格拉纳达阿尔罕布拉宫数学入门

原创 EMS Magazine zzllrr小乐

每位造访西班牙格拉纳达阿尔罕布拉宫（Alhambra of Granada）的游客，都会被纳斯里德王朝宫殿中遍布地板、天花板、窗户、门和墙壁的几何装饰之美所深深吸引。

本文旨在从现代视角，简要介绍当时工匠和艺术家可能运用的数学秘密。我们将回顾一些纳斯里德（Nasrid）王朝的装饰元素、玫瑰花饰以及平面晶体群（plane crystallographic group）的实现。

图源：EMS Magazine 135期封面图（pajarita，折纸鸟，回旋镖模样的黄色图案）

作者：Miguel Ortega（西班牙格拉纳达大学副教授）2025-5-12

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-5-14

1. 简介

穆罕默德一世·伊本·艾哈迈尔（Muhammad I ibn al-Ahmar，1195-1273），又名阿尔哈迈尔（Alhamar），于1238年建立了纳斯里德王朝，在今西班牙南部建立了格拉纳达王国。格拉纳达成为伊比利亚半岛唯一幸存的伊斯兰王国，而哈恩（Jaén）、科尔多瓦（Córdoba）和塞维利亚（Seville）等其他伊斯兰王国则被卡斯蒂利亚（Castile）国王斐迪南三世（Ferdinand III）率领的军队击败。事实上，阿尔哈迈尔成为了斐迪南三世的藩属，确保格拉纳达酋长国继续存在250年。

格拉纳达所有与这段时期相关的事物都被自然而然地称为“纳斯里德”（Nasrid）。国王阿尔哈迈尔首先下令在山顶建造一座堡垒。在接下来的两个世纪里，纳斯里德王朝将这座最初的城堡扩建成一个由塔楼、城墙、花园和宫殿组成的建筑群，被称为阿尔罕布拉宫（Alhambra）。纳斯里德王朝的工匠和艺术家们对许多地方进行了精美的装饰，取得了令人惊叹的成就。事实上，阿尔罕布拉博物馆的一些办公室收藏着数千件藏品，从单块瓷砖到完整的装饰瓷砖密铺。

与现代科技相比，纳斯里德王朝的工匠和艺术家们运用简陋的工具，并发挥出丰富的创造力，用石膏和瓷砖创作出极其精美的装饰品。从数学角度来看，他们运用了深厚的欧几里得几何学知识，以及对平面四种刚性运动——平移、旋转、反射和滑移（或滑移反射）——的直观理解。

我们将重点介绍纳斯里德王朝的装饰元素、玫瑰花饰以及晶体群的例子。此外，我们还会提供一些关于如何构建它们的提示。不过，读者需要注意，我们无法深入探讨细节。你可以参考各种书籍，它们总结了众多作者的无数心血。我们仅列举其中几个。拉斐尔·佩雷斯-戈麦斯（Rafael Pérez-Gómez）的贡献非常重要，例如[7]和[1]。

此外，三位中学教师弗朗西斯科·费尔南德斯 (Francisco Fernández)、华金·瓦尔德拉马 (Joaquín Valderrama) 和安东尼奥·费尔南德斯 (Antonio Fernández) 撰写了这本书[3]，仅用471页就概括了他们毕生致力于向学生展示阿尔罕布拉宫众多数学秘密的任务。

此外，曼努埃尔·马丁内斯·贝拉（Manuel Martínez Vela）的书[5]可以被视为一本介绍阿尔罕布拉宫绘画的入门教科书，共226页，作者在书中逐步讲解了如何绘制那里最著名的瓷砖图案。同一位作者还出版了[4]是第二个项目，规模更大，目标相同，但篇幅达608页。本文中的大部分插图均基于Manuel Martínez Vela的书籍。

2. 纳斯里德王朝的装饰元素

图1 桃金娘庭院（Court of the Myrtles）的墙壁上挂满了鸟（pajarita，该西班牙语单词是折纸鸟、领结的意思，根据图案形状，译者取鸟之意，与原文作者取领结bow-tie之意不一致，zzllrr小乐译注）

CC BY 4.0

我们可以合理地断言，阿尔罕布拉宫中所有几何装饰结构均基于正方形、等边三角形或正方形与矩形混合的格子结构。在以下小节中，我们将从众多典型的纳斯里德王朝装饰元素中，选取三种进行探讨。

2.1 纳斯里德王朝鸟（pajarita）

这是阿尔罕布拉宫的标志。事实上，在格拉纳达附近的一些村庄，典型的“欢迎来到……”广告语中，会用三只或更多的纳斯里德王朝鸟来装饰。例如，在桃金娘庭院里，有几面墙上就挂满了鸟。参见图1。为了绘制它们，我们先用相同半径的圆组成一个格子。最后，我们选择合适的圆弧。参见图2。

图2 绘制一只鸟（pajarita）的步骤

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2.2 骨头

这种图案可以在纳斯里德王朝宫殿的主要房间之一——大使厅找到。绘制它的一种方法是先用正方形组成一个格子，然后选择正确的边。骨头凸起部分的制作只需正确画出正方形的对角线即可。参见图3和图4。

图3 大使会议厅的墙壁

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图4 构建纳斯里德骨头的步骤

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2.3 飞机

大使厅入口处的两面墙上，各有两个装饰精美的壁龛，称为“tacas”。壁龛内，你可以看到黑白相间的图案，称为“飞机”，如图5所示。

图5 大使厅内黑白“飞机”的密铺

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我们先画一个正八边形。然后，我们把边延伸到相交，并画出一些对角线。接下来，我们标记出所需的边。我们稍后会回到这个例子。参见图6。

图6 一个有延伸的边和一些对角线的正八边形，还有一架黑色“飞机”

CC BY 4.0

3. 玫瑰花饰（Rosette）

其核心思想是绘制一个图形，围绕一个固定点（中心）旋转有限次，然后返回到原始位置。一条过中心的反射轴也是可行的。在阿尔罕布拉宫，几乎随处可见玫瑰花饰，它们被用来装饰墙壁、窗户、假窗、天花板、门等等。

定义3.1 设Iso(ℝ⊃2;)为欧氏平面的（仿射）等距群。一个玫瑰花饰（rosette）是一个平面图形F，其对称群

G = {f∈Iso(ℝ⊃2;): f(F)=F}

是有限的，有至少两个元素。莱昂纳多（Leonardo）群是Iso(ℝ⊃2;)的有限子群，至少有两个元素。

注意，恒等映射是任何平面图形（无论其形状如何）的等距变换（isometry）。这就是为什么我们假设至少存在另一个等距变换。

图7 阿本塞拉赫斯（Abencerrajes）房间的天花板

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定理 3.2

唯一可能的Leonardo（莱昂纳多）群是（同构于）以下之一：

（1） 以中心为O，角度2π/n旋转生成的循环群（cyclic group），其中n∈ℕ, n≥2。

（2） 以中心为O，角度2π/n旋转生成的二面体群（dihedral group），其中n∈ℕ，n≥2 ，以及有对称轴过中心O的反射。

我们将自然数n称为玫瑰花饰的阶（order）。这样，玫瑰花饰只有两种类型：循环玫瑰花饰和二面体玫瑰花饰。循环玫瑰花饰只能进行旋转，而二面体玫瑰花饰既可以进行旋转，又可以对称反射。我们在图7，8，9，10和11中展示了一些示例。

图8 梅克苏尔宫（Mexuar）的玫瑰花饰

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图9 大使室

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图10 帕塔尔（Partal，上上图）和狮庭（Court of the Lions，上图）

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图11 两姊妹房间

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3.1 正九边形的不可思议的情况

众所周知，正九边形无法用尺规作图。然而，在纳斯里德王朝的宫殿中，可以找到九阶玫瑰花饰的例子。我们在图13，15，14，16中展示了四个例子。

在个人电脑广泛普及之前，建筑师和绘图员使用两种直角三角形，称为三角板（set squares），通常有两种类型：第一种有两个π/4的角，第二种有两个角分别为π/3和π/6。根据Diego López de Arenas在1613年至1619年间撰写的书，阿拉伯工匠也使用直角三角形进行设计，参见[6]和[1]。

实际上，直角三角形有两大族类型，分别是卡塔骨三角形（cartabones）和阿塔佩菲尔三角形（ataperfiles）。每种卡塔骨三角形都有相对应的阿塔佩菲尔三角形，其较小角是卡塔骨三角形较小角的一半。利用它们，可以将平角分成几个相等的角，即等分为4、5、6、7、8、9、10、12、14、16、18和20个，参见[1]。

图12 用卡塔骨将一个平角分成五个相等的角

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图13 9阶玫瑰花饰，木质天花板

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图14 9阶玫瑰花饰，假窗，桃金娘庭院

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图15 9阶玫瑰花饰，阿本塞拉赫斯（Abencerrajes）房间

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图16 9阶玫瑰花饰，达拉克萨（Daraxa）观察点

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我们知道，根据可构造正多边形的分类定理，用尺规在数学上不可能求出这样的角。然而，我们应该记得，在20世纪，只要允许足够小的误差，就可以制作出量角器，将一个平角分成180等份。如今，在21世纪，一些软件用户可以设置绘图的精度。

我们注意到Manuel Martínez Vela在[4，第366–371页]获得了一种构建九阶玫瑰花饰的方法，其误差仅为0.2度，这是一个非常出色的成就。

令人惊奇的是，纳斯里德王朝的工匠能够以中世纪的先进技术高精度地制作出所有这些卡塔骨和阿塔佩菲尔三角形。

4. 晶体学群

定义 4.1 一个平面晶体群是ℝ⊃2;的仿射等距变换的离散子群，其平移子群由两个线性独立的最小平移生成。

定理 4.2 晶体学限制

令 rθ,c :ℝ⊃2; → ℝ⊃2; 为以角度θ∈(0,2π) 和中心 c∈ℝ⊃2;的旋转。如果 rθ,c 是平面晶体群的一个元素，则存在 m∈{2,3,4,6} 使得 rθ,c ∘ …m… ∘r θ,c =Id（恒等映射）。

作为群元素，rθ,c 的阶只能是 m=2,3,4或6。点c称为m阶的旋转中心 。注意，最小旋转角只能是π (m=2) 、 2π/3 (m=3) 、 π/2 (m=4) 或 π/3 (m=6) 。为了便于说明，我们现在引入略有改动的康威记号[2]。在书[2]中，滑行反射被称为“奇迹”（miracles），但我们避免使用这个词。

o ：仅平移。

* ：沿轴反射。

× ：滑动反射（按轴和平移向量）。

*n ：当n个不同的反射轴相交于一点时，该点称为旋转点（rotation point）。

*np ：当n个反射轴在一点相交，并且p个反射轴在另一点相交时。

m ：不处于任何反射轴中的m阶旋转中心，称为回转点（gyration point）。

根据晶体学限制定理，总有n,m,p∈{2,3,4,6} 。使用此记号，我们完全通过其生成元来确定一个群。为了简化记号，我们舍弃了平移。一个合适的描述称为签名（signature）。

例子

** 两个平行的反射轴。

*× 一个反射轴和一个滑动反射，其轴与第一个轴平行。

2*22 首先，蓝色的2代表2阶的回转点（gyration point）。接下来，红色的*22表示在某一点有两个反射轴，但还有另一对轴在另一个点相交。

632 一个6阶回转点，另一个3阶回转点，最后一个是2阶回转点。在这种情况下没有反射轴。

2222 四个不同的2阶回转点。

定理 4.3（平面晶体学群的分类）

按照等距变换，有17种不同的平面晶体学群，通过它们的签名描述：o, **, *×, ××, 2222, *2222, 2*22, 22×, 22*, 333, *333, 3*3, 442, *442, 4*2, 632, *632。

有些作者抱怨，有时绘画、瓷砖或石膏装饰图案的尺寸不够大，不足以被视为平面晶体群的一个例子或实现。然而，本文展示的所有例子中，各种瓷砖或石膏艺术品的尺寸，其核心思想都存在。也就是说，即使给定的实现或构造并非完美的晶体群，我还是愿意相信，这些天才们确实只是偶然或幸运地在不知情的情况下找到了所有可能的组合。

以下图17到图33，我提供了康威记号、基本解释和地点。说实话，最后一个例子（图33）在我们的列表中有点复杂。这个例子的具体位置尚不清楚。根据[1，第500页]，有一件原始的六角形陶瓷，登记号为1295。

图17 (1) ×× – 平行轴的滑动反射。绘画作品，酒门

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图18 (2) 22× – 一个滑行点和两个2阶回转点。天花板，酒门

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图19 (3) 3*3 – 一个3阶回转点，三条轴交于一点。绘画，酒门

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图20 (4) ** – 平行反射轴。柱子，黄金庭院

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图21 (5) 22* – 两个2阶回转点和一条反射轴。喷泉，金色庭院

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图22 (6) o – 仅平移。桃金娘庭院

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图23 (7) 回想一下图5。2*22 – 一个2阶回转点，以及垂直的反射轴。大使厅

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图24 (8) *× – 一条反射轴和轴与之平行的滑动反射。大使厅

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图25 (9) *442 – 四条反射轴相交于一点。船的房间

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图26 (10) *632 – 六条反射轴相交于一点。桃金娘庭院

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图27 (11) *333 – 三点是三条反射轴的交点。狮庭

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图28 (12) *2222 – 四个点是两正交反射轴的交点。国王厅

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图29 (13) 632 – 6、3和2阶的回转点。国王大厅

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图30 (14) 442 – 4阶（两个）和2阶的回转点。国王大厅

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图31 (15) 4*2 – 一个4阶回转点，以及2个相交于一点的反射轴。婴儿塔

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图32 (16) 2222 – 四个2阶回转点。赫内拉利费宫（Generalife），伊斯玛仪一世（Ismail I）塔

图33 (17) 333 – 三个3阶回转点。绘图的结构和六边形的形状只能导致这个333例子。

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5. 几句感谢的话

当作者还是格拉纳达大学一名年轻的助理教授时，拉斐尔·佩雷斯·戈麦斯（Rafael Pérez Gómez）教授和塞费里诺·鲁伊斯·加里多（Ceferino Ruiz Garrido）教授将作者带入了阿尔罕布拉宫奇妙的数学世界。考虑到“2000世界数学年”的到来，佩雷斯·戈麦斯教授安排了一次首次数学访问，作者也作为一位笨手笨脚的数学导游参与其中。从那时起，作者一直在向学生讲授这门学科，并在面向公众的讲座中推广它。

最后，作者要感谢阿尔罕布拉宫和赫内拉利费宫的赞助人，尤其要感谢博物馆基金会的西尔维娅·佩雷斯·洛佩兹（Silvia Pérez López）的好心。如果没有她的帮助，学生埃洛拉·普拉多斯·拉亚（Elora Prados Raya）就不可能制作出关于阿尔罕布拉宫晶体群的视频（https://www.youtube.com/watch?v=wl4h0Wot6cY ）。

注记：所有照片均由Miguel Ortega或Raquel Máiquez Sáez拍摄。所有绘图均由Miguel Ortega绘制。

基金资助。M. Ortega获得了西班牙MICINN和ERDF项目PID2020-116126GB-I00的部分资助。

作者简介：

米格尔·奥尔特加（Miguel Ortega）1995年毕业于格拉纳达大学数学专业。他在西班牙韦尔瓦大学工作了一个学年，直到1998年9月，他获得日本的研究资助并于1998年10月搬到冈山。他于 1999年3月在格拉纳达获得博士学位，然后留在日本岛根大学直到1999年9月。1999年10月，他开始在格拉纳达担任助理教授，现任副教授。

参考资料

https://euromathsoc.org/magazine/articles/246

https://www.youtube.com/watch?v=wl4h0Wot6cY

小乐数学科普：解密非周期单瓦片——克雷格·卡普兰（Craig Kaplan）访谈

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