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AI人工智能新时代中应用数学的作用

2026-04-15 17:22

来源：澎湃新闻·澎湃号·湃客

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美国工业与应用数学学会（SIAM）AI人工智能特别工作组（AI Task Force）近期报告指出：应用数学是 AI 可靠、可解释、可泛化的基石，需加大投入以支撑美国国家安全、医疗、能源等领域可信 AI 发展。

作者：SIAM（美国工业与应用数学学会）

AI人工智能特别工作组 2026-2

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-4-15

摘要

人工智能正快速重塑科学、国家安全、医疗健康、能源系统、农业及美国劳动力市场。联邦机构、高校与产业界正以前所未有的力度与紧迫性大规模投入部署人工智能系统。但一个关键缺口正在显现：人工智能投资的快速增长，并未匹配对应用数学科学的投入 —— 而应用数学是现代人工智能的基石，也是其可靠、可持续部署与创新的必要条件。

若不加大应用数学研究投入，人工智能将难以在高优先级、高风险任务中充分发挥潜力，这些任务需要更高的可信度与效率。

若加大应用数学投入并将其纳入跨学科研究，人工智能将具备可预测、可解释、安全可靠的特性，成为美国竞争力的核心驱动力。

应用数学是基础性设施与创新思想的源泉。它提供的工具能让人工智能系统高效运行、遵循物理规律、量化不确定性、在训练数据之外泛化、抵御对抗性操纵，并在现实约束下支撑决策。缺少这一基础的持续投入，人工智能系统无法在预测性科学任务中实现全部潜能。

美国工业与应用数学学会（SIAM）代表全球 14000 余名应用数学家与计算科学家发布本报告，阐明应用数学对人工智能的关键支撑作用与未来愿景，为国家层面人工智能战略与优先级讨论提供参考。

本报告所述的当前与未来人工智能能力，无法仅靠现有数学工具实现。新一代人工智能能力将建立在数十年应用数学研究基础之上，通过将数学严谨性与现代人工智能系统深度融合而诞生。核心问题是：如何延续人工智能的非凡创新历程 —— 现代应用数学一直是其主要推动力。随着人工智能重塑科学发现、决策与国家基础设施，它同时也在拓展应用数学的研究前沿，而这些前沿必须持续推进才能支撑人工智能进步。因此，美国在人工智能领域的持续领先，依赖联邦对应用数学研究的投入，并与人工智能部署投资并行推进。

为何这项工作刻不容缓

美国正处于关键转折点。数十亿美元的联邦人工智能投资、快速的商业落地、覆盖全校的人工智能计划，共同决定了未来数十年国家科学、经济与安全格局。

与此同时：

人工智能系统部署速度，已超过人类理解、验证、认证与治理的能力。

联邦机构启动大规模人工智能项目并期待短期见效，却往往未对理解、评估与系统性改进人工智能所需的数学基础进行同等投入。

高校围绕人工智能调整招聘、课程与科研基础设施，却常未配套投入应用数学，将对长期人才结构造成深远影响。

全球产业领导力正从拥有最多数据的一方，转向具备数学洞察力、能将人工智能原始潜力转化为可靠、高效、可扩展、自主可控经济实力的一方。

若无坚实数学基础与持续数学创新，这些投资可能造出不透明、低效、与国家目标脱节的人工智能系统。以数学为核心，人工智能将成为发现、韧性与竞争力的引擎，成为持续创新的源泉。

核心观点：应用数学能提供纯人工智能无法实现的能力

应用数学研究赋予了人工智能系统关键特性，而当人工智能被简化为纯数据驱动方法时，这些特性会丢失。应用数学持续产生新方法，让人工智能在规模化应用中可靠、高效、可信。这些特性及对应应用数学领域包括：

科学有效性

遵循物理定律、约束条件与第一性原理推理

效率与可扩展性

代理模型、降阶模型、面向大规模系统的快速算法

可解释性与可信度

不确定性量化、因果推理、形式化可解释性

安全与保障

可证明边界、对抗鲁棒性、验证与确认

泛化能力

从稀疏、噪声或不完整数据中可靠学习

这些特性并非静态；随着人工智能系统愈发复杂、耗数据、任务关键，它们高度依赖应用数学研究的持续突破。简言之，应用数学投入将让人工智能从仅做关联分析升级为可预测，从推测升级为可执行，帮助量化人工智能决策中的不确定性。

人工智能并非脱离应用数学而诞生；恰恰相反，现代人工智能源于应用数学研究的突破，其持续成功依赖该领域的持续创新。要保持进步，二者的紧密联系必须保持健康与活力。

本报告通篇案例既展示过往应用数学研究已实现的成果，也说明持续投入将如何支撑更大规模、更复杂、更高风险的人工智能部署。

应用数学：可靠人工智能的基石

应用数学确保人工智能系统充分发挥潜力，核心支撑能力包括：

效率

可扩展算法与模型降阶

验证

可证明边界与形式化保证

不确定性

风险下的决策

泛化

适应新场景

约束

物理与守恒定律

应用数学作为国家人工智能基础设施

各领域呈现同一规律：经典模拟或现代人工智能独立运作均不足够。最成功的方案融合四类要素：

数据驱动学习

机理建模

数学约束、验证技术与不确定性量化

高效严谨的数值算法作为构建模块

这一混合范式以人工智能的数学基础为核心，将数据驱动学习与数学结构融合，支撑认证式人工智能、自主实验、数字孪生、高风险场景决策支持系统等新兴能力。在每种场景中，人工智能提供规模与适应性，应用数学提供预测、验证与控制所需的严谨方法。二者结合，让系统从回溯式模式分析走向前瞻、决策相关的洞察。

数字孪生清晰体现这种融合。例如在医疗健康领域，数字孪生目标是刻画单个患者 —— 不是人群平均统计模型，而是结合实时医疗数据与机理数学模型的个性化预测系统，以提升诊断并验证患者预后。人工智能在构建、优化、验证这些模型中至关重要，但数学基础赋予数字孪生预测与解释能力：模拟 “假设” 场景、量化不确定性、随患者状态变化调整干预与缓解策略。

科学发现、能源系统、国家安全领域正涌现同类方案：数字孪生支持不确定性下的决策，而非仅做回溯分析。这些能力无法仅靠数据驱动人工智能实现；它们依赖应用数学突破，让人工智能可预测、可验证、可执行。

尽管基础原理跨领域通用，但各应用场景对人工智能提出独特需求，凸显应用数学不同研究前沿。以下五大领域展示应用数学如何将人工智能从愿景转化为能力：国家安全、医疗健康、能源系统、农业与韧性、物理科学。

领域无关型人工智能在高风险环境中的局限

当现有人工智能部署在失败后果不可逆的环境中，其局限性愈发明显。此类场景中，系统必须在不确定性、信息缺失、蓄意干扰下运行，预测稀有事件、区分信号与欺骗、在环境突变时保持可靠。

在对抗与竞争环境中，当前主要依赖相关性的人工智能系统，缺少压力下行为预测所需的保证。当对手适应或数据偏离历史模式时，统计精度无法保证鲁棒性、可验证性或安全运行。

严谨数学方法为未来人工智能在这些场景下可靠运行提供基础。这类方法能表达物理约束、量化不确定性、实现验证。这将把人工智能从模式识别工具转变为适合关键任务的决策支持能力。

全新数学方法的需求在国家安全应用中最为突出：错误代价不以性能指标衡量，而以战略与作战风险衡量。满足这些场景的人工智能需求，需要持续应用数学研究，为不确定性量化、对抗鲁棒性、约束优化、验证等开发新理论与算法 —— 现有保证已不足以支撑人工智能在高风险对抗环境中部署。

国家安全案例揭示普遍规律：凡人工智能需支撑不确定性下的决策，数学就是系统可信的基础。支撑国家安全领域对抗鲁棒性与验证的数学原理，同样支撑安全与责任至关重要的民用领域可靠部署。能刻画战略与对抗主体的新型数学技术，可实现早期检测与鲁棒响应。

面向国家安全的人工智能

高风险、对抗性系统需要提供保证的人工智能工具，而非仅提供预测。

与防扩散、互联基础设施安全相关的国家安全问题，需要人工智能突破以应对低数据 / 多变数据环境。特别是将快速演进的基础模型与遥感数据结合，再融入知识驱动的系统理解，可实现极微弱、高噪声化学生物放射核（CBRN）信号的早期检测。脱离原始数学基础的人工智能模型，无法解决这类 “大海捞针” 问题。

必须用数学技术整合物理、环境、人文领域知识，提升检测精度、深化过程理解、支撑潜在路径与传播机制推断，让人工智能有效增强作战能力。

应对国家关键基础设施的物理与网络安全威胁，也需要基础设施运行及其与人类系统协同演化的精细模型。用计算模拟对多尺度、多网络运行系统做动态刻画，对检测、响应、反事实分析至关重要。仅依赖统计模式识别、未嵌入数学模型与领域约束的人工智能系统，无法可靠用于反事实分析 —— 缺少上下文信息。相反，人工智能与应用数学模型融合，将更可靠、可解释，适合高风险决策。

在国家安全场景中，只有持续数学创新，才能让人工智能从分析支持升级为可信的战略与作战决策工具。

信任、不确定性与风险决策：从预测精度到临床可信

随着人工智能越来越多地指导现实决策，一个根本局限显现：仅靠预测精度不足以负责任地使用。在许多高风险场景，决策者不仅需要知道人工智能预测结果，还需要知道置信度、何时可能失效、建议如何权衡竞争风险。

面向医疗健康的人工智能

临床决策要求人工智能向医生与患者传达不确定性、局限性与推理依据，而非仅给出诊断。

从医学影像检测疾病的人工智能模型可达到高平均精度，但在患者群体、成像协议不同的医院表现参差不齐。若无不确定性估计，临床医生无法判断预测对个体患者是否可靠。将新型应用数学工具融入未来人工智能，将实现不确定性感知模型：量化置信度、标记分布外案例，让医生安全地将人工智能输出整合到患者护理决策中。

人体与器官系统的实时多尺度数字孪生，将催生新一代个性化预测模型，通向个性化与精准医疗。例如，基于胰岛素泵与血糖水平的糖尿病治疗新进展，将推动这类闭环控制系统前沿。基于个性化饮食与微生物组的靶向癌症治疗 / 管理、肠道健康治疗给药机制，将催生全新疗法。

数学算法将人工智能原始诊断能力扩展为临床可用的决策支持工具，改善人群健康。

这些挑战普遍存在于：决策影响个体结果、数据不完整 / 有偏、承担伦理与法律责任的场景。以优化性能指标为主要目标的人工智能系统，往往难以提供透明不确定性估计、跨异质人群泛化、解释不同假设下的预测变化。无明确防护部署时，即便平均精度很高，也会削弱信任。

在医疗健康领域，应用数学为从人群层面预测转向实践可信的个体化决策支持系统提供基础。数学框架实现不确定性显式表达、与已知约束保持一致、支持因果推理而非仅关联分析。通过让不确定性可见、决策可审计、模型行为对医患可解释，应用数学让人工智能输出成为人类判断的输入，而非黑箱结论。

这些能力在决策需个体化、可解释、可追责、错误直接影响人类福祉的领域至关重要。持续投入应用数学研究，对扩展与规模化这些能力、让人工智能以适当信任、监管与透明度负责任部署至关重要。

这些挑战让医疗健康成为最清晰案例之一：人工智能系统必须以数学为根基，才能在现实决策中赢得信任。满足这些要求不仅需要应用现有方法，还需要持续开展不确定性量化、因果推断、可解释性、风险决策等应用数学研究 —— 人工智能正越来越多地影响高风险临床与公共卫生决策。

国家尺度的效率、稳定性与控制：物理约束实时系统中的人工智能

许多最重要的人工智能部署并非执行孤立预测任务，而是大型紧密耦合系统的组件，需持续安全运行（如电网）。此类场景中，人工智能必须实时响应变化、扰动下保持稳定、遵守严格物理与运行约束。微小错误可快速传播，将局部不精确升级为系统级故障。

由非线性动力学、反馈回路、守恒定律支配的系统，需要远超人工智能统计近似的能力。无显式约束与验证，人工智能驱动决策可能放大而非管控波动性。纯数据驱动人工智能模型脱离物理系统的数学结构后，在这类环境中表现不佳 —— 模式识别 alone 无法保证训练数据覆盖条件之外的稳定性、安全性或可靠行为。

对形式化方法的投入将提供结构，让人工智能在这些限制内可靠运行。数学框架实现物理定律表达、系统动力学分析、不确定性下鲁棒控制策略设计。动力系统分析、约束优化、模型降阶、不确定性量化等技术，将人工智能从预测工具转变为复杂系统的可控组件。

这些能力对所有大规模、实时、严格安全要求下的人工智能部署至关重要。此类场景中，效率与稳定性不可分割，创新依赖保证而非启发式规则。需要全新研究人工智能与物理系统的交互，为可扩展、可靠人工智能提供基础。

能源领域清晰表明：可扩展人工智能必须受约束、可验证、可优化，而非仅被训练。实现这些能力需要持续应用数学研究，拓展动力系统理论、优化、不确定性量化、控制方法，为国家尺度运行的人工智能驱动、数据密集型能源系统提供保证。

面向能源系统的人工智能

实时物理约束系统需要压力下稳定的人工智能，而非仅平均精度高。

能源系统正经历百年一遇的转型。电网级联故障需要电网精细刻画，以及对潮流、控制机制、隐性故障模式的第一性原理理解。纯人工智能驱动模型无法可靠预测级联故障 —— 这类故障源于继电器协同控制动作与由此产生的非线性潮流问题。此外，随着电力系统因复杂负荷与发电机组发生重大转型，许多运行模式下无足够数据训练人工智能模型。最终，包括对抗攻击与极端天气在内的新型威胁，让应急分析更具挑战。同时，网络安全考量愈发重要，需要作为实时数字孪生的一部分表达。

人工智能系统需与底层电网数字孪生耦合，提供潜在级联故障实时评估与自动控制方案以降低影响。需要应用数学基础研究与协同设计，开发快速潮流求解器与动态传输模型、计算故障模式、基于重要性采样的新方法识别可能导致区域系统崩溃的稀有事件，并将这些方法整合到高效鲁棒的人工智能系统中。

数学模型将让人工智能支撑实时能源运行，不增加系统风险。

泛化、稀疏数据与多尺度决策：数据匮乏环境耦合系统中的人工智能

人工智能部署最具挑战的环境，往往具备稀疏、噪声、异质数据，以及跨多时空尺度演化的动力学特征。此类场景中，决策需在信息不完整、长反馈回路、物理 / 生物 / 经济 / 人文因素耦合下做出。核心挑战并非孤立预测，而是在可用数据特定条件之外可靠泛化。

纯数据驱动人工智能系统在此类环境中常表现不佳 —— 它们被优化为在历史数据集内插值，而非向新条件外推。在受控或局部场景表现良好的模型，跨区域、季节、运行环境时可能失效。无显式结构，人工智能无法推理未见过的场景、量化不确定性风险、支持环境变化下的规划。

应用数学研究投入将提供解决这些局限的工具。数学框架让人工智能系统表达多尺度动力学、整合异质数据源、在耦合子系统间传播不确定性。通过将机理结构与约束嵌入学习过程，数学创新让人工智能从模式识别升级为决策支持、反事实分析、风险感知规划。这些能力对结果依赖跨尺度交互、延迟 / 间接效应与即时预测同等重要的系统至关重要。

这类环境对泛化、鲁棒性、可解释性提出极高要求。在此类场景中，数学结构理解让人工智能在数据有限、环境变化、决策需考虑长期后果时保持可用。在农业与韧性规划中，应用数学让人工智能系统超越历史数据泛化，在环境变化时保持有效。

农业凸显：泛化能力（而非基准性能）是现实系统中人工智能的真正检验。解决这些挑战需要持续开展多尺度建模、泛化理论、不确定性传播、稀疏数据决策等应用数学研究 —— 人工智能正被推向传统假设不再成立的复杂耦合环境。

农业案例强化本报告核心原则：部署在复杂现实环境的人工智能系统，必须以捕捉结构、不确定性、尺度的数学模型为根基。无这些基础，人工智能无法成为韧性与可持续性的强大工具。表征人 - 自然耦合系统的新型数学方法，可助力解决粮食安全问题，同时保障可持续农业实践。

面向农业与韧性的人工智能

跨多尺度、数据稀疏环境的决策，需要能超越历史观测泛化的人工智能系统。

从历史数据预测作物产量的人工智能模型，在单一区域表现良好，但应用于新气候、土壤条件、极端天气事件时可能失效。无显式结构，这类模型难以向观测条件外推。应用数学突破已实现多尺度建模与不确定性传播，让人工智能系统支持风险感知规划，而非脆弱的单点预测。

需要持续应用数学研究投入，将这些能力扩展到飓风、洪水、干旱、极端天气等农业风险管理挑战 —— 理解传播、叠加效应、缓解策略至关重要。这些模型可整合复杂拓扑、物理条件、植被与城市景观，开发面向高性能计算的模拟，再与人工智能模型耦合，实现实时预测与缓解措施。数学模型可用于刻画粮食生产到市场的复杂供应链，以及极端天气对这些集成粮食系统的风险。

人工智能方法与数学模型结合，可实现灌溉用水最优利用、病虫害早期检测。

新型多尺度数学模型，可在环境变化、数据有限时支撑人工智能驱动的鲁棒决策系统。

从探索到预测发现：作为科学仪器的人工智能

人工智能正越来越多地用于加速发现：探索大型设计空间、识别复杂数据模式、提出新假设。这些能力有望重塑科学与工程流程，实现比传统方法更快的迭代与更广泛的探索。但探索不等于发现。科学进步最终依赖可预测、可重复、理论根基扎实的结果。

在科学发现中，缺少理论与数学根基的现有人工智能系统，往往难以满足可重复性与有效性标准。许多科学场景中，数据稀疏、获取成本高或危险，底层系统受物理定律、对称性、过程间未知反馈、守恒原理支配 —— 仅靠数据无法可靠推断。生成合理输出但未遵守这些约束的模型，可能加速探索，但无法提供科学理解或下游应用所需的保证。

应用数学创新将为人工智能成为科学仪器（而非仅探索工具）提供基础。数学框架实现物理定律融入、过程间非线性反馈、因果推理支撑、不确定性量化与验证的严谨方法。这些工具让人工智能区分信号与噪声、在观测数据之外泛化、从有限数据中抽象基本结构以实现高样本效率，确保结果可检验、可重复、可拓展。数学不会替代科学推理，而是让人工智能有原则地增强科学推理。

这些能力对所有人工智能需贡献基础理解而非表层模式发现的场景至关重要。此类场景中，无严谨性的速度不足够。应用数学将确保加速发现保持可靠、可解释、可预测，让人工智能推动科学而非仅探索科学。

尽管加速发现常被表述为仅加快传统科学方法的离散步骤，但这些数学基础将实现更深刻的变革：我们正从增量速度提升，转向发现周期的根本性重构。将假设生成、实验设计、自主测试统一为集成回路，我们能实现序列方法（即便用最快高性能计算）无法企及的突破性发现。

面向物理科学的人工智能

科学发现需要可预测、可重复的人工智能系统，而非仅探索性。

生成式人工智能模型可快速提出候选材料或实验配置，但无物理约束可能产生非物理或不可重复结果。人工智能提出非物理解的案例已有大量记录。例如，用训练好的发动机数据人工智能模型寻找最优运行设置，结果得到一台消耗而非产生二氧化碳的内燃机 —— 显然荒谬。因该案例参数少，错误易修复；但对更大模型，非物理行为可能更难检测。

应用数学实现物理知情建模、反问题构建、验证，让人工智能生成的假设可检验、优化、信任，成为科学发现流程的一部分。

应用数学可将人工智能通用能力扩展到科学发现需要可靠性、可重复性、预测力的领域。

在传统人工智能失效的数据匮乏环境中，基于新型应用数学的人工智能，能将碎片化物理知识与稀疏数据融合。这种融合将生成纯数据驱动或纯理论方法单独无法企及的突破性假设。

实现这一愿景依赖持续应用数学研究，为反问题、不确定性量化、符号与混合建模、验证开发新理论与算法，让人工智能嵌入科学发现核心流程。

物理科学展示了数学赋能人工智能的全部潜力：不仅更安全可靠的系统，还有更快更深入的发现，解锁仅靠规模无法实现的全新路径。当人工智能以应用数学为根基，它将成为科学领导力、技术创新、长期经济增长的倍增器。

跨领域数学能力

尽管应用场景不同，它们依赖一套跨领域共享的核心数学能力：

不确定性量化与反问题，尤其在数据稀疏或高风险环境

优化与控制，包括约束与不确定性下的决策

动力系统与多尺度方法，实现跨时空尺度整合

模型降阶与代理模型，提升效率，支撑实时预测与控制

基于高性能计算的数值与离散算法，利用新型计算硬件实现更快更精确方法

验证、确认与认证，对监管或对抗环境部署至关重要

快速多重线性（张量）与非线性代数，提升人工智能运算效率

对这些领域的持续投入，对联邦任务范围内人工智能的成功至关重要。

对联邦机构的启示

人工智能并非应用数学的新应用领域；它改变了应用数学研究本身的性质。将学习系统与稳定性、不确定性、正确性保证融合，需要新理论、新算法、新计算框架。若无应用数学研究突破，无论数据与算力投入多大，人工智能系统仍将脆弱、难认证、部署成本高昂。

对联邦机构而言，将应用数学视为人工智能基础意味着：

在人工智能重点工作中明确纳入应用与计算数学，如能源部（DOE）创世纪任务、国家科学基金会（NSF）人工智能研究所与科学人工智能新计划、战争部（DOW）多学科大学研究计划、国立卫生研究院（NIH）人工智能计划、高级研究计划局（ARPA）项目，及其他团队式人工智能设计开发方案。

支持 NSF、DOE、DOW 的长期核心数学研究计划，聚焦数学基础突破与新型数学工具，为后续人工智能专用创新提供种子。

扩大合作，如 NSF、DOW、NIH 在数字孪生领域的合作，及 DOE“先进计算科学发现（SciDAC）” 合作计划，支持小型团队攻克数学创新与科学专业融合的特定挑战，打造新型人工智能系统。

大幅扩大人才机会，构建未来人工智能人才所需数学技能，提升应用数学家在人工智能研究中的作用。NSF 研究培训计划、DOE 计算科学研究生奖学金等现有有效项目可扩大规模。还应探索新计划，如 NSF 正考虑的人工智能服务奖学金。医疗领域亟需加强联系，开发连接应用数学家与生物医学健康研究界的培训，让双方具备高效协作所需技能。

通过美国国家标准与技术研究院（NIST）人工智能标准与创新中心（CAISI）及政府人工智能行动计划提出的沙箱机制，将验证、不确定性、可靠性作为测试与验证的核心指标。

从国家安全、医疗健康、能源、农业到物理科学，从一开始就整合计算与应用数学的项目，将产出更可靠结果、降低下游风险、加速任务影响。

对高校的启示

对高校领导者而言，这一时刻既是机遇也是责任。可持续人工智能项目需要：

招聘策略：加强应用数学与计算机科学并行建设

课程体系：将建模、高效算法开发、形式化验证、不确定性量化、优化融入人工智能教育

机构支持：以数学严谨性与理解为根基的跨学科合作

忽视这些基础的高校，可能培养出仅会部署人工智能工具、却无法构建可信人工智能系统的毕业生。

对产业界与公私合作伙伴关系的启示

对产业界而言，以数学为根基的人工智能降低部署风险、提升效率、加速创新。与应用数学家的战略合作（包括研究生与博士后实习），对构建能源基础设施、医疗服务等关键任务环境可信人工智能系统至关重要。

贡献者（按字母顺序）

Alejandro Aceves，南卫理公会大学