新型 “二维码” 解开数学中最棘手的纽结

借助一种新发现的数学工具，研究人员希望能以前所未有的视角洞察复杂纽结的结构。

数学家最近发明了一种区分纽结的新方法：为每个纽结生成一个彩色的 “二维码”。

图源：Dror Bar-Natan, Roland van der Veen; Quanta Magazine

作者：埃丽卡・克拉赖希（Erica Klarreich，量子杂志特约记者）2026-4-22

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-4-23

引言

从电脑线的缠绕，到猫咪把你的编织篮弄得一团糟，纽结在日常生活中无处不在。它们也遍布科学领域，出现在 DNA 环、相互缠绕的聚合物链以及旋转的水流中。而在纯数学领域，纽结是拓扑学中许多核心问题的关键。

然而，纽结理论家们仍在为一个最基本的问题苦苦挣扎：如何区分两个纽结。

仅仅通过观察，很难判断两个复杂的纽结是否具有相同的结构。即便它们看起来截然不同，你也有可能通过挪动一些绳结，将一个变成另一个。（在数学家看来，纽结的两端始终是闭合的，因此这类挪动不会将其解开。）

在过去一个世纪里，纽结理论家们开发出了一套清晰但并不完美的工具，用于区分纽结。这些工具被称为纽结不变量，它们各自衡量纽结的某个特征 —— 或许是其交织绳结形成的图案，或许是其周围空间的拓扑结构。如果你用一个不变量测量两个纽结，得到不同的结果，就证明这两个纽结是不同的。但反过来并不一定成立：如果不变量给出相同的结果，这两个纽结可能相同，也可能不同。

有些不变量区分纽结的能力更强，但存在一个权衡：这些更强的不变量往往难以计算。“大多数不变量要么能力极强但无法计算，要么容易计算但能力极弱。” 悉尼大学的丹尼尔・图本豪尔（Daniel Tubbenhauer）说。

当纽结的绳结交叉数达到 15 次或 20 次时，许多不变量就开始失效 —— 要么无法区分大量纽结，要么计算难度变得过高。多伦多大学的德罗尔・巴尔 - 纳坦（Dror Bar-Natan）表示，对于大多数纽结不变量而言，“如果你说‘300 次交叉’，然后再说‘计算’这个词，那简直是科幻小说里的事。”

十交叉点的纽结复杂度

彼得・格思里・泰特（Peter Guthrie Tait）1885 年一篇论文中的一页，他在这篇论文中区分了 10 个交叉点的不同纽结。

图源：彼得・格思里・泰特（Peter Guthrie Tait）

但如今，巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）与荷兰格罗宁根大学的罗兰・范德维恩（Roland van der Veen）共同提出了一种纽结不变量 https://arxiv.org/abs/2509.18456 ，它让数学家不必在两种弊端之间做选择：它既强大又易于计算。“它似乎正处于能诞生惊人成果的最佳平衡点。” 未参与这项研究的图本豪尔（Tubbenhauer）说。

这种强大与快速的结合，意味着数学家可以探索此前遥不可及的纽结。对于交叉数多达 300 次的纽结，计算这个新不变量轻而易举，巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）和范德维恩（van der Veen）甚至已经计算出了交叉数超过 600 次的纽结的部分不变量信息。

“从某种意义上说，我们是凭直觉摸索出来的。”

——格罗宁根大学的罗兰・范德维恩（Roland van der Veen）

“这一突破堪比一种新型望远镜：它不仅在熟悉的范围内提供更清晰的分辨率，还将我们的探索范围扩大了 10 倍。” 耶路撒冷希伯来大学的吉尔・卡莱（Gil Kalai）说。

对于每个纽结，这个不变量会输出一个彩色的六边形 “二维码”，其对称性与精致细节堪比雪花。“输出结果美得惊人，变化多到难以置信。” 不列颠哥伦比亚大学的利亚姆・沃森（Liam Watson）说，“它仿佛来自另一个世界。”

数学家希望这些复杂的图案能指引他们发现单个纽结更深层的拓扑特征。“你立刻就会好奇，” 沃森（Watson）说，“究竟是这个特定纽结的什么特征，产生了这样独特的图案？”

纽结的分类筐

想象一个游戏：你画出一个纽结，尝试用红色、黄色或蓝色为每根绳线染色。规则是必须至少使用每种颜色一次，且在每个交叉点处，要么三种颜色都出现，要么只出现一种。有些纽结可以这样染色，有些则不能 —— 例如，三叶结可以染色，而八字结不行。

绳线与交叉点

可三色染色 | 不可三色染色

图源：Mark Belan/量子杂志

无论你如何进一步缠绕某个给定的纽结，如果它一开始是 “可三色染色” 的，那么它始终保持这一属性。同理，不可三色染色的纽结也始终如此。这使得三色染色法成为一种纽结不变量。

计算一个纽结是否可三色染色并不难，但这个不变量区分纽结的能力并不强。它仅将纽结分为两类：可三色染色的和不可三色染色的。如果你要区分的纽结恰好属于同一类，那就无计可施了。你可以通过使用更多颜色和规则，以及统计纽结的染色数量（而非仅判断能否染色）来改进不变量。这些优化能创造出更强的不变量，但计算难度也会随之增加。

“这一突破堪比一种新型望远镜。”

—— 耶路撒冷希伯来大学的吉尔・卡莱（Gil Kalai）

在过去一个世纪里，纽结理论家们提出了数百种不变量。借助这些工具，他们成功整理出了20 个及以下交叉点的超过 20 亿个纽结的目录 https://msp.org/agt/2025/25-1/agt-v25-n1-p12-p.pdf —— 考虑到既易于计算又能力强大的不变量十分稀缺，这是一项壮举。说到识别纽结，“我们百年来纽结理论拥有的工具并不算特别出色。” 图本豪尔（Tubbenhauer）说。

部分原因在于，最强大的纽结不变量往往源于对纽结内部深层拓扑结构的研究。但很少有纽结理论家既精通这些理论概念，又掌握设计易于计算的不变量所需的计算知识。

巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）和范德维恩（van der Veen）是这一规则的例外 —— 他们既是理论学家，又是熟练的程序员。他们的新不变量源于深刻的拓扑思想，但目前他们主要专注于打造快速且强大的不变量。沃森（Watson）表示，在纽结理论中，这种将可计算性作为优先考量的做法 “在学术文化上是全新的”。

纽结高速公路

巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）研究新不变量的历程始于 20 年前，当时他试图理解带状纽结—— 沿着自身穿过的带状边界延伸的纽结。这项工作促使他重新研究一种格外强大的不变量 ——孔采维奇积分（Kontsevich integral），它包含了许多其他纽结不变量。数学家推测，这个不变量强大到可以区分所有纽结。

“我开心了大约五分钟。” 巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）说。随后他提醒自己，从实际应用来看，孔采维奇积分根本无法计算。“它只是一个抽象存在的东西，但你无法从它推导出任何关于现实纽结的结论。”

复杂度递增的 “方形编织” 纽结的二维码

图源：德罗尔・巴尔 - 纳坦（Dror Bar-Natan）、罗兰・范德维恩（Roland van der Veen）

巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）开始尝试用更易计算、同时保留其核心价值信息的不变量来近似孔采维奇积分。存在一组自然的不变量序列，能越来越细致地捕捉孔采维奇积分的细节。但除了序列中的第一个不变量外，没人知道如何高效地完整计算这些不变量。

“输出结果美得惊人，变化多到难以置信。它仿佛来自另一个世界。”

—— 不列颠哥伦比亚大学的利亚姆・沃森（Liam Watson）

2015年在奥胡斯大学的一场讲座上，巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）分发了一份描述其研究目标的讲义 https://www.math.toronto.edu/drorbn/Talks/Aarhus-1507/index.html 。讲义底部用大号紫红色斜体字写着：“急需帮助！” 台下的范德维恩（van der Veen）响应了这一呼吁。两人携手合作，试图找到突破序列中第一个不变量的方法。

他们首先研究序列中的第一个不变量：亚历山大多项式，它于1923年被发现。在纽结领域，多项式将纽结的测量值转化为数字与变量幂次的组合，例如 3x⁷+8。（亚历山大多项式还包含 x 的倒数的幂次。）在过去一个世纪里，数学家提出了数十种计算纽结亚历山大多项式的方法。巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）和范德维恩（van der Veen）着手推广其中一种方法，并最终用交通流的语言进行了表述。

把纽结想象成一条单向高速公路，在某处剪开，使其有起点和终点。再想象每两个交叉点之间都有一座城市。如果一辆车从高速公路起点出发，它会依次驶过每座城市一次，然后从终点驶出。

1. 剪开你的纽结高速公路

2. 在每个交叉点前后设置城市

3. 车辆单向行驶，依次经过城市

要构建亚历山大多项式，想象在每个交叉点处，从上层通道到下层通道有一个可选的下行匝道。当车辆到达上层通道时，有一定概率（设为 x）会选择走下行匝道而非上层通道。（实际设置更复杂，有时会涉及 x 的倒数。）

现在，车辆不一定会恰好驶过每座城市一次。假设你在迈阿密派出 100 辆车，询问有多少车流会经过亚特兰大。有些车可能会经过亚特兰大一次，有些则可能多次经过或完全绕过。通过亚特兰大的预期车流量可以写成一个关于 x 的函数，它能刻画纽结绳线相互缠绕的信息。

对于每两座城市，你都可以构建一个交通流函数。这些函数的简单组合就能生成亚历山大多项式，也就是孔采维奇积分的一阶近似。

巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）和范德维恩（van der Veen）认为，通过创建一个包含两种车辆、以不同概率（例如 x 和 y）走下行匝道的交通场景，或许可以为不变量序列的第二步写出类似公式。但尽管付出诸多努力，他们始终没能找到可行的交通流设置。直到有一天，他们从亚原子粒子数学中获得了灵感。

就像粒子可以结合或分裂成其他粒子一样，巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）和范德维恩（van der Veen）设想他们的两种车辆有时会结合形成第三种交通工具 —— 仿佛一辆车被另一辆牵引。两辆车会作为一个整体驶过高速公路，之后可能再次分离，各自行驶。你依然可以计算从迈阿密出发的车流中有多少会经过亚特兰大，但这一次，你还会追踪不同的车辆类型。

15 个带有不同红蓝图案的六边形

300个及以上交叉点的多个纽结的二维码

图源：德罗尔・巴尔 - 纳坦（Dror Bar-Natan）、罗兰・范德维恩（Roland van der Veen）

巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）和范德维恩（van der Veen）确信自己找到了正确的设置，但他们仍不知道如何组合所有交通流函数，直接生成一个纽结不变量。不过，他们的设置让他们对这类不变量的整体 “形态” 有了直观认识。于是他们采用了一个经典技巧：直接写出一个符合整体形态的公式，然后调整系数，确保即便纽结绳线被挪动，公式依然保持不变。

“从某种意义上说，我们是凭直觉摸索出来的。” 范德维恩（van der Veen）说。

最终得到的结果是一个包含变量 x 和 y 的复杂多项式，让其他研究人员感到困惑。“你用车辆、匝道和概率做了这么复杂的操作，而无论你采用纽结的何种形态，得出的结果都保持一致 —— 这太神奇了。” 悉尼大学的祖扎娜・丹乔（Zsuzsanna Dancso）说，“他们到底是怎么想出来的？”

纽结之梦

尽管这个多项式看起来复杂，但计算机可以轻松计算，即便对于数百个交叉点的纽结也是如此。而且它能力极强：例如，图本豪尔（Tubbenhauer）计算得出，该不变量能唯一识别超过 97% 的 18 个交叉点的纽结。相比之下，最常用于整理纽结目录的琼斯多项式识别率约为 42%，亚历山大多项式仅约 11%。

“我认为没有任何不变量在可计算性和相对能力上能与它媲美。” 沃森（Watson）说。

研究人员将多项式的系数绘制成一种热图，创造出了引人注目的视觉效果 —— 每个纽结对应一个华丽的六边形二维码。二维码不同的两个纽结，必定是不同的纽结。

纽结的编码

复杂的纽结很难区分。研究人员公布了一种区分方法：为每个纽结生成一个特殊多项式，可将其可视化为彩色 “二维码”。

1） 三叶结的多项式包含 12 项

-x² -x² -y² -x²y² +xy² +x²y +xy +x²y +x²y -y² +xy² -x²y²

2）要生成二维码，将多项式的每一项表示为一个点。以变量 x 的指数作为点的第一个坐标，变量 y 的指数作为点的第二个坐标。

(-2,0) (2,0) (0,-2) (-2,-2) (-1,-2) … (2,2)

3）系数为正，则将点标为红色，系数为负，则标为蓝色。系数：项所乘的数字，此处为 -1。

(-2,0)(2,0) (0,-2)(-2,-2) (-1,-2)... (2,2)

注：系数绝对值越大，颜色越深。本例中所有系数均为 1 或 - 1，因此颜色强度相同。

4）将所有点绘制在平面上，然后平移所得图形，生成更对称的二维码。

绘制点 → 施加剪切变换 → 将点渲染为六边形

二维码不同的两个纽结，必定是不同的纽结。

图源：Mark Belan/量子杂志

巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）和范德维恩（van der Veen）预计，这个二维码除了区分纽结外，还有诸多用途。在他们论文题为 “故事、猜想与梦想” 的章节中，他们提出二维码可能有助于阐明广泛的纽结拓扑特征。例如，他们认为六边形的直径将为衡量纽结复杂度的指标 ——纽结亏格（这对曲面研究也至关重要）—— 设定一个下限。丹乔（Dancso）表示，如果这一点得到证实，“这意味着我们将能更精准地计算大型纽结的亏格。”

巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）、范德维恩（van der Veen）以及其他研究人员都确信，这个新不变量等价于孔采维奇积分的二阶近似，数学家称之为双圈多项式，并已对其研究了数十年。

https://arxiv.org/abs/math/0003187

https://arxiv.org/abs/math/0005284

https://msp.org/gt/2007/11-3/p04.xhtml

“我愿意用我的房子打赌。” 北卡罗来纳大学教堂山分校的列夫・罗赞斯基（Lev Rozansky）说，他是最早研究双圈多项式的学者之一。

传统形式的双圈多项式难以计算，但拓扑内涵丰富。因此，证明这种等价性将立即证实巴尔 - 纳坦（Bar-Natan）和范德维恩（van der Veen）赋予其新不变量的大部分拓扑能力。即便如此，作者仍希望最终能用更简单的方式解释这个新不变量。“一个基础构造理应拥有简洁的解释。” 他们写道。

从某种意义上说，他们觉得自己只是偶然闯入了故事的中间部分。“我们对故事的开头和结尾都不甚了解。” 他们写道。

与此同时，研究人员可以尝试创建包含更多车辆和变量的交通流设置，试图刻画孔采维奇积分中存储的越来越多的信息。“还有一整类相似的事物正等待我们去发现。” 范德维恩（van der Veen）说。

参考资料

https://www.quantamagazine.org/a-powerful-new-qr-code-untangles-maths-knottiest-knots-20260422/

https://arxiv.org/abs/2509.18456

https://msp.org/agt/2025/25-1/agt-v25-n1-p12-p.pdf

https://www.math.toronto.edu/drorbn/Talks/Aarhus-1507/index.html

https://arxiv.org/abs/math/0003187

https://arxiv.org/abs/math/0005284

https://msp.org/gt/2007/11-3/p04.xhtml