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黑洞熵的面积律到底特殊在哪里

2023-10-20 10:03

来源：澎湃新闻·澎湃号·媒体

原创曾定方物理与工程

摘要：一般热力学系统熵的体积律是一个被广泛相信并常被用来论证黑洞熵面积律特殊性的重要说法，然而这个说法和论证都是错误的。事实是，这些系统的熵跟其所占据空间体积的关系非常弱, 但是跟我们建立统计描述于其行为之上的基本/微观粒子的数量成正比。黑洞熵的面积律只是这一事实的一个正常案例，其特殊性在于，黑洞熵并不起源于构成黑洞的那些普通物质粒子的随机运动，而是起源于那些粒子在引力驱动下集体运动模式的随机性，是这些集体运动模式的质量正比于黑洞质量倒数因而数量正比于黑洞质量平方的事实导致了面积律。如果黑洞熵起源于构成黑洞的那些标准模型粒子的随机运动，粒子数正比律将导致熵的直径律而不是体积律或其它类型体积依赖性。

本文及后续两份姊妹篇试图挑战黑洞熵的面积律意味其信息载体生活在视界面上的观点，同时尝试建立黑洞熵微观起源的非全息解释。

1. 问题导论

1970年代中期，贝肯斯坦和霍金发现，所有黑洞都拥有正比于它们视界表面积的熵，

受这一事实的启示，'t Hooft 和 Susskind 在1990年代初期提出了所谓的全息原理，即一个

维引力系统的所有自由度，可以用其

维边界面上的非引力自由度来刻画。1997年底，J. Maldacena 提出了AdS/CFT猜测，构成了对这种原理的一个具体实现，这个猜测说，

维渐近反德西特时空中引力系统的各种物理量跟其

维边界上的共形场论物理量之间存在一一对应关系[1]。全息原理和AdS/CFT是一种类似波粒二象性的基本原理，我们可以把它称为规引二象性，意思是对一个物理系统，我们既可以用规范理论的语言描述它，也可以用引力理论的语言描述它，这两种描述存在等价性；同时因为在使用规范理论的语言简单而且可操作的情况下，使用引力理论的语言非常变得复杂而不可操作，反过去也一样，因此这两种描述实际上存在互补性。在这种意义上，人们认为全息原理对现代理论物理学的价值足以跟量子力学的波粒二象性思想并论相提。

黑洞熵的面积律之所以特别，是因为人们相信，一般无引力多粒子系统的熵是正比于系统所占据空间体积的。但是翻遍各种权威的统计物理教科书，譬如 Pathria, Landau&Lifshitz，Feynman, Kadar, 林宗涵，苏汝铿等等[2,3,4,5,6,7,8,9,10]，我们都没有找到对这一说法的任何严格论证。这种说法很可能来自某位量子引力研究领域的"领导人"在某次会议报告或公开讲座上的无心之说，以及大量追随者的自行补证，这些补证的目的都是为了通过一般无引力多体系统熵的体积律反衬黑洞熵的特殊性，从而为由黑洞熵面积律所激发的全息原理代表着理论物理学家对量子引力理论的最深刻洞见这样一种宣传提供支撑，由于这种支撑可有可无，所以即便它是错误的，也没有多少人真正在意并严肃论证过。然而，从教学角度，对一般热力学系统熵的尺度依赖性探讨，为我们展示统计力学从第一性原理出发理解宏观世界底层逻辑的工作特点提供了一个绝佳的机会；同时，我们将在本文中证明，一般热力学多粒子系统的熵跟它们所占据空间的体积几乎没有关系(严格说最多跟体积对数成正比，即便这种对数依赖，也因为体积跟温度的协同出现而存在非体积对数的解释)，所谓体积律完全就是一条传说中的乌龙，这条乌龙很可能造成了人们对黑洞熵面积律起源的错误解读。

为了让读者更准确地理解我们的观点，我们在这里将熵的体积律明确为这样一个说法：对一群给定的粒子，在固定总能量

和粒子数

的情况下，没有办法在保持系统内外总熵增少于

倍的情况下将它们从体积为

的空间转移到体积为

的空间，这是我们要批评的观点。而我们希望树立的观点是：对同样一群粒子，在固定总能量和粒子数的情况下，有办法在保持系统内外总熵增低至

倍的情况下将它们从体积为

的空间转移到体积为

的空间。对于以光子气体为内容物的黑体辐辐射来说，由于粒子数不是一个守恒量，“同一群粒子”也不是一个可定义的概念，所以实际上根本就不是讨论熵是否具有体积律特征的好例子。然而，由于引力/全息研究领域的同行们喜欢以光子气体为例在很多场合宣传熵的这种特征，我们也只好从光子气体出发对这种说法进行批评，但是从第3节开始，我们将把讨论放到一般性且拥有明确守恒粒子数定义的体系中去。

2. 体积律源于错误论证

尽管我们自己也曾经是“体积律”的信徒并跟着宣传了很多年，但在2017年之前我们确实没有认真地论证过这件事情，为了解基本事实，让我们来看看同行们是怎么论证的。文献[11]是这种论证的一个典型例子，分别在热力学和统计物理两种水平上提供了对这一说法的论证。

先看热力学水平的论证，以类似空腔中黑体辐射的有限体积理想玻色气体为例，第一步使用内能总量跟其密度的关系写下

第二步使用热力学第一定律

第三步，固定温度，将上式改写为偏微分方程形式

第四步，使用麦克斯韦关系

将上式右边第一项替换掉

第五步，使用电磁理论预言的光子气体能-压关系

，并利用第一步中写下的总能与密度关系

，由上式导出

第六步，对上述微分方程做积分，以

代表所需的积分常数

第七步，再一次回到热力学第一定律[3]，但这次将熵变写到左边

第八步，由第六步导出

如此“天龙八部”地论证下来，不知道读者印象如何，反正我们的感觉是，这种论证的逻辑性太差了。将其简化一下，可以认为从第一到第六步证明的是光子气体内能密度跟其温度的四次方成正比

, 第七步，由热力学第一定律移项导出

，从而由内能变化量和对外功的体积律导出熵变的体积律，这是难以接受的，因为这两项的体积律完全可能互相抵消从而导致熵变的体积无关律。从具体论证技术的角度看，在最后一步由(8)导出(9)时文献[11]忽略了一个未知的可加参数，而且那个参数可以是体积

的任意函数，即

我们完全不知道

和被保留的

到底哪一个更重要。即便排除这儿的全部技术缺陷，等式(9)也不能被认定为对熵体积律的证明，因为我们无法确定，在体积变化的情况下所考虑光子气体的温度是不是会相应地降低，从而保持熵为常数。总之，这些论证中的逻辑漏洞属于热力学本身，跟具体文献和作者没有关系，但既然是热力学本身的问题，我们就不能接受其结论，即一个热力学系统的熵正比于体积。我们在下一节还会对[9]式的不可接受性给出更为本质的解释。

基于统计力学的证明又如何呢？我们仍然以文献[11]的论证和理想玻色气体为例。第一步，从配分函数的定义出发

此处的求和对系统所有可能的状态进行，为让计算方便，将求和改为积分

此处

而

表示的是系统总能量介于

和

之间的所有可能状态数目，

通常被称为能态密度。

第二步，考虑囚禁在体积为

的立方体盒子中的光子气体，使用箱归一化条件，可以证明，系统的能态密度可写为

第三步，根据此能态密度表达式，计算系统的内能

第四步，考虑正则系综，使用光子气体自由能表达式

以及内能和自由能之间的关系

可导出自由能表达式

第五步，可以获得统计熵为

这就证明了玻色气体熵的体积律，而且文献[11]作者声称跟汪志诚先生教科书中使用配分函数得到的结果一致。

再一次，我们忍不住要抱怨，上面的证明仍然逻辑性很差。譬如，第一步那两个配分函数的定义和计算表达式(11)-(12)在后面四步的论证中丝毫没派上用场。显然，如果我们知道在这一步有哪些微观态需要被求和，哪里还需要后面那些复杂而成立条件微妙的计算和推导，因为根据

我们已经可以导出熵的表达式了啊。再譬如第三步的内能计算(14)完全可以在不知道配分函数概念和计算结果的前提下写下来并完成计算，事实上文献[11]既没有给出(12)式的计算结果，也没有在后面的证明中使用那种结果。第四步中从内能表达式到自由能表达式的推导同样不需要配分函数介入，因为(16)那个关系式就是自由能的热力学定义

的微分写法，如果非要说配分函数在这里有什么用处，那么唯一可接受的是，它证明了在热力学中将自由能定义为

有一定程度的合理性，对我们关心的问题来说，这种证明没有必要。第五步中

关系也来自热力学自由能定义

. 可以说这儿的整个证明完全就是披着配分函数外衣的热力学，跟统计力学没有关系，我们在上面已经论证过，热力学不可能告诉我们理想玻色气体的熵跟其体积成正比。事实上在第四步，从(16)导不出(17),而只能导出

其中

是

的任意函数，考虑到这一点之后，在最后由

求熵时，我们是不可能得到什么体积律的。

针对文献[11]声称计算结果(18)跟汪志诚先生教科书一致的说法，我们注意到:在一些经典教科书譬如[2,3,7,8,9,10]中，作者们在总是会在给出

的同时总是会给出系统中的平均光子数

，即系统的熵实际跟粒子数成正比，由于光子气体的化学势为零，其粒子数不是一个守恒量，光子的平均能即温度也不是守恒量，可以随系统体积增大而减小从而使得熵并不随体积变化而正比地变化。因此即便等式(18)是正确的，也不意味着熵的体积律。

3. 熵的体积无关性

我们的批评或者表述方式也许过于严厉了，但希望心态开放的读者仍然会对我们提出的问题本身感兴趣，即一般热力学系统的熵跟其体积是什么关系？如何证明？我们的答案是，一般多粒子系统的熵跟其所占据空间的体积几乎没有关系(最多对数依赖)，而是跟其粒子数成正比[12,13,14,15,16]，这一结论对于无引力系统和以黑洞为代表的引力系统同样适用，证明如下。

首先，必须指出，我们不可能通过热力学导出一个多粒子系统熵跟体积的关系，我们只能根据统计力学，真正地从第一性原理出发进行论证。我们将把证明分成三步。第一步，写下统计力学最原始最朴素的配分函数定义式

此处

是系统中的粒子总数，

是任意两个粒子之间的相互作用势，为避免重复计算这些势函数对系统总能量的贡献，我们已经在中括号内第二项的前面乘上了一个

因子. 显然我们不准备局限于什么光子气体，而是希望考虑一般非相对论性多粒子系统，向相对论性多粒子系统的推广是直接的，尽管可能会存在具体计算细节上的困难，但不会出现观念和最终结论上的差异。

第二步，为计算配分函数(20)，我们引入等效势的概念从而将哈密顿量(21)中的第二项作如下形式的改写

是一个对所有粒子都相同的函数。可以这么改写的依据是，在一个足够大的多粒子系统中，虽然由于跟边界板的相互作用导致边界附近粒子跟中心处粒子对系统总能量的贡献会有差异，但由于边界附近粒子不是系统能量的主要贡献者，因此我们将忽略这种差异，对所有粒子一视同仁，将每个粒子受到的来自其它粒子的相互作用势加在一起，用函数

表示叠加后的结果. 一旦完成了这一步，我们就可以将(20)式写为

此处引入了单粒子配分函数的定义，我们可以将其表达式显式地写出来

当我们所考虑的体系占据宏观尺寸的空间范围时, 等效势函数

的值跟粒子之间的距离反相关，粗略地写

，在固态材料中可以认为

; 因此单粒子配分函数(24)可以被近似地积出来

将此单粒子配分函数表达式代入(23)，我们将得到

第三步，将计算结果(26)代入熵的配分函数表达式，我们将得到

计算结果显然告诉我们，一般非相对论多粒子系统的熵跟其粒子数成正比，而跟其所占据空间的体积几乎没有关系。这个几乎没有关系指的是等效势

中最关键的

指数没有出现在熵函数表达式中，熵对体积的依赖只出现在对数函数的宗量中，即便这种表观的对数依赖，由于

协同出现，我们也将在后面的等式(38)的文字评述中解释，其本质并不是体积对数律，而是气体粒子量子态的平均激发数对数律。推广到相对论多粒子系统，我们只需要修改表达式(24)中单粒子动能项的表达式，修正后的动能表达式将不再是

的简单二次函数，因此该积分将无法被严格积出，但是这种技术性的困难根本不会影响最终结果中熵不会线性地依赖于系统所占据空间体积的结论，因为那个做不出的积分跟系统所占据空间的体积没有关系。而如果应用到光子气体，我们只需将(24)中的

替换为

,因而最终的熵表达式将会呈现出

的形式，同样只对系统所占空间体积存在对数形式的依赖，这是一种非常弱的依赖性，显然不是人们通常所说或者文献[11]所宣称的体积律。由于光子的化学势为零，光子数不是一个守恒量。当我们增大一团光子气体的空间体积时，单个光子的能量会以类似宇宙学红移即跟空间线度成反比的方式降低

，同时由于光子气体膨胀会不可避免地对外做功从而导致总能量按

降低，这两个因素联合作用将恰好使光子数为常数，

也为常数，根据(28)系统的熵将不会随着体积的变化而变化，即完全跟体积无关。

尽管上面的证明已经非常稳健，但为了增强读者对我们所宣称结论的信心和对熵代表系统无序度或微观状态多样性这一基本事实的直观感受，我们在下面以无相互作用多粒子系统微观态的估算为例，进一步论证一般多粒子系统的熵跟其粒子数成正比而跟其所占据空间体积几乎无关的结论，对有相互作用的多粒子系统，我们的结论不会被明显地修正。这种论证也将为我们在上一节最后一段所提“都知道哪些微观态对系统配分函数有贡献了，哪还必要通过配分函数去计算熵”的说法提供一个注脚。

让我们用

表示一个多粒子系统的微观态相空间，

表示系统的微观状态数

对于单个粒子来说,

此处

是系统内粒子在三个空间维度上运动的最大尺度，由于我们假设这些粒子彼此之间没有相互作用，因此它们的波函数就是一些最简单的驻波，在箱归一化条件下，

这里的

以及

表示系统中的基本粒子在相应空间维度上动量的极大值，这是我们在做统计描述时必须要引入的假设，即我们把什么东西作为基本对象，以及这些对象所遵循的基本动力学方程在多高能量/动量尺度上是可靠的。

是这些基本对象的动量上限，它跟系统的尺寸成反比，而

是相应基本对象的德布罗意波波数，跟系统的尺寸无关。将(32)-(33)代入(31)我们将得到

将此表达式代入(30)，我们将得到

由此可估算出系统的熵

在这里，需要提醒的是

本质上只对微正则系综实用。微正则系综由给定总能量

,粒子数

和空间体积

的各种可能系统构成。显然在那样的系统中，不可能每个粒子都处在自己相空间

中的能量极大点，因此表达式(37)对系统熵的估计应该比真实情况要高，真实情况应该将替换为系统中基本自由度的平均激发数对数

对比(27)，我们可以认为，基于这一原因我们更喜欢将(27)那种体积对数律称为体积无关性。理解熵的体积无关性的另一个极端思路是考虑类似Ising模型那样的假想系统，显然那种系统的熵只跟系统中基本自由度的数量以及它们是什么有关，而跟系统所占据空间的体积完全没有关系。虽然这是一个非常极端的例子，但确实是一个直击要害、透达灵魂的例子。

我们在上面对熵的体积无关性(对数律)的两种论证都基于统计力学的第一性原理，即配分函数的直接计算加求导或对系统微观状态的暴力计数，结论几乎不会被修改。关于这一结论，从量纲分析的角度也很容易理解，熵是一个无量纲量，体积是一个有量纲量，所以熵如果正比于体积，必需在理论中出现某个有体积量纲的基本参数才行，而且那个参数必然具有非常基本的含义，然而根据文献[11]的计算结果(9)或者(18)，那样一个参数为

这是一个玻色气体系统中体积的最小单位？或者气体粒子的平均自由程立方？这两种解释跟熵的本质很难扯上关系，原因是，熵是系统无序度或者可能量子态总数对数的度量，我们不能够根据系统中基本粒子的温度给每个粒子划定一个平均自由程量级的运动范围，然后将每个粒子所占据的平均空间体积定义为我们赖以工作的统计理论的基础。如果体积律是正确的，那么为一个热力学-统计系统的熵提供量纲的那个比例参数应该是一个基本物理量，应该指向我们所用的统计理论对基本自由度的定义或者选择，而不是由系统的温度来决定。

将文献[11]的论证(9)或者(18)跟我们的计算结果(27)或者(37)对比，读者应该可以体会，一个非引力多粒子系统的熵跟其所占据空间体积的关系非常弱，但是跟我们在做统计描述时，假设基本自由度携带者是什么以及它们的动量/能量上限是多少的关系却非常强，这两个要素都跟体系的微观态数量直接相关，是非常基本的元素，正是它们决定了体系无序度的上限，因而指向熵的第一性原理解释。举个例子，当对同一团理想气体使用统计描述时，选择其基本组成粒子是原子分子还是夸克胶子将对熵的数量产生直接正比的影响。

很显然，我们在本节对一般热力学系统的熵的体积无关性(对数律)的论证没有局限于粒子间相互作用的细节，因此它既适用于非引力相互作用控制的多粒子系统，同时也适用于引力相互作用控制的多粒子系统譬如黑洞，唯一需要注意的是，当我们试图用类似(20)那样的公式去理解和计算黑洞熵的时候，必须明确，在一个由引力控制的系统中，系统的基本自由度是什么？我们应该对什么对象的无序行为执行统计描述？

4. 粒子数正比律的物理意义

现在让我们回到引力系统和贝肯斯坦-霍金熵公式(1)，在这里，黑洞熵正比于其视界面的面积因而正比于其坐标体积的三分之二次幂

这里使用的视界面面积

, 而

定义为视界面内部空间的坐标体积，

定义为视界面内部空间的坐标半径，

都是黑洞几何尺寸的定性表示，这看起来跟我们在上面导出的一般多体系统的熵跟其体积近似无关(最多对数依赖)的结论产生了冲突。但事实是，这种冲突并不会真的发生，原因是，正如我们在上一节所说，在这里出现了一个具有面积或者体积或者长度量纲的基本参数，即

全息理论的鼓吹者认为，这个单位就是黑洞存储信息所借助对象的基本尺度，是一个跟黑洞大小-温度等参数无关的物理量，是量子引力理论在定义什么是一个黑洞热力学系统的基本自由度、我们应该对什么微观对象的无规则运动实施统计研究才能计算黑洞熵的时候必须引入的一个基本参数，它跟文献[11]所宣称的那种一般热力学系统的熵跟其体积成正比的错误说法扯不上关系，不能用来作为论证黑洞熵具有特殊性因而指向量子引力全息特征的论据。虽然全息原理可能是一个非常基本的原理，但它跟黑洞熵面积律之间的关系可能被误解了，而基于面积律导出的黑洞信息可能存储在其视界面上一些大小为

的单位面元之上的想法很可能就是一种错误。

按照一般多粒子系统熵的体积无关性-粒子数正比律

其中

是系统中基本自由度携带者的质量，这些基本自由度携带者是什么是当我们声称可以使用统计力学来计算一个多体系统的熵式必须明确回答的。譬如对于同样一团理想气体，当使用统计力学计算它们的熵时，我们必须明确设定，组成气体的基本粒子是什么？是原子分子还是原子分子中的夸克胶子，对这个前提的设定将显著地影响我们的计算结果。

在使用量子引力理论计算黑洞熵的时候同样必须明确回答这个问题，即黑洞微观自由度的携带者是什么？它们显然不可能是导致黑洞形成的那些标准模型粒子，因为如果是那些粒子的话，黑洞的熵将正比于其总质量

从而正比于其半径

而不是正比于其面积或者体积，即

这里的

是被认定为基本微观组成粒子的对象的质量平均值。因此，对于一个由引力主导内部相互作用的多粒子系统，熵的统计描述建基其上的必然是构成系统的标准模型粒子的某种集体运动模式。显然如果这种集体运动模式的质量正比于黑洞质量的负一次幂，我们完全就能够从体积无关性公式(42)导出面积律

与此形成鲜明对比的是，一般非引力多粒子系统基本自由度携带者的质量通常是一个跟系统总质量无关的基本参数，而是我们在做统计研究时所假设的原子或分子的质量，正是这一点让我们产生了一种表观的体积律印象

显然，这种体积律没有任何意义，它只不过是粒子数密度定义

的一个替代说法。

在量子引力研究领域有一种流行说法认为，黑洞熵的起源跟其内容物的运动没有关系，是一种纯粹的量子引力效应，面积律是这种效应全息特征的直接后果。换句话，这种说法认为我们可以脱离一个黑洞的物质内容谈论它的熵。然而我们在上面的论证表明，事实可能并非如此，黑洞熵面积律的特殊性指向的基本事实是，一个由引力主导内部相互作用的多体粒子系统，其基本自由度携带者的质量跟系统的总质量成反比，比例系数中包含普朗克质量，同时跟系统中每个携带者徳布罗意波波矢量平均值的对数相关

换句话说，决定系统熵的核心要素仍然是而且只是系统内容物的数量-平均能量，而不是什么纯引力的自由度，我们不能脱离一个黑洞的物质内容及其运动方式谈论它的熵。真实的情况可能正是这样，因为霍金辐射粒子的典型能量就是

只要我们承认霍金辐射是构成黑洞的那些物质粒子集体运动的状态变化所致，类似于普通原子辐射源于其内部电子运动状态变化所致，那么我们就不得不承认，黑洞熵起源于其内容物集体运动模式的多样性而非视界面几何的纯量子引力效应。

我们也许是引力研究领域内首个注意到贝肯斯坦-霍金熵公式所反映的那些引力系统中基本自由度携带者具有跟相应黑洞霍金温度同量级质量这一事实的研究者，并从中导出了黑洞熵的面积律公式(45),有兴趣的读者可以参考我们的论文[12,13,14,15,16]. 从弦理论的模糊球和我们自己提出的史瓦西模糊球图像以及黑洞的自发辐射理论均可导出这一结果，而那些通过黑洞熵的面积律公式将引力系统的基本自由度引向时空基本单位的量子引力理论很可能是人们在量子引力探索道路上选择的一条岔道。

5. 结论

我们在这篇论文中批评了一般热力学系统的熵具有体积律特征的说法，并使用完全统计力学的思想和逻辑简洁地证明，一般热力学系统的熵和其所占据空间的体积最多对数依赖，可以说几乎无关，但是跟系统中被选作基本对象接受统计描述的那些粒子或基本自由度携带者的数量成正比。我们强调熵跟体积之间的这种极弱相关性但粒子数正比律对非引力和引力系统同样适用，引力系统的特殊性仅仅在于其基本自由度并不由构成黑洞内容物的那些标准模型粒子或基本粒子携带，而是由那些粒子的集体运动模式携带，是那些集体运动模式的质量反比于黑洞质量因而数量正比于黑洞质量平方的事实导致了黑洞熵的面积律特征。

6. 开放评审意见

评审意见排列顺序按接收的先后。

赵柳：“熵的体积无关性和黑洞熵的面积律”明确提出了一种观点，认为宏观系统的熵不必与其体积保持正比关系，而是应该与粒子数成正比。据此，他们还讨论了黑洞熵的面积律所暗含的微观自由度的行为。本人完全赞同熵不必有体积律而是必须与粒子数成正比的观点。

在平衡态热力学中，熵是具有可加性的广延参量。可加性意味着当系统的规模倍增时，熵也会随之倍增。有一种广泛传播但却不知来源的误解，认为系统规模的倍增与体积的倍增具有相同的含义，这间接地导致了熵会正比于体积的说法。本人的看法是：在不明确指出比例系数的前提下，谈论熵与体积是否成正比实际上并没有多少科学意义。

事实上，“系统规模倍增”指的是在保持宏观系统给定平衡状态的前提下使得系统的微观自由度数或者所含的粒子数倍增。因此，熵的可加性应该明确被表述为宏观系统的熵与其所含有的粒子数成正比，比例系数仅与描绘系统平衡状态的参量有关。这里，“描绘平衡状态的参量”指的是热力学平衡条件所涉及的参量，即温度、压强和化学势。根据开放系的Gibbs-Duhem关系，这三者中只有两个是独立的状态参量。利用平衡态统计物理学方法对普通宏观物质系统所作的分析无不指向系统的熵与粒子数（或者粒子数的统计平均值）成正比的结果。以文中涉及的光子气体为例，对于在平直的3维欧几里得空间中处于平衡态的光子气体，统计物理学方法给出的熵

确实与体积成正比，比例系数中包含温度的立方。但很显然这一结果强烈依赖于空间本身的几何结构，而如果重新表述为

其中~

~为温度~

~下光子气体的粒子数统计平均值，则可发现熵正比于粒子数的统计平均值，且比例系数与任何其他宏观状态参量无关，是一个纯粹的数值常数。这两种正比性质相比，前者依赖于具体的状态参量，是有条件的，而后者不依赖于任何物理参量，是无条件的。显然，后者更能揭示熵的可加性的物理本质。将这一观点应用于黑洞问题，将可能揭示虽然黑洞熵表面上正比于视界面积，但更本质的特征仍然是熵正比于视界上所能容纳的微观自由度数。换言之，黑洞熵的面积律并不会破坏其可加性。

刘全慧：黑洞的热力学熵正比于黑洞视界的面积，而不是黑洞的体积。这个结论，并不妨碍建立一个黑洞热力学的检验理论，让熵正比于除了正比于黑洞视界的面积之外，也依赖于黑洞的体积，然后通过考察理论的自洽性、观测上的后果等等，研究熵依赖于体积的部分贡献。作者反过来推敲热力学中是否熵正比于体积的问题，并认为熵本质上正比于粒子数而非体积。可惜，文章的推理和结论都是错误的，特别是，结论“⼀般热⼒学系统的熵和其所占据空间的体积⽆关”是荒唐的。

下面就熵是否和体积无关这一问题，首先给出热力学中确立无疑的定论，然后给出针对论文给出若干看法。

在平衡态热力学中，熵是一个广延量。含义是：保持一个热力学系统强度量不变的前提下，广延量和体积成正比。这个事实的数学方程是，

，其中

为单位体积的熵，不再依赖体积

。这个性质可以简单表达成为“熵和体积成正比”。这个性质并非恒成立，例如小系统，具有长程相互作用的系统，等等，对这些系统，熵不再具有广延性。但是，本文关心的系统中熵是广延量。也就是，对于通常的平衡态热力学系统，熵有广延量性，这是熵的一个基本属性。

另外一个问题是，给定一个热力学函数，它的自变量如何选取？具体来说，对于熵，是否一定要选取体积作为自变量？答案是：不一定。国际上有两个大的派别，一个是Massieu定理的特性函数派，一个是由王竹溪提出的“三个基本热力学函数”派。Massieu定理认为，一个热力学系统的函数，只有写成自己的天然变量的函数的时候，这个热力学系统的性质可以完全确定。熵的天然变量是什么？对于单元系且没有任何约束的前提下，是内能，体积和粒子数的函数，或者说，熵是内能，体积和粒子数的一阶齐次函数。如果存在约束，例如粒子数固定，就只是内能和体积的函数；如果体积固定，就只是内能和粒子数的函数，等等。王竹溪的“三个基本热力学函数”认为，不必使用某一个特性函数，而是确定了三个基本热力学函数，也可以获得一个热力学系统的全部性质。在这个框架下，变量的选取有很大的任意性，但是熵依然是广延量。Massieu学派和王竹溪学派，在基础的角度上，有所区别；在实用的角度，却是完全等价的。因此，从热力学的角度，熵和体积无关的结论是错误的。

论文有太多的错误，包括原理上的错误和计算错误等等。原理性的错误例子：把多粒子之间的两体相互作用的和，用一个粒子的等效场来代替(Eq.（22）)。这已经偏离统计物理，而是平均场。计算的错误例如Eq.（10）后面的

应该是

=常数，其中F以

作为参量而不是函数，含义是：

的时候，熵为零(这里暗含了热力学第三定律)，

。因此，Eq.(9)是正确的，即光子场的熵正比于体积的这一结果，是正确的。

致谢

本研究工作受国家自然科学基金NSFC-11875082和北京工业大学2021分类发展经费006000514121541的支持。

作者简介

姓名：许天赐，男，北京工业大学2018级硕士生，在黑洞的二阶微扰问题上技术娴熟-概念清晰，对广义相对论中许多基本问题和概念的理解比作者见识过的许多研究人员更加准确而且深刻，是本文主要内容的首批倾听者，同时是word文档的编辑者。

姓名：曾定方，男，北京工业大学副教授，主要研究方向：String Theoy and M-theory, 物理教育。在本文中的贡献：是本文主要内容的贡献者和latex文档的撰写者。

评审人简介

姓名：赵柳，男，南开大学教授，经典及量子可积场论、无穷维量子代数及其表示理论、边界条件及相关物理问题以及引力场、宇宙学和超弦理论等。担任南开大学物理系本科生统计物理学课程教学工作多年。

姓名：刘全慧，长期坚持对量子物理和统计物理的研究，近年来的研究兴趣集中于物理的几何性，担任湖南大学物理系本科生统计物理学课程教学工作多年。

参考文献

【1】曾定方，``引力论和宇宙学导论'', 北京工业大学讲义.

【2】R. K. Pathria, P. D. Beale, ``Statistical Mechanics'', Academic Press; 4th edition (April 13, 2021), \S3.5, \S7.1-7.3, ISBN-13: 978-0081026922, ISBN-10: 0081026927.

【3】L. D. Landau, E. M. Lifshitz, ``Statistical Physics'', Butterworth-Heinemann; 3rd edition (January 15, 1980) \S42, \S63, ISBN-13: 978-0750633727, ISBN-10: 0750633727.

【4】L. P. Kadanoff, ``STATISTICAL PHYSICS: Statics, Dynamics and Renormalization'', \S9, World Scientific Publishing Company (May 5, 2000), ISBN-13: 978-9810237585, ISBN-10: 9810237588.

【5】R. P. Feynman, ``Statistical Mechanics'', \S1.7-1.9, CRC Press; 1st edition (March 9, 2018) ISBN-13: 978-0367320232 ISBN-10: 0367320231

【6】M. Kardar, ``Statistical Physics of Particles'', chapter 4, Cambridge University Press; 1st edition (June 25, 2007), ISBN-13: 978-0521873420 ISBN-10: 9780521873420

【7】北京大学统计物理教研室，章立源, 林宗涵, 包科达等 “量子统计物理学\S3.4”(第2版)，北京大学出版社,1987。

【8】苏汝铿, ``统计物理学\S4.11-12''(第2版), 高等教育出版社, 2013-11-25 ISBN编号：978-7-04-012968-7

【9】汪志诚, ``热力学.统计物理\S8.4''(第4版), 高等教育出版社, 2008-12-15 ISBN编号：978-7-04-022636-2.

【10】杨展如, ``量子统计物理学'', 高等教育出版社, 2007-01-01, ISBN编号：9787040198980

【11】陈玲，张保成. 统计熵一定正比于体积吗[J]. 物理与工程，2021，31（4）：41-44; CHEN L, ZHANG B C. Is the statistical entropy necessarily proportional to volume?[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（4）：41-44. (in Chinese)

【12】Ding-fang Zeng, ``Resolving the Schwarzschild singularity in both classic and quantum gravities'', {\em Nucl. Phys.} {\bf B917} 178-192, \href{http://arxiv.org/abs/arXiv:1606.06178}{arXiv: 1606.06178}.

【13】Ding-fang Zeng, ``Schwarzschild Fuzzball and Explicitly Unitary Hawking Radiations'', {\em Nucl. Phys.}{\bf B930} (2018) 533-544, \href{http://arxiv.org/abs/arXiv:1802.00675}{arXiv: 1802.00675}.

【14】Ding-fang Zeng, ``Information missing puzzle, where is hawking's error?'', {\em Nucl. Phys.}{\bf B941} (2018) 665, \href{http://arxiv.org/abs/arXiv:1804.06726}{arXiv: 1804.06726}.

【15】Ding-fang Zeng, ``Exact inner metric and microscopic state of AdS-Schwarzschild BHs'', {\em Nucl. Phys.}{\bf B954} (2020) 115001, \href{https://arxiv.org/abs/1812.06777}{arXiv: 1812.06777}.

【16】Ding-fang Zeng, ``Spontaneous Radiation of Black Holes'', {\em Nucl. Phys.}{\bf B977}, (2022) 115722, \href{https://arxiv.org/abs/2112.12531}{arXiv: 2112.12531}.

本文最初的纸质版发表于《物理与工程》杂志2022(04)32，而电子版在其2023.02.17微信公众号上推出。过了一年，作者对最初版本的部分表述及公众号排版效果不满意，故在此整理、修订并发表在本人公众号上，如果有希望转载的朋友，请联系《物理于工程》杂志社获取转载权限。

引文格式: 许天赐, 曾定方. 黑洞熵的面积律到底特殊在哪里[J]. 物理与工程, 2022, 32(4): 8-15, 63.

Cite this article: XU T C, Zeng D F. What's the special of black hole area law entropy[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(4): 8-15, 63. (in Chinese)

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