小乐数学科普：数字奇缘666

日常见到的弹幕和评论区满屏666，究竟代表啥？666这个数字又有啥奇妙之处？

开胃菜

666 = 1+2+3+4+⋯+36

666 = 2²+3²+5²+7²+11²+13²+17² （前7个素数平方和）

666 = 1⁶-2⁶+3⁶ = (1³)²-(2³)²+(3³)² = (1²)³-(2²)³+(3²)³

666 = 2¹×3²+2³×3⁴

666 = (6-1)³+6³+(6+1)³-(6+6+6)

666 = 1+2+3+4+567+89

666 = 123 + 456 + 78 + 9

666 = 9 + 87 + 6 + 543 + 21

666 = ? （用了4个6，此处空白太小，一时写不下？欢迎评论区补充^_*）

666 = 666+6-6 = 666×6÷6 （用了5个6）

666 = 6!-6×6-6-6-6 = 666 + (6-6)×6 （用了6个6）

666 = (6+6+6)×(6×6+6÷6) = 666+66-66 （用了7个6）

666 = 6×6×(6+6+6) + 6+6+6 （用了8个6）

666 = 666 -66+66-6+6 （用了9个6）

666 = (6+6)×6×6 + 6×6×6 + 6+6+6 （用了10个6）

666 = 66×6 + 6×6 + 6×6×6 + 6+6+6 （用了11个6）

666 = 6×6×6 + 6×6×6 + 6×6×6 + 6+6+6 （用了12个6）

注意：

6 = 1+2+3 = 1×2×3 = 1²-2²+3² = √(1³+2³+3³)

进阶

ϕ(666) = 6·6·6 = 6³ = 216

其中ϕ(n)是欧拉ϕ函数（Euler's totient φ），表示小于n且与n互质的正整数个数。

小于6⁶ + 666 = 47322的孪生素数对的数量为666：

第666对孪生素数是(47147, 47149)

666是最大的满足各数位数字都相同的三角形数

（这种正整数有且仅有6个：1、3、6、55、66、666）

三角形数是满足n(n-1)/2形式的正整数。

sin 666°

= sin 6° - sin 66°

= -cos (6²)°

= cos (6³)°

= cos (6⁴)°

= cos (6⁵)°

= cos (6⁶)°

= ⋯

= cos 6^(6⁶)°

= ⋯

= -φ/2

（其中φ是黄金分割率，φ=(1+√5)/2 ≈ 1.618，φ²=φ+1，φ(φ-1)=φ-1/φ=1，(φ+1)(φ-1)=φ，√5+1=2φ, √5-1=2/φ）

cos 666°

= cos 6° - cos 66°

= sin (6²)°

= -sin (6³)°

= -sin (6⁴)°

= -sin (6⁵)°

= -sin (6⁶)°

= ⋯

= -sin 6^(6⁶)°

= ⋯

= √(3-φ)/2

tan 666°= -φ/√(3-φ)

tan 666°× tan (6²)° = -1

tan 666°× tan (6³)° = -1

tan 666°× tan (6⁴)° = -1

tan 666°× tan (6⁵)° = -1

tan 666°× tan (6⁶)° = -1

⋯

其它事实

罗马数字 666 (DCLXVI) 恰好包含所有小于 1000（对应罗马数字M）的符号降序排列（其中D=500，C=100，L=50，X=10，V=5，I=1）

“INDONESIA”（印度尼西亚）的ASCII字符代码相加，结果正好是666。

参考资料

https://mathworld.wolfram.com/BeastNumber.html

https://en.wikipedia.org/wiki/666_(number)

https://oeis.org/A045914

https://www.zhihu.com/question/642725607