洛书幻方与点化：论马克斯・比尔的《黄色方块》

马克斯・比尔画作《黄色方块》中的洛书幻方点化设计，引发出幻方点化数学问题，作者证明偶阶幻方无法点化，通过算法与工具验证奇阶幻方大概率可点化，拓展出泛对角线点化、双点化等衍生方向，展现了艺术与数学的跨界关联。

作者：Barry Cipra（巴里・西普拉）

明尼苏达州诺斯菲尔德的数学家与自由数学作家

AMS Notices美国数学会通告 2026-5

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-4-14

我正在训练自己，在严格限定的边界内，尽我所能地解决我为自己设定的某些问题。

—— 马克斯・比尔

新的数学问题可以来自形形色色的地方 —— 甚至来自一幅七十八年前的画作。不久前，我正在翻阅一本关于瑞士艺术家、建筑师与设计师马克斯・比尔（Max Bill，1908–1994） 的画册。比尔与包豪斯（Bauhaus）学派关系密切，以将数学作为艺术创作基础而闻名。他1948年的文章《我们时代视觉艺术中的数学思维方式》The Mathematical Way of Thinking in the Visual Art of Our Time被广泛引用，其英译本收录于《视觉心智》The Visual Mind一书中。

他的许多画作具有明确的几何特征；其中一幅描绘嵌套多边形的作品，被用作《美国数学会通告》2024年4月刊的封面（详情参阅小乐数学科普：关于“数学/艺术”我们能说些什么？ by 乔治·哈特George W. Hart）。在谷歌图片中搜索 “马克斯・比尔”，还能看到更多作品。

我当时翻阅的是2016年比尔大型回顾展的图录，收录了他大量几何风格作品。但第一眼望去，真正吸引我的作品，看上去不过是一个巨大的黄色正方形；见图 1。

图1 马克斯・比尔 1948 年的画作《黄色方块》gelbes feld。仔细看！

它的标题《黄色方块》（gelbes feld）直白明了：黄色的场域。这幅画作现藏于瑞士温特图尔美术馆，是边长 81 厘米的方形画布，创作于 1948 年。我第一反应是想翻页，但不知为何停了下来。随后我注意到，《黄色方块》并非只有黄色：上面散布着细小的点。一旦看见这些点，我立刻明白了它们的含义：就像骰子或骨牌上的点数（pip）代表数字 1 到 9 一样，《黄色方块》中的点，代表着经典洛书三阶幻方中的数字；见图 2。

图2 比尔的点（已放大）并添加网格线（左）；突出显示洛书数字（右）

这算不上惊人发现。作为对数学感兴趣的人，比尔很可能了解幻方，尽管我在所有关于他的资料中都未找到相关记载。而且肯定也有人在《黄色方块》中发现过洛书，只是我同样未见相关记录。

但紧接着，另一个细节吸引了我：数字 4 出现在右下角的方式，并非骰子或骨牌上的常规表示法。表示数字 4 的 “标准” 方式是在四个角布点，而非四条边的中点。这一艺术处理让我感到困惑。直到一个可能的解释突然浮现：比尔的排布方式，使得每一行、每一列、两条主对角线上的点数恰好都是 5。我用点化（pipification） 一词描述这种幻方表示法：在 n×n 幻方的每个单元格内，再用 n×n 小格布点表示数字，使得整体每行、每列、每条对角线上的总点数都相等；见图 3。

图3 数一数点数

这是一个值得关注的发现。比尔是否刻意为之尚不确定；没有日记或写给画廊的信件佐证，我们无法确知他的艺术意图。他或许另有想法 —— 我很乐意听到其他解释。但无论如何，我在《黄色方块》中发现的 “全为 5” 性质，立刻为幻方研究提出了一系列可能全新的问题。具体而言：所有幻方都可以被 “点化” 吗？

如果比尔确实是为了 “全为 5” 的性质而排布点数，那么他实际上为三阶幻方提出并解决了一个数学问题。我猜测他是刻意为之，却未必意识到自己做出了原创性工作。这对他而言可能只是灵光一现 —— 试试给这个排布加上 “全为 5” 的额外性质 —— 他发现并不难，于是就这么做了。我的猜测基于一个事实：我自己也能轻松想出比尔排布的几种替代方案。或许值得投入时间与精力，对三阶幻方的所有点化方式进行计数与分类。

我并非比尔研究专家，因此可能早已有人注意到《黄色方块》中的 “全为 5” 性质，无论是否从数学角度深入挖掘。我也不是幻方专家，因此点化幻方的概念，或许早已存在于浩如烟海的幻方文献中。我只能说，在常见文献中未见任何踪迹。因此，我倾向于将点化视为一个藏在画作中的全新数学问题。如果有人知道并非如此，我希望他们先保密（认真的话，欢迎告知《AMS通告》编辑部！）。

无论如何，核心问题依然存在：所有幻方都可以被点化吗？

简短回答：不能。

稍详细一点：任何偶阶幻方都无法被点化。原因是，数字 1 到 n² 的和为 n²(n²+1)/2；由于点分布在 n²×n² 的网格中，我们需要每行每列有 (n²+1)/2 个点。但当 n 为偶数时，n²+1 是奇数，这就要求出现半整数个点，显然不可能。

但这仍留下半个核心问题：所有奇阶幻方都可以被点化吗？

答案似乎是可以，但证据尚不稳固。有一个不算扎实的结果值得写成定理：

定理

任何奇阶幻方都可以被半点化。也就是说，对任意奇阶幻方，可用点表示每个单元格中的数字，使得每行、每列恰好有 (n²+1)/2 个点。

这里的术语借用自幻方文献：“半幻方” 不要求对角线满足条件。

证明

采用 “懒人算法”：先在每行的前 (n²+1)/2 列布点，然后 “偷懒地” 向右移动点 —— 仅在必要时移动 —— 直到每个单元格的点数正确。我表述得比较模糊，因为 “偷懒” 的方式有很多种，且看起来全都有效。如果你不喜欢这种证明风格，不妨自行设计更精确的方法。随后，在每个单元格列内，继续偷懒地向右移动点，保持在指定行与单元格内，直到每列点数正确。

图4 展示了对一个随机选取的五阶幻方执行懒人算法的关键步骤。做到这一步后，我数了主对角线上的点数，惊喜地发现恰好是13个 —— 正是期望的数量！我兴奋地去数另一条副对角线。

该死：14个点。

图4 半点化幻方的关键步骤。右上示例在单元格样本行中布点的步骤；左下显示所有行的结果；右下显示最终结果，每列点数正确。虚线用于辅助数两条对角线上的点。

好吧，还能指望什么呢？但随后我发现一个巧妙之处：如果在幻方第一行内部，交换点的第一行与第五行，就能在不改变主对角线点数的前提下，从副对角线上去掉一个点；见图 5。

图5 成功。交换两行，将半点化结果变为完全点化幻方。

通过这个简单调整，我们终于得到了一个完全点化的五阶幻方。值得一提的是，在半点化幻方中，任意 n 行或 n 列内部的自由置换，都不会破坏半点化性质。因此，以 n=5 为例，存在 120¹⁰≈6.19×10²⁰种机会让两条对角线符合要求。我立刻找到一种简单置换，这表明（虽非严格证明）有大量方法可将半点化转化为完全点化。

值得强调的是，我从网上随机选取的五阶幻方，恰好是泛对角线（pan-diagonal）幻方：不仅两条主对角线，所有断开的对角线之和也等于幻和。显然，我们可以要求泛对角线幻方实现泛对角线点化，但前述置换方法看起来行不通。不那么显然的是，我们也可以要求非泛对角线幻方实现泛对角线点化。但答案明确：并非总能做到。例如，洛书中穿过 7、9、8 的对角线，点数不可能少于 6。

不过，我们不必完全放弃希望，因为还有另一种点化幻方的方法，基于以下观察：

观察

点化问题可表述为二元整数规划问题。即将点视为 n²×n² 的 0-1 矩阵中的 1，对应 n⁴个二元变量 x₁,₁到 xₙ₂,ₙ₂，满足：

n² 个约束：每个单元格内的和；

另 n² 个约束：n² 行中每行的点数；

另 n² 个约束：n² 列中每列的点数；

2 个约束：两条主对角线的点数（若要求泛对角线，则为 2n² 个约束）。

在此过程中，我请教了欧柏林学院的数学家与数学艺术家鲍勃・博施（Bob Bosch），他运用最优化理论创作所谓 “最优艺术（Opt Art）”，询问他能否从二元整数规划角度研究点化问题。他成功地点化了另外两个从网上找到的五阶幻方。这为核心问题的肯定回答提供了又一条不算稳固的证据。

博施的回复及时出现在我 2025年1月联合数学会议的报告中。巧合的是，他也向该会议艺术展提交了自己的幻方作品：一个 81×81 棋盘上的骑士巡游，内嵌洛书，用类点形式（但非 “点化”）表示数字 —— 即采用骰子或骨牌的标准点数表示法。最近，博施用 11×11 骑士巡游组合，完成了他自己的比尔风格洛书点化；见图 6。英雄所见略同，不是吗？

图6 鲍勃・博施原创作品。用 11×11 骑士巡游组合实现的洛书点化。

同年8月，我在纽约国家数学博物馆 MOVES 会议上再次做了关于《黄色方块》的报告。英国什罗普郡的软件设计师罗宾・休斯顿（Robin Houston）出席了会议。休斯顿随后报告，他使用谷歌的 CP-SAT 工具（约束规划 + 可满足性问题，计算复杂性理论中判断布尔表达式能否可满足的技术术语，CP = Constraint Programming, SAT = SATisfiability），成功点化了 7×7、9×9、11×11 的样本幻方。我请休斯顿检验我的泛对角线五阶幻方能否被泛点化。他给出了两个泛点化解；见图 7。

图7 罗宾・休斯顿找到的泛对角线点化解，单元格内具有额外镜像对称性。

休斯顿指出，这两个解分别附加了一组约束：一个要求所有单元格内的点具有垂直镜像对称，另一个要求水平镜像对称。他说，他曾尝试同时要求两种镜像对称，但 CP-SAT 工具显示无法实现。这大概率意味着，确实不存在同时具备该性质的泛对角线点化。但除了工具的判断，我们更希望有严格证明。单元格内的点没有明显理由不能具备双重镜像对称 —— 读者可能已经注意到，《黄色方块》中的点就是如此。

一般而言，点化的 “能 / 不能” 问题属于所谓NP 类问题：求解可能极难，但验证一个解是否正确总是很容易。若答案为 “能”，给出点化即可轻松证明；若答案为 “不能”，证明否定结论的难度则无法预估。还要注意，即便存在定理称所有幻方都可被点化，寻找具体点化方式的任务理论上仍可能很困难。《AMS通告》的老读者或许知道，素性测试的 “是 / 否” 问题已被证明可在多项式时间内解决（AKS 算法），但大合数分解的难题，暂时仍难以攻克。

目前研究现状大致如此：核心问题的答案很可能是肯定的—— 所有奇阶幻方都可以被点化，甚至可能存在直接生成点化幻方的算法。至少，正如休斯顿在邮件中所说，或许存在算法能生成任意给定（奇数）阶的点化幻方，就像已有算法生成任意阶幻方一样。泛点化（至少对泛对角线幻方）与单元格内镜像对称等附加性质，也很可能存在。

我以最后一点思考收尾。圣克鲁兹的数学家与数学作家达纳・麦肯齐（Dana Mackenzie）出席了我 2025 年联合数学会议关于《黄色方块》的报告，他会后表示，尽管我已证明不可能，偶阶幻方仍应该有办法被点化。毕竟，负数不能开平方，但后来……

我们讨论了这个想法，提出一种让偶阶点化有意义的重新解释：将幻方中所有数字加倍，然后把 0-1 二元整数问题改为0-1-2 三元整数问题—— 允许在每个位置放两个点，而非只能放一个。后来我请休斯顿在丢勒（Albrecht Dürer）著名版画《忧郁 Ⅰ》Melencolia I中的四阶幻方上测试这一想法；见图 8。

图8 丢勒《忧郁 Ⅰ》及其四阶幻方。

他给出了肯定结果；见图 9。

图9 丢勒幻方的双点化。

我在2026年JMM联合数学会议关于点化研究的更新报告中介绍了这一成果，布林莫尔学院的数学家与数学艺术家萨拉 - 玛丽・贝尔卡斯特罗（Sarah-Marie Belcastro）指出，这应该用比尔的风格呈现。她随即创作了一个引人注目的版本；见图 10。

图10 萨拉 - 玛丽・贝尔卡斯特罗重新设计的丢勒双点化幻方：用两种深浅绿色表示 2，橙色与浅黄色表示 1。

在她的双点化四阶幻方中，贝尔卡斯特罗融入了我尚未提及的《黄色方块》的一个细节：比尔的点并非同色。有些偏橘色，有些呈浅绿或灰色。我也注意到了这一点（读者或许也已发现），但出于两个原因未深入探究：第一，点化问题本身已有足够数学内涵；第二，我看到的是《黄色方块》的复制品而非原作，尽管如今技术精良，色彩未必能忠实还原。我很可能忽略了比尔点化中同样甚至更有趣的细节；我鼓励读者去探究。但严谨的研究或许需要亲自前往温特图尔美术馆。

另一个尾声：我之所以能在《黄色方块》中一眼看出洛书，或许是因为我在 1990 年代左右设计过一个基于洛书的图案；见图 11。

图11 这是什么？

我把幻方关联留给读者去发现。如果你能读懂我的想法，会发现这个设计思路可轻松推广到任意阶正方形 —— 事实上，适用于 1 到 n² 的任意 n×n 排列，无论是否为幻方。一方面，这种普适性是吸引人的特点，允许各种艺术自由；另一方面，这也是一个令人失望的缺陷，因为它没有引出任何有趣的未解决问题。如果你碰巧发现了，务必告诉我！

最后最后一点：比尔在关于数学思维的文章中，有一句广为引用的话：“我认为，完全基于数学思维发展出一种艺术是可能的。”

我们不妨反过来问：我们能否完全基于艺术思维发展出一门数学？ 有艺术倾向的数学家可能会脱口而出 “当然能”。

但全文阅读比尔的文章会很有价值。在下一句话中，他继续写道：“这一观点，当然，激起了最激烈的反对。”

致谢

作者感谢保罗・佐恩（Paul Zorn）一贯富有洞见的建议。

原文参考文献

[1] Margit Staber, Max Bill, Methuen 1964.

[2] Max Bill, Fundación Juan March, Madrid, October 16, 2015–January 17, 2016.

[3] Michele Emmer (ed.), The visual mind: Art and mathematics, Leonardo Book Series, MIT Press, Cambridge, MA, 1993.

[4] George Hart, What can we say about “math/art”?, Notices Amer. Math. Soc. 71 (2024), no. 4, 520–525.

[5] Frank J. Swetz, Legacy of the luoshu: The 4,000 year search for the meaning of the magic square of order three, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2008.

[6] W. S. Andrews, Magic squares and cubes, Dover Publications, Inc., New York, 1960.

[7] Paul C. Pasles, Benjamin Franklin’s numbers: An unsung mathematical odyssey, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2008.

[8] Clifford A. Pickover, The zen of magic squares, circles, and stars: An exhibition of surprising structures across dimensions, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2002.

[9] Lee C.F. Sallows, Geometric magic squares, Dover Publications, Inc., New York, 2013.

[10] Robert Bosch, Opt art: From mathematical optimization to visual design, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2019.

[11] Folkmar Bornemann, PRIMES is in P: a breakthrough for “Everyman”, Notices Amer. Math. Soc. 50 (2003), no. 5, 545–552.

文章 DOI：10.1090/noti3334

参考资料

https://www.ams.org/journals/notices/202605/noti3334/noti3334.html