推动现代数学发展的简单方程——椭圆曲线

原创 Quanta Magazine zzllrr小乐

《量子杂志》每周都会解释推动现代研究的最重要思想之一。本周，数学特约撰稿人Joseph Howlett分析了数学家最喜欢的标本之一：椭圆曲线。

作者：Joseph Howlett（量子杂志特约撰稿人）2025-1-21

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-1-23

当我问数学家为什么关心某个问题时，他们经常回答说，这个问题的难度刚刚好。有些数学问题他们已经完全理解了几个世纪，而有些问题他们甚至不知道如何开始回答。数学家更喜欢在这两者之间寻找问题来解答。

椭圆曲线恰好在于这两者之间。它们由形式为 y⊃2; = x⊃3; + Ax + B 的简单方程定义，其中 A 和 B 是有理数（可以写成分数的数字）。正是 x⊃3; 使椭圆曲线成为现代研究的完美目标：数学家几乎已经征服了 x⊃2;的方程，而 x⁴ 的方程仍然在很大程度上难以捉摸。

椭圆曲线的方程式可能看起来并不特别，但它的简单性掩盖了其艰难而深远的奥秘。只要学习椭圆曲线的基础知识，你就能穿越数学世界的几个领域，并触及一些最大的未解问题。

最新动态和值得关注的内容

椭圆曲线具有丰富的底层结构 https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-reveals-rational-points-on-curves-20210722/ 。每条曲线的解（绘制曲线时构成曲线的点集）形成所谓的群 https://www.quantamagazine.org/groups-underpin-modern-math-heres-how-they-work-20240906/ ，这意味着方程的解根据一组具体的规则相互关联。这也使椭圆曲线具有各种有趣的数学特性。

数学家试图通过研究椭圆曲线的“秩”（rank）来理解其结构。“秩”这个数字本质上衡量了一条曲线有多少个独立的解族。大多数椭圆曲线的秩为 0 或 1（每种情况大约为一半 https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-infinite-curves-come-in-two-types-20181107/ ）。但在极少数情况下，椭圆曲线的秩可能更高。数学家一直在尝试构造这样的曲线—— 目前的记录是去年刚刚发现的一条秩为 29 的椭圆曲线 https://www.quantamagazine.org/new-elliptic-curve-breaks-18-year-old-record-20241111/ 。关于秩是否能达到最高上限，仍存在争议 https://www.quantamagazine.org/without-a-proof-mathematicians-wonder-how-much-evidence-is-enough-20181031/ 。

由于朗兰兹纲领的存在，椭圆曲线已成为通往遥远数学领域的大门。正如我在之前的新闻通讯中所解释的那样 https://www.linkedin.com/pulse/grand-unified-theory-mathematics-quanta-magazine-wgv7e/ ，这个数学的“大统一理论”涉及建立不同子领域对象之间的对应关系 （参阅 ）。

这种对应关系最引人注目的例子是，每条椭圆曲线都可以与一个唯一的模形式（一种特殊的函数 https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/ ）相关联。这种联系最终使安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles，1953 -）在1994年证明了费马大定理 https://youtu.be/_bJeKUosqoY ，这是数论中的一个重要命题。从那时起，椭圆曲线在朗兰兹纲领中发挥着更大的作用。https://www.quantamagazine.org/elliptic-curves-yield-their-secrets-in-a-new-number-system-20230706/

费马大定理并不是唯一一个与椭圆曲线有关的大问题。事实上，它们也有实际应用——特别是在现代密码学中。最广泛使用的加密类型之一就是基于椭圆曲线的底层结构。密码学家也一直在转向椭圆曲线，试图规避实现高级量子计算之后可能出现的加密末日。https://www.quantamagazine.org/post-quantum-cryptography-scheme-is-cracked-on-a-laptop-20220824/

数学家们仍在探索与这些方程相关的新谜团。去年，量子杂志报道了数学家们在分析椭圆曲线及其性质的庞大数据库时偶然发现的奇怪数值模式。他们后来将这些模式称为“椋鸟群飞”（murmuration）——因为它们在绘图时与成群的椋鸟形成的弧形相似 https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/ （参阅 ） 。

椭圆曲线是一个简单的方程，但意义深远，它占据了数学大厦的中心大厅，门和通道连接到最远的角落。对于想要了解现代数学的读者来说，这是一个完美的入门方式。

网络上的资料

LMFDB（L-functions and modular forms database，L-函数和模形式数据库）合作组织维护着一个庞大的椭圆曲线数据库。点击此处可随意获取一个 https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/random ，以及得到你可能想知道的所有信息。研究人员于2022年在此数据库中首次发现了“椋鸟群飞”。

退休程序员迈克尔·德里斯科尔（Michael Driscoll）对椭圆曲线的群结构及其在密码学中的应用进行了出色的可视化。https://curves.xargs.org

克罗地亚萨格勒布大学的数学家Andrej Dujella在他的网站上记录了高秩椭圆曲线的历史记录。https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/rankhist.html 看看这些年来取得的进展，你就能自己判断这个记录是否会永远保持下去。

参考资料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4865954

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-reveals-rational-points-on-curves-20210722/

https://www.quantamagazine.org/groups-underpin-modern-math-heres-how-they-work-20240906/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-infinite-curves-come-in-two-types-20181107/

https://www.quantamagazine.org/new-elliptic-curve-breaks-18-year-old-record-20241111/

https://www.quantamagazine.org/without-a-proof-mathematicians-wonder-how-much-evidence-is-enough-20181031/

https://www.linkedin.com/pulse/grand-unified-theory-mathematics-quanta-magazine-wgv7e/

https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/

https://youtu.be/_bJeKUosqoY

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curves-yield-their-secrets-in-a-new-number-system-20230706/

https://www.quantamagazine.org/post-quantum-cryptography-scheme-is-cracked-on-a-laptop-20220824/

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/

https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/random

https://curves.xargs.org

https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/rankhist.html