欣赏模形式，数学的“第五种基本运算”

原创 Quanta Magazine zzllrr小乐

模形式是数学中最美丽、最神秘的对象之一。它们是什么？

本文所有复变函数图源：Samuel Jinglian Li

https://samuelj.li/complex-function-plotter/

作者：Jordana Cepelewicz（量子杂志数学编辑）2023-9-21

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-1-24

“数学中有五种基本运算，”据德国数学家马丁·艾希勒（Martin Eichler，1912 - 1992）曾经说过。“加法、减法、乘法、除法和模形式。”

当然，构成这个冷笑话的原因是，其中一种运算与其他运算有所不同。模形式（modular form）是更加复杂和神秘的函数，学生们通常直到研究生阶段才会遇到它们。但“可能没有哪个数学领域比其应用更少，”德国波恩马克斯·普朗克数学研究所的数学家Don Zagier（唐·扎吉尔，1951 -）说。每周都有新的论文将它们的应用范围扩展到数论、几何、组合学、拓扑学、密码学以及甚至弦理论。

它们通常被描述为满足如此引人注目且复杂的对称性以至于似乎不可能存在的函数。与这些对称性相关的性质使模形式具有巨大的力量。这就是它们在1994年费马大定理里程碑式证明中成为关键角色的原因。这也是它们在最近关于球体堆积的研究中占据核心地位的原因。现在，它们对于被称为朗兰兹纲领的“数学大统一理论”（参阅 ）的持续发展至关重要。

但什么是模形式呢？

无限对称性

为了理解模形式，首先思考更熟悉的对称性是有帮助的。

一般来说，当一个形状经过某种变换后保持不变时，我们称它具有对称性。

例如：反射（reflection）、旋转（rotation）、平移（translation）

图源：Merrill Sherman|Quanta

一个函数也可以表现出对称性。考虑由方程 f(x)=x⊃2; 定义的抛物线。它满足一种对称性：可以沿y轴反射。例如，f(3)=f(−3)=9 。更一般地，如果你将任何输入x 改成 −x ，那么函数x⊃2;输出的值相同。

无穷多个函数满足这种对称性。这里只列出了几个：

f(x)=x⊃2;

f(x)=|x|f(x)=cos x图源：Merrill Sherman|Quanta

最后这个例子是三角函数中的余弦函数。它具有反射对称性，但还有其他对称性。如果你将x以2π的整数倍进行平移，函数总是返回相同的值——这意味着有无限多种变换可以使函数保持不变。

图源：Merrill Sherman|Quanta

这种额外的对称性使得像余弦（cosine）这样的函数变得极其有用。“基础物理学的很大一部分都是从理解三角函数的全面影响开始的，”弗吉尼亚大学的数学家Ken Ono说。

“模形式有点像三角函数，但更有力更极端，”他补充道。它们满足无限多个“隐藏”的对称性。

复数宇宙

函数在以实数（real number，可以表示为传统十进制小数的数值）定义时所能做到的很有限。因此，数学家们经常转向复数（complex number，可以将其视为一些实数对）。任何复数都可以用两个值来描述——一个“实”（real）部分和一个“虚”（imaginary）部分，后者是实数乘以-1 的平方根（数学家将其写作i）。

任何复数都可以表示为二维平面上的一个点。

它们可被视为一些实数对，通常用两种方式来表示：笛卡尔平面坐标（Cartesian）、极坐标（polar）。

图源：Merrill Sherman|Quanta

复（变）函数的可视化很困难，因此数学家们经常借用颜色。例如，你可以将复平面着色，使其看起来像彩虹轮。每个点的颜色对应于其在极坐标中的角度。正中心直接向右的点（即角度为0度），呈现红色。在90度的点（即直向上），被着色为明亮的绿色。以此类推。最后，等高线标记大小或幅度的变化，就像地形图上一样。

复变函数 f(z)=z 被描绘成彩虹轮的彩色

它可以作为参考来展示其他函数

你现在可以用这个作为参考图来表示复变函数。平面上一个点的位置代表输入，你根据参考图为该点分配颜色。例如，考虑函数 f(z)=z⊃2;。当z=1+i时，f(z)=2i ，因为(1+i)⊃2;=2i。由于2i在参考图上被涂成亮绿色，在你的新图上，你将把点1+i涂成亮绿色。

这个复函数 f(z)=z⊃2; 的图像通过使用参考图像 f(z) = z 选择的颜色来显示输出

该图用完颜色两次，因为复数平方会加倍其角度。它还有更多的等高线，因为输出的增长速度更快。

更普遍地，当你将任何点沿中心（或原点）翻转时，图形看起来是相同的。

这是复值函数的一种对称性。模形式展现出令人眼花缭乱的这种对称性。但理解那些颜色和等高线所代表的实际函数可能很困难。

基本域

为了做到这一点，尝试简化我们看待这些复变函数的方式很有帮助。

由于模形式对称性，你只需基于位于称为基本域（fundamental domain）的平面区域的一小部分输入即可计算整个函数。这个区域看起来像是从水平轴向上延伸的一条带状区域，其底部被切去一个半圆形孔。

如果你知道函数在那里有怎样的行为，你将知道它在其他地方会怎么样。

怎样做：

特殊变换将复平面上的一小部分，称为基本域，复制到无限多个其他区域。由于模形式是用这些变换定义的，如果你知道它在基本域中的行为，你就可以轻松地推断出它在其他任何地方的行为。

两种变换将基本域复制到左右两侧，以及沿水平轴的一系列不断缩小的半圆。这些复制填充了整个复平面的上半部分。

模形式以一种非常特殊的方式将副本相互关联。这就是它的对称性进入图景所在。

如果你可以通过第一种变换（通过向左或向右移动一个单位）从一个副本中的一个点移动到另一个副本中的点，那么模形式会给这两个点赋相同的值。就像余弦函数的值以2π的区间重复一样，模形式以一个单位的区间为周期。

同时，你可以通过第二种变换类型从一份副本中的一个点移到另一份中的一个点——通过在以原点为中心、半径为1的圆的边界上反射。在这种情况下，模形式并不一定将这些点赋相同的值。然而，这两个点的值以规律的方式相互关联，这也产生了对称性。

你可以通过无限多种方式组合这些变换，这为你提供了无限多个模形式必须满足的对称条件。

“这听起来不一定很有趣，”达特茅斯学院的数学家约翰·沃伊特（John Voight）说。“我的意思是，把上半平面切割并给各个地方标上数字——谁在乎呢？”

“但是它们非常基础，”他补充道。而且事必有因。

受控空间

在1920年代和30年代，德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke，1887 - 1947）围绕模形式发展了一种更深入的理论。关键的是，他意识到它们存在于某些空间中——具有特定维度和其他性质的空间。他找到了如何具体描述这些空间的方法，并利用它们将不同的模形式联系起来。

这一认识推动了20世纪和21世纪大量数学的发展。

要理解这一点，首先考虑一个古老的问题：有多少种方法可以将一个给定的整数表示为四个平方数的和？例如，只有一种方法可以表示零，而表示1有八种方法，表示2有24种方法，表示3有32种方法。为了研究这个数列——1，8，24，32等等——数学家将其编码在一个无限和中，称为生成函数（generating function）：

1+8q+24q⊃2;+32q⊃3;+24q⁴+48q⁵+…

没有必然的方法来确定，比如说 q⊃1;⁷⁴ 的系数应该是多少——这正是他们试图解决的问题。但是通过将数列转换为生成函数，数学家可以应用微积分和其他领域的工具来推断有关它的信息。例如，他们或许能够找到一种方法来近似任何系数的值。

但是结果表明，如果生成函数是一种模形式，你可以做得更好：你可以得到每个系数的精确公式。

“如果你知道它是一个模形式，那么你就知道了一切，”德国达姆施塔特工业大学的Jan Bruinier说。

这是因为模形式的无穷多种对称性不仅看起来很美——“它们非常具有约束力，”范德堡大学的Larry Rolen说，它们可以变成“一种自动证明事物之间同余（congruence）和恒等（identity）的工具。”

数学家和物理学家经常将感兴趣的问题编码在生成函数中。他们可能想要计算特殊曲线上的点数，或者某些物理系统中的状态数。“如果我们幸运的话，那它就是一个模形式，”德国比勒费尔德大学的数学家克劳迪娅·阿尔费斯-纽曼（Claudia Alfes-Neumann）说。这可能是非常难以证明的，但如果你能证明，那么“模形式理论非常丰富，它为你提供了大量研究这些[级数]系数的可能性。”

积木

任何模形式看起来都非常复杂。其中一些最简单的——它们被用作其他模形式的构建块——被称为艾森斯坦级数（Eisenstein series）。

你可以将Eisenstein级数视为函数的无限和。为了确定这些函数中的每一个，使用无限二维网格上的点：

艾森斯坦级数是最简单的模形式（它仍然很复杂）。它被定义为更简单的函数的无限和。从一个无限的网格开始（去掉原点）。在每个网格点(m，n)处定义一个函数f(z)=(m+nz)⁻⁴ 。网格上四个点的函数是这样的。

在点(0,1)处，f(z)=z⁻⁴

在点(1,1)处，f(z)=(1+z)⁻⁴

在点(1,-1)处，f(z)=(1-z)⁻⁴

在点(1,0)处，f(z)=1

为了得到一个权重为4的艾森斯坦级数，将网格上每一点的函数加在一起。

图源：Merrill Sherman|Quanta

当你将关联于原点附近四个点的函数相加时，可以看到如何开始出现独特的对称性。

上述四个简单函数之和，显示在复平面的上半部分

如果你将网格的无限多个函数的完全和相加，你将得到一个被认为是写下来最简单的模形式的爱森斯坦级数。这些模式反映了该形式的定义对称性——左右无限重复，并且在接近水平轴的地方以更复杂的方式变换。

完全Eisenstein级数是无限多个函数的和

游戏继续

模形式的研究导致了数学上的大量成果。例如，最近关于球体堆积（sphere packing）的研究，乌克兰数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska，1984 -）去年因此获得了菲尔兹奖（参阅 ），这项研究使用了模形式。“当我看到这一点时，我相当惊讶，”布鲁尼耶（Bruinier）说。“但不知何故它奏效了。”

模形式最终被证明与一个称为“魔群”（monster group， https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/ ）的重要代数对象相关联。它们被用来构建称为扩展图（expander graph， https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-that-expander-graphs-synchronize-20230724/ ）的特殊网络，这些网络出现在计算机科学、通信理论和其他应用中。它们使得研究弦理论和量子物理中粒子相互作用的潜在模型成为可能。

模形式的应用

模形式在数学中以令人惊讶的方式出现。它们在数论、几何学、组合学、拓扑学、密码学甚至弦理论方面都取得了重要的成果。

费马大定理（费马最后定理FLT）

FLT是说，当n>2时，不存在非零整数a、b、c，满足此方程：aⁿ+bⁿ=cⁿ

通过使用模形式获得矛盾，从而证明FLT是正确的：

假设当n>2时确实存在一个解，然后使用该解构造一个椭圆曲线。

Andrew Wiles（安德鲁·怀尔斯，1954 -）证明，这样的曲线总是可以与模形式相关联。

但在这种情况下，模形式并不可能存在，这意味着没有解，即FLT必须为真。

弦理论与量子物理

数学家和物理学家已经使用模形式来研究被称为共形场理论的粒子相互作用模型，并发现新的模型。

球体堆积

堆积n维球体的最优（最密集）方式是什么？在二维和三维中，答案是这样的：

在大多数更高维度中，我们不知道答案。但在8维和24维中，我们知道答案--在这两种情况下，模形式提供了答案。

有限群与“魔群月光”（Monstrous moonshine）

一个称为j-不变的模形式可以写成:

q⁻⊃1; + 744 + 196884q + 21493760q⊃2; + ⋯

它的每个系数都编码关于“魔群”（monster group）性质的信息，这是一个由超过10⁵⊃3;个元素组成的重要且庞大的代数对象。

除了这些之外，模形式还被用于:

发展朗兰兹纲领，一个连接几何和数论的中心研究领域。深入研究诸如格（lattice）和椭圆曲线等数学对象，这些对象出现在密码学、纠错码和其他应用中。证明组合恒等式，例如将整数写为平方和（例如，5=2⊃2;+1⊃2;）的方法数。构建重要类型的网络，称为扩展图（expander graph），这些网络出现在计算机科学、通信理论和其他领域。帮助证明关于L-函数（著名的黎曼ζ函数的推广）的结果。解释为什么e^{π√163}几乎是一个整数。

也许最著名的是，1994年费马大定理的证明依赖于模形式。这个定理被广泛认为是数论中最重要的问题之一，它表明不存在三个非零整数a、b和c满足方程 aⁿ+bⁿ=cⁿ，其中n是一个大于2的整数。数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles，1953 -）通过假设相反的情况——即方程存在解——然后使用模形式来证明这样的假设必然导致矛盾，从而证明了该定理的真实性。

首先，他使用他假设的解构造了一个称为椭圆曲线（elliptic curve）的数学对象。然后，他证明了你可以始终将一个唯一的模形式与这样的曲线相关联。然而，模形式理论指出，在这种情况下，这样的模形式不可能存在。“这太完美了，不可能是真的，”沃伊特说。这意味着，反过来，假设的解不可能存在——从而证实了费马大定理。

这样做不仅解决了这个长达几个世纪的难题；还加深了对椭圆曲线的理解，椭圆曲线直接研究可能比较困难（在密码学和纠错码中起着重要作用）。

该证明还照亮了几何与数论之间的桥梁。这座桥梁后来被扩展为朗兰兹纲领（Langlands program，参阅 ），这是两个领域之间更广泛的联系——也是当代数学中一项主要研究工作的主题。模形式也在其他领域得到了推广，它们潜在的应用刚刚开始被认识到。

它们在数学和物理学中到处出现，有时相当神秘。“我查阅了一篇关于黑洞的论文，”多伦多大学的Steve Kudla说，“我发现了一些我认识的模形式，但我不知道为什么它们会在那里。”

“不知何故，”他补充道，“模形式刻画了世界上一些最基本的对称性。”

参考资料

https://www.quantamagazine.org/behold-modular-forms-the-fifth-fundamental-operation-of-math-20230921/

小乐数学科普：苦觅已久的数学证明解开了更多神秘的“模形式”——译自Quanta Magazine

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-shows-that-expander-graphs-synchronize-20230724/

https://samuelj.li/complex-function-plotter/