1ᵏ+2ᵏ+ ⋯ + nᵏ =

原创 朱慧坚、丁玖 返朴

这里我们介绍一种基于分部积分法的处理方法，不仅能获得连续自然数幂次的一般求和公式，还能附带证明一个有趣的猜想。说不定读完本文后，聪明的你也会灵感迸发，开辟一个与众不同的新解法。

撰文 | 朱慧坚（玉林师范学院数学与统计学院副教授）、丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

读者朋友看到本文标题，或许会不以为意地发笑一声：这还不简单，不就是

等等吗？您甚至可能还要说下去：上面第一个公式连小学一年级的学生都会求；“数学王子”高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）在年幼时就巧妙地俘获了第二个等式；至少在我们读大学一年级期间，学到函数y=x2在区间[0, 1]上的定积分

时，老师在演示用某种特殊的黎曼和的极限计算

值的过程中，就告诉过听课的学生上述第三个公式。这个方法是由古希腊大数学家阿基米德（Archimedes，c.287 – c. 212 BC）首创的。

对，您说的大致不错，如果再去查一查微积分教科书，或许还可以继续看到公式

等等，等等。但是，如果有人请教您1100+2100+⋯+n100等于什么，您能马上告诉他相应的公式，或指导他如何下手吗？更进一步地，在仔细察看了上面的六个代数恒等式后，您可能会突然发现，平方和表达式n(n+1)(2n+1)/6恰好是四次方和表达式的一个因子，立方和[n(n+1)]2/4恰好是五次方和的一个因子。这时，您肯定在纳闷这仅仅是巧合，还是说对六次和七次幂，甚至更高次幂的求和公式也都是如此。好吧，我们再瞧一瞧接下来的三个公式：

结果发现同样的模式依然存在。这似乎是个有意义的观察，勾起我们的好奇心：对一般的正奇数k>1或正偶数k，从1到n的连续自然数k次幂之和的表达式是否分别具有上面所说的因子？

在全世界流传百年之久的传奇故事是这样说的：高斯年幼时，他的老师为了整治班内淘气学童，要求学生计算1+2+⋯+99+100。聪明的小高斯将其反方向写成100+99+⋯+2+1，再与原式上下对齐，纵向相加，加出了100个同一个数，该数乘以100再除以2，便在片刻之间算出答案

这个数学传奇激励着天下俊杰对各种形式的自然数群体相加、相乘寻觅规律，破解谜团。作为一个佳例，从古到今不知有多少人热衷于发明新的方法，回答本文标题所提的数学问题。为了建立一个既封闭又悦眼的求和公式，所涉及到的数学工具实在是五彩缤纷，思路和技巧各种各样，又“条条大道通罗马”，显示出不同数学分支之间的密切相关性。在这些手段中，有的是基于组合数学的生成函数概念，有的是运用线性差分方程的理论，也有的甚至借用了初等微分学里的洛必达法则。几何中最有名的勾股定理据说已有约五百种证明，但我们还不清楚现在有多少种办法能够导出自然数同幂次求和的表达式。说不定读完本文后，有个聪明而好奇心极强的读者会滋生灵感，磨砺出一把新斧头，开辟一个与众不同的解法。这里，我们介绍一种基于分部积分法的处理方法，它历史悠久，不仅能获得连续自然数幂次的一般求和公式，而且还能证明上述关于和式因子结构的猜想为真。它来自于数值积分中一个著名求和公式对单项式函数的巧妙应用，曾被作者用于证明同事提出过的上述猜想，那时作者正为大学高年级学生和研究生开设一门数值分析课程，恰好在课堂上讲授到那个积分近似公式。

欧拉-麦克劳林求和公式

初等微积分里有关于不定积分和定积分的分部积分法，对于定积分，它指的是如下的等式：

为叙述简单起见，假定两个函数u(x)和v(x)在区间[a, b]上都具有连续的导函数。在（1）中，表达式

意指函数值u(b)v(b)和u(a)v(a)之差，即

= u(b)v(b)-u(a)v(a)。

学过初等微积分的读者都知道，不定积分的分部积分法就是函数导数的乘积法则

[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

通过移项写成等价形式u(x)v'(x)=[u(x)v(x)]'-u'(x)v(x)后，用不定积分的数学语言

∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx

而重新表述的。这和将陈述句“老布什总统是小布什总统的父亲”等价地写成“小布什总统是老布什总统的儿子”是同一个道理。至于定积分的分部积分法（1），它就是将上述不定积分的分部积分法同微积分的最重要定理——微积分学基本定理

； F(x)是f(x)的一个原函数，即在区间[a, b]上恒有F'(x)=f(x)相结合后的自然产物。

在定积分的计算中，如果被积函数可以写成乘积u(x)v'(x)的形式，并且上面（1）式右端的定积分值相较左端可以更容易地计算出来，那么此时的分部积分法算是用对了，这是定积分计算技巧中的通常思路。比如，要计算出定积分

，如果令u(x)=x及v'(x)=sinx，则u'(x)=1，并且sinx的一个原函数是v(x)=-cosx。然后，（1）式给出

上式右端的定积分是根据强大的微积分学基本定理赋值的：因为众所周知cosx的一个原函数为sinx，故该基本定理直接给出

。反之，如果不恰当地选择u(x)=sinx及v'(x)=x，则u'(x)=cosx且

。这时，同一个公式（1）引来的仅仅是下面的等式

这就与计算初衷南辕北辙，因为等式右边定积分中的被积函数看上去更加复杂，无法直接知道它的原函数是什么。这充分说明，在运用分部积分法之前，一定要聪明地选对公式（1）左端中的这两个因子函数u(x)和v'(x)。为了本文要讲述的主题，我们先请读者注意，在（1）式中，v(x)只需是v'(x)的一个原函数，因为根据微分学基本定理（即教科书里通常所称的拉格朗日中值定理），同一个连续函数的所有原函数之间只相差某个常数，因此该v(x)的选用有一个自由度，这给下面构造“欧拉-麦克劳林求和公式”提供了极大的方便。

现在，我们就“聪明地”选择分部积分法中的u(x)和v'(x)，并反复运用（1）式，建立一种逼近定积分的数值积分方法——欧拉-麦克劳林求和公式。设想f(x)是一个光滑函数，意思是它直到某一个所需阶数的所有导函数在定义域上都是逐点连续的，其定义域为闭区间[0, n]。我们的目的是要近似计算定积分

。作为推导过程的主要步骤，我们先让n=1。

令p0(x)=1。将定积分

写成（1）式左边的形式

，其中我们如此选取一次多项式p1(x)=x+C中的积分常数C，以期满足额外条件

。这样，

注意1/2是区间[0, 1]的中点，且p1(x)是x-1/2的奇函数。运用一次分部积分法（1），并将上面p1(x)的表达式代入，便有

同理，将上述等式右端的定积分写成

的形式，其中选取二次多项式p2(x)=∫p1(x)dx=(x-1/2)2/2+C中的积分常数C，以期满足条件

=0。简单的计算给出

这时，p2(x)成了x-1/2的偶函数，此外还有p2(1)=p2(0)=1/12。再用一次公式（1），并将上面p2(x)的表达式代入，便知

将上面的等式替换进前面一个等式里，我们就得到如下计算定积分

的一个公式：

换言之，如果函数f(x)是二阶连续可微的，则其定积分可以被化为它的二阶导函数f''(x)和二次函数p2(x)乘积的定积分，尽管比起原先的定积分，这后一个定积分看上去更加复杂些，因为被积函数多了一个二次多项式的因子。然而，如果我们略微耐心一点，很快就会发现事实上这是一个聪明之举。

性急的读者或许从上式右端第二项的结构预测：它后面的积分可以继续用分部积分法展开，写成类似于它和第三项之和的形式，其中p2(0)=1/12改为另一个数p3(0)，函数f(x)在x=0和x=1两点的一阶导数值分别升格为二阶导数值，其后的定积分中函数f(x)的二阶导函数和p2(x)的乘积则进化成f(x)的三阶导函数和p3(x)的乘积。您的思路当然是正确的，但我们最好还是从容不迫地再做一次分部积分法，或许能看到使人愉悦的新情况呢。好了，现在让我们求出三次多项式p3(x)=∫p2(x)dx=(x-1/2)3/6-(x-1/2)/24+C中的积分常数C，以满足条件

。简单的积分计算给出

注意这时x-1/2的奇函数p3(x)满足p3(1)=p3(0)=0，故有

对上式再来一次分部积分法，其中所需的p4(x)满足条件

及

，因此

从而x-1/2的偶函数p4(x)满足p4(1)=p4(0)=-1/720。综上所述，我们就获得了如下的等式：

上述公式通过平移变换就可推广成计算定积分

的一个实用公式。

对任一非负整数i，设f(x)为定义在区间[i, i+1]上的一个光滑函数，则它与平移函数x=t+i的复合函数g(t)=f(t+i)是[0, 1]上的光滑函数。将（2）式用于函数g(t)，结果就是

现在令光滑函数f(x)的定义域为[0, n]。对上面的等式求和，其中i=0, 1, …, n-1，再经过化简，我们便得到如下的一个等式

其中

。

遵循同样的思想，将上式中的函数f(x)在x=0和x=n的三阶导数值提高到任意奇数2m-1阶的导数值，我们便获得下列的一般性公式：

其中

。公式（3）就是数值积分领域里著名的欧拉-麦克劳林求和公式。等式的左端是对定积分

用步长为1的梯形法则得到的近似，等式右端的第二项则提供了某种数值“矫正”。注意到若被积函数的2m阶导函数恒为0，则等式右边最末端的误差项E2m就消失了。众所周知，多项式就是具有这个性质的好函数，该性质使得（3）是建立前n个自然数同幂次求和公式的一个理想工具。

历史上，欧拉-麦克劳林求和公式于1732年由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）发现，但未及时发表。1736年他与苏格兰数学家斯特林（James Sterling，1692-1770）通信时得知苏格兰数学家麦克劳林（Colin Maclaurin，1698-1746）对此获得更一般的结果后，放弃了自己的优先权。两人各自的公式分别发表于1738年和1742年。后人将此用途广泛的等式以他们的名字命名。公式推导中引进的这一族多项式p1(x),p2(x), …被标准化后，与比他们更早半个世纪的瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）发生了联系，而与后者名字也分不开的一列数字则对本文的主题贡献良多。

瑞士巴塞尔的伯努利家族声名显赫，学者云集，一门三代出了八位数学家。雅各布·伯努利是第一代中的“大哥”，他探索过的众多数学对象包括无穷级数和一类后来冠以他姓的微分方程，概率论中的大数定律是他的一大杰作，而银行家们最感兴趣的连续复利问题由他解决，导致绝对常数e=2.7128⋯的出世（代表此数的通用字母e则来自于欧拉）。

雅各布·伯努利为自己设计的墓碑也蕴含了数学巧思，他希望在墓碑上刻一条数学意义丰富的对数螺线，根据雅各布本人的解释，这根自相似螺线“可以象征逆境中的坚韧和恒心，也可以象征人体在经历所有变化甚至死后，也能恢复到精确完美的状态。”可惜在他去世后，或许是雕刻墓碑的工匠误解了指示，错误刻下了不相干的阿基米德螺线。

雅各布·伯努利的墓碑，螺线周围的拉丁文Eadem mutata resurgo意为“纵使变化，依然故我”｜Wikipedia

雅各布的二弟约翰（Johann Bernoulli，1667-1748）微积分本领超越常人，常与大哥争强好胜，如比赛求解“最速降线问题”，甚至也曾向牛顿叫板，结果是后者提速了变分学的发展。约翰不仅培养和提携了少年欧拉，而且伯努利家族在他这一支涌现出的数学家最多。雅各布的大弟尼古拉斯是个画家，其子尼古拉斯一世（Nicolaus I Bernoulli,1687-1759）在伯父的教导下成长为数学家，对微分方程等学科多有建树。约翰的儿子丹尼尔（Daniel Bernoulli，1700-1782）对概率论有开创性研究，也是欧拉的同事和亲密战友。在伯努利家族中，上述几位是我们在大学教科书中见过面的杰出代表。第三代中的数学家约翰三世（Johann III Bernoulli，1744-1807）则是个多才多艺的罕见神童。

伯努利多项式与伯努利数

上一节中出现的一列多项式{pn(x)}起始于零次多项式p0(x)=1。由它起步的所有后继多项式都通过下述两个性质被唯一地确定：对n=1, 2, …，

后面将要用到的伯努利多项式与上述多项式只相差一个常数因子。

对所有的非负整数n，伯努利多项式由βn(x)=n!pn(x)定义。在pn(x)的前面乘上阶乘数n!，是为了使多项式βn(x)中最高项xn的系数为1，故所有的伯努利多项式都是首一多项式。

由pn(x)的定义可知，伯努利多项式满足两个等式

由上一节中给出的p0(x)直到p4(x)表达式，它们各自所对应的伯努利多项式分别为：

从上面可以看出伯努利多项式的一般模式：当n为偶数时，βn(x)为x-1/2的偶函数，并且当n≥1时有

；当n为奇数时，βn(x)为x-1/2的奇函数，且βn(1/2)=0。此外βn(0)=βn(1)对所有n≠1都成立，而且当n为大于1的奇数时，βn(0)=βn(1)=0。

伯努利多项式中的常数项βn(0)在本文中最有用，它们被称为伯努利数，记作

根据上一段中的最后一句，当n>1为奇数时Bn=0。最前的两个伯努利数是B0=1和B1=-1/2，后面的几个偶数下标的伯努利数为

显见它们是正负交错的。

现在我们用数学归纳法证明出伯努利多项式在标准的单项式基底下的一般表示形式。

引理1. n阶伯努利多项式具有表达式

其中

是从n件物品中拿出i个东西放成一堆所有可能的组合个数。

证明.直接验证可知（4）式当n=0, 1, 2时成立。现设当n=k时（4）式为真，则当n=k+1时，根据微积分学基本定理和等式

，以及归纳假设，有

上面推导中的倒数第三个等式来自于求和下标从i到i+1的平移变换。这就证明了（4）式对n=k+1也为真。证毕。

注1.因为

，（4）式也可写为

。

作为引理1的直接推论，我们有关于伯努利数的如下关系：

对所有的自然数n>1，伯努利数Bn满足递推关系

证明.由于βn(0)=βn(1)对大于1的n都满足，故有

注2.因为（5）式两边都有同一项Bn，它的等价形式是

像一切有名的数那样，伯努利数也可以另法定义，其中普鲁士数论学家萨尔舒茨（Louis Saalschütz，1835-1913）于1893年列出的显式公式

在表达上仅需加减乘除，在视觉上最直接明了。在大学教科书中，伯努利数则常常被定义为实解析函数x/(ex-1)的麦克劳林幂级数展式中各项xn/n!之系数：

更“高级”的定义涉及到著名的黎曼-zeta函数

：

从上式可以推导出偶数下标伯努利数的一个显式表示

由此公式以及zeta函数的性质，就可以严格证明所有偶数下标的伯努利数的符号是正负相间的，即对任意正整数m都有B2mB2m+2<0，如同本节前面我们从B2到B12所看到的那样。

伯努利多项式还有一个在下一节里要用到的性质，我们也将它写成引理形式，并同引理1一样通过数学归纳法证之。

引理2. 伯努利多项式满足恒等式

证明.直接计算可知上式对n=0, 1, 2是对头的。设当n=k时（6）式为真。令h(x)=βk+1(x+1)-βk+1(x)，则

由归纳假设，我们得到微分恒等式h'(x)≡(k+1)kxk-1，两边直接积分后有h(x)≡(k+1)xk+C，而初始值条件h(0)=βk+1(1)-βk+1(0)=0则保证了积分常数C=0，这就证明了（6）式对n=k+1也成立。因此引理2得证。

计算1k+2k+⋯+nk

我们现在回到欧拉-麦克劳林求和公式，希望将它用于单项式函数f(x)=xk，其中k为一自然数。先试验一下k=4这个特殊情形，让自己热一热身，然后考虑一般情形，获取一个普适公式。由于f(x)=x4的五阶及以上导函数恒等于0，这时在欧拉-麦克劳林求和公式（3）中取m=3，得

从而有

它包含了12+22+⋯+n2的和

作为一个因子。

现在考虑最一般的情形。假设m为一固定正整数。注意到正整数k无论为一奇数2m+1还是偶数2m，都有f(2m+2)(x)=0，故欧拉-麦克劳林求和公式（3）直接给出

因而，

这样就得出了前n个自然数k次幂的一个用偶数下标伯努利数表达的求和公式。

为了下一节的需要，我们需要对上式稍加变形，使得表达式更加美观实用，并能帮助解决一个小猜想。首先将下标为奇数的伯努利数也插进上面最后一行的求和记号Σ中，并利用事实B1=-1/2并且B2j+1=0对j≥1成立。这样，

如果我们将B1=-1/2改为它的相反数，且将字母B换写成花体

=1/2，而保持其他的伯努利数不变但另记成花体

，则（7）式进一步简化成如下形式的漂亮公式

等式（8）传统上称为福尔哈伯公式（Faulhaber's formula），虽然更合理的名称应该是伯努利公式。我们还是固守原先的伯努利数B1，对（8）式中的求和下标s做变量替换t=k-s+1，以获得另一个等价公式和某个定积分表达式。显见，当老下标s从0递增到k时，新下标t从k+1递减到1，因而（8）式转变成

由前面引理1中伯努利多项式的表达式（4）知道，

，加上引理2中的恒等式（6）推出

，故最终有

这就给出了1k+2k+⋯+nk对任何正整数k都成立的最简洁表达式（10）。读者可见，微积分之美就浓缩在表达自然数幂和这最后的定积分中！

（7）-（10）中的任何一个式子都回答了本文标题的提问，它给出了自然数从1到n的k次幂求和的一个显式公式，这个表达式是n的k+1次多项式，其系数中的因子包含了伯努利数和组合数。

数学推导上我们休息片刻，轻松愉快地回顾一下这个公式出现之前的千年数学史。在两千年前的古希腊，毕达哥拉斯（Pythagoras，c. 572–c. 497 BC）、阿基米德等人就知道怎样求出前n个自然数的和、平方和甚至立方和。在东方，一千五百年前的印度学者阿耶波多（Aryabhata，476–550）和一千年前的波斯数学家卡拉吉（Al-Karaji，c. 953–c. 1029）及伊斯兰黄金时代的学者伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham，c. 965–c. 1040）等也考虑过这些和式。中国古代数学家对此也有卓越的贡献，如南宋的杨辉（c.1238-c. 1298）和元代的朱世杰（1249-1314）等都深入研究过高阶等差级数，这与求解自然数幂和有异曲同工之妙。六十年前人民教育出版社出版的华罗庚教授《从杨辉三角谈起》这本小书，向中学生数学爱好者提供了对高阶等差级数用差分概念求和的思想，让少年时代的本文作者读得兴奋不已。

系统研究自然数幂次求和问题的首批人马迟至十六、十七世纪才降生，他们包括英国的哈里奥特（Thomas Harriot，1560-1621）、德国的福尔哈伯（JohannFaulhaber，1580–1635）以及法国的费马（Pierre de Fermat，1601–1665）和帕斯卡（Blaise Pascal，1623–1662）。哈里奥特是第一个用符号写出求和公式的人，然而他的公式止步于k=4。福尔哈伯不厌其烦地求得了直到k=17的公式，发表在他于1631年出版的著作Academia Algebrae中，不过他并没有获得一般的求和公式。尽管如此，后人依然有时将（8）式称为福尔哈伯公式，以表彰他对此付出的辛勤劳动。

伯努利在历史上首次意识到数列 B0,B1,B2，……的重要性，因为该序列为所有幂和提供了统一的公式。他在发现和的一般模式后百般欣喜，写下评述：“借助这张表，我花了不到半刻钟就找到了答案，将前1000个数字的10次方相加，得到的和是 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500。”该成果于1713年被收进他身后出版的概率论著作Ars Conjectandi中，法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667-1754）则提议将求和公式（8）中的那些常数B0,B1,B2，……命名为伯努利数。

和式1k+2k+⋯+nk中的因子

现在，我们似乎可以解答本文开头的疑问了：为何当k为3, 5, 7等奇数时，1k+2k+⋯+nk有因子

，而当k为4, 6, 8等偶数时，1k+2k+⋯+nk有因子

？我们能对所有的奇数k和偶数k证明出同样的结论吗？

答案是肯定的，事实上，这就是用伯努利多项式来求出连续自然数同次幂和公式的一个有意义的副产品。为了下面的推导方便起见，我们将和数1k+2k+⋯+nk记为Sk。当k=2m时，由于B2m+1=0，公式（9）给出

而当k=2m+1时，则有

从而对偶数幂的情形，比值S2m/S2可以表达为

由于β3(x)=x(x-1)(x-1/2)，并且β2m+1(0)=β2m+1(1)=0，故存在多项式q(x)使得

若我们能够证明1/2同时也是多项式β2m+1(x)的一个零点，则S2=n(n+1)(2n+1)/6就是S2m的一个因子。的确如此，这是由β2m+1(x)是x-1/2的奇函数这一事实所保证的。所以β2m+1(1/2)=0，因此关于前n个自然数偶数幂和式的因子猜想是正确的，即

对奇数幂的情形，我们有

因为β4(x)-B4=x2(x-1)2，我们只需要证明多项式β2m+2(x)-B2m+2也有两个根x=0和x=1，且重数至少为2。证明如下：首先由伯努利数的定义，

再从β2m+2(0)=β2m+2(1)得

最后，通过函数微分恒等式

和数字等式β2m+1(0)=β2m+1(1)=0，我们发现

这就证明了S3是S2m+1的一个因子，因此存在多项式h(x)使得

最后，作为特例，取m=1，则h(x)≡1，引出人们常常赞叹其美的一个代数恒等式：