超导量子比特耦合与测控的物理原理

原创 宿非凡 杨钊华 物理与工程

摘 要

把多个超导量子比特耦合起来并实现对它们的测控是实现超导量子计算的重要一步。作为“物理前沿介绍——超导量子计算”系列的第四篇，本文系统阐述超导量子比特耦合，操控与测量的物理原理，并给出了一套基本的量子操控与测量的流程。作为例子对新近一些超导量子比特实验的设计方案进行讨论，最后对超导量子比特测控基础表征过程给出统一的流程图，并对超导量子计算进行了展望。本文旨在帮助广大高校物理专业教师、高年级本科生、研究生以及对超导量子计算感兴趣的理工科背景读者系统了解操控与测量超导量子比特的物理原理。

关键词 超导量子比特；微波测控技术；量子比特表征

Abstract Coupling multiple superconducting qubits and realizing their measurement and control is an important step to realize superconducting quantum computing. As the fourth part of the “Introduction to the frontier of Physics—Superconducting quantum computing” series, this paper systematically expounds the principles of superconducting qubits coupling, control and measurement, and furthermore gives a set of basic processes of quantum control and measurement. As an example, the design schemes of some recent superconducting qubit experiments are discussed. Finally, the unified flow chart of the basic characterization process of superconducting qubit measurement and control is given, and the superconducting quantum computing is prospected. This paper aims to help college physics teachers, senior undergraduates, postgraduates and readers with science and engineering background interested in superconducting quantum computing systematically understand the physical principles of controlling and measuring the superconducting qubits.

近年来，超导量子比特作为最有可能实现量子计算机的方案之一发展迅速。超导量子比特的退相干时间从原来的纳秒级别不断地突破并逼近毫秒级别，北京量子信息科学研究院发布了退相干时间为 0.5 毫秒[1]的长寿命超导量子比特，这意味着超导量子比特寿命进入毫秒的时代。超导量子比特芯片的制备工艺越来越成熟，下一步需要讨论的就是对芯片的测量与控制。不同于经典计算机，超导量子比特需要通过微波进行操控与测量，经过近年的发展，形成了一套以量子非破坏性测量为核心得到超导量子比特测控技术。

本文作为“物理前沿介绍——超导量子计算”系列的第四篇，在了解超导量子比特物理原理与设计的基础上，首先讨论实现量子非破坏性测量的基本物理原理，此后详细介绍操控与测量超导量子比特的步骤，进而详细介绍表征超导量子比特基本特性的重要指标以及其测量原理，本文最后给出了超导量子比特表征测控技术的详细流程并对几个关键性指标的发展做了展望。

1 量子非破坏性测量

基于量子力学的基本原理，对量子系统的任何观测或者测量都会使得量子态发生塌缩，因此可以认为这是一种破坏性的读出。可以想见，破坏性测量后量子态不可重复测量，这会给超导量子计算的重复读出带来不便。在超导量子电路系统中，发展出了基于腔量子电动力学的量子非破坏性测量技术。在该技术中将超导量子比特与谐振腔耦合起来，通过读取谐振腔的信号间接获取超导量子比特的状态[2]，这种测量的方法会导致系统塌缩到与测量结果相同的态上，从而实验上可以通过重新制备初态，以此重复进行测量实验。

超导量子比特需要在极低温的环境中测量，通常会将超导量子比特芯片放置于稀释制冷机当中，以达薄膜超导所需要的低温与低热激发的需求（50mk 以下）。考虑到超导量子比特上 SQUID 探测器对磁场的敏感性还需在测量系统外加上磁屏蔽桶，以屏蔽外界磁场的干扰。如图 1 框中所示，为平面波导谐振腔，通过电容与超导量子比特耦合起来，组成可实现量子非破坏性测量的系统，下面详细讨论量子非破坏性测量的物理原理。

非破坏性测量是基于腔量子电动力学理论的读出方式，考虑比特与谐振腔的耦合，如图 2 所示这样的电路系统，谐振腔等效于 LC 电路，而量子比特可以视作谐波振荡器，从两个 LC 电路的耦合出发，利用基尔霍夫定律计算可以得到经典环路哈密顿量

其中

通过二次量子化，最终可以得到相互作用的耦合项其中，

，

为耦合强度，

，i=1，2 为谐振频率。对于量子比特，只需将哈密顿量中的

，ai 替换成泡利算符

，

，即可得到比特与谐振腔的耦合哈密顿量[4]

通过旋转波近似（RWA），舍掉高频旋转项，得到近似哈密顿量为

其中，ωr 是谐振腔频率，ωq 是比特频率，式(9)可以描述比特与谐振腔的相互作用，被称为 JC 模型[4]（the Jaynes-Cummings Hamiltonian）。

从式(9)得知，JC 哈密顿量有两个很重要的参数，比特频率与谐振腔频率之间的差值 Δ = ωr - ωq 以及耦合强度 g。在频率大失谐的状态下，即色散状态下，|Δ| 远远大于 g，引入一个幺正算符

通过对 JC 模型哈密顿量的幺正变换，可以得到系统的哈密顿量

其中，ωr + χσz 是谐振腔频率项，

是色散位移。如果此时比特处于基态，在哈密顿量中谐振腔的频率项将会是 ωr + χ，而当比特处于第一激发态，则谐振腔的频率是 ωr - χ。因此当比特处于不同的状态时，谐振腔的频率会发生不同的偏移，如图 3 所示（其中 |0〉是基态，|1〉是第一激发态），通过测量谐振腔的频率，可以得出超导量子比特的状态。这种读出方式被称为色散读出，从上面的讨论可以看出色散读出可以实现对超导量子比特的非破坏性测量。需要指出的是，超导量子比特处于不同的状态时，它的谐振腔反射系数曲线会有偏移，这一偏移量能够区分出超导量子比特是处于基态还是第一激发态。同样，在更高能级的实验中，比如三能级实验，谐振腔反射系数曲线将会有三个反射系数曲线，所以，不管是多能级还是二能级系统，读出的基本原理都是一样的。

将上述的 JC 模型哈密顿量有关光子数的一项并入比特项，得到下式对于式(12)中的比特频率项，会发现它与两个因素有关，第一是谐振腔的真空波动所引发的偏移 ωq + χ（兰姆位移），而中间的一项

与谐振腔的光子数成正比的关系，因此谐振腔中任何光子数波动会改变比特频率并引起相移，这个效应称为 AC-Stark shift[6-9]，因此在测量时，要尽可能地减少线路带来的光子数的波动。

2 谐振腔的表征

谐振腔作为一个重要的读出器件，它的品质好坏，对读出的效果有重要的影响，因此谐振腔的品质是超导量子比特器件的重要指标。谐振腔和传输线通过电容耦合，振幅为 Vin 的信号从传输线的一端口进入，从二端口以振幅 Vout 的形式出去，可以得到相应的传输系数为

在微波工程技术中，可以通过传输系数 S 21 曲线的拟合得到谐振腔的品质因子（Q 值）[10]。如图 4 所示为实验中在测得的 S 21 曲线。

具体而言，在超导量子比特的系统中，S 21 与谐振腔的内部品质因子 Qi，耦合品质因子 Qc，谐振腔频率 ωr 以及输入信号频率 ω 存在关系[11,12]其中，

是阻抗不匹配所引起的输入输出之间的相位差，这是由制备样品中或多或少引入的偏差。

而总的品质因子指标 QL 以及谐振腔中光子的衰变率 κ、谐振腔的内部品质因子 Qi、耦合品质因子 Qc、谐振腔频率 ωr 满足[13]

利用式(14)、式(15)、式(16)与实验获得的反射系数 S 21 曲线，便可得到上述参数[13]。

其中谐振腔中光子的衰变率 κ 越小，读出比特状态的区分度就越高，因此确定谐振腔的总品质因子 QL 越高越好。根据式 15，QL 由 Qi 与 Qc 所决定，其中 Qi 是由电路设计结构决定，高低功率（谐振腔中光子数饱和时为高功率情况，没有饱和时为低功率情况）下几乎没有变化，而 Qc 是由样品内部的缺陷所决定，在高功率下，缺陷会饱和[11]，测出来的 Qc 要比低功率的高很多。因此在实验中，可以分别在高、低功率条件下测量，从而判断整个制备工艺的好坏以及材料的品质。

如图 5 所示，为高功率下的 S 21 拟合曲线图的一个例子，从中可以分别得到的谐振腔的内部品质因子 Qi = 32147.6，耦合品质因子 Qc = 5279.15，总的品质因子指标 QL = 4534.51，目前超导量子比特在工作条件下，其 QL 值一般在 102~105 的范围之内。

3 能谱的表征

在进行单比特能谱标定的过程中，一般会将读出信号频率定在比特处于基态的反射特性曲线最低点时谐振腔的频率上，通常来说这一点会是基态与第一激发态区分度最大的点[14]。如图 6 所示，将读出信号频率设置在 B 点频率，当比特处于基态，B 点对应的纵坐标则表示在基态时的电压，A 点对应比特处于第一激发态的曲线，纵坐标则表示在第一激发态时的电压。

基于上述原理，在实验上可以区分基态与激发态。如图 7 所示的 X-mon 超导量子比特设计图形中，可以看到它有两根线，其中一个是激励线，另一个是偏置线。实验中通过激励线来驱动比特，如果激励脉冲频率与比特频率不共振，电压幅度将与 B 点一致，如果激励脉冲频率与比特频率发生共振，比特会被激发到第一激发态，电压幅度会与 A 点一致。由于比特频率是由微加工制备约瑟夫森结的性质所确定的，因此可以在制备前先设计好与测量系统匹配的频率，而测量时直接在这个加工值的附近搜索。

如果此时以 B 点所对应的电压幅度为参考点，测量谐振腔在该读出频率下电压幅度的变化，会得到 A-B 的电压幅度变化，得到比特单条能谱，它实际表示的是比特频率共振峰，如图 8 所示。

同时，在该比特还有另一根线，通常称为偏置线，通过这根线改变磁通偏置电压可以改变比特的频率，它的工作原理在“物理前沿介绍——超导量子计算”前三篇[15-17]中有详细的讨论。进一步，通过在不同的偏置电压下测量多条能谱，将他们结合起来便可以得到如图 9 所示的比特二维能谱图，从中可以得到比特频率随偏置电压的调制曲线。此后便可以确定偏置线的工作范围，以便为之后确定偏置线的工作范围并选取合适的工作点提供参考。4 Rabi 震荡的测量

在确定好比特频率后，为了构建将比特从 |0〉完全演化到 |1〉态的微波脉冲，需要利用 Rabi 振荡进行确定 π-pulse 的长度与振幅。将驱动微波频率与比特频率匹配使二者共振，驱动微波与比特的相互作用可以表示为 Hd = Ω ( t ) σx，在此微波的持续驱动下，比特的态矢量可在如图 10 所示的布洛赫球上的 0，1 之间往复转动[19]。

且比特处于 |1〉态的概率亦会在 0~1 之间振荡，其振荡规律为其中，A，B 是由于制备初态引入的误差与读出信号误差所决定的参数，TR 为设定的 Rabi 振荡周期，Ω 是驱动振幅，t 为如图 11 所示 τ 的时间，指的是微波脉冲的长度。实验中通常将恰从 |0〉完全演化到 |1〉态所对应的微波脉冲长度设置为一个 π-pulse 的长度，将从 |0〉态到布洛赫球赤道

态的微脉冲设置为一个 π/2-pulse 的长度。实现态的 Rabi 振荡一般有两种方案，第一种是固定 π-pulse 的幅度(图 11 中 amp)，测量 π-pulse 的长度 length，称为 TimeRabi，第二种通常固定 π-pulse 的长度 length，测量 π-pulse 的幅度 amp，称为 PowerRabi，分别如图 12、图 13 所示，这两种 Rabi 的方案在实验上能达到一致的效果，对于需要特定长度的脉冲，则选择 PowerRabi，对于需要特定振幅的脉冲，则选择 TimeRabi。

5 能量弛豫时间 T1 的测量

在理想情况下，比特与外界不存在互相作用，比特会一直处于第一激发态，而在实际情况中由于比特不可避免地会与环境发生相互作用，其将不可逆的发生能量耗散。比特会从激发态弛豫到基态，该过程的时间就是能量弛豫时间，能量弛豫时间是量子比特的一个重要的性能。

在标定完 π-pulse 的长度和幅度之后，在实验上从激励线通入一个 π-pulse 可将比特从 |0〉激发到 |1〉态。通过不断改变的延迟读出信号，同时测量比特处于 |1〉态的概率，就能得到完整的能量弛豫时间曲线。进一步可以根据能量弛豫时间曲线与下式拟合计算得到比特的能量弛豫时间 T1 [20,21]

以下给出一个实验上的例子，我们通过固定 π-pulse 的长度和幅度，通过激励线输入 π-pulse 激发比特从基态到激发态，进而改变 π-pulse 和读出脉冲之间的时间长度(图 14 中的 τ），可以测量比特处于激发态的概率，获得如图 15 所示的比特从 |1〉态衰减到 |0〉态的衰减曲线，通过拟合该曲线，可得到能量弛豫时间 T1 = 39.2μs。

6 Ramsey 和 Spin Echo

量子体系的相干性是实现量子计算的必要条件，因此量子比特保持相干性的退位相时间是超导量子比特的另一个重要的指标。实验中磁通噪声，准粒子激发与其他各类噪声都会造成超导量子比特退相干。该时间通常可以通过 Ramsey 条纹曲线来进行测量，具体来说可在比特中通入两个存在一个时间间隔的 π/2-pulse，第一个 π/2-pulse 将比特从 |0〉激发到 |0〉与 |1〉的叠加态（布洛赫球上的 x-y 平面），而在两个 π/2-pulse 之间的时间间隔内，比特的态将自由演化（比特的态在布洛赫球上的绕着 Z 轴旋转）。当比特的态自由演化一定时间后，再通过另一个 π/2-pulse 将比特的态制备回 y-z 平面上。在没有噪声干扰的情况下，比特绕着Z轴旋转的速度要远远小于拉比振荡频率[22-24]，通过这一系列的微波操作，可以得到比特处于激发态的概率

在实际中，考虑噪声干扰比特处于激发态的概率会变为其中，Δω/2π 是失谐频率，1/Tφ 为退位相速率[25]。

实验上利用上述过程继续测量第 5 节中的样品得到了如图 17 所示的 Ramsey 条纹曲线，通过式对条纹曲线拟合，可以得到退位相时间和失谐频率，考虑综合 T1 和 Tφ，可以用公式 1/T2 = 1/T1 + 1/Tφ 得到横向弛豫时间 T2（在图 17 的例子中可以得到 T2 = 5.5μs）。

在表征退位相的测量中，通过动力学解耦对准静态低频噪声滤波提高测量得到的退位相时间是常用的一种技术，这种方法称为“Spin Echo”[26]。如图 18 所示，Spin Echo 由三个脉冲组成，包括两个 π/2-pulse，一个位于两个 π/2-pulse 之间的 π-pulse，他们之间的间隔为自由演化时间。一个 π/2-pulse 相当于先把比特激发到叠加态（布洛赫球上的 x-y 平面），然后让其绕 z 轴自由演化一段时间 τ/2，无论比特在 x-y 平面上旋转频率快还是慢，经过 π-pulse 都将其激发到布洛赫球背面，再绕 z 轴旋转同样的一段时间 τ/2，无论快还是慢都会在此时刻重合在同一个态矢量上，这个过程称为比特状态的“refocused”，再经过第二个 π/2-pulse，比特回到 y-z 平面上，最后测量得出比特状态。这种方法由于消除了准静态低频噪声引起的退相干[27]，通过 Spin Echo 测出来的 T2 要比 Ramsey 测出来的同一比特的 T2 明显增长，如图 19 所示为对同一比特进行 Spin Echo 后拟合的结果 T2E = 25.1μs。7 结语

近年来，随着世界范围内各大国对超导量子比特科研投资力度的持续加大，超导量子比特的研究得到了前所未有的迅速发展，但距离最终实现普适的量子计算机还有一定的距离，不仅再制备工艺上需要进一步朝更多比特数、更长量子相干时间迈进，而且在微波操控技术上，也需要在提高门操作效率，增加门操作的保真度等方面取得实质性进展。

本文基于本系列前三篇，详细讨论了超导量子比特微波测量的 JC 模型原理、量子非破坏性测量、比特能谱、能量弛豫时间与退位相时间表征的原理与步骤，并给出了实验上的例子。如图 20 所示，给出超导量子比特的完整测量过程流程，限于篇幅，本文没有给出 singleshot 步骤的讨论。

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通讯作者：宿非凡，男，中国科学院物理研究所北京凝聚态物理国家研究中心副研究员，主要从事超导量子计算与微纳加工研究，ffsu@iphy.ac.cn。

引文格式: 宿非凡, 杨钊华. 超导量子比特耦合与测控的物理原理[J]. 物理与工程, 2022, 32(4): 210-217, 228.

Cite this article: SU F F, YANG Z H. Principle of superconducting qubits coupling and their measurement and control[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(4): 210-217, 228. (in Chinese)

END

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