数学家如何真正证明定理？

原创 Quanta Magazine zzllrr小乐

每周量子杂志会解释推动现代研究的最重要思想之一。本周，数学特约撰稿人约瑟夫·豪利特 （Joseph Howlett）分解了数学家发现真理的不同方式。

图源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子杂志特约撰稿人）2025-8-4

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-8-6

当大多数人想到数学时，他们会想到进行计算或求解方程。但专业数学家将大部分时间投入到一种完全不同的实践中：提出证明。证明是一系列相互构建的逻辑步骤，最终声明某个命题是正确的。（正如我在上一篇中讨论的那样，有时数学家会将其带到元层级，证明关于可证明性的命题 https://www.linkedin.com/pulse/why-math-never-complete-quanta-magazine-fyfee）

数学研究很少是盲目的探索。数学家们通常知道他们想要证明什么。他们还构建了一个庞大而多样的工具包来帮助他们证明。

但是，筛选这些工具并让它们以正确的方式协同工作可能是个巨大的挑战。当我采访一位数学家时，光是大致了解他们的证明是如何工作的框架性原理，就可能需要一个小时。有时我们会到达一个特定的步骤——长篇证明中某个看似很小的数学环节——我被告知他们花了整整一年和100页来证明这个细节。

我第一次了解证明是在十年级上几何课。例如，有一系列相交直线，要求证明其中两个角相等。为了做出证明，我们必须以两列格式编写每个子逻辑命题及其理由。这感觉与我想象的数学非常不同。但最后，结论更加震撼人心，过程的记录使它的正确性变得鲜明无可挑剔。

我高中时的证明总是沿着一条笔直而显而易见的路径直达终点。每一步论证都向待证命题逼近，直至最终能完整写出并论证指定的题目。而研究型数学家的求证之路则需要发挥更多创造性。他们的证明采用了许多不同的风格和方法，具体取决于数学家的品味和目标的要求。

证明最终更多与逻辑和直觉相关，而不是计算。数学家有着既定的目标和一系列达成目标的工具。而这条路径最终呈现出的样貌，可能从笔直坦途到迂回曲折不一而足。

新增的和值得注意的内容

正如数学家金芳蓉（Fan Chung）在最近的一次问答中向《量子杂志》讲述的那样，任何重大证明的关键往往是弄清楚如何以正确的方式问问题 https://www.quantamagazine.org/why-the-key-to-a-mathematical-life-is-collaboration-20250728/ 例如，数学家可能不知道如何直接证明一个命题。但如果他们能证明它等同于另一个命题，他们就可以专注于证明这种等价性，而这可能是一项更容易的任务。

无论如何，证明归根结底是证明一系列较小的子命题是正确的。一种简单的方法是将证明分成几种情况（cases）讨论 ：如果你想证明一个关于所有整数的命题，你可以先证明所有偶数的情况，然后证明所有奇数的情况。每种情况可能需要不同的方法。

同样，数学家有时会想象对给定猜想构成威胁的各种反例（counterexamples）。然后他们逐一排除它们，直到能够明确地声称猜想是正确的。这就是两位数学家今年早些时候证明三维挂谷（Kakeya）猜想的方式，称得上是几何学中“百年一遇”的结果 https://www.quantamagazine.org/once-in-a-century-proof-settles-maths-kakeya-conjecture-20250314/

三维挂谷猜想是说，若在三维空间中朝所有可能方向转动一根针，其扫过的轨迹必然占据特定体积（按“体积”的某种定义）。为了证明这一猜想，数学家王虹和Joshua Zahl弄清楚了可能的反例必须是什么样子。

2022年，他们证明一类反例不存在 https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/ 今年，他们排除了其他情况。这意味着他们已经解决了问题：该挂谷猜想不可能有反例，因而它必须是正确的。

数学家在职业生涯早期学习的另一种常用方法称为“归谬法”（proof by contradiction，或称为“反证法”） 。这些证明的工作原理是假设与你想要证明的相反，然后证明该假设会导致矛盾。

以2022年的一项开创性证明为例 https://www.quantamagazine.org/black-holes-finally-proven-mathematically-stable-20220804/ ，证明黑洞在数学上是稳定的。数学家首先假设描述黑洞方程的解不会稳定。然后他们证明，无论解需要多长时间才能分解，都有可能将解扩展到该时间之后。这与最初的假设相矛盾——即解不稳定——这意味着相反的情况必须是正确的。

学生在数学生涯早期经常学习的另一种证明技术是归纳证明（proof by induction）。这是一个有趣的游戏，Erica Klarreich在她对两个著名数学证明的详细盘点 https://www.quantamagazine.org/the-infinite-primes-and-museum-guard-proofs-explained-20180326/ 中展示了它的美丽。

她解释说，通过归纳法，关于所有整数的命题的特定证明只需要两个步骤。首先证明该命题对于数字1为真。然后证明，如果该命题对于任何给定的数字为真，那么对于下一个数字也必须为真，直至无限。Klarreich写道，它将“多米诺骨牌效应背后的直觉变成了一个强大的数学原理”。

然后是存在性证明（existence proofs）。许多数学问题都归结为是否存在具有特定特征的对象。是否有边相对较少但仍高度连通的图（顶点和边的集合）？是否存在处处连续的函数，但处处都不可微？ https://www.quantamagazine.org/the-jagged-monstrous-function-that-broke-calculus-20250123/

为了证明一个命题，数学家可以通过写下正确的方程来数学地构建所讨论的对象——或者物理性地构建对象，例如今年夏天的一个勇士三人组的案例https://www.quantamagazine.org/a-new-pyramid-like-shape-always-lands-the-same-side-up-20250625/ 。

他们也可以证明数学对象必须以大于零 https://www.linkedin.com/pulse/counterintuitive-power-randomness-quanta-magazine-riaoe/ 的概率存在，即使他们无法提供具体的例子。例如，数学家Boaz Klartag最近证明了在高维度存在更有效的球体堆积https://www.quantamagazine.org/new-sphere-packing-record-stems-from-an-unexpected-source-20250707/ 他设计了一个随机的程序来做到这一点。但他实际上不必执行他规定的程序——他只需要证明有非零概率得到最优堆积。

这些方法并非数学家锦囊中的唯一妙计，却堪称最得心应手的看家本领。现代数学证明往往非常复杂和冗长。每天填满科学预印本网站 arxiv.org 的几百页大部头总是依靠丰富的技术组合来完成工作。但是，当你分解其中任何一个时，通常归结为这些逻辑游戏的某种创造性组合。

网络上的报道

我发现自己一次又一次地回到 MathOverflow 上大家最喜欢的“无字证明” https://mathoverflow.net/questions/8846/proofs-without-words 。数学家经常谈论美。其中一些例子帮助我理解了原因。

勾股定理是一个很好的例子，说明逻辑如何采取多种途径得出相同的结论。事实上，已经有太多数不清的不同方式，而Cut the Knot网站的118种勾股定理证明 https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ ——其中至少有一个来自威廉·瑟斯顿（William P. Thurston） 的著名文章《论数学证明和进步》https://www.math.toronto.edu/mccann/199/thurston.pdf 发表在1994年4月的《美国数学会公报》上，是对数学证明本质的深刻思考，亦是对数学家追求正确性的透彻阐释。

参考资料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/how-physics-made-modern-ai-possible-4867222

小乐数学科普：数学畅销书评《证明的故事》（The Story of Proof by John Stillwell约翰·史迪威）

荐书通道：《证明的故事：从勾股定理到现代数学》作者：[澳] 约翰·史迪威（John Stillwell）译者：程晓亮 张浩

https://www.linkedin.com/pulse/why-math-never-complete-quanta-magazine-fyfee

https://www.quantamagazine.org/why-the-key-to-a-mathematical-life-is-collaboration-20250728/

https://www.quantamagazine.org/once-in-a-century-proof-settles-maths-kakeya-conjecture-20250314/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

https://www.quantamagazine.org/black-holes-finally-proven-mathematically-stable-20220804/

https://www.quantamagazine.org/the-infinite-primes-and-museum-guard-proofs-explained-20180326/

https://www.quantamagazine.org/the-jagged-monstrous-function-that-broke-calculus-20250123/

https://www.quantamagazine.org/a-new-pyramid-like-shape-always-lands-the-same-side-up-20250625/

https://www.linkedin.com/pulse/counterintuitive-power-randomness-quanta-magazine-riaoe/

https://www.quantamagazine.org/new-sphere-packing-record-stems-from-an-unexpected-source-20250707/

https://mathoverflow.net/questions/8846/proofs-without-words

https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

https://www.math.toronto.edu/mccann/199/thurston.pdf