文明的烛火 | 李文林：中国古代数学发展的系统性及辉煌成就

编者按

为全面贯彻落实习近平总书记关于文化建设的系列重要论述，推动中华传统文化创造性转化、创新性发展，引导科技工作者树立科学文化自信、坚定创新自信，中国科协举办了“文明的烛火——中国古代科学文化探源系列论坛”活动。

我们将陆续整理发布演讲专家的发言，展示中国古代科学文化魅力。

演讲专家：李文林，中国科学院数学与系统科学研究院研究员，博士生导师。

孤立的结果是不能形成文化传统的。科学发展的系统性非常重要！

——李文林

中国古代数学的发展具有很强的系统性。围绕一个重要的主题，由低到高地发展，形成系统的体系，并创造出具有世界意义的数学成果。在这样的特征下，中国古代数学家从整数出发，在公元5世纪以前，已经根据数学运算的需要将数系扩展到了无理数，构建了在19世纪欧州数学家建立严密的实数概念之前始终是最先进的实数系统理论；在这样的特征下，中国古代数学家从简单明了的“出入相补原理”等少数原理出发，形成了独特的几何体系，并引导了魏晋南北朝赵爽、刘徽到祖冲之父子等人杰出的几何贡献；在这样的特征下，中国古代数学家创造了以解方程为中心的算法体系，并使中国的代数学在宋元时期走到了世界前列。

第一，数系扩展。整数在原始社会就产生了；分数刚开始在中国古代《周髀算经》中已有了概念以及运算法则，但还是以实际测量需要产生的。之后在《九章算术》中，基于除法运算过程中不能整除的矛盾而扩充引进了分数；《九章算术》“方程”章中，为了解决解方程过程中出现的小数减大数的矛盾，又明确引进了负数，并给出了运算法则——“正负术”；无理数则是由于开方运算的需要而扩充引进的：“开之不尽者，以面命之。”（《九章算术》“开方术”）

由此可见，在公元5世纪以前，中国数学家已经根据数学运算的需要将数系扩展到了无理数，而刘徽用十进小数逼近无理数的思想更是精彩卓著，在19世纪欧洲数学家建立严密的实数理论之前，可以说始终处于实数理论的前列。

值得注意的是，在中国古代数学概念的进化中，十进位值记数制扮演了关键的角色，尤其是无理数的表示。十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献，很难想象没有十进位值制，我们今天的数学会是什么样子。法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。而在各个文明中，最早创造十进位值制的国家就是中国。

在世界古老文明中，只有中国与印度使用了十进位值制。中国古代十进位值制出现很早，在春秋战国时代的刀币上已经出现筹算十进位值制记数符号。《孙子算经》中更是给出了具体明确的十进位值记数规则。中国古代数学家正是在严格遵循十进位值制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。

第二，几何体系。西方人认为中国没有几何，那中国古代有没有几何学？我国数学家吴文俊先生的回答是有，而且是一个不同于欧几里得的体系。从商高的勾股定理到赵爽的勾股弦方图（出入相补原理），再到刘徽的体积理论以及祖冲之父子的祖氏原理，其思想是很深刻的，它们反映了直至魏晋南北朝时代中国古典数学中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度。

第三，算法体系。算法体系是中国数学史上绵延时间最长、最强大博用的传统。（至迟）发自秦汉，至宋元臻于高峰，并形成了强大的算法体系。这里所说的算法，不只是单纯的计算，它们是为了解决一整类实际或科学问题（特别是解方程）而概括出来的、带一般性的计算方法与程序。

秦汉以来，中国数学家创造了一系列先进的算法（中国数学家称之为“术”）。从“孙子定理”到“中国剩余定理”，从“开方术”到“正负开方术”，从“方程术”到“四元术”……我国古代与中世纪中国数学家创造的算法，有许多即使按现代标准衡量也达到了很高的水平。这些算法所表达的数学真理，有的在欧洲要到18世纪以后依赖近代数学工具才能重新获得。可以说，我国古代与中世纪数学的算法传统与欧几里得几何的演绎风格迥然不同，却又相辅相成，在数学发展史上二者缺一不可。

从历史来看，数学的发展有两条发展路线，一条是希腊以欧几里得为代表的传统；另一条是以中国、印度为代表的东方数学传统，也影响到世界数学的发展，也就是说东方数学在文艺复兴之前通过阿拉伯地区传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。综上可见，孤立的结果是不能形成文化传统的。科学发展的系统性非常重要！

*此文根据李文林研究员在6月7日举行的文明的烛火——中国古代科学文化探源系列论坛活动上的公开讲座整理，文稿已经专家审核。

原标题：《文明的烛火 | 李文林：中国古代数学发展的系统性及辉煌成就》

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