“数学大赛中国队全军覆没”，别忽略背后的“勤能补拙”陷阱

从1999到2015年，一共17届IMO（国际奥林匹克数学竞赛），中国只丢了3次第一名。

而从2015年开始，中国已经连续连续4届丢掉第一名。

很多人因此怪罪于“禁奥令”，认为教育部禁止奥数培训以及禁止将奥数和升学挂钩是罪魁祸首。

但我觉得恰好相反，正是广泛、密集的奥数培训以及和升学挂钩的奥数福利，造成中国在IMO以及同等水平赛事上逐渐失去优势。

用一个非常简化的模型来刻画这个过程。

想象一个人的数学成绩由以下两部分构成，y=a·f(t)+∈，其中 y 是数学成绩，a 是一个人的天赋，t 是一个人学习数学的时间，∈ 表示一个随机误差。天赋越高、学习数学的时间越长，数学成绩一般来说会越好，当然也会存在一定的风险。

但是 f(t) 并不是一个线性函数，随着学习时间不断增长，他的边际增加也会降低，不失一般性，假设这个学习过程是一个对数函数：f(t)=㏑(t)

不难发现，要达到一定的学习成绩，天赋和学习时间是一个相互替代的关系。

如果小明的天赋是小刚的两倍，那小刚的学习时间就得达到小明的平方，两者的成绩才会打平。

在一个普通难度的数学竞赛上，小明学习了2个小时，小刚就得学4个小时，两者打平。

在一个中等难度的数学竞赛上，小明学习了3个小时，小刚就得学9个小时，不吃不睡，还是能打平。

而在一个超高难度的数学竞赛上，小明学习了5小时，此时小刚就是不吃不睡一天24小时都学数学，也赶不上小明了。

所以，在越困难的比赛上，天赋所起到的作用越重要。作为IMO这样级别的竞赛，当然是应该首先选出天赋最强的选手，再对其进行长期训练，才能够获得好成绩。

那么问题来了，应该如何选出天赋最强的选手呢？

我们自然没法看到每个人的学习时间，但是我们能看到每个人的数学成绩。如果我们按照成绩在一定水平上划一条线，在这条线上的，可以进入下一个阶段的奥数训练，并获得一个奖励（保送、加分），那么在这样的制度下，我们会选出什么样的选手来？

PISA数据给了我们一个机会去研究这个问题。PISA是一个对每个国家15岁学生的学力调查。

2015年时，PISA询问了每一个被调查学生的每周数学学习时间，并且对他们进行数学测试，得出了一个全球可比的标准化考试成绩。

我们使用PISA数据，对中国和美国的数学学习时间和考试成绩之间做了一个分位数回归。这个结果可以告诉我们对于不同成绩的学生来说，数学学习时间和数学考试成绩之间有什么样的相关性。

用直觉想一想，肯定是一个正的关系吧？毕竟学习时间越长，考试成绩肯定越好。比如美国：

上图是美国的例子，其中每星期学习数学的时间和数学成绩之间的关系见右半图。

可以看到，这是一条先上升，再下降，最后又重新出现上升的倒U型曲线。

1，对于那些数学成绩最差（见同等分位点的左图，大约在PISA标准测试300分）的人来说，每星期多学习1分钟数学，他们的成绩会增加0.07左右。

2，对于那些数学成绩中等（PISA标准测试450分）的人来说，每星期多学习1分钟数学，他们的成绩会增加0.13左右。

3，对于那些数学成绩中等偏上（PISA标准测试不到600分）的人来说，每星期多学习1分钟数学，他们的成绩会增加0.08左右。

4，对于那些数学成绩最好（PISA标准测试超过600分）的人来说，每星期多学习1分钟数学，他们的成绩会增加0.1左右。

因此，当你看到一个15岁的美国学生每星期数学多学了一分钟，你可以放心地预判，他的数学成绩总是会更高一些。

但学习时间和学习成绩之间的关系并没有那么简单，出现美国这样的标准情况，其前提是数学天赋和学习时间之间不存在明显相关性。当数学天赋和他学习数学的时间有一定的相关性，数学考试成绩和学习时间的关系就不确定了。

举一个例子，假如一个班级的学生虽然天赋参差不齐，但他们对数学的态度都是【必须学到95分才行】，那么我们会看到天赋比较低的人会花更多的时间在数学学习上才能考到95，而天赋高的人可以少花时间或者基本不用花时间。此时学习时间和数学天赋之间有一个负的相关性，而数学学习时间和考试成绩毫无关系（大家的考试成绩都是95分）。

我把这种情况称为【勤能补拙的陷阱】。

而这个【勤能补拙的陷阱】，正出现在中国：

中国和美国的两张图相比，有非常大的信息量：

1，美国处于前5%分位点的学生和中国处于前30%分位点的学生相比，标准测试的成绩是一样的，都是584分。

2，中国学生每多学习一分钟数学，增加的学习成绩要比美国低，无论在什么分位点上都是如此。

3，从60%的水平（大约560分）开始，每多学习一分钟数学的中国同学，增加的学习成绩开始不显著异于零，并从84%开始逐渐低于零。在这个阶段，中国陷入【勤能补拙陷阱】。

5，从95%的水平开始，每多学习一分钟数学的中国同学，增加的学习成绩显著为负。说明在这个区间里，天赋和学习时间成反比的程度更大，已经到了【勤不能补拙】的程度了。学渣学得再多，也要逐渐赶不上学霸了。

想象一下，如果我们在中国和美国中学生里面的前5%的水平上划一条线，说这批人能够适合更高一级的数学竞赛并且加以训练，会有什么结果？

1，美国选出来的学生，虽然他们的数学成绩只有600出头，但是他们确实选出了天赋最高的5%学生，因为从美国的图来看，天赋和学习时间可能并不存在什么相关性，成绩的前5%，差不多就是天赋的前5%。

2，中国选出来的学生，他们的数学成绩达到了700，远高于美国的同等百分位。但是他们是否也是天赋最高的5%学生呢？这就很难说了。因为在95%的百分位以上，中国学生的数学学习时间和数学成绩之间的关系是负的，这意味着有一批天赋并不在前5%的学生，通过和天赋成反比的大量训练，挤出了天赋处在前5%的学生。

如果每一个阶段的选拔，都漏掉了一批真正有天赋的学生，纳入了一批【勤能补拙】的同学，那么在更高一级水平的赛事上，这批【勤能补拙】的学生，可能就会暴露出自己的短板——别忘了，学习时间的边际效益是递减的，在最高级的赛事上，首先必须得有天赋，其次才是足够的训练。

那么，中国和美国为什么会有这样的差异呢？或者说，为什么中学生会在数学的学习时间上出现这样的【扭曲】？

我们首先可以想一个企业的例子。一个企业，用同一种资源生产很多种价格相等商品，那么他的资源分配最后达到的一个均衡，会让每一个产品的投入和产出的回报率相等。

但如果这个企业反常地投入一种商品的生产，可能会是什么原因？

1，这种商品的投入资源价格事实上比其他商品更低。

2，这种商品的出售价格事实上比其他商品更高。

换到中国的例子上，就是这样的：

1，中国的奥数参与更普遍，将学生将学习时间投入奥数，比起投入到其他科目上更能让人接受。

2，中国每一个级别的奥数和其他奖励挂钩的程度更大。小学的大量赛事，小升初、初中的大量赛事，每一个赛事的成功都和推荐、自荐等升学福利相关。

这两个背景，使得奥数对中国学生的吸引力更大，对那些以升学为目的的学生来说，他们可能知道自己的天赋并不一定适合学习数学竞赛，但是他们也愿意为之拼搏，用增加学习时间的方式来一个逆袭。

而美国的情况就很简单了，不适合数学竞赛的人，绝不会去在数学上去多花一分钟。天赋一般的学生通过【勤能补拙】超过高天赋学生，这样的神话是基本不存在的，这使得美国在选拔的时候能够轻松地挑选出天赋最强的人选，对这批学生再进行长期高强度训练，反而会让美国在平均成绩远不如中国的情况下，在最高级别赛事上超过中国。

但话说回来，虽然在IMO等竞赛结果上看，美国可能在这几年强于中国。但是中国的全民参与，美国的掐尖培训，这两种模式真的就能通过几次比赛分出高下吗？

别忘了，美国的PISA数学平均成绩是469，排名全球42；而中国四省（北京上海广东江苏）的平均成绩是547，排名在新加坡、香港特别行政区、澳门特别行政区之后，位列全球第4名。

全民奥数、【勤能补拙】的陷阱虽然会让中国在高级别赛事的选拔上吃亏，但他对学生整体数学水平的提升，其作用也许会在更远的将来体现出来。