12月14日周日开讲：形化万端守枢机，异态同体共天倪 |《拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学》第三课预告

导语

自牛顿和莱布尼茨基本完成微积分以来，人们逐渐通过“极限”概念来理解连续性。但分析学更加测重于研究“数量”；而拓扑学要追问的是：当空间形变时，什么仍然保持不变？本讲将讲述“连续性”的概念与形式化历程——从微积分中的ε-δ定义到映射在拓扑意义下的“连续性”。我们将探讨：同胚为何意味着“拓扑等价”？空间的“相似”又如何通过映射表达？这不再仅仅是对孤立的“点”的研究，而是进一步研究“关系”，甚至“关系的关系”。拓扑学在此又进入范畴论的世界——即从“对象”到“关系”的观念革新。

主题：映射与同胚，拓扑与范畴

课程简介

目标： 理解连续映射与同胚的概念，初步掌握拓扑等价与范畴思维。

本讲聚焦拓扑学中“连续性”概念的形式化及其结构性内涵。我们将从经典分析中的ε-δ定义出发，过渡到基于邻域和开集原像的拓扑连续性定义，阐明后者如何剥离度量依赖，仅保留空间邻近关系的本质。在此基础上，引入同胚（homeomorphism）作为拓扑等价的核心判据：在拓扑学中，两个拓扑空间若存在互逆的连续双射，即可不加区分。

进一步地，课程将拓扑学自然地导向范畴论的抽象框架：拓扑空间及其连续映射构成一个范畴（Top），其中对象的重要性让位于态射（即映射）所编码的结构信息。这种从“实体”到“关系”的视角转换，不仅深化了对不变性与泛性质的理解，也为跨领域建模提供方法论基础。最后，我们将简要探讨若干应用实例，包括介值定理的拓扑根源、动力系统中的拓扑共轭、视觉感知中的拓扑优先效应，以及突变论中形态跃迁的拓扑实质，揭示映射与等价思想在数学内外的广泛渗透力。

课程大纲

连续性的直觉与例子

从ε-δ定义到拓扑连续性

同胚与拓扑等价

曲面分类

范畴观点：拓扑空间范畴；空间与映射的整体性

同伦等价（选讲）

应用示例：介值定理、视知觉的拓扑性质、动力系统的拓扑共轭和符号动力系统（选讲）、物理连续介质（选讲）、突变论与形态发生学（选讲）、系统状态变换

课程关键词

连续性、极限（拓扑极限、微积分极限、范畴论极限）、同胚、映射、曲面分类、单纯复形、CW复形、范畴论、混沌、拓扑共轭、符号动力学、马蹄、突变论、结构关系

课程信息

课程主题：形化万端守枢机，异态同体共天倪——映射与同胚，拓扑与范畴

课程时间：12月14日（周日）晚19:00-21:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

金威，北京大学基础数学博士，博士后。主要研究方向为拓扑学和数学物理。现从事人工智能的基础理论和算法研发，并致力于数学和系统科学方面的教育/科研和科普活动。《基本粒子：数学、物理学和哲学》一书中文版译者，《返朴》公众号作者。研究兴趣：属性论和属性数学、拓扑学和数学物理、系统科学和复杂网络、中医等。

课程适用对象

理工科领域研究者及高年级学生：适合具备基础数学背景（微积分、线性代数、复变函数、常微分方程）的理工科高年级本科生、研究生及科研人员。尤其适合关注复杂系统、非线性动力学、统计物理、信息科学等方向，或希望将数学思想应用于物理、工程、生命与智能/认知系统的学习者。

喜爱探索和创新学习者：面向对抽象思维、系统建模与跨学科分析有兴趣的学生与研究者。鼓励具备问题意识、善于逻辑推理与思维开放的学习者，通过拓扑学培养结构化与整体化的科学思维。

报名须知

课程形式：腾讯会议，前两课线上同步直播，集智学园网站录播，部分课程设置线下课。

课程周期：2025年11月23日-2026年1月，线上课程每周日19：00-21：00进行。

课程定价：前两节课程免费，全部课程原价599

付费流程

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可开发票

扫码付费；

课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

课程可开发票。

拓扑学课程：从空间直觉到系统科学

你是否曾思考过：为什么咖啡杯在数学上可以变成甜甜圈？为什么混沌系统中会出现周期轨、可约化结构和“奇怪吸引子”模式？为什么神经网络、量子物理甚至心理结构，都可以从“拓扑”角度理解？

拓扑学不仅是数学的抽象分支，更提供了系统的思维方式，让我们理解连续性、结构不变性乃至复杂系统的整体规律。从欧拉七桥问题到DNA的缠结，从量子场论到思维科学与脑科学，拓扑学思想正在各学科中普遍而深刻地重塑着我们的认知方式。

原标题：《12月14日周日开讲：形化万端守枢机，异态同体共天倪 |《拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学》第三课预告》

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