故它的本原解的通解即偶数部分亦无解，这就推导出3xi＋1＝2＾k为所有初项时都无奇数1解，这与已经证明的结论3x＋1＝2＾k一定有奇数1解相矛盾。从而反证了每次迭代解集不无限。3x1＋1＝2＾k每次迭代一定有奇数1解。故每次迭代解集连线不会无限延伸，最终会获得2＾k中的迭代奇数解1。

用数学归纳法也可得到该结论的，初项百以内的数代入（3x＋1）方程3x1＋1＝2＾k，是一定有奇数1解的，再看当奇数n以内的数代入（3x＋1）方程3xi＋1＝2＾k，是一定有奇数1解时，可推出n+1的数代入（3x＋1）方程3xi＋1＝2＾k，也是一定有奇数1解的。

因为n是奇数，n+1就是偶数，它的奇数部分一定小于n，而n以内的数是一定有奇数1解的，这就证明了n+1做初项也是有奇数1解的。n是偶数，n+1就是奇数也有奇数1解，可得到方程3xi＋4＝2＾k，因为3xi＋1＝2＾k有奇数1解，故3x＋1＝2＾k定有奇数1解，x是偶数xi的奇数因子部分，小于偶数xi，因为本原解方程3x＋1＝2＾k定有奇数1解，故它的通解方程3xi＋4＝2＾k的奇数因子部分也定有1解，等价于3（xi＋1）+1＝2＾k也定有奇数1解。

从而证明了，当n有1解时候，它的next项也有1解，这就证明n+1做初项也是有奇数1解的。这就用数学归纳法证明了每一次迭代解集都是有奇数1解的。有了1解就会中断迭代，每次迭代解集会奇偶归一，这个结论的证明已无悬念。说明函数递增递减是有限次的。如果递增扩展速度大于递减扩展速度，迭代函数就是发散的，不会有奇数解1，因为每次迭代解集基底互素是有限集，通项每次迭代解集能产生的不共素因子是有限长的，故每次迭代方程解集必有限。有限集就必有奇数解1，可见除用代数方法外，单用逻辑方法也能得到（3x＋1）方程每次迭代必有奇数解1。

可见打酱油的小女孩不会走进不断循环的迷宫，不会误入深不可测的黑洞，原因是基底互素思想决定了有创新机制。它不会被老路拖累，会在已经确定的解集里互异扩展离开出发；它不会被幻觉迷惑，会在已经确定的解集里互异扩展贴近抵达。这一切决定了，考拉兹迭代方程解集不是无限的，因为未确定解总是被确定解关联，从而会被不断互异扩展到已经迭代归一的层层轨道里。这一切都是互异扩展的底层逻辑在推动，它是有中心有次第的。未确证每次迭代解集都定有奇数1解，那迭代运算的路上有没有被“循环”过，有没有被“无限”过，还真不好说。好在解集基底互素的思想，深刻明晰了不循环不无限的原因。不循环是因为每次迭代解集延伸具有互异传递性，不无限是因为每次迭代解集延伸具有互异有限性。

总结下（3x＋1）问题可解的核心思想：

①因基底互素导致三元方程每次迭代解存在互异传递性，故每次迭代解集连线不循环；

②因基底互素导致三元方程每次迭代解存在互异有限性，故每次迭代解集连线不无限。

作者早期发表过用《用河图洛书原理破解了考拉兹猜想》，洛书发现离散量的幂尾数呈现模4的周期性，它是五行思想的来源，作者把它整理出来证明为一个数学定理，叫洛书定理。用洛书定理可证明迭代解集必含2的幂数，再用基底互素思想可证明每次迭代解集也必含2的幂数，从而证明了考拉兹猜想。当时没精准表达基底互素思想，只笼统地表示为“一荣俱荣一损俱损”的思想，如果每次迭代解集不出现2的幂数，所有次的累积迭代解集都不会出现2的幂数，它不会在过渡奇数中有限域循环，也不会在过渡奇数中无限域穿越，否则会与基底互素思想冲突。

8.0 毕达哥拉斯方程有解或无解其三元指数递增后的新方程皆无解

这个猜想就是费马猜想和比尔猜想，如果费马那个时代发现了基底互素定理真的可以用两三张信纸就能写下完整证明，因为证明费马猜想的文字确实不需要很多。数学发展可以在树梢上发新芽，也可以在树根上发新芽。加性代数数论就好比非常初等的树根，代数几何数论就好比更高等的树梢，解析数论也是更高等的树梢，但都能发展前沿数学，发现新工具，这一点上是平等的，都可以发现新工具去解决世界上久未解决的困难问题。骑自行车上月亮虽然行不通，但改进自行车后还是有可能上得了月亮的。

椭圆曲线方程的解集特性

“方程有解或无解其指数递增后皆无解”性质：丢番图方程某一特例形式 x^a+y^b ＝ z^c，当 x，y，z 互素，且 a，b，c 均为大于 2 的正整数时没有非零整数解。下文就用三元方程互素性质以及基底互素思想来证明之。

“毕达哥拉斯方程有解或无解其三元指数递增后的新方程皆无解”命题：整数方程 x^a+y^b ＝ z^c，当 x、y、z 互素，a、b、c ＞ 2 时，不存在正整数解。

证明：我们来探索不同解集情形费马猜想的性质，以下七种情形分类是可穷的，囊括了所有的定义域。本文仅探索费马方程本原解情形，因为本原解费马方程无解，费马方程必无通解。故我们只讨论三元互素情形。

（1）在x+y=z无整数解的互素方程中，可以很容易证明，其指数递增方程也必无整数解，因为无基底解必无通解。在此解集下的变元的指数递增也同样不会有整数解。（这是基底方程无解情形三元指数齐次递增时所构造的新方程仍无解）

（2）在x+y=z有整数解的互素方程中，左边加一个w构成指数齐次增加方程，得到x+y+w=x^2+y^2。假如w与x+y是互素的，必与x^2+y^2也是互素的，那么x+y与x^2+y^2也定是互素的，即z与z^2因不等，故也是互素的，但因有公因子，于是矛盾。再假如w与x+y是非互素的，与x^2+y^2也是非互素的，那么x+y与x^2+y^2是非互素的，并且有相同的公因子，即z与z^2是非互素的，有相同的公因子，导致x^2+y^2与z也是非互素的，有公因子，导致x^3+y^3=z^3不是互素方程，于是矛盾。可见x+y=z有整数解方程无论是否有互素w加项，构造指数递增方程都能推理出x^2+y^2=z^2方程是无整数解的。（这是基底方程有解情形三元指数递增时所构造的新方程仍无解）。

（3）在x+y=z有整数解的互素方程中，左边加一个w构成非指数递增方程，而是构造一个线性映射的通解方程，就会得到x^2+y^2=x^2有整数解的毕达哥拉斯方程，它不是有解的指数递增方程，而是左边指数齐次递增一次，右边对应添加本征值的一个新方程。且碰巧本征值可用右边指数递增所产生的底数因子来匹配表达。但这样的函数映射关系，右边不能随指数递增而持续匹配表达。

（4）继而可证明，在毕达哥拉斯方程x^2+y^2=x^2有整数解的互素方程中，左边加一个w构成指数递增方程，得到x^2+y^2+w=x^3+y^3,假如w与x^2+y^2是互素的，与x^3+y^3是互素的，那么x^2+y^2与x^3+y^3也定是互素的，即z^2与z^3因不等，故也是互素的，但因有公因子，于是矛盾。再假如w与x^2+y^2是非互素的，与x^3+y^3也是非互素的，那么x^2+y^2与x^3+y^3是非互素的，并且有相同的公因子，即z^2与z^3是非互素的，有相同的公因子，导致x^3+y^3与z^2也是非互素的，有公因子，导致x^3+y^3=z^3不是互素方程，于是矛盾。可见x^2+y^2=z^2有整数解方程无论是否有互素w加项，构造指数递增方程都能推理出x^3+y^3=z^3方程是无整数解的。

（5）在毕达哥拉斯方程x^2+y^2=x^2无整数解的互素方程中，同样可以很容易证明，其指数递增方程也必无整数解，因为无基底解必无通解。

（6）还可求得毕达哥拉斯方程左边齐次指数增加右边非指数增加该系数增加若有解，可匹配特征值，说明新的线性映射会产生不变的特征值，这与三元方程基底互素定理相矛盾。详细阐述如下：

也就是说，在x^2+y^2=x^2有整数解的互素方程中，则不存在非指数递增型可变换为指数递增型，因为可变换的有指数递增解x^2+y^2=tz^2方程不是毕达哥拉斯方程，t和z有互素因子，该方程内积一个本征值z/t能变换为指数递增方程，而毕达哥拉斯方程则无法内积和数乘匹配成指数递增方程，故x^3+y^3=z^3方程无整数解。指数为初项3时的毕达哥拉斯相邻方程指数齐次递增无解到此就得到了解决。也就是说费马猜想到此就得到了证明。

一次费马方程有解的非指数递增可还原为指数递增方程，但此时一次方程不是基底方程；二次费马方程有解的非指数递增不可还原为指数递增方程，因为针对相同的基底方程，右边不同的线性映射不可能产生相同的特征值，因为一旦产生就会与三元方程解集基底互素定理相矛盾。左边因某变元的指数递增所新增的差值w1+z1^n=z2^n，因为w1与z1解集互素，w1与z1解集互素，那么z1^n与z2^n解集互异时必解集互素，当左边变元的素因子解集不变但指数递增时，必带来右边的素因子解集的互素变化，左边指数递增一次后所对应的特征值碰巧与原右边的素因子一致，可还原为右边的指数递增，产生了毕达哥拉斯方程，但两次或两次指数递增后，就会存在一样的基底方程不同的线性映射产生的特征值其素因子不变，这就同已证明的三元方程解集基底互素定理的推论命题相矛盾，z1^n与z2^n在左边指数递增的前提下会产生解集互素，故毕达哥拉斯方程的变元指数齐次递增所产生的新方程必无解。

（7）接下来可进一步证明毕达哥拉斯方程的变元非齐次指数递增后所产生的新方程也必无解。因为a+b=c存在有整数解互素方程的非指数递增型可变换为指数递增型，当然可蕴含齐次，x^2+y^2=z^2则不存在有整数解互素方程的非指数递增型可变换为指数递增型，上文已有详细证明。简单地说，是因为可变换指数递增的有解方程x^2+y^2=t·z^2不是毕达哥拉斯方程，t与z基底互素，有不同素因子，t是z的真子集因子，该方程内积一个本征值(z^c)/t能变换为指数递增方程，而毕达哥拉斯方程则无法内积和数乘变换成指数递增方程，故比尔方程x^a+y^b=z^c方程无整数解。

加上上文已经证明，x^2+y^2=z^2有整数解方程可推理出指数递增方程x^3+y^3=z^3方程是无整数解的，继而指数递增方程x^a+y^b=t·z^3方程也是无整数解的，且x^2+y^2=z^2无整数解方程也可推理出指数非齐次递增（至少齐次递增一次）比尔方程x^a+y^b=z^c也是无整数解的，其中a、b、c＞2时齐次或不齐次指数递增方程都是无整数解的。到此毕达哥拉斯任意指数递增方程就得到了解决。

无论毕达哥拉斯方程的指数递增后会变成费马方程还递增后会得到比尔方程，都不可能有解，这是因为同一方程在无解定义域里其线性映射仍是无解的，同一方程在有解定义域里，其线性映射用指数递增来替换后若有解必是有限的，指数递增可等价于线性映射，有解方程线性映射后会变成无解方程，这是因为两个变元的指数递增后第三变元的素因子解集不递增是不可持续的，第一次指数递增恰好本征值在给定的素因子里，第二次两个变元继续指数递增，第三元的解集必有新素因子产生，而第三元仅为给定数的指数递增，无法产生不断变新的本征值，新的线性映射会对应新的本征值，不会对应素因子不变的本征值。比如，2^n+1=c，n=1时，c=3，n=2时，c=5，n=3时，c=9，n=4时，c=17，n=5时，c=33，如此就会与三元方程解集基底互素定理相矛盾，c会随着n的递增不断产生新的素因子，n的解集不同，c的素因子就不同。这就导致等式若左右变元的指数递增立马就会变成不等式。费马小定理也印证了这一点。等式左边不新增素因子，仅变指数，右边必有新增素因子。

毕达哥拉斯方程其指数任意递增（每个变元指数至少递增一次）所获得新方程无解，该猜想用三元方程解集基底互素定理做引理就能完成简洁证明，是令人惊奇的。可解核心在于解决了一个反直觉问题，即毕达哥拉斯方程给人的直觉是必存在指数递增方程，一次有解可决定二次有解，其实是不存在的，方程无论是否有整数解，指数递增后都无整数解的，所谓错觉指数递增有整数解，乃是因为本征值碰巧变换所得到的结果，指数大于2时，这种碰巧的机会就没有了。因为毕达哥拉斯方程的齐次性被调整因子t给破坏了，能匹配指数递增的基底解方程就不存在了。

无论是费马方程还是比尔方程，三元指数等于3时已经没有整数解了，在此基础上的指数递增方程都是没有整数解基底方程的，连调配到方程有基底解的机会都没有了。没有基底方程就没有经线性映射后可得到的通解方程，也就没有变元向量替代系数向量来线性映射产生新方程。可见三元方程的互素判定思想太深刻了太基础了，能够解决一大批久未解决的困难问题。该定理的底层思想一定有独到之处，值得深挖。

怀尔斯虽然证明了费马猜想，但多数学者看后并不理解是什么原因导致费马猜想无解，那种可直觉的理解完全没有升起。一个好的证明，一定要有让人恍然大悟的感觉。而用基底互素思想证明费马猜想和比尔猜想，会让你有原来如此的感觉。用一句话可表达清楚，费马猜想和比尔猜想之所以无解，原来方程左边二元变量不增新素因子，但指数递增后右边一元变量必会增新素因子。因子左边指数递增带来的差量与右边部分解集合和另一部分解集都是解集互素的，故右边两类解集之间必是解集互素的，费马方程无解，比尔方程无解，都是解集基底互素的产物。一句话，方程左边二元解集不变但指数递增，右边必前后解集互素，如果用解集非互素表达，方程就会变成不等式。可见是基底互素思想在底层作用，导致比尔方程无解的。

9.0    ζ（ s）=1/1^s +1/ 2^s +1/3^s +1/4^s+… 的非平凡0点解都在临界线上

何为黎曼猜想？ζ（ s）=1/1^s +1/ 2^s +1/3^s +1/4^s+… 被称为黎曼泽塔函数。黎曼猜想认为所有素数都可用一个同自然数一一映射的亚纯函数①的极值来表示。在 s ＜ 1 时，特意定义了一个巧妙算法（解析延拓）来扩域，再将扩域后得到的“正数项发散级数求和”加上与其交错互补的“负数项发散级数求和”，两个正负无穷大相加可得到一个有限量。也就是说，发散的原级数经解析延拓变为交错级数则存在客观上条件收敛。ζ（s）= 0 的所有非平凡解集位于一条经过横坐标1/ 2 处的垂直线上，这就是黎曼猜想。

“解析延拓”定义：假定函数f1(z)与f2(z)分别在区域D1与D2中解析，D1与D2有一公共部分，在其上f1(z)=f2(z)成立。于是将f1(z)与f2(z)在D1及D2内的全体点上的数值集合看成一个解析函数f(z)，则f(z)在D=D1+D2中解析，在D1中f(z)=f1(z)，而在D2中f(z)=f2(z)。

函数f2(z)可以看成由拓展f1(z)的定义区域所得，故称它为f1(z)的解析延拓。当然，根据同样理由，f1(z)是f2(z)的解析延拓，这种拓展原给函数定义的方法称为解析延拓。黎曼泽塔函数的解析延拓是解集轨迹顺延的产物，在保角前提下，完成一种扩域，扩域部分是处处解析的，跟特定的切线斜率有关，跟导数有关，跟本征值有关。

黎曼泽塔函数的解析延拓就是顺延所产生的扩域。其本质是惯性延伸和非惯性延伸之间进行比拼。只有特殊的惯性值才会势均力敌。

“正数项发散级数求和”以及“负数项发散级数求和”释义：

不管是函数还是级数，有一个原则：发散加发散不一定发散，收敛加收敛一定收敛，发散加收敛一定发散。因为如果一个发散的级数加上它的负级数之和为0，是收敛的。黎曼泽塔函数解析延拓求和会收敛为0，就是因为有一个“正数项发散级数和”以及一个“负数项发散级数和”。用黎曼-西格尔公式求个解的时候，也是根据虚部变量会单调递增和递减来正反靠近一个定值，此时两类正负函数值的和趋于0，黎曼把这类解叫非平凡解。从黎曼-西格尔公式的解法里，可得知，实部为0，跟取模长为1/2强相关，虚部为0也跟取模长为1/2强相关。

”多项式均值函数的同构与同态“释义：

2x=x1+x2

3x=x1+x2+x3

4x=x1+x2+x3+x4

5x=x1+x2+x3+x4+x5

……

Kx=x1+x2+x3+x4+x5+……+xk

多项式素数之和与二项式素数之和在无限大偶数范围里是同构的，故右边的数域会始终大于左边。等式经线性算子作用后，右边的数域会始终大于左边，黎曼泽塔函数可看成素数多项式经互素的线性算子作用，其数域会大于系数作用均值。当且仅当系数为2时黎曼泽塔函数才是左右同构的。

以上等式右边的各项均为奇素数，左边的x为每个方程的均值，除了第一个等式是左右同构的外，其他等式都是左右同态的。

”方程Kx=x1+x2+x3+x4+x5+……+xk“仅k为2时方程左右同构，k为其他值时方程皆左右同态”（右边各项为奇素数）命题：

证明：”方程Kx=x1+x2+x3+x4+x5+……+xk“仅k为2时方程左右同构，这个就是哥德巴赫猜想的等价命题。前文已完成证明。当k不等于2时，左边kx或为偶数的真子集，或为奇数的真子集，但右边大于某个有限值后要么是全体偶数，要么是全体奇数。这就证明了，除k=2外，其他情形，该方程都是左右同态的。这是完成证明哥德巴赫猜想所得到的重大收获。以上素数多项式均值系数性质是完成证明黎曼猜想成立的最美妙通道。

线性算子作用一次素数多项式与特征值作用一次素数多项式，存在同构与同态两种关系。当且仅当素数一次多项式为二项式时两者才同构，其他多项式是同态关系，黎曼泽塔函数 会对应特殊常数，但不是 0。如此一来，大多情形，经解析延拓后减去一个同原函数仅有同态关系的偶数项数列求和就无法条件收敛于0，而是收敛于其他常数，或者继续发散。此为证明核心，后文详述。

从以上交错级数的计算中不难发现，自然数的幂级数会产生正负项，这是由指数中的虚部决定的，虚部决定黎曼泽塔函数轨迹的转幅大小，实部决定函数轨迹的模长，虚部值的转幅在2π中进行延伸时，正与负就会周期出现。而模长确定了原级数变号的周期值发生在哪里，故实部对应的是原数列通项均值变量的特征数或特征值的函数，故它对应均值变量的系数。

而此时的方程左边新添加的负数项，正是原方程左边的解析延拓项，解析延拓后变负数的项正是偶数项发生的。因为级数运算是密集全集元素相加或相乘，而同态关系左右为单向蕴含，仅子集部分连和，当余子集的元素连和不等于 0 时，左右相减就不等于0，就无法通过一个“正数项发散级数求和”再加上另一个“负数项发散级数求和”来得到一个有限值 0。唯有同构关系，才有机会获得对称数而全部相加收敛于0，即二元或多元相加与偶实数增广项存在同构等值，才有0点解。当然同态关系的特殊组合也有可能正负之和收敛于 0，当且仅当子集和余子集都分别收敛于0 时，但这不符合黎曼泽塔函数的通项表达。而解析延拓后的新算法则定义了线性算子作用下的素数多项式可减去一个特征值作用下的素数多项式。

由于这两者之间的同构性稀有，当且仅当素数一次二项式时才存在同构关系，其他情形皆为同态关系。两类是同态关系的正负级数连和，绝不会等于0。这是临界线仅通过 1/ 2 处有0点解的原因。级数的增广项 kn 选择不同的系数 k 可决定是否级数收敛，其中k≠2时，黎曼泽塔函数就无法收敛于0。因为偶实数分割方程是左右同构的（哥德巴赫猜想获证的推广），而其他k 倍实数分割方程是左右同态的（素数基础解析方程的推广）。取偶实数时，级数的指数复变量实部 Res 对应的是 1/ 2，取其他k倍实数时，级数的指数复变量实部Res对应的是非1/ 2，故左右相减无法收敛于0，也就没有非平凡0点解，因实部无任何值对应可满足方程。

 ζ（s）=ζ（ 1-s）=0决定了黎曼泽塔函数正负解集只有同构关系实部才有唯一常量，即实部为1/2，其他同态关系则至少有两个实部解即两个常量。根据哥德巴赫猜想获证说明了，实部为其他值时，”发散级数正数和“部分与解析延拓后所产生的”发散级数负数和“部分不是同构的。解析延拓中的均值变量系数一旦不是实部1/2的对应值，则正负级数之间必不存在同构关系。解析延拓求和，其本质与广义切萨罗求和是一致的，让均值的倍数作为相反数参与了进来，而特征值乘以项数就等于特征向量的均值系数。实部的倒数就是均值的项数，即均值的倍数或说系数。两个奇素数p和q之和的均值等于大于3的自然数n，2k个素数之和，其均值也是n，较小值除外。均值乘以项数与项数个素数之和都是同态的（除了项数为2时同构外）。ζ(s)=2Γ(1−s)(2π)s−1sin(2πs​)ζ(1−s)。

在 Im（s）=bi 中，b 是被强条件界定的，即 ζ（s）=ζ（ 1-s），首先它是以 Res=1/ 2和Ims=0 对称的，另外b值的两两相加可以获得所有偶数，也就是说非平凡0点解的任意连线可以得到所有偶数值，含能囊括所有素数因子的所有可表偶数。 虽然临界带上非平凡 0 点 s 解皆以 Res=1/ 2 或 k（0 ＜ k ＜ 1）直线对称，但不存在两个等值的虚部解。如果该命题成立，黎曼猜想就成立。

所有非平凡0点解都在1/2的临界线上。

现假设有两个虚部等值但实部不等的s 解，那么一定有实部不等于 1/ 2。那意味着0点解ζ函数方程的等式两边的每一项可相应添加素数因子，等式仍相等。由于虚部值是确定的，因此每一次的素数因子添加即实部增减非0数值，只会带来等式一边的单调递增或单调递减，等式不可能仍然相等。这与假设存在两个等值的虚部解矛盾，与 ζ（s）=ζ（ 1-s），实部关于y=1/ 2 共轭对称，虚部关于x=0 共轭对称相矛盾，故临界带上不存在两条以y轴平行线为对称的两虚部共轭的非平凡0点解，而实部不相等的非平凡0点解更是无法实现，因为那样不可能同时满足虚部值的对称性以及素数因子的谐波分布。

因此所有非平凡0点解只能落在实部为一个常数固定值的直线上，且常数直线范围仅在0 ＜ Res ＜ 1的临界带上，且必在Res =1/2上。刚已证明如果实部可允许更多常数，就会不存在可表偶数与全集偶数同构的选项，就会与哥猜获证发生矛盾。哥猜获证的结论是，用2数乘以两素数的均值 m与全体偶数是同构的，而用非2数乘m与全体偶数是同态的，若选择后者也同构，就是选择哥猜不成立，于是矛盾。因此实部只能选择为一个固定常数，如果还需要实部关于y=1/ 2共轭对称，那该常数也只有取 1/ 2，1-1/ 2 还是 1/ 2，当然满足实部关于y=1/ 2共轭对称。

 证明黎曼猜想前须完成确认一个判定：当哥德巴赫猜想成立，pj+pi=2n 方程左右一定同构，必∑pj+∑pi=∑2n，即左右连和同构；若pj+pi=kn（k≠2），方程左右不同构，而∑pj+∑pi=∑kn，则左右不一定同构，左右存在互不包含的互异集有可能连和后同构。但如果pj+pi=kn（k≠2），方程左右同态时，左边是右边的子集，必∑pj+∑pi≠∑kn（k≠2），则左右连和后一定不会同构。说明左右同构情形：当且仅当素数之和的均值系数为2。

为何黎曼泽塔函数解析延拓后，素数连和部分一定会蕴含均值连和部分呢？这是因为凡是素数多项式都能变换为大于某定值的2n或2n+1，而均值乘以非1系数，只会得到它的子集。故k≠2的素数多项式方程一定是左右同态的。因为均值连和与素数多项式连和是一定不会相等的。黎曼泽塔函数解析延拓所得到的级数正数值连和部分等价于素数多项式连和，级数负数值连和部分等价于均值连和。当然也有另一种情形，级数均值连和部分为负数，级数素数多项式连和部分为正数。多项式把作用素数多项式的线性算子带上也是如此。而黎曼猜想中的解析延拓后出现的负数项正是均值函数的扩域部分。解析延拓求和，其本质与广义切萨罗求和是一致的，都是一次确定重排后求极限均值。通过哥德巴赫猜想获证，我们得到均值对应非2系数的求和皆不存在求和值正负同构的情形，故实部不等于1/2时必没有非平凡0点解。于是黎曼猜想获证！

用黎曼-西格尔公式求个解时，可知实部取1/2扩域部分能得到各项公共系数为2，我们知道解析延拓的轨迹延伸是一种保角变换，均值延伸的系数为定值，原空间s解集映射到像空间复平面上的各项值经解析延拓顺延出了第二象限和第三象限上的轨迹图。因保角变换唯一，导致均值系数唯一，从而带来“正负各项和”有了同态与同构的区分。

决定黎曼猜想成立的幕后引擎就是哥德巴赫猜想，是均值系数带来同态与同构的区分，从而决定了是否有0点解，由于同构情形对应的均值系数是唯一的，所以有非平凡0点解的临界线也是唯一的，其他临界线只能无解，故所有解只能落在已经证实拥有无数解的Res=1/2的临界线上。这个结论获证，等价于希尔伯特-波利亚猜想获证，该猜想断定，黎曼泽塔函数的非平凡0点与某个厄密算符的本征值相对应。这个均值系数就是厄密算符对应的本征值。唯有均值的两倍这一哥德巴赫猜想的结构形式才与全集偶数同构的，其他的均值倍数都不与全体偶数同构，正是这一性质决定了黎曼猜想成立。而哥德巴赫猜想成立又是基底互素思想推动的。可见黎曼猜想是哥德巴赫猜想成立的一个推论，更是基底互素思想的一个推论。

10.0 定理：三元方程若a+b=c，其中a与b互素，则（ε^-w）rad（abc）^ （1+ε）＞c为无穷组解，或者（ε^-w）rad（abc）^ （1+ε）＜c为有限组解。

Abc猜想同样可以用三元方程解集基底互素定理得到证明。1996年，艾伦•贝克（Alan Baker）提出一个较为精确的猜想，将rad（abc） 用（ε^-w）rad（abc^ （1+ε））取代，在此w是 abc 的不同质因子的数目。

定义 rad（abc）：取所有 a、b、c 的不同的素因子得到的乘积。

定义abc 三元组：a、b、c 是三个不同的正整数，最小的称为a，中间的称为 b，最大的称为 c。其中 a，b 互素，c=a+b。如果 c ＞ rad（abc），则称 a， b，c 是一个 abc 三元组。 定义abc 三元组的品质：在三元组a，b，c 中定义q=log（c） / log（r），其 中 r=rad（abc）称为 abc 三元组的品质。r 值越小，品质越强。

发现真理很重要，发现能让人理解的真理更重要。

ABC 猜想：

1. 弱版猜想：没有三元组的品质q超过 1.63 小于1（已知的极值数），即 存在无穷个解必不是三元组的。 rad（abc）^ （1+ε）＞ c。

2. 强版猜想：品质超过 1 小于 1.63 的三元组的解是有限个数的。 rad（abc） ^ （1+ε）＜c。

两个判定进行整合就是：

c＜ε^ -w•rad（abc） ^ （1+ε）（无限解为弱版）                                                        c＞ε^ -w•rad（abc） ^ （1+ε）（有限解为强版）

先证明弱版ABC猜想

若 rad（abc）＜ c 成立，则 rad（abc）＞ c 就成立。因为前者可导出存在 a+b=（2c）（哥德巴赫猜想表达式）成立，a、b、c 为素数或无平方因子数，且两两互素，继而可推理出无平方因子数的偶数2c，也能用无平方因子数的a 和 b 分割而成，2c 减去一个互素的无平方因子数a，可得到另一个必互素的奇数b（可能含也可能不 含平方因子），如此 rad（ab2c）＞ 2c，即 rad（abc）＞ c 有无穷解就成立。

同时用孪生素数猜想、波利尼亚克猜想获证的结论做引理也可证明 ABC 弱版猜想。已知z、y 是素数，则满足z-y=2、4、6、8、10、…，2n，z、 y 是无穷多个的。（引理是孪生素数定理，波利尼亚克定理，即任意偶数差值素数对具有无穷个。这两个判定结论前文已经证明。）

因为 2、z、y 都是满足波利尼亚克定理的素数，所以 rad（2zy）=2zy ＞ y， 2＜z＜y，因为这样的z、y有无穷多个，所以2、x、y不是abc三元组，rad（2xy）＞y，有无穷组解。

符合ABC猜想中的弱版猜想：没有三元组的品质q超过1.63小于 1（已知最高的三元组品质），皆在范围外。

当 0＜ε＜1，且 w 取更大时，显然系数大于 1，指数（1+ε）又大于 1； 故ε-^w • rad（abc）^ （1+ε）会比 rad（abc）更大。 在 0＜ε≤1时有无穷组解，故ε^-w • rad（abc）^ （1+ε）＞c。 当ε＞1时，系数缩小的倍数ε^-w不及指数（1+ε）扩大的倍数，故rad（abc） 在不等式的大边时仍然大。我们来比较 ε^w 和 w^ε 的大小： 当 w ≤ 3 时，ε 的 w 次方＞ w 的 ε 次方； 当 w ＞ 3 时，ε 的 w 次方＜ w 的 ε 次方； 在 abc 方程中，必 w ＞ 3。 w 为不同素数的个数，也就是说，当w ＞ 3 时，不等式小于c 时有解。m 是从 rad（abc）中提取出来的无平方因子数，显然大于 w，因 w 是不同素数的 个数，故rad（abc） /c＞1时，rad（abc）作为不等式的大边，添加系数和指数后， 不等式的大边仍然大。故 c ＜ε^ -w • rad（abc）^ （1+ε），在 0＜ε＜∞，w ＞ 3 时有无穷组解。

在波利尼亚克方程中，素数的个数 w 必大于 3，两个素数与一个偶数构成 三元组，而大于 2 的偶数一定有两个或两个以上的素数。 因此ε^-w • rad（abc） ^（1+ε）＞ c 或＜ c 中的微调系数 Cε 是可以提取出来进行 分析的，Cε=ε^-w • w^ε• k，其中 k 是正整数，w ＞ 3。经计算，微调系数 Cε 的值 域是，0到∞之间的所有实数。可以看出素数的指数越大，系数越小，个数越多， 系数越大。

由于大于c 时的微调系数Cε 可以趋于无穷大，故它的倒数也就可以趋于 0，rad（abc）有无数组解是大于 c 的，就算微调后也是如此，因为系数 Cε 趋 大（素数增大或个数增多）所获得的系数 Cε 可满足波利尼亚克方程无穷数组 构造ε^ -w • rad（abc） （1+ε）＞c，系数Cε 趋小在此用不着考虑，因为已经有无穷 组解了。于是弱版的 ABC 猜想就获得了证明。 以上证明完成了两个重要环节：一是证明了 rad（abc）＞ c有无穷组解，二是证明了微调后有相应系数的ε^-w • rad（abc）^ （1+ε）＞c 一样有无穷组解。以上证明是基于哥德巴赫猜想以及孪生素数猜想获证的基础上，也就是说是基于三元方程解集基底互素定理的基础上的。弱版ABC猜想获证，印证了三元方程a+b=c，根据解集基底互素定理，其中c会不断出现低维的素数，从而保证了rad（abc）＞c。反直觉的abc猜想，原来并不违背直觉，还是很好理解的，二元运算，因互素推动，必会产生低维的素数，在某数值范围内，要想产生新素数，那只能减少素因子的个数，于是低维的素数就不断产生了。弱版ABC猜想其实是问，二元加法运算为何会产生无限素数。而这个深刻问题，我们用解集基底互素思想已经解决了。

再证明强版 ABC 猜想

那么 rad（abc）＜ c 的情形呢？显然有无穷组解能满足不等式。因此先要证明 rad（abc）＜ c 有无穷组解，这个非常关键。

证明如下：根据偶数分割方程 ap+bq=2n 存在 2n 全集通解以及全集最简本原解，于是就有两类 2n解。一是用通解表示2n的，一是用最简本原解表示2n的，通解表达的显然素数普遍小，最简本原解表达的显然素数普遍大，因为分得细碎肯定部件变小。前文已经证明了，三元方程 a+b=c 满足偶数最简本原解时，只存在 rad（abc）＞ c的情形，且有无穷组解。那用通解替换最简本原解表示 2n，会从大于 c 变成小于 c 吗？因为分割 c 的部件变细碎，指数就变大，经无平凡因子运算后就会得到更小的数。那么能否会小到满足 rad（abc）＜ c 呢？ c 不能为素数，也不能为无平凡因子的合数，如此rad（abc）＜ c为不可能，ab 的无平方因子会小于 1。总之，哥德巴赫猜想成立，可以为证明强版ABC猜想提供引理。

假如 c 为有平方因子数，该因子为 t^2，a 与 b 的无平凡因子数为 r 与 s，只 要 t ＞ r+s，那么rad（abc）＜ c 就会成立。由于满足该条件的数可无穷构造， 通过添加素因子3 和 5 之类的个数以及添加其指数可得到无穷对a、b 及相应 的 c，其中c 含 t^2 因子，且t>8，因此rad（abc）＜ c 会有无穷组解。

因为令 x，y 小于z，x^2+y^2=z^2 有无穷组解，至少毕达哥拉斯方程的本原解有无数组， 其中含无穷组可开方数或存在平方因子数，如其中有通解2n+1，2n2+2n， 2n2+2n+1，而 2n+1 是囊括所有素数的，故必有无穷组本原解。

于是就有rad（x^i·y ^j ·z^ k）=xy（z）＜（ z）^ 3，因为x+y=2z 存在无穷无漏 组解（哥德巴赫猜想获证得到的两素数定理），必有 x^i ＜ 1/ 2（z）^ k，y ^j ＞ 1/2（z）^ k，可令 y^ j=2^j，根据 2 幂数间隔定理，即1/ 2（z）^ k 与（z）^ k 之间必有2^j，故 rad（x^i）（ 2^j）（ z^k）＜ z^k 可成立， 因 x^i ＜ 1/ 2（z）^ k，k 大于 1，可知 2xz ＜（ z）^ k，即 rad（abc）＜ c 存在无穷个解。

举例如下：当 a=13，b=243，c=256，则 rad（13×243×256）=78 ＜ 256； 当 a=759，b=214，c=56，则 rad{（56）×（ 214）× 759}=7590 ＜ 16384。 而 2 幂数间隔定理，就是伯特兰 - 切比雪夫定理的推论，因 2^k 与 2^（k+1）之 间有素数，可反推出素数 p 与 2p 之间必有 2 幂数，乃至更能推出 n 与 2n 之间 也必有2 幂数，还可推理出无限存在p与 c 之间必有2 幂数，且c 至少是含平方数，而满足条件的非2幂数z^k 可无限递增选取，于是2幂数间隔定理得证。 以上证明了rad（abc）＜ c 有无穷组解。不等式左边经无平方运算，等价 于 x 和 y 分别替换掉 z，如此必小于z^3，自然小于（z）^ k，即： rad（abc）＜ c 定有无穷组解 既然可用无穷整数组构造出不等式满足 rad（abc）＜ c，所以它就拥有无数组解。

这个符合我们的直觉，可是 rad（abc）微调一下，前后添加系数和指数后， 立马就变得不再有无穷组解了。即 ε^ -w • rad（abc）^ （1+ε）＜c为有限组解。这个不符合我们的直觉，按理说，c 可以任意分割满足于不等式的大边，c 的数乘 也应可以任意分割满足于不等式的大边，为何仅有有限解呢？这就是 ABC 猜 想不同凡响的原因，科学史上多半反直觉的命题一旦获证，就会大力推动很多领域向前迅猛发展。

小于 c 和大于 c 都有无穷解，为何微调后大于c仍有无穷解，而小于c就变成了有限解呢？

尽管c 中素数因子指数可自由任取，但受a，b 中的素数因子关联牵扯， 一旦超过上确界或低于下确界所对应的系数，在 a+b=c 的三元方程中，素数就不能匹配新增，故随着不同素数个数w 的增减和指数ε的增减，因此微调所 产生的等价系数会提速追上但不能高于品质 q上确界 1.63 所对应的峰值［约等 于 4.27，即 c 不能低于 rad（abc）的 4.27 倍］，或者会减速递减但不能低于品质 q 下确界1 所对应的比值［约等于1，即c 将不能高于rad（abc）的 1 倍，否则 小于 c 将换成大于 c］。总之，改变素数的个数 w 和指数ε所产生的系数，若低于下确界，将决定小于c 会换成大于c，若高于上确界，会使 a+b=c无解。

系数变小于 1 后，即 0.234＜Cε＜1，“＞ c”会换成“＜ c”好理解； 系数变大于 1.63 后，即 0 ＜ Cε ＜ 0.234，a+b=c 会无解则比较深奥。由于对数比的上确界不能上升，下确界可以下降，但微调后的系数 Cε下降低于 0.234 后即不在 ABC 三元组中。rad（abc）所在的不同素数个数的上确界 也就不能上升。这个结论可用解集计算进行构造性证明。因为在不等式成立的前提下，c 因指数任意增大而不断增大，不同素数的个数 w 就增大，ε 取＞ 1 时，不等式的左边 ε^ -w • rad（abc）^ （1+ε）就相当于rad（abc）的系数在递增，由于该系数是充分大于 1 的，而且是随着 w 的增大而单调递增的。随着 w 的增大， 1/（ε^-w • w^ε• k）会小于1（还原为纯系数，不用对数或自然对数为系数比较）。 那时右边的c 就不能大于左边的rad（abc）了，因为左边的rad（abc）在添加常 数和指数后就相当于rad（abc）被乘上了一个小于 1 的数。

详细的计算过程是，当ε＞1， w增大，p 值就增大，使含新增素数 p 因子 的 m 从 rad（abc） ^（1+ε）中抽离出来（无平方运算），此时，ε^ -w • w^ε • k 的值是发散的，ε^ -w • w^ε 的值也是发散的，w 是 m 中的素数个数，故一定存在m ＞ w， 这样 w 无须趋于无穷，取一个有限的较大数时，1/（ε^-w • w^ε）的值就大于 1；另 外，因品质 q=1.63（上确界），其不等式大边与小边之比所对应系数是 0.234， 也就是c 不能小于4.27 • rad（abc）， 如： rad（2×310×109×235）＜ 235， m=2×3×109×23=15042，ε =1/ 2时，w＜17，故显然存在4.27＞ε^-w • m^ε＞1， 即 1＞1/（ε^-w • m^ε）＞ 0.234。

 c 不可能有数值越过某界限还大于 rad（abc）。

不同素数 p 的增大及个数 w的增大到一定时，原不等式是大于c的，而指数增大时，系数Cε 就会小于1， 原不等式就得换成大于 c，但系数 Cε 不能无限趋小。当 Cε ＜ 0.234 时，三元 方程中的指数不能无限趋大，给定偶数的分割方程中所能分割出的最大素数因子是有匹配的上确界的，随着指数的增多，不同素数的个数就会减少，直到出 现单个素因子项，即最大素因子的上确界出现。该数a的大小在c与c/2之间（伯特兰定理）。

三元方程的最简本原解和通解之间的最大区别就是，前者的素数个数和指数都偏小，后者则相反。 偏小时，ε^-w • rad（abc） ^（1+ε）相当于 rad（abc）的 5 以上数乘； 偏大时，ε^-w • rad（abc）^ （1+ε）相当于 rad（abc）的 4 以下 0 以上数乘； 偏小时，a、b、c 有无穷组解，存在 rad（abc）＞ c； 偏大时，a、b、c 为有限组解，存在 rad（abc）＜ c。 素数个数和指数的大小与所对应的系数成反比，素数个数和指数变化越小，

三元方程越是接近最简本原解，素数个数和指数变化越大，三元方程越是接近通解之有限初值部分。1.63 的品质q体现了素数无漏性决定了相邻素数比值关系，这就是 ABC 猜想强命题的本质所在。

ABC 猜想的强版命题通过以上分析，得到了初步证明。要彻底了解，需证 明为何 1.63 是最高品质，即需证明 q=log（c） / log（r）=1.63（为最高品质数）［其 中 r=rad（abc）］。 品质 q=1.63（上确界）， q=1（下确界）是满足所有统计数据的，未发现大 幅度越界数。ABC@Home 已经完成很多例证，数学家对这一猜想充满期待。

定理：共轭差超过素数的1.25次方至少会产生一个新增素数（米勒 - 罗宾素性检测，用费马小定理可证明。

即通过一个给定数的 1/4 的指数递增会产生新增素数，也就是说每次素数 个数的变化获得新增素数的最小概率为 1/4。根据素数公式有： 5/4π（b）/b=1/1n（b5/4） 简单地说，就是经过排除概率为 1/4 的错误信息后就可以得到新增素数， 这是米勒 - 罗宾素性检测的算法，根据费马定理得到证明的。 故有 1.60log（a+b） -log（a+b）^ 0.99 ＞lograd（abc），故 0.61logc＞log（abc）， 即c的指数允许小到0.61，此时会获得最大品质q=logc/ logabc＞1/0.61=1.63， 由于 c 的指数不可再小下去，故 1.63 是极值。

c 的指数不可再小下去的原因是，它是 a 与 b 的最大共轭差的指数，a 和 b 有新解表示 a 与 b 中有新增素数因子，素数的间隔规律决定了 c 的指数变化。 c 的指数太小，匹配的最大共轭差就不会产生相关新增素数。

于是得到c 与 rad（abc）的真数比上确界为4.27，或者说rad（abc）与c 的真数比下确界为 0.234，它所对应的品质 q（即对数比）上确界为 1.63，或下 确界0.61。 c可大于rad（abc）也可小于rad（abc）。上确界q=1.63是常数对数比， 转换为纯系数比 k=0.234。指数的上确界 1 所对应的下确界品质 q ＞ 1，此时 c 可大于rad（abc）。下确界q=1 是常数对数比，转换为纯系数比k=1。产生素数 对的最大到最小共轭差周期范围是1到0.234之间，此时存在c大于rad（abc）。 还有 ε=1 时，满足 ε^ -w • rad（abc）^（1+ε）＜c的解也是有限个的。情况同上，

因在 1＞1/（ε^-w • m^ε）＞ 0.234 时，不等式成立，ε^ -w • m^ε为 rad（abc）微调后的等价系数，微调系数大于或等于 1 后，小于c 就要换成大于c，微调系数小于 0.234，将导致 abc 三元方程无解。

ε 取大于 1 的更大值时，有 ε^ -w • w^ε • k＞1，随着 w 的递增，依然会超过上确界1.63 所对应的系数，故c＞ε^ -w • rad（abc） ^（1+ε）为有限个解，一旦超过上确界便无解。因 ε^-w • rad（abc）^ （1+ε）＜c，ε^ -w • w^ε • k＞1。 相反，w 趋小不变时，c ＞ε^-w • rad（abc） ^（1+ε）存在有限组解是成立的。

因为趋小的素数是有限的，而 c 中的素数指数是无限开放的，故一定有解满足 不等式 c＞ε^ -w • rad（abc） ^（1+ε）。 ε取小于 1 大于 0 的更小值时，不等式 c ＞ε^ -w • rad（abc）^ （1+ε）得换成 c＜ε^ -w • rad（abc）^ （1+ε），否则无解。而此时不等式 c＜ε^ -w • rad（abc） ^（1+ε）存在无限组解是成立的。

因为一旦新增素数确定时，从它开始趋大的素数是无限的。 因为趋大的素数是无限的，而 c 中的素数指数是无限开放的，所以无论是有添加系数指数的不等式，还是没有添加的，三元解集都存在无穷组解，有无穷个 c 可以满足以上不等式，满足 a+b=c 的方程。 但 rad（abc）各因子的指数加上一个微小的改变量ε以及个数 w 所产生的系数，情况就不同了，不等式不能靠无限递增c中素数指数来保证小于c也成立，因为c 增加指数，会带来a、b 中的素数个数或大小的递增，左边中的各因子增量就会增大，故 c 中素因子的指数不能无限递增。

如此一来，w 有上确界时， c 中的素数因子总个数 t 也就有上确界，此处 t 包含不同和相同素数的总个数。而一旦 w（所有不同素数的个数）有限，t（仅 c 中含不同和相同素数的个数）也有限时，rad（abc）与 c的品质q就有上确界，其对应的系数就不及ε^-w • w^ε • k 中随不同素数个数 w 的递增而变得更大，如此三元解集的组合就是有限的了。 故 c＞ε^ -w • rad（abc）^ （1+ε）的三元解集是有限的。

其中最为关键的证明步骤是，三元方程的最简本原解性质决定了ABC 猜想弱版命题（大于 c 的情形）成立，而三元方程的最简本原解与通解的关联序列性质共同决定了ABC 猜想强版命题（小于c 的情形）成立。尤其是素数的 个数w和指数ε进行微调后所产生的等价系数Cε，是一个0到∞的开集数域， 等价系数 Cε 为 0 到 0.234 时abc三元方程无解，等价系数为 0.234 到 1 时有小于 c 的不等式，等价系数为大于等于 1 时有大于 c 的不等式。为何越过一个极 值就无解？因为 a+b 可等价表达 c 的最简本原解和通解之间是有素数因子的上 限比值。

（1）0<ε ≤ 1，w>3 时，rad（abc）的微调等价系数是 ∞>Cε>1，故大于 c 的不等式关系不变；

（2）当1<ε<∞，w>3 时，其微调等价系数是1>Cε>0.234，故大于c 的 不等式关系将变为小于 c；

（3）（3）当1<ε<∞，w>3 时，其微调等价系数是0.234>Cε>0，故大于c 的 不等式无解，不满足 abc三元方程。

根据（1）可知有无穷组解的rad（abc）>c 经微调后仍然有无穷组解，系数调整不改变解集关系。弱版 ABC 猜想得证。

根据（2）和（ 3）可知有无穷组解的 rad（abc）<c 经微调后将不满足方程要求，素数指数变大及个数变多后，原素数基础解系已不能满足要求，系数调整会改变解集关系，仅有限解集c 与品质区间1<q<1.63 有映射关系，不像大于c 时有无限解集 c 与品质区间 0<q<1 有映射关系。以前用等距或匀速渐变的间隔梳子是可映射打捞到全部素数的，现在好了，由匀速渐变间隔的梳子经微调系数 Cε 变成了加速剧变间隔的梳子，该梳子只能打捞到某中间段的有限素数。于是强版 ABC 猜想得证。强版获证体现了素数增新具有无漏性，弱版获证体现了素数增新具有无穷性。无漏比无穷更深刻，无漏用哥猜证明，无穷用孪猜证明。

 11.0 定理：多项式时间可验算问题能在多项式时间可计算完成。

这个就是千禧年七大难题之一的P=NP问题，表面是个复杂度算法问题，实质是代数问题，是跟高阶数学归纳法相关联的问题。本文作者通过三元方程解集基底互素定理，证明了自然数不仅与代数数能完成一一映射，与某些可确定的“非代数数”也能完成一一映射，不可数的本质是“可道，但不可常道”，进阶更换“单位元”后，会发现仍是可数的，完全与自然数无关的不可数是不存在的。数学的核心就是在计算和度量之间建立桥梁，离散和连续之间建立桥梁，相邻和重合之间建立桥梁，代数和几何之间建立桥梁，一维和高维之间建立桥梁，加法和乘法之间建立桥梁，时间和空间之间建立桥梁，无限和有限之间建立桥梁，类比和演绎之间建立桥梁。数学家有个惊奇的发现，黎曼猜想如果成立，属于NP完全问题的素数判别和整数分解必存在多项式算法。而广义黎曼猜想通过相邻论已获存在性证明，希尔伯特第八问题已经明朗，NP问题自然也就有了结果。

到目前为止，教科书仍然没有一个素性判别的多项式算法，换言之，没有一个素性判别的算法，它对n执行时的计算量是O(P(logn))，其中P(x)是多项式函数．“是否存在素性判别的多项式算法？”是一个没有解决的公开问题。人们偏向于说存在素性判别的多项式算法，但至今没有找到，也没有存在证明有该算法。通过用重合法和相邻论分析，素性判别的多项式算法是存在的，并且该判定可得到数理逻辑的存在性证明，说明存在性已经不是一个猜测了，而是真的有。但该证明不是构造性证明，因此仍然拿不出明确具体的多项式算法解决方案。从目前构造的算法看，时间复杂度在O(nlogn)<f（n）<O(n³)内。

多项式时间指的是一个算法的复杂度，在时间复杂度的计算中常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)（以上底数2省略）。只要算法的复杂度不会是最后两个指数或者阶乘型，前面的O(1)到O(n^m)（m为常数）任意组合都算是多项式级的复杂度；而O(2^n)，O(n!)型复杂度，就是非多项式级的，问题规模较大时，计算机也很难算出结果。所以我们一般会选择多项式级复杂度的算法。素数判别和大数分解方面的算法进展顺带推动了NP问题的解决。

我们知道整数分割和整数分解是有密切关联的，整数分解是NP完全问题，同样整数分割也是NP完全问题。但随着哥德巴赫猜想的获证，整数分割问题说明存在多项式算法可完成该任务。而分割问题是与分解问题紧密关联的。

大部分NP完全问题都不外乎是路径选择和线性规划方面的问题。前者可归类到图论，如3-着色问题，哈密顿图问题；后者可归类到数论，如0-1整数规划问题，背包问题。给定无向图G=(V,E),用k中颜色为V中的每一个定点分配一种颜色，使得不会有两个相邻定点具有同一种颜色。这是一般图着色问题，也多是NP完全问题，如四色猜想。对于任意简单无向图G，判断G的顶点可否3-着色，哪怕G是平面图且每个顶点的度都不大于4，就是一个著名的NP完全问题，列在卡普的21个NP完全问题中。这些问题只要任意一个满足多项式时间可解，意味着P=NP获证。解集未确定问题变成解集可确定问题。这是NP问题的本质。并非仅为找到算法可提高速度，其实有些计算求解还不如验算来得块。重要的是有了算法，更便于计算机自动寻找答案了。

找到3-着色问题的判定算法可证明P=NP。卡普收集了21个NPC问题，只要证明其中任何一个问题可P表示，即NP=P。21个NPC问题中的图着色问题和3-着色问题以及哈密顿回路也是可P表示的。其中着色问题就含著名的四色猜想，表面四色猜想是个拓扑学问题，实质是代数问题，是一个跟高阶数学归纳法相关联的问题。本文作者通过三元方程解集基底互素定理，证明了任意新增区块既是相邻量的区分，也是非相邻量的区分，非线性延展皆来自线性延展。

证明的大致框架是，图着色问题可完成演绎逻辑证明说明已经存在性证明了该问题可P表示，图着色问题是可以逻辑地解决的。既然是可P表示的，说明了存在P=NP。

概括下四色猜想的证明思想。四色定理：单连通的无限平面地图不同类相邻着色四种足够。作者用约当定理对任意给定图进行了结构区分，把区块相邻连成闭圈叫约当曲线，该曲线可以把任意给定图分成两部分，每一个部分又可以继续用约当曲线分成两半部分，如此不断填充下去，必然会挤满所有的给定地图区块。这样任意未区分的给定图，就最多可由四部分构成：1是可着色的约当曲线闭圈区块链，含单区块加偶开链所形成得奇闭链以及偶闭链，其中有单区块的邻接色奇闭链为可悔棋模式图；2是待着色的约当曲线圈外区块链，3是待着色的约当曲线圈内区块链。4邻接色不超过三色的待着色图都是可约图，且能保证新的邻接色也不超过三色。此方法解决了肯普和希伍德不能解决的问题，肯普的邻接色为四色，那是不可用相同方法迭代着色的，希伍德找到了25国反例图，但希伍德的反例只是肯普证法的反例，不是四色猜想的反例。希伍德没有找到解决方案，而是求其次提出了五色定理。后来哈肯借助计算机完成四色猜想的证明，由于不能满足数学家的直觉理解，始终不圆满。

本文证明就不同了，作者找到了任意给定图中所有区块的良序关系，所有的高阶区块都是良序的，而相邻的高阶区块，所包含的低阶区块也是良序的，这就满足了能用数学归纳法证明的所有要求。高阶良序通过约当定理得到子树遍历序列，低阶良序通过鸽笼法则得到邻接色不超过三色可迭代进行，因为单区块能始终被相邻闭链某一区块全覆盖。如果围绕单区块出现对称图，都包围三色，此时的邻接色须启动“悔棋模式”，即换色重填，只须待着色图把相邻闭链的结构给定，悔棋模式图就一定为可约图，悔棋不会因连锁反应导致全部重来，而是待着色图清晰闭链结构后必有匹配区块能覆盖单区块，邻接色虽在悔棋状态，但是当且仅当待着色图相邻闭链的结构清晰后，就可对悔棋模式图的某些区块进行换色，从而可避免待着色图中的相邻闭链会出现皆包含三色的对称图。

因为有“悔棋模式”状态，故数学界有哥德尔的不完备定理。之所以有悔棋模式，就是因为未知部分没有给定清晰结构，一旦给定清晰结构，问题就迎刃而解了，对立模式不能同时给，可以先后给。对立模式同时给是伪问题。如，只给那些不给自己理发的人理发，理和不理都同时在的话，那这样的理发师不存在，是伪问题，罗素通过正则公理将它排除了，但对立模式先后给，那是可以的，比如理发师可以给自己理一次发，时间多长视第一次的时间定义而言，此后不再给自己理。同样原因，当每次着色迭代推进时，待着色图与邻接色相邻的闭链结构一经确定，一定是作为闭链是三色可约图，作为任意给定子图是四色可约图，并产生新的三色闭链时就继续保留单区块来作为邻接色，这个是可证明能做到的，因为有鸽笼定理。

根据鸽笼定理，定有邻接色中的某区块作为单区块被相邻闭链中的某区块全包围或被全包围。因为相邻闭链要么各区块能对齐要么不能对其，对齐时肯定能彼此全覆盖或被双色全覆盖，不能对齐时多覆盖少，根据鸽笼定理，相邻闭链区块对齐的都没问题全覆盖，非对齐的，就会出现多对少，继而必出现，多对单，多区块的闭链中就有小区块被相邻闭链中的单区块全包围。于是单区块被全覆盖，就能保证邻接色始终不超过三色，且只设一个单区块对接子图。

根据若旦定理，任意给定图都能被相邻闭链充满，把每条闭链看成高阶区块单元，可构造成子树遍历序列，为可使用数学归纳法提供了条件。

如此任意给定地图就可以根据约当定理（重合法）加鸽笼定理（相邻论）就能证明四色猜想成立。

因为任意给定图每次都是有限但可递增的，如此太极生两仪两仪生四象的划分，就完成了任意给定图的结构区分。这样区分出来的地图，会产生子树遍历序列（树叶序列），子树遍历序列属于自然数序列，满足可使用数学归纳法的条件（平等性），因为每一条约当曲线闭圈区块链都可定义为一个高阶区块单元，包括终端子图偶开链和单区块，这些高阶区块可以编号与自然数一一映射。任意一棵树的树叶是有既定序列的，对约当曲线进行划分，就会产生某种特定的序列。如任意确定一个国家，包围该国家会生成一个相邻闭链就是一个约当曲线，不停地包围下去，就可以充满任意给定图。包围过程中会不停地产生子图，即存在紧邻覆盖不到的缝隙，该子图必在邻接色为不超过三色的环境中。于是对所有子图可以继续用相邻闭链（即约当曲线闭链）填充，每次生成闭链的顺序可以规定按时钟方向，从0点方向开始，顺时针紧邻包围，选择填充子图也是如此。约当曲线确定了万物之间有平等的结构。而鸽笼定理有确定了万物之间有次第的关系，总有闭链中的一区块全覆盖另一闭链中的一区块，保证区块可二元互异延伸，具体着色时包围邻接色的待着色图须给定偶闭链或奇闭链结构，启动“悔棋模式”才能给邻接色奇闭链完成着色。始终保证邻接色不超过三色，其中单区块为第三色。

通过这样的结构划分，可发现原来每个子图都是可以一笔画的（被单区块全包围的除外），凡一笔画的子图都是三色足够区分的图，也可以叫三色定理。一笔画走完子图可以进入若当曲线外继续一笔画走完另一子图，子图与子图之间也是可以线性连接的，因为所有子图组织成的大图也是一笔画的（不包括单区块全包围子图）。一个整体可以一笔画，并可继续一笔画延申到另一个整体，每个整体都可以三色区分，满足三色定理，但整体与整体连起来，就不能三色区分了，而是四色区分足够。因为存在单区块全包围图。

能四色区分的地图不一定是哈密顿图，但每个子图都存在哈密顿通路性质，有些子图可以是哈密顿图。哈密顿通路（回路）与哈密顿图 （Hamilton图） 通过图G的每个结点一次，且仅一次的通路（回路），就是哈密顿通路（回路）。存在哈密顿回路的图就是哈密顿图。美国图论数学家奥勒在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密顿图。闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径。

能四色区分的图是由哈密顿路径组织成的一棵树，哈密顿图是一个可3-着色图，判定哈密顿图如果在多项式时间里是可计算的，那就证明了P=NP，凡四色可区分图能最大化改成三色可区分图就是哈密顿图的判定算法。故哈密顿图是可归约为3-着色图的，3-着色图又可归约为图着色问题的，其中就含四色猜想。

四色猜想须局部满足三色定理，四色猜想是邻接色须满足三色定理的前提下才成立的，是鸽笼定理的计算方法为判定三色定理找到了充分必要条件，证明这一性质的相关定理有四邻定理（第四色总被前三色覆盖），一笔画性质（前继被后继覆盖），欧拉示性数（一边会被一图覆盖，一图会被一边覆盖，即前继被后继覆盖）。我们知道任意给定地图，都可以用区块替换顶点来置换成对偶图，当然对偶图也可在若当曲线区分给定图的结构后进行，便于直观选择产生偶数闭链，其单区块可满足覆盖奇链或被奇链覆盖。在这一点上思考对偶图不如思考区块图更方便。区块图对色彩结构区分更直观。

外围延申的拓展图，从顶点延申的拓展图，都是若当曲线延申出来的子图，局部子图总满足一笔画要求，局部子图总满足三色定理。可解决3-着色问题。外围邻接色不超过三色，顶点邻接色也不超过三色。

冷色肯普链和暖色肯普链交替延伸，该两类偶闭链相互紧邻包围，于是已着色图要么是偶闭链，要么是偶开链，要么是单区块。最后或包含偶闭链终端子图，或包含偶开链终端子图，或包含单区块终端子图。其他为待着色图和可悔棋模式图，除可悔棋模式图外，其他闭链图作为邻接色皆不超过三色。a、b、c为向内待着色子图，d为向外待着色子图，与待着色图相邻的非闭链图，都不是新一轮邻接色闭链图，而是可悔棋模式图，其最后确定需要同待着色图提供结构确定的相邻区块形成闭链方可。

可见，作为NP完全的3-着色问题也是P问题。图着色问题之所以能够解决，是因为相邻闭链若存在奇闭链总能变成偶闭链+单区块，把单区块设置为待着色区块，加入到下一轮的偶闭链中，完成邻接色。如此一来，任何未着色区，都是三色可约图。因为总能被约当曲线闭链填充，或填满（包含偶闭链、偶开链和单区块），或分割为圈内圈外两部分，或分割为仅有圈内，或分割为仅有圈外，但可保证每次形成闭环的邻接色都不超过三色，未形成偶闭链时，从单区块出发的双色肯普链都属于“悔棋模式图”，要等待形成偶闭链或被偶闭链相邻包围后方可定色区分。

两类肯普链可持续着色下去，最后留下的都是终端子图。三元方程解集基底互素定理可判定高阶区块都可以用双色肯普链来区分，而任何给定地图都可以用一条线性连接高阶区块的高阶肯普链来表达。而任意线性世界用两类拓扑符号就足以区分（任意偶数用两个素数相加就足以得到），单连通的平面世界经历了从一阶到二阶，故用2x2=4类元素就足以区分，N维空间的最少单位区分数是2^N。

NP问题其本质是枚举验证问题可否都能用数学归纳法完成证明和计算，如果一阶不能向高阶过渡，P是无法等于 NP的，但我们欣慰地发现数学归纳法在拓扑世界里是可以高阶升级的，因为我们可以抽象得到更深刻的同类单位元，于是NP问题就可以用P来解决了。计算机若能不断向内部深刻自指就能不断向高端迭代。

本文通过NP完全问题如图着色问题、哈密顿路径问题，素数分布问题的解决存在性证明了P=NP，原来不可数问题都能在一定条件下可数的。连续统问题的困难在没有对未知设置对象结界，如果用最高已知来设置相邻结界，就能取得重大进展，否则就会在不可知世界里内卷。正如哥德尔所证明的那样通过极限已知向下看，的确是不完备的，但通过极限已知向上看就不一样了，拓宽对公理的理解范畴，我们就能发现新世界。

最后总结下，本文通过图论和数论两个角度都存在性证明了P=NP，可验算问题是等于可计算问题的，只是人类找到算法通常计算会滞后于验算，但等量关系是存在的，可验算问题一定是可计算表达的，计算所用的时间当然比验算要少得多。另外，找到构造性计算又要滞后于找到存在性计算，故RAS加密方法仍然是安全的，但不能躺平，没有一劳永逸的加密方法，需要与时俱进，数学发展总要经历一个能看得见却摸不着的阶段。能看见局部的是否都能看见全貌，这是p=np问题，能看见的是否定能摸到，这是工程数学问题。而不同的问题即便理论上解决了仍是存在差异的，有些能在多项式时间内较快完成，有些则不可或在效率允许时间里不许可，但总能在相应的时间里解决问题。不存在恒久不可解的问题。NPC问题在多项式时间里是可解的，本文已完成存在性证明，但要找到构造性算法尚需时日。需要根据具体的问题来具体攻克。

NP问题获证，显示了问题明确的猜想都能得到证明，那是不是与哥德尔与柯恩的思想相悖呢？不会有冲突，因为哥德尔的不完备定理是建立在问题的定义域非明确的基础上的，比如“万能的上帝能不能制造一个连自己也搬不动的石头”，如果万能之定义不明确，那么该命题是既不能证真，也不能证伪的，万能是一个未确定概念。那么应该如何解决呢？罗素用正则公理消解该问题，这样的万能是不存在的。哥德尔用不完备定理解决，这样的万能不能获得已有公理的证伪，柯恩从另一个角度解决，这样的万能不能获得已有公理证真。如果万能允许在不同时空显示，命题可以证真。若对立概念在同一时空存在则不允许。

机器语言都属于自然语言，那自然语言是否都属于机器语言。

因为没确定对立概念是否在同一时空，所以哥德尔和柯恩的证明是对的，但罗素的解决办法也是对的，植入一个公理，对立概念就是在同一时空里。希尔伯特面对这些问题则阳光灿烂地认为，我们必须知道，我们必将知道，在不同的时空里，我们相信有这样的万能。例外偶数是不存在的，这就好比是罗素的思路；但可表偶数是存在的，这就好比是希尔伯特的思路；可表的范围未穷尽，所以我无法全力支持，这是科恩的思路；例外的范围没讲清，所以我无法全力反对，这是哥德尔的思路。可谓都是积极的数学思想。个人倾向于要把四种选择都汇总起来处理问题，才不会有疏漏，NP问题获证，表面看是希尔伯特的数学信仰赢了，实质是必不能相悖于其他三种情形。通往成功之路仍是曲折的，同样多项式时间可解，实质相差甚远，就别指望能立马破解密码了。

四色猜想在所有定义域里能人工全过程逻辑证明，本身就实锤了P=NP。须计算机验证的部分，都能用高阶数学归纳法可证明可计算。而图着色问题就是NPC问题。很多NP问题可归约为它。如今四色猜想获全过程人工逻辑证明，等价于可部分存在性证明P=NP，不能归约为它的NP问题除外。

NP问题获证给我们的启示是，所有的集合都是良序的，四色猜想正是因为找到了良序关系才解决的，哈密顿路径也是因为找到了一笔画，这意味着碰上任何对象都是可以使用超限数学归纳法，如此一来就一切都可证明可计算了。故所有猜想都是可证明的。这与哥德尔的不完备定理并不冲突，哥德尔与科恩是遭遇到了不可证伪不可证真，那是因为公理有限问题太宽不确定所导致的，当我们遇到清晰的问题在大公理背景下，自然有清晰的良序。四色猜想就是用若当闭曲线来分析任意给定图的，从而找到子树遍历序列的，于是良序关系在拓扑世界呈现了。于是乎，本质良序就与现象良序一致了。为了保证一阶良序在高阶良序里不掉链子，在证明四色猜想，成功找到鸽笼定理来证明，链与链之间都有区块可迭代相连，即总存在相邻区块被全覆盖，从而可确定邻接色不超过三色，如此可证明所有的待着色图以及可悔棋模式图都是可约图。证明NP问题，只须证明典型问题。图着色问题是，大数进行素数分割与分解，也都是NPC问题。如果图着色不足以说明整体问题，那就拿数论来说。哥德巴赫猜想也得到了存在性证明，没有素数良序就没有自然数良序。

到此可总结下“三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题”的数学思想了。为何三元方程解集基底互素定理的求异方法和可表偶数囊括所有素因子的求全方法可解决难题呢？因为我们常常被固定思维给锁死了，懂得向异类妥协或借鉴，就能柳暗花明。我们的思维结界来自我们的固执。在此重申下，本论文若碰巧解决了某些难题，不一定是学完高深数学的结果，也并不表明笔者就比前辈的水平高。真要这样以为，那就是挑拨离间，创新与积累的关系不是这样判定的，灵药并非只产在高山上，前人未涉足过的平地也有。欧拉解决不了的问题，不一定要比欧拉强才能解决。平凡的没有新素因子参与的二元相加就能产生互素的新素因子，扫地僧勤快又运气好，扫地也能扫出金子。这正是本文想要表达的新意。序列传递给人的直观印象就是分形数学，仿佛类比表达，但作者巧妙找到了序列与等量之间的关联。从此神谕与精准数学之间有了桥梁。数学就是在虚空的世界里搭建桥梁和发现桥梁的。（罗莫）

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