推理机器时代的人类数学——菲尔兹奖得主阿克沙伊・文卡特什

菲尔兹奖得主阿克沙伊・文卡特什（Akshay Venkatesh）对AI时代的数学重塑的哲学思考。

作者：阿克沙伊・文卡特什

（Akshay Venkatesh，普林斯顿高等研究院，2025-12-31）

即将发表于2026年《M×Φ 数学与哲学年鉴》第1期

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-4-17

摘要

本文将对当代数学实践的反思与自动化如何重塑数学的讨论相结合。我推测数学的概念语言可能经历剧烈重构，并以历史案例为参照展开分析。

关键词：自动推理；数学概念；同构异态（cryptomorphism）；数学心理学；数学现代主义

1. 引言

机械推理不仅会改变我们做数学的方式，更会改变数学本身是什么；这一问题必须由数学从业者与社会共同重新探讨。为审视这一问题，我更倾向于聚焦人而非技术，尝试从我们思考数学的方式而非其符号外壳去理解数学。

秉持这一宽泛理念，我将讨论与数学自动化相关的若干主题：

第 2 节：机械化与形式化带来的若干争议；

第 3 节：推理机器可能如何改变数学的概念语言；

第 4 节：概念语言过往变迁的若干案例；

第 5 节：关于数学与社会关系的若干思考。

本文是我在哈佛大学首场阿尔福斯（Ahlfors）讲座《推理机器时代的（重新）想象数学》的扩展文稿，部分术语适配当时听众：文中 “数学” 仅指纯数学，“我们” 指代该领域的研究者与学生。

2. 机器中的幽灵

要思考我们的未来，就必须理解我们为何要做当下所做之事；为此，我们需要更深入地钻研自身的历史。

19世纪末至20世纪初，数学界弥漫着普遍的不安情绪（关于这一氛围的讨论，参见格雷的文献 [27]）。非欧几何的发现、我们的直觉无法预判各类病态函数、无穷集合引发的悖论 —— 这一切都表明，数学这门学科或许出现了严重问题。

学界对这些担忧的回应，即所谓的基础危机，塑造了现代数学。可以说，数学经历了一次 “焦虑发作”，并试图通过自我机械化来做出回应。

2.1 形式主义与基础危机

希尔伯特1899年的《几何基础》对欧氏几何进行公理化，极大提升了形式公理化方法在基础与元数学问题研究中的地位。布卢门撒尔（Blumenthal）转述希尔伯特（Hilbert）的一句俏皮话：

我们必须能够用桌子、椅子、啤酒杯来替代点、直线、平面。

这句话道出了其核心精神（希尔伯特本人对此的观点是微妙而复杂的。更深入的讨论参见文献 [16]。），且更大程度上契合了它所启发的后续工作（见 2.2 节）。

换言之，若我们对几何的模糊思考导致谬误，便可通过切断数学与危险几何直觉的关联来纠正方向。实践中，这种切断通过强制外化思维过程实现（克拉克（Clark）与钱伯斯（Chambers）提出的延展心智论题[12]，为外化这一概念提供了颇具启发性的哲学视角。）：用可按规则操作的书写符号替代直观对象。如此实现的数学具有机械属性；庞加莱（Poincaré）在对希尔伯特著作的评论 [42,44] 中已设想将公理输入 “逻辑机器”—— 早在1900年，执行数学推理的自动机构想便已存在。

庞加莱这里提到的是杰文斯（S. Jevons）的 “逻辑钢琴”—— 这是一台在1870年代制造的、用于解决逻辑难题的机器；巴贝奇（Babbage）则在1820年代造出了他的差分机；而17世纪写成的《格列佛游记》，甚至早已构想过这样一种机器：“哪怕最无知的人，只要支付合理的费用，再付出一点点体力劳动，就能在无需天赋、无需学识的情况下，写出哲学、诗歌、政治、法律、数学和神学方面的著作……”

但这其中存在深刻张力：即便我们变得更像机器，这台机器仍被人类创造者相互冲突的追求所萦绕。为说明这一点，我将分析对希尔伯特著作的两种回应。

2.2 公设分析

一个略显尴尬的事实是：我其实并不确切知道群、环、理想、域等概念的公理定义（该要求左逆、右逆，还是二者兼具？是否必须相同？）。授课时本该给出准确定义，我通常的做法是构想若干正例与反例，不断补充性质，直至边界清晰。每次结果略有不同 —— 同一结构本就存在多种公理化方式。

希尔伯特的著作在美国引发了对这一问题的系统性研究，即范・弗利克（Van Vleck）所描述的 “对几何、代数、算术乃至力学的公理系统展开系统性探究”，常被称作公设分析。例如：

1902年，爱德华・亨廷顿（Edward Huntington，现代数学家或许对这个名字并不熟悉。他毕生担任哈佛大学工程学教授，还曾出任MAA美国数学协会主席。他的一项数学贡献影响深远：美国国会当前使用的政治席位分配方案，正是基于他与约瑟夫・希尔（Joseph Hill）共同设计的一套体系。）

给出群的三条公理表述，不久又补充四条公理版本；

稍后，伊莱亚金・穆尔（Eliakam Moore）给出 “从群论角度非常理想” 的五条公理版本；

1905年，伦纳德・迪克森（Leonard Dickson）给出另一版四条公理。

每位作者都严谨验证每条公理独立于其余公理。此类研究还拓展至多种数学结构，参与数学家包括西奥多・希尔德布兰特（Theodor Hildebrandt）、奥斯瓦尔德・维布伦（Oswald Veblen）、R.L. 穆尔（R. L. Moore），以及后续的乔治・伯克霍夫（George Birkhof）、诺伯特・维纳（Norbert Wiener）等知名学者 [5,46]。

公设分析的表面特征常被融入数学潜意识。例如，亨廷顿在布尔代数公理化中使用带圈符号⊕、⧀、⊙替代常规 +、<、・，他解释道：

圈形符号足够陌生，提醒我们它们是未定义符号，除公设明确陈述外无其他性质；同时圈内的 +、・、<能让我们以最小心理成本采用最有用的解释。[32, p.292]

这种双重用途符号反映了本质张力：导致我们犯错的思维过程，同样让我们高效思考；相应地，数学家始终在直观世界与形式世界之间的奇特中间地带探索。

亨廷顿面向非数学读者对公设分析的描述 [33] 极具启发性。他清晰区分了公设的边界与人类因素的介入：

我刚才提到的定理18便是例证。在我们所讨论的论域中，类 K 内的基本符号仅有 X 和′，但该定理包含新符号 ∨，通过定义引入系统：a∨b=(a′b′)′。问题随即出现：为何有人想到引入这一定义？为何这一基本符号组合 (a′b′)′被视为极具特殊意义，值得单独命名？数学本身无法给出答案，这一问题本属于哲学范畴 —— 归根结底，任何抽象演绎理论的构建都是人类主动行为的产物。

这种人类因素不仅介入定义，也介入问题：

例如定理18，一旦提出 “a (b∨c) 等于什么”，公设只允许唯一答案 “ab∨ac”。但公设并未要求我们必须提出这个问题。问题的源头必须在比公设更深的领域寻找，即人类意志的领域。

同样介入公设本身的选择：

作为任何系统基础的公设，构成该系统在其论域内的定义；选择某一定义而非另一定义作为讨论对象，同样是人类意志的体现。

换言之，外化并未消除人类因素，只是将其隐于无形；按亨廷顿的说法，对人类因素的研究 “本属于哲学”。

现代（即基础危机之后的）数学界，数学家关于这种人类维度的讨论大多私下进行、不见出版物。但这类讨论从未消失，并在紧张时期更为凸显 （近期的例子包括：《美国数学会公报》第50期专刊，该期专门探讨机器数学相关问题；以及瑟斯顿（Thurston）的论文 [48]，这篇文章是针对物理启发式数学带来的若干挑战而撰写的。）；基础危机也不例外。

2.3 数学的心理学基础

前文已提及庞加莱对希尔伯特的评论及其对逻辑机器的援引。庞加莱认可希尔伯特成就的意义，但同时表达了与亨廷顿高度相似的观点：

给定一列命题，他发现所有命题均可从第一个逻辑推出。但他并不关心第一个命题的基础及其心理起源。[44, p.22]

我们可以想象用椅子替代点，但真这么做会显得荒谬 —— 如此表述的几何根本无法理解。点、直线、平面的语言与桌子、椅子、啤酒杯的语言在形式上等价，但心理上绝不等价。

庞加莱不认为应摒弃心理学考量，这并非个例。菲利克斯・克莱因（Felix Klein）1912年开设了关于数学思维心理学基础的完整研讨班；L.E.J. 布劳威尔（L. E. J. Brouwer，他亦创造 “形式主义” 一词）的直觉主义，深刻关注数学在人类经验与判断中的起源：

…… 形式主义者希望将心理学家的任务留给从诸多可自洽发展的符号语言中筛选 “真正数学” 语言的工作…… 解释我们为何排斥那些允许命题既真又假的所谓矛盾系统，这并非数学家的任务，而是心理学家的任务。[11, pp.56,58]

恩里克斯（Enriques）在1912年ICM国际数学家大会演讲中，将基础危机定位为数学原理批判史的最新阶段。他写道：

若从历史视角审视科学与批判得出这一结论，逻辑数学实用主义远非开启一个近乎随心所欲、无限增殖奇幻构造的时代，反而让研究对自身目标有了更高自觉；另一方面，通过纯化逻辑，它证明了逻辑的局限性，以及深化其他心理要素的必要性 —— 正是这些要素赋予数学构造意义与价值。[24, 第 IX 节]

形式语言与数学实践之间的错位（例如我几乎不确切知道任何研究对象的精确公理），一直是数学家的不安来源；对替代基础的探索延续至今。在我看来，这种探索反映了我们对结构与人类主观经验相匹配的形式语言的渴望。例如，我们可能希望一种语言，其中符号 Q 在论证中的出现次数能忠实反映人类理解该论证的难度。在我看来，创造一种能真正追踪数学思维的形式语言，本质上就是构建我们大脑部分功能的形式模型；理解这种语言等同于理解我们自身的思维过程。

2.4 公设分析的第二次生命

以亨廷顿工作为代表的公设分析（针对特定结构研究特定公理系统）在1930年左右逐渐式微。另一方面，更宽泛的公理结构理论被数学主流接纳，例如模型论与逻辑学；相关思想在计算机科学的知识基础中扮演关键角色。因此，二十年后电子计算机的出现让该领域复兴并延续至今（事实上，公设分析与当今数学形式化的趋势之间，或许存在许多值得比较的有趣之处。例如，可参见阿维加德（Avigad）关于 “形式转向” 的综述 [3]，以及麦克贝斯（Macbeth）对 “传统数学” 与 “形式化数学” 之间风格差异的讨论 [38]。感谢亚历克斯・康托罗维奇（Alex Kontorovich）就此问题带来的富有启发性的讨论，以及为我指引的相关文献。）—— 按其设计初衷，公设分析的问题本就比人类更适配机器。

事实上，若公设分析可由机器完成，为何不将推理规则（允许我们从一行推导至下一行的方法）也适配机器？约翰・罗宾逊（John Robinson）1965年的重要论文提出这一观点：

传统上，出于实用与心理原因，演绎单步推理要求足够简单，大体上可被人类单次智力活动判定为正确。…… 当执行推理原则的主体是现代计算机器时，对推理原则复杂度的传统限制便不再适用。[45, p.23]

罗宾逊与美国阿贡（Argonne）国家实验室数十年的定理证明软件项目密切相关，他的 “面向机器的逻辑” 对该项目发展至关重要——自动定理证明先驱、该项目长期负责人拉里・沃斯（Larry Wos）在一篇未公开专栏中写道：

“…… 阿贡国家实验室应用数学系主任威廉・F・米勒（William F. Miller）邀请了约翰・艾伦・罗宾逊（John Alan Robinson）。米勒将罗宾逊介绍给了我和丹・卡森（Dan Carson）。这次结缘对后来被称为自动推理的领域产生了难以估量的影响。

罗宾逊在访问阿贡实验室期间，提出了他新的推理规则，他称之为二元归结法。二元归结推理规则的提出，永远改变了自动推理领域的历史走向。”

但这一转变付出了代价。阿贡实验室开发的软件包 OTTER 被麦库恩（McCune）用于证明如下命题 [41, 定理 1]：

满足等式

x・(y・(((z・z⁻¹)・(u・y)⁻¹)・x))⁻¹ = u

（1）的二元运算 x・y 与一元运算 x↦x⁻¹，

即为群结构的乘法与逆运算。

这是群的单公理定义！——这并非首个单公理定义；希格曼（Higman）与诺伊曼（Neumann）早在1952年就在没有计算机的情况下，给出了群所对应的二元运算 x,y ↦ xy⁻¹的单公理刻画。完整列表可参见麦丘恩（McCune）的综述文献 [41]。以下是该等式约三十行机械证明的前三行 —— 你能看出每一步如何推导到下一步吗？

x · (y · (((z · z⁻¹) · (u.y)⁻¹) · x))⁻¹ = u

⇒ x·((((y·y⁻¹)·(z·u)⁻¹)·(v·v⁻¹))·(z· x))⁻¹ = u

⇒(x·((y·(z·z⁻¹))·(u·x))⁻¹)=(((v·v⁻¹)·(y·u)⁻¹)·(w·w⁻¹))

⇒...

我绝不可能在课程中使用这种定义。同类案例比比皆是。这类证明可拆分为更小、更易理解的步骤，但会引发另一个问题：长度失控。

由此可见，机械证明并未摒弃心理因素。若机器要提供我们能理解、感兴趣的证明，它必然（无论通过设计还是其他方式）反映那些如恩里克斯所说 “赋予数学意义与价值” 的心理层面。

3. 数学的概念基础

正如我们所见，数学的形式化描述 —— 某种程度上正是出于设计目的 ——极难解读。我们反而用一种介于自然语言与形式语言之间的表述来讲述数学，它的词汇由一系列专门术语构成，我将其非正式地统称为概念：

光滑函数、微分、模算术、群、向量空间、希尔伯特空间、流形、度量、李群、同伦、索伯列夫空间、非黎曼超方（non-Riemannian hypersquare）等等。

概念兼具交流功能与认知功能。它们是记录和表达我们思维过程的精简方式，同时也是思维过程本身的一部分。就像亨廷顿所说的 “符号组合” 一样，什么是概念、什么不是概念，很大程度上是人类的选择。这些选择在未来会如何改变？

3.1 概念的概念

归根结底，我讨论概念的目的是探究数学的心理表征。如2.3节所述，这一问题极为复杂，或许无法以人类可理解的方式有效呈现；相应地，我不得不对 “概念” 的精确含义保持尴尬的模糊 —— 以案例而非定义展开，不严格区分微分（过程）、模算术（理论）、群（公理化数学实体）等。

尽管如此，几句非字面、非形式的导向性说明或有助于澄清我的意图。我们可将概念想象为组织数学思想的树状节点（布尔巴基在数学理论组织与关联中提出过类似图景 [10]）。这棵树的最上层位于自然语言世界，下层概念通过上层概念定义，仅被越来越小的群体理解。

例如，模 m 整数是 “公差为 m 的无穷等差数列”；希尔伯特空间是 “实 / 复向量空间 V 及其上的双线性函数满足……”。此处 “等差数列”“向量空间”“双线性函数” 是更上层、更通用的概念，至少 “等差数列” 可被小学生理解。

我想强调的是：这棵概念树与自然语言一样，是活的有机体，随时代、环境与文化自适应演变。

3.2 人类与机器对概念的不同使用

近期，DeepMind 的 AlphaProof 软件 [31] 给出如下问题的解答：

求所有正整数 a,b，使得对充分大的 n，aⁿ+b 与 bⁿ+a 的最大公约数与 n 无关。

答案仅可能是 a=b=1。我将对比（不展开细节）我与 AlphaProof 的解题思路。

看到这类问题，我的专业训练让我本能采用数论通用策略：将整数算术替换为模素数算术。对满足条件的 a,b，固定素数 p，考察模 p 方程：

aⁿ ≡ −b 且 bⁿ ≡ −a （mod p）

（2）

若 n 满足该方程，则 p 整除 gcd (aⁿ+b, bⁿ+a)。因此，若 a,b 满足要求，上述方程要么对所有充分大的 n 成立，要么对所有充分大的 n 不成立。

模 p 算术的优势在于可应用常规高中代数工具；本例中，我通过取对数与代数运算分析方程，发现当 ab ≡ −1（mod p）时会出现矛盾（即 p 整除 ab+1）。

要理解这一情形为何重要，我们用 α、β、π 分别表示 a、b、−1 的离散对数。原方程可改写为：

nα = β + π

nβ = α + π

将第一个方程乘以 β，第二个方程乘以 α，可得：β² + πβ = α² + πα

也就是说，二次函数 x² + πx 在 x=α 和 x=β 处取值相等。根据二次函数图像的对称性，这一等式成立的充分条件是：α + β = −π

即等价于：ab ≡ −1 (mod p)

对奇素数 p，这一分析快速导出矛盾，故 ab+1 必为 2 的幂，再通过模 4 论证排除这一可能。

AlphaProof 呢？它直接猜测考虑模 ab+1 算术是有用的。没人知道原因 —— 或许它尝试了多种模约简，寻找最简化问题的方式。我不明白，将人类思维隐喻套用在机器上或许也无意义。

对素数乘积 pqr… 取模，本质等价于分别对 p,q,r… 取模；因此，模 ab+1 运算相当于同时对 ab+1 的所有素因子取模。从某种意义上说，AlphaProof 将我并行处理的论证（对每个 p 单独分析）整合为一体。对训练有素的数论学家而言，两种视角不难转换，但二者之间仍存在足够大的心理距离，值得深入探究。

3.3 概念与思维经济性

面对新问题，我已形成本能反应：将整数算术替换为模素数 p 算术，即数论术语中的 “模 p 约简”。这一过程心理高效，节省时间与记忆空间，可适用于大量数论问题，无需记忆多种领域专用技巧；模素数算术还能复用小学阶段熟悉的智力结构（加减乘除、对数）与相关直觉。

AlphaProof 在心理空间与时间上的限制与我完全不同，模素数约简未必适配其限制。它确实使用了模算术，但通常针对合数模（即 ab+1）。合数模算术保留部分常规算术（加减乘），但丢失另一部分（除法、对数）

事实上，在我最初的论证中，恰恰在这一点上犯了错误：证明过程需要同时对 p 取模 和对 p−1 取模，而我在脑中混淆了二者，在不合法的情况下强行使用了模 p−1 除法。

所以，正如我们之前讨论过的其他例子一样：让模算术变得直观易懂的特性，也正是让它变得危险的特性。我直到为这篇文章动笔时，才发现这个错误。

—— 这对我造成一定心理压力，而 AlphaProof 的类似压力仍待研究。

由此可见，模素数 p 算术（即 p 元有限域）之所以成为数学宇宙的突出特征，正是因为它适配人类心理。高斯早已注意到模算术对现有心理结构的有效类比，他引入≡符号作为 = 符号的变体：

我们采用这一符号，是因为相等与同余之间存在类比。出于同样原因，勒让德在我们常引用的论著中对相等与同余使用同一符号。为避免歧义，我们做了区分。[25, §1]

对比亨廷顿的符号：一个额外的圈、一道横线，便分隔了形式与直观。

我再举一例强调类比在概念中的作用。分析中常用函数希尔伯特空间（如 L²(R)）或更特殊的索伯列夫空间（Sobolev spaces），常见如下论证：

若 ||f−g||_{L²} ≤1 且 ||g−h||_{L²} ≤1，

则 ||f−h||_{L²} ≤2；

若取等号，则 g=(f+h)/2。

当然，你可以写出所有定义、硬算不等式完成证明，难度不大。但希尔伯特空间将 “接近” 概念打包，无需每次重写定义，且几乎完美匹配我们对空间中点的几何直觉，让最终结论显而易见，而非与积分苦战。

由此可见，我们的心理、空间直觉，被编码进承载复杂数学的概念中 —— 即便表面看似无几何属性的数学（如上述不等式）。

3.4 概念与交流

概念不仅对思考不可或缺，对分享思想也至关重要 —— 瓦尔德豪森（Waldhausen）曾精彩阐述：

论文的第一部分是一切基础，或许因全程使用抽象语言而略显吓人。这很遗憾，但别无选择。抽象语言的目的并非追求极致一般性，而是简化证明，甚至让某些证明得以被理解。建议读者做个测试：取定理 2.2.1（最极端案例），将完整证明翻译成不使用抽象语言的版本，再尝试传达给他人。[52, p.318]

数学交流需要构建格外稳固的共享心理图像（这甚至可被视为数学的定义性特征，见5.1节）。适配交流的概念未必适配思考，反之亦然；对某类听众有效的概念，对另一类可能失效。

例如，我近期论文[7]的核心概念之一是 “超球面簇”（hyperspherical variety），通过五条公理引入。精确定义在此无关紧要，关键是：在提出公理前，我们已完成该理论的大部分内容。替代公理的是大量 “超球面簇” 案例、可生成新案例的操作集合、以及任何案例应满足的性质列表 —— 这对理论构建已足够有效。

一个概念在非形式化的状态下长期存在，这绝非个例。

在梳理有限维向量空间的历史时，格雷（Gray）写道：

向量空间这个概念，很可能只是众多例子中的一个 —— 数学家们早已使用多年，却浑然不觉，或者说，并不需要知道它的存在。我们可以随手举出其他例子：半群在积分方程理论中早已被长期使用，甚至群也是如此。

对我们的思考而言，这些案例、操作与性质的混合体构成可用概念。我们本可将其转化为形式定义，但很难传达给不共享数学背景的外人。抽象的五条公理表述更不直观，但更适配向匿名读者交流。

类似评论适用于2.2节的讨论。我对 “群” 的认知是案例、性质与图像的混合体，而非公理。尽管这种混合体是高效思考工具，却无法清晰交流；而公理可在几分钟内向数学背景有限的本科生完整解释。公理如同孢子：紧凑、自洽、完整，却无生命，仅通过听众的心理努力被激活。

相比之下，对话的往复能让说话者与听众达成共享心理图像，即便单独表述相当模糊。这有时允许使用更贴近思维过程的概念。在这一点及其他方面，数学的口头文化与书面文化差异巨大，值得更细致研究。

3.5 概念与机器

斯蒂芬妮・迪克（Stephanie Dick）研究过数学家与 AURA（2.4节提及的OTTER前身）的交互：

在某种意义上，阿贡团队用 AURA 完成传统数学家面对新问题时常做的初步 “草稿工作”：尝试多种情形、构造案例、寻找模式或有用类比，以指导证明思路。然而，将这部分工作外包给 AURA，从根本上改变了人类获得的洞见类型 —— 所得洞见不再关于当前数学问题，而是关于计算机程序的行为。[22, p.502]

与机器交互改变了我们的思考与行为。未来，它将如何影响我们对概念的选择？

概念将一组数学思想打包，让我们能以单一单元吸收或传递，常复用现有直觉与心理能力，从而让复杂论证适配我们有限的大脑，降低认知负荷；用马赫（Mach）的老式说法，即实现思维经济性。

但机器（即便不算特别智能）也能帮我们实现思维经济性。机器与概念因此竞争相似功能，一方的可用性会改变另一方的使用方式。当机器能执行数论或分析中的常规证明时，模素数约简、将几何直觉迁移到泛函分析的需求可能减弱。

值得注意的是，数学家已用 “工具 / 机制（machinery）” 描述某类概念；这类概念常组织一系列冗长但常规的计算，例如，弗兰克・亚当斯（Frank Adams）在1971年的著作中，于题为“工具与机制（Machinery）” 的章节开头给出了如下定义 [2，第2章]：

本章的目的是更详细地考察1.7节中提到的研究方案……要完整实施这一方案所需要的定义、定理与证明整套体系，需要投入巨大的智力成本，这对不直接从事相关研究的人来说可能望而生畏。不少读者或许还记得自己当初面对谱序列、层论，或是如今他们最常用的工具时，也曾有过同样的感受。我们该庆幸自己不是研究代数几何的。拓扑学家通常把这套体系称作“工具 / 机制（machinery）”。

而使用时无需了解全部内部细节（马凯Marquis[39] 将这类工具与其他科学中的技术使用类比，这一对比值得进一步研究）。

将这类计算外包给机器，不仅会影响这套 “机制”，还会影响与之交互的各类次级概念，以此类推。以我个人为例，论文 [1] 的附录构建了精细的概念框架，只为判断单个符号的正负；我喜欢这个框架，但如果机器能完成，我们便无需付出这番努力。

概念仍会帮助我们彼此交流，但未来，它们还会帮助我们与机器交流—— 这必将改变我们对概念的价值判断。正如我们花费时间设计提示词、优化搜索查询以对接机械过程，我们也可期待概念被重新设计与优化。

在我看来，机械推理很可能触发数学语言与概念系统的彻底重构，以至于当代数学家与不久的未来数学家可能几乎无法相互理解，至少需要付出巨大努力。这类重构在历史上已发生多次，下文将展开讨论。

4. 同构异态（Cryptomorphism）

我在上一节中提出，机器可能会导致我们的数学概念体系被彻底改写。这样的例子其实有很多：就像同一个故事可以通过不同角色的视角讲出完全不同的味道，对同一段数学的两种描述可以在形式上等价，但在心理认知上截然不同。这种现象有时被称为同构异态（cryptomorphism），这个词最初由伯克霍夫（Birkhoff）提出 [6, VI §11]，用来描述我们在2.2节已经提到的现象：同一个数学结构可以有多种公理化方式。

伯克霍夫致力于对代数结构进行分类。他将代数结构公理化为由集合 S与一族运算 fᵢ:Sⁿⁱ → S（其中 nᵢ为不同整数）组成的系统。那么，两个这样的结构何时才算 “相同”？

虽然存在一个直观的等价概念，但它并不完全令人满意。例如，群可以通过两种运算公理化：二元运算 x,y ↦ xy⁻¹与一元运算 x ↦ x⁻¹；也可以仅用单一运算x,y ↦ xy⁻¹来公理化；还可以用许多其他方式。

正如伯克霍夫所言：

一个更为棘手的复杂性在于：同一个抽象代数结构，往往可以用多种彼此非多项式同构的方式来定义。

伯克霍夫接着给出定义：非正式地说，如果每个 f都能用 g表示，且每个 g也能用 f表示，那么结构 (S,f₁,…,fₖ)与 (S,g₁,…,gₘ)就是同构异态（cryptomorphic）的。

尽管伯克霍夫给出了形式定义，但我希望更灵活地理解同构异态：它指两套都成立的数学命题体系之间可以相互翻译，但它们在心智中的表征完全不同。作为区分标准，我们可以找这样的问题：它能用两种 “语言” 中的任意一种表述，但不同语言会引导出完全不同的解法；或者更通俗地说：在一种语言里看起来很自然的问题，翻译成另一种语言后是否依然自然。

有些同构异态可以用数学语言精确刻画 —— 比如射影几何中的对偶性，或者任何有意义的范畴等价。但我更关心的是难以用简单数学公式刻画的同构异态：比如有些命题无法翻译，有些命题则有多种翻译。

在展示来自数学研究的例子之前，我们先用一个更直观、更视觉化的例子来理解这个概念。看下面这张图：

你可以把它理解成：(i) 堆叠的立方体；或者(ii) 用12个菱形拼成的正六边形铺砌（即密铺、镶嵌，菱形有三种朝向，用阴影区分）。

我们不难在 “铺砌” 和 “立方体堆叠” 这两类数学命题之间建立翻译关系。但显而易见的是，两者在心智中的表征截然不同，会引导出完全不同的自然问题和解题思路。由于这种转换非常具有冲击力，这个例子在数学文献中被广泛研究，例如 [17, 49]。

本节我会给出四个例子。它们并非要直接说明机器如何做数学，而是为了表明：未来数学家之间彼此无法理解，是完全可能发生的事，并把 “同构异态” 提升为数学哲学中一个值得关注的重要话题。

本节比其他章节需要更多的数学背景，但我希望即使没有专业基础，也能抓住核心意思。

4.1 20世纪代数学的重构

20世纪代数学及相邻代数几何领域，连续重构成为常态。韦伯（Weber）与戈尔丹（Gordan）的视角强调代数学的算法与方程层面 —— 韦伯甚至将椭圆函数理论纳入《代数学教程》Lehrbuchder Algebra，我们将在4.2节回到这一点（关于《代数学教程》中所呈现的代数学的更多讨论，可参见科里（Corry）的文献 [15]。）。

这一代数观被诺特（Noether）的结构视角取代，随后在布尔巴基（Bourbaki）、艾伦伯格–麦克莱恩（Eilenberg–MacLane）、格罗滕迪克（Grothendieck）的相继影响下经历进一步重构。现代，高阶范畴语言再次重塑该领域的部分内容。

如今我们或许已难以体会这些变革带来的迷茫，以及它们在多大程度上是对过往内容的重写。前人的几段引文可作说明：

安德烈・韦伊（André Weil）1944年在《代数几何基础》序言中写道 [54]：

当然，每位数学家都有权使用自己的语言 —— 哪怕冒着不被理解的风险；我们同时代人对这一权利的行使，几乎让人担心数学会重蹈巴别塔的覆辙。

结合上下文来看，韦伊的这段引文十分耐人寻味：毕竟，他的著作本身就是对代数几何语言的一次重新梳理。对此，奥斯卡・扎里斯基（Oscar Zariski） 评价道：

“作者以历史连续性为依据，为自己的研究方法辩护…… 但我们的前辈们即便能看到书中对原有理论的完善与补全，也几乎不可能从韦伊的著作里，认出那个他们所熟知的理论体系。”

马塔克（Mattuck）1957年评谢瓦莱（Chevalley）的代数学著作时更为尖锐：

老一辈以直观方式学会这些思想，使其适配思考，却以严谨思维之名，不加任何解释地将这套构造强加给年轻一代，这实在不公平……[40, p.416]

芒福德（Mumford，其导师扎里斯基Zariski是格罗滕迪克前一代学者）回忆另一轮转型：

令人惊叹的是，各类定理在每一代都以不同语言重新表述。扎里斯基与塞尔（Serre）实际上在做同一件事，但使用的语言完全不同。[43, p.103]

这些变革发生很久后，翻译需求依然存在；我的斯坦福同事布莱恩・康拉德（Brian Conrad）有力地指出：

尽管韦伊对代数几何发展作用重大，但没人应再读韦伊的《代数几何基础》；EGA 必须成为该学科的充分逻辑起点。因此，若某重要、有趣或有用定理的已发表证明本质上使用格罗滕迪克前方法，导致后代（或我）无法理解，而我需要理解该定理为何正确并找出概型论证明，我会尝试整理成文。[13]

4.2 模函数

如前所述，韦伯《代数学教程》第三卷 [53] 专门讨论椭圆函数理论，与代数主题有丰富关联：一般五次方程无法用根式求解，但可用椭圆函数求解。

椭圆模函数（elliptic modular function）可定义为洛朗级数（Laurent series）：

∑_{m=m₀}^∞ aₘ qᵐ （0<|q|<1 收敛）

（3）

在坐标 q=e^{2πiz} 下，关于 z↦−1/z 对称。事实上，所有此类函数均可表示为一个特别重要的例子 j 的有理函数，j 的级数展开为：

j = q⁻¹ + 744 + 196884 q + …

j 是现代大多数表述的标准对象，但韦伯对其重视程度低得惊人。相反，他频繁使用一套晦涩的 “2 级” 函数 f、f₁、f₂，由 j 在有限歧义下确定 ——f⁸、−f₁⁸、−f₂⁸是方程

((x³−16)/x)³=j

（4）

的根。

这迫使一系列恒等式成立，例如：

f₀f₁f₂=√2，f⁸=f₁⁸+f₂⁸

（5）

每个椭圆模函数均可由 f 表示，但 f 本身并非严格意义上的模函数，其变换规律更复杂。因此，j 为椭圆模函数理论提供了更优雅的基础。那韦伯为何使用更繁琐、冗余的基？

该理论中的众多代数奇迹之一是：若 Φ 是任意椭圆模函数且系数 aₘ为有理数，则 Φ 在任意二次无理数 z 处取代数值（即 z=a+i√b，a,b 为有理数）。这是复数乘法理论，19世纪数学的瑰宝，或许也是我进入数论的原因。

这一结论对 f 同样成立，且f 的取值远简单于 j。例如，韦伯给出表格：f 在√−11、√−19、√−43、√−67、√−163 处的值分别为多项式

x³−2x²+2x−2, x³−2x−2, x³−2x²−2, x³−2x²−2x−2, x³−6x²+4x−2

（6）

的根；而 j 在√−11 处的值是一个复杂方程

x³ −1122662608x² +270413882112x −653249011576832 = 0

的根，且情况愈发糟糕。

对现代计算机而言，这一区别意义不大；但对韦伯（大量手工计算）来说，f 相较于 j 的优势显而易见。

从 j 表述到 f 表述的翻译看似微小，不配称作同构异态，但它在数论发展中扮演关键角色。1952年，高中教师黑格纳（Kurt Heegner）解决高斯的类数 1 问题（即寻找所有 j(z) 为有理数的二次无理数 z）。黑格纳充分利用韦伯的函数： f (z)² 满足简单三次方程与由 (4) 导出的第二个方程之间的张力。

黑格纳（Heegner）指出，对于特定的整数 A、B，函数 f(z)²满足如下形式的三次方程：y³+2Ay²+2By=2

将其与式 (4) 对比后，他推导出等式：(B−2A²)²=2A(A³+1)

该方程关于 (A,B)的解仅有以下六组：

(0,0), (1,0), (−1,2), (2,2), (1,4), (2,14)

至少在我看来，这一方法的精神与韦伯高度一致：不聚焦单一不变量 j，而是研究更丰富的 f 集合，并利用它们之间的相互关系。现代 “黑格纳点” 理论可视为这一视角的延伸 [8, §3, §4]。

黑格纳的证明在他生前被数学界忽视，直到其他证明出现后，其论证才被认定基本有效。韦伯著作的不精确性、黑格纳的圈外人身份，都导致其证明被驳回；但或许另一个原因是：韦伯的直白风格已过时。然而，正是韦伯的直白风格让他使用 f，而 f 之间的关系被黑格纳高效利用。

4.3 纯线性代数与应用线性代数

我曾在阳光明媚的斯坦福校园与同事杰克・波尔森（Jack Poulson，数值线性代数专家）有过如下对话：

“我说，我不喜欢你们纯数学家教特征值的方式。”

“怎么了？”

“通过求特征多项式根来求特征值，这很荒谬。给我一个多项式让我求根，我会构造以该多项式为特征多项式的矩阵，再用 QR 算法！”

杰克的评论体现了不同群体对线性代数的不同路径。QR 算法得名于矩阵分解：将一般方阵 A 分解为

A=QR，Q 正交，R 上三角。

（7）

这类矩阵分解为诸多线性代数问题提供工具。

矩阵分解并非我线性代数教育的一部分（至少无系统讲解）；总体而言，纯数学家对其重视程度较低。然而，大多数标准矩阵分解等价于我在线性代数中以其他形式遇到的现象或定理。例如，我将 QR 分解视为格拉姆–施密特（Gram–Schmidt）正交化定理的一部分：

给定实希尔伯特空间 V 的基 e₁,…,eₙ，存在标准正交基 q₁,…,qₙ，使得对每个 j，e₁,…,eⱼ与 q₁,…,qⱼ张成相同空间（特别地，存在 V 的一个正交基）。

这等价于 QR 分解：取 V=Rⁿ，将 e₁,…,eₙ作为矩阵 A 的列，q₁,…,qₙ作为矩阵 Q 的列，则 A=QR，R 为上三角矩阵。

经验丰富后，QR 分解与格拉姆–施密特正交化之间的翻译耗时不长，但二者侧重点不同，引导不同思路。QR 算法本身便是例证：迭代过程 A=QR→A′=RQ，在一般性假设下，A 收敛至上三角形式，对角线元素即为 A 的特征值。

这是数值分析的绝对基础事实，提供了数值稳定的特征值计算方法，如杰克所言，可用于诸多其他问题。在我看来，QR 算法也是纯数学的非凡成果，具有丰富的内部代数结构，与托达可积系统密切相关 [47]。但纯数学家并未发现 QR 算法，且据我非正式调查，我们中很少有人了解它。

我们构建线性代数的方式让纯数学家甚至难以想到它：我们用存在性定理与基构造表述 QR 分解，而 QR→RQ 迭代在这种语言中几乎无意义。

下表列出其他标准矩阵分解及我遇到它们的场景：除第一个外，我均在线性代数课中隐性接触，在李群 / 代数群理论中显性接触 —— 并非作为矩阵特征，而是作为约化李群 / 约化代数群的性质。

面向纯数学家的线性代数讲解，比面向数值分析家的讲解更不强调矩阵分解。两个领域在适当的一般性与适用性水平上做出了不同选择。

纯数学家的线性代数方法关注在任意域上成立的运算（即允许加减乘除的标量概念）；特定于实标量的线性代数思想可能被视为过于专门化，进而被转移到其他领域（如实李群理论）。相比之下，数值分析家主要关注在实标量上成立且数值稳定的运算，因此通常更强调奇异值分解而非特征值分解。

不难想象两个领域做出不同选择，这很可能导致线性代数的不同概念化。

例如，纯数学家可能会关注那些在一般环或除环上均成立的运算；而应用数学家则可能会寻求这样的运算 —— 它们并非能抵御矩阵元素的微小扰动，而是能抵御少量元素的扰动（这一点在计算机科学领域中已得到实际应用）。

4.4 计算、概念与超几何函数

纯线性代数与应用线性代数的更本质区别在于：纯方法中，矩阵根本不是主要对象，只是计算工具；纯数学家眼中更基础的对象是抽象得多的向量空间之间的线性变换，矩阵 “只是” 该对象的表示。

将算法概念替换为更抽象概念，是现代数学的典型特征。然而，有限维向量空间的语言（对矩阵与向量的算法语言进行概念打包）在纯数学之外的领域基本未获接受。

更普遍地说，无论抽象概念多么优雅，算法形式有时更有机、更持久—— 德马泽（Demazure）在消去理论中雄辩地阐述了这一点：

但对象是顽固的，显式方法不断重现。一项计算总是比特定时期局限它的理论框架更具一般性。二次方程求解起源于巴比伦泥板（引入历史上第一个判别式），重现于二次型平方分解、勒让德–高斯最小二乘法、格拉姆–施密特正交化……[21, p.336]

感谢詹姆斯・帕森（James Parson）提醒我关注德马雷（Demazure）的这篇论文。该论文原文（法文）写道：

“然而，研究对象往往执拗不屈，显式方法亦会不断重现。一项计算的普适性，总是超越特定时期内人们为其设定的理论框架。源自巴比伦泥板的二次方程求解法（它也开创了历史上首个判别式的应用），此后又相继在二次型的平方分解、勒让德 - 高斯最小二乘法、格拉姆 - 施密特正交化等理论中重焕生机……”

复杂计算有时像体力劳动：手与纸执行思考，而非大脑。用概念框架替代这一过程，是试图将过程内化，让手工计算可被认知与交流。然而，这与形式主义的冲动恰好相反—— 形式主义追求外化，将数学思维从大脑转移到纸或机器。这是一种奇特的张力。

换言之：结果的计算性呈现本身已是形式主义表述，即按定义的推理规则逐步处理。数学家常选择更精细的编码：先将计算性表述替换为概念性表述，再将概念性表述重铸于公理化框架。

特殊函数是计算被抽象替代的有趣案例。至少在纯数学中，它们大多被边缘化，但在诸多当代理论中仍可见其影子。为说明这一点，我们来看欧拉与高斯的神奇超几何函数：

₂F₁(a,b;c;z) = ∑[(a)ₙ(b)ₙ/((c)ₙn!)] zⁿ (a)ₙ=a(a+1)…(a+n−1)

它参与大量优美恒等式，如今很少被讲授（我从未在任何课程中遇到，实属遗憾！），但这些恒等式仍通过仍在讲授的主题以不同方式被保留，原因在于：

(a) 在表示论中，₂F₁提供了 SL₂(R) 群不可约表示的坐标显式写法，是维连金（Vilenkin）倡导的视角特例 [51]；

(b) ₂F₁满足的微分方程仅涉及 z 与 d/dz 的多项式，使其可被引入纯代数领域，催生超几何 D - 模理论及其更代数化身 —— 超几何层，卡茨（Katz）对此有深入研究 [34]。

针对这一例子，卡茨（Katz）这样描述其推导过程：

“我们的核心发现是：从形式上看，该积分是函数f(x):=xᵃ⁻ᶜ(1−x)ᶜ⁻ᵇ⁻¹与函数g(x):=x−a的加法卷积。随后，我们将 f(x)视为刚性局部系统的具体表现，将 g(x)视为乘法群 Gₘ上库默尔层（Kummer sheaf）的具体表现，并尝试构造这两类对象的加法卷积。从某种意义上说，我们全书的内容，正是先为这一思路建立严谨的理论基础，再加以充分运用。”

我做过一个类似4.3节的练习：将₂F₁的标准恒等式列表，尝试翻译成更抽象的 (a)(b) 语言。结果发现，(a)(b) 确实能自然清晰地解释部分公式，但 —— 呼应德马泽的评论 ——无法解释全部。事实上，部分公式根本不适合任一框架。

下表中 “？？” 表示我无法立即从给定视角 “自然” 推导出指定公式。最有趣的条目或许是最后一个：海涅（Heine）等人发现，超几何级数理论整体可进行q-形变—— 系统修改项以引入额外参数 q，使诸多恒等式保持有效。这一形变在表示论语境（量子群）中很晚才被发现，在代数几何语境中仍未完全清晰（大概率与 q-形变德拉姆上同调（de Rham cohomology）相关）。

这些主题触及现代理论的最深处，却与早于现代数学的符号恒等式呈现深刻平行。

4.5 数学在数学中的不合理有效性

一组新概念可从另一组概念演化而来，但上述案例揭示了更非凡的现象：数学家讲述的故事一次次意外碰撞，戴维・科菲尔德（David Corfield）称之为 “数学在数学中的不合理有效性”[14]。

此类案例不胜枚举，我仅列举几个我最关注的：

戴德金（Dedekind）与韦伯（ Weber） [19] 发现理想与环扩张语言是重写黎曼曲面理论的合适工具；

艾伦伯格（Eilenberg）与麦克莱恩（ Maclane）的合作 [23] 源于代数与拓扑计算的巧合；

紧连通李群成对出现的现象，被数学家 [36] 与物理学家 [26] 独立发现，两个相隔甚远领域的成果后来被证实相关 [35]；

关于高范畴论与拓扑学的近期融合，约翰・贝兹（John Baez）有一段令人难忘的描述：

这有点像爬山，借助绳索与装备翻越陡峭悬崖，却在山顶发现假日酒店，意识到另一侧有四车道高速公路直通山顶。[4]

我们该如何理解这些近乎奇迹的巧合？它们是否揭示了世界的统一性、数学文化的互联性，或我们自身心智的局限性？我更愿意得出如下启示：

做数学的本质之一，就是用一千种语言讲述同一个故事。

5. 向外眺望

在自动推理的时代，人们对数学的概念图景可以有许多种构想。我们究竟选择哪一种，在很大程度上取决于我们希望数学成为什么样子。

人们常常默认我们对此答案已有共识。但我并不这么认为；即便真有共识，每一代人也都需要重新思考这个问题。然而，数学家不能孤立地思考它，我们必须与周遭世界对话，并且是重新对话。我将以此相关的几点思考作为本文的结尾。

5.1 戴维斯–赫尔希（Davis–Hersh）论题

思考数学的人类角色时，我发现戴维斯与赫尔希提出的以下论题非常有用：

对具有可复现性质的心智对象的研究，称为数学。[18, p.399]

当然，其他人也提出过类似思想；戴维斯与赫尔希的表述格外简洁。

这意味着什么？故事在人与人之间传递会改变，词语对不同人意义略有不同，每次传递都会变化。但数学的交流几乎不受此类改变影响。若我描述 “直角” 概念，你可能忘记，但不太可能以轻微错误的方式记住 —— 直角概念是刚性的。围绕这一论题的精彩数学讨论可参见博罗维克（Borovik） [9]。

我们可以从多方面提出质疑：“心智对象” 未能充分解释外化思维（如书写计算）的作用，也无法阐明同构异态现象（即不同可复现心智对象之间的意外关联）。可复现性存在程度差异；音乐、诗歌等活动也具有强可复现特征。我们不能忘记，可复现心智对象的构成受巨大文化影响 —— 想想为让大脑适应数学所依赖的字母与数字，需要付出多么惊人的努力。

但戴维斯–赫尔希论题有两个本质特征，使其特别适配本文目的：它将数学定位为人类活动（心智对象）与社会活动（可复现性质）。这为理解数学在人类文化中的角色提供了便利框架。

可复现心智结构提供心理确定性与审美满足，支持精确交流与科学理解，调解共识 —— 即便在智能机器无处不在的时代，这些功能仍可能持续存在。

例如，若科学是对自然可复现性质的研究，那么顺理成章（即便略显草率）的结论是：科学的心智模型必然是可复现的认知对象，从这一视角看，同义反复地属于数学。同样明显的是，心智可复现性与调解共识相关，并在一定程度上强制达成共识 —— 这种共识可视为现代文化中知识广泛数学化的基础。

算术事实是我们所有人必须认同的，无需了解其解释；我们都认同珠穆朗玛峰是世界最高峰，因为它的高度大于所有其他山峰，但我们很少追问山峰高度究竟测量的是什么。

数学与共识之间的关联是双向的。劳埃德（Lloyd）在其著作的第3章 [37] 中，探讨了古希腊时期证明概念与政治、法律领域中说服需求二者间的关系。

5.2 重视交流

广义上的数学扮演着基本的人类角色。但数学越高深，与这些人类功能的联系就越脆弱。

第3节提及的概念（希尔伯特空间、环等）确实具备心智可复现特征，但其复现需要巨大努力，仅存在于连接自然语言与现代纯数学语言的庞大训练与教育基础设施中；这一基础设施的持续存在并非理所当然。

数学语言与自然语言的分离，是更广泛主题的一部分 —— 数学作为智识传统与更广泛学术文化话语的分离。这是历史学家杰里米・格雷（Jeremy Gray）所称的数学 “现代主义转型” 的一部分：

此处，现代主义被定义为自主的思想体系，几乎无外部指涉，高度强调工作的形式层面，与日常世界保持复杂（甚至焦虑）而非朴素的关系……[28, §1.1.1]

数学作为自主研究领域的发展，让我们得以探究极致复杂的结构，达到若 总被社会问责便永远无法企及的深度。但这付出了极高代价。

当我们越来越遗忘人类思想的其他领域（包括人文、艺术与科学），我们也对自身产生渐进式失忆：丢失了帮助我们理解自身工作 “价值与意义” 的叙事。

当然，大多数数学家认同做数学有某种特别之处，否则我们不会选择这条路；我们将其视为具有内在意义的活动，无需外部认可。但我们在狭窄同行圈之外分享这一体验的能力已减弱，这一损失也属于我们。

尽管存在这一鸿沟，归根结底，我们的数学仍是更广泛文化的仆人。它是个体与集体思考的工具，仅在保持有用性的前提下存续。虽然我们与知识、学术的关系必将被自动推理改变（正如很久以前被书写改变），独立与共同思考的需求丝毫未减。数学在其中必然扮演角色，但我们不能想当然地认为这一角色与过去相同。

因此，当数学家思考未来时，我们对学科发展方向的思考不能止步于自身领域边界。相反，我们需要与领域外的智识世界开展更严肃的对话；为此，我们需要将交流重新置于数学观念的核心。

正如戴维斯与赫尔希雄辩地指出：可交流性并非数学的附属品，而是其定义的一部分。

6. 致谢

感谢哈佛大学数学系的盛情款待，感谢讲座听众对我另类选题的积极参与。

感谢斯蒂芬妮・迪克（Stephanie Dick）关于自动化与数学史的有趣对话，感谢迈克尔・哈里斯（Michael Harris）不懈倡导数学与人文学科的深度交融。衷心感谢同事杰里米・阿维加德（Jeremy Avigad）、阿拉温德・阿索克（Aravind Asok）、玛蒂尔德・盖尔贝利 - 戈蒂埃（Mathilde Gerbelli-Gauthier）、戴安娜・吉卢利（Diana Gillooly）、亚历克斯・康托罗维奇（Alex Kontorovich）、帕特・沙夫托（Pat Shafto）、杰西・沃尔夫森（Jesse Wolfson），以及两位匿名审稿人。他们对本文的仔细阅读与批评，磨砺了我的思想，重塑了本文的最终形态。

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参考资料

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