几何法推导斜入射衍射光栅的波长和实验研究

原创 陈哲昊 徐思诺 等 物理与工程

摘 要

通过直接几何光路法和光栅方程法分析了平行光斜入射衍射光栅时波长测量的理论基础。分析表明，几何光路法是斜入射衍射光栅问题的一种严格解法，光栅方程法是几何法的一级近似。实验中以低压汞灯的绿光为基准，通过分光计测量平行光斜入射衍射光栅时紫光的波长。具体方法是：先让望远镜分划板的竖准线对准平行光正入射时绿光衍射线位置，然后转动光栅使紫光与准线重合，由光栅转过的角度获得转动前后的光程差，从而计算出待测光的波长。当使用绿光为基准光时，用几何法和光栅方程法得到的紫光波长均为 434.9nm，与理论值的相对误差均为 0.2%。

关键词 分光计；衍射光栅；几何法；光栅方程

Abstract The theory of oblique incidence diffraction grating for collimated light is analyzed by using direct geometric light path method and grating equation method. The analysis reveals that geometric optical path method is an exact analytical method for oblique incidence diffraction grating, and the grating equation method is the first-order approximation of the geometric method. In the experiment, based on the green light of low-pressure mercury lamp, the wavelength of violet light from low-pressure mercury lamp was measured by spectrometer when collimated light was obliquely incident to diffraction grating. The detailed method is as follows. Firstly, the vertical directrix of the telescope divider was aligned with the first order green diffraction light for normal incidence. Then, the grating was rotated to make the purple light coincide with the collimation line. The optical path difference before and after the grating rotation was obtained by the angle of grating rotation and thus the wavelength of the violet light was calculated. When green light is used as the reference light, the wavelength of violet light obtained by geometric method and grating equation method is 434.9nm, and the relative error with the theoretical value is 0.2%.

衍射光栅由大量相互平行、等宽、等距的狭缝构成，利用光的衍射原理使光波发生色散的光学元件，广泛应用于光谱仪、摄谱仪等现代光谱分析设备中。大学物理实验中常开设衍射光栅测量入射光波长的实验，实验一般采用正入射方式测量光波长[1-2]。入射光正入射到光栅平面，不同波长的光衍射角不同，通过转动望远镜可精确测量衍射角从而计算光的波长。不过在大部分光谱仪中，由于光栅比探测器灵活轻便，一般转动轻便灵活的光栅来测量不同波长处的光强，而不是转动探测器(衍射光栅实验中的望远镜和人眼即相当于光谱仪中的探测器)。转动光栅时，光不再是正入射。

物理实验教学不仅要求学生掌握基本原理，更要求学生有能力从基本原理出发，设计、制造相关仪器设备，这是创新人才培养的需要[3]，是中国制造的需要。衍射光栅常规教学内容在培养学生仪器设计、制造的思维和能力方面尚有欠缺。通过增加斜入射测量光波波长，正如光谱仪中光栅的工作方式，能更好地培养学生这方面的能力。

1 理论分析

当转动光栅测波长时，入射光不再保持正入射，相应的光栅方程与正入射时有差异，下面具体分析入射光波长与光栅转动角度的关系。

1.1 光栅方程法

首先让光正入射至光栅，图 1 所示，OA 是正入射时光栅的位置，假设在 B 处观察到衍射角为 θ 的已知光，此时光栅方程为

d sinθ = kλ，k 为整数 (1)

若顺时针旋转光栅 α 角度至 OA′，旋转后不再满足正入射条件，须对光栅方程进行修正。若入射光和衍射光分居光栅法线两侧，光栅方程应修正为[4-5]

d [ sin ( θ + α ) - sinα ] = kλ，k 为整数 (2)

根据修正过的光栅方程(2)，若以某波长的光为基准，并把探测器固定在该光正入射时一级衍射光位置，旋转光栅，则探测器探测到光波长与旋转角度一一对应，根据光栅旋转过的角度即可计算待测光波长。

1.2 几何法

图 1 中，令光栅 AO 到屏 BO′（即望远镜分划板）的距离为 x，且在 B 处观察到一级衍射角为 θ 的已知光。即：已知光经光栅 O 点和 A 点衍射后的光都汇聚至 B 点，由于透镜不改变光程，因此可以认为光从 A 点到分划板所在平面上 B 点的光程为

其中，

。

若光栅顺时针旋转 α 角度（A 点转至 A′ 点），旋转前后应有

，在 B 处观察到待测光一级衍射，此时光由原光栅平面到分划板所在平面的光程

C 为光线与原光栅平面 OA 的交点。

转动前后的光程差 ΔL 应和待测光与已知光的波长差 Δλ 相等，即

根据光学知识，光栅衍射明纹间距δ[6]

分划板所在平面与光栅之间的距离 x 虽然会影响明纹间距的大小，但根据光栅方程(1)和(2)，x 的取值不影响明纹的角分布。为计算方便，不妨取 x = cosθ，式(5)可化简为

在光栅方程中，对于一级衍射光，将式(1)与式(2)做差，有

d sinθ - d [ sin ( θ + α ) - sinα ] = Δλ (8)

实际上，式(8)即为式(7)泰勒展开一级近似。也就是说光栅方程法是严格几何法的一种近似。

2 实验研究与误差分析

本实验使用杭州精飞光学仪器制造有限公司生产的 KF-JJY1′ 型分光计，仪器精度为 2′。

2.1 绿光定标光栅常数

首先以低压汞灯绿光(546.1nm)为光源，标定光栅常数。保持其正入射，设绿光一级衍射角为 θ+1，转动望远镜测绿光衍射角，并根据光栅方程(1)计算光栅常数。白光所在位置为 θ0 = 229°50′，θ′0 = 49°50′。实验数据如表 1 所示，表中 θ+1、θ′+1、θ-1、θ′-1 分别表示正一级和负一级衍射光，分光计两个游标读取的衍射角，θ 是 θ±1、θ′±1 四个测量值与白光位置偏差的平均值，即消除分光计偏心差的绿光衍射角的单次测量值，即

衍射角的不确定度为

衍射角测量结果表示为

光栅常数的不确定度为

于是，光栅常数表示为

2.2 斜入射测定紫光波长

将望远镜分划板垂直准线固定于正入射时一级绿光衍射位置处（一级绿光的平均位置为：θ+1绿 = 220°24.3′，θ′+1绿 = 40°24.3′），缓慢旋转光栅，当望远镜分划板垂直准线与紫光重合时，记下游标盘的读数 β、β′，则光栅旋转角度的平均值为

，实验数据如表 2 所示。

光栅旋转角度 α 的不确定度

下面通过光栅方程和几何法计算紫光的波长。

2.2.1 光栅方程法

把

和

代入式(2)得，紫光的波长为 434.9nm。波长的不确定度

波长测量结果表示为

相对误差（紫光波长理论值为 435.8nm）为

2.2.2 几何法

同样，把

和

代入式(7)得，绿光与紫光的波长差 ΔL = 111.2nm，即：紫光的波长 λ紫 = λ绿 - ΔL = 546.1 - 111.2 = 434.9nm。

波长的不确定度

紫光波长测量结果可表示为

紫光波长的相对误差为

上述分析表明，以低压汞灯绿光（546.1nm）为基准，把望远镜（探测器）固定在绿光一级衍射角位置处，顺时针转动光栅，当光栅旋转 32°45.5 ′时探测到一级紫光，根据光栅方程和几何光路法计算得，紫光波长为 434.9nm，与理论值 435.8nm 相差 0.9nm，相对误差 0.2%，精度很好。通过几何法测得的波长不确定度小于光栅方程，这是情理之中，因为光栅方程是严格几何法的一级近似。

2.3 误差分析

通过光栅方程和几何法计算得到的波长与理论值相差约 1.0nm，相对误差为 0.2％。实验中误差来源有：绿光定标光栅常数的误差；转动载物台时光栅与载物台之间可能的相对移动引起的误差；分光计光路调节时中心轴与望远镜和平行光管的光轴不完全正交引起的误差；仪器自身的系统误差和细调旋钮的回差。

若对实验设备稍作改进，可进一步减少误差，比如：将光栅与分光计载物台固定得更牢固，避免晃动；使用机械控制，使光路调整更精确。

3 结语

通过光栅方程和几何法分析了斜入射时衍射光栅测波长的基本原理，进一步分析发现光栅方程是严格几何法的一阶近似。实验以低压汞灯绿光为基准，旋转光栅测量紫光的波长，光栅方程和几何法计算得的紫光波长均为 434.9nm，相对误差 0.2%，与理论值吻合得很好。

此外，与传统正入射测波长相比，斜入射培养了学生的逆向思维、仪器制造思维和能力，锻炼了学生数据处理、物理学中近似思想、合理简化实际问题的能力，提升了实验的高阶性。在实验过程中分析、思考误差来源，培养了学生未来设计实验、搭建仪器的能力。

参考文献

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[4]苏亚凤, 李普选, 徐忠锋, 等. 斜入射条件下光栅衍射现象的分析[J]. 大学物理, 2001(7): 18-21, 25.

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[6]赵凯华. 新概念物理教程——光学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

基金项目：上海市大学生创新创业训练计划项目(S20087)。

通讯作者：吕昭月，女，华东理工大学副教授，主要从事大学物理实验教学和光电子器件的研究，lvzhaoyue@ecust.edu.cn。

引文格式: 陈哲昊, 徐思诺, 吕昭月. 几何法推导斜入射衍射光栅的波长和实验研究[J]. 物理与工程, 2022, 32(4): 161-164.

Cite this article: CHEN Z H, XU S N, LYU Z Y. Theoretical and experimental study on wavelength measurement of oblique incidence diffraction grating via geometric optical method[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(4): 161-164. (in Chinese)

END

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原标题：《几何法推导斜入射衍射光栅的波长和实验研究》

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