2026数学教育讲座系列第5讲——“d代表鸭子”在认知误区中教好变量概念

本期第5讲，EMS欧洲数学会邀请菲利普·穆恩斯（Filip Moons）教授带来教育实践讲座：“d代表鸭子”——在一条充满误解的路上教导变量，发现代数教学中的常见陷阱，并学习如何引导学生正确理解变量。

左：菲利普·穆恩斯（Filip Moons）教授

右：主持人汤姆・克劳福德博士（Tom Crawford）

作者：EMS（欧洲数学会）2026-5-8

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-5-12

1月9日 安娜・斯托克（Anna Stokke）：《数学基础能力的重要性及提升路径》

数学具有严密的知识层级性，若学生未能熟练掌握数感、算术、分数等基础能力，在高阶数学学习中必将遭遇瓶颈。教学内容的选择与教学方法的运用，直接决定学习成效。

2026数学教育讲座系列——数学基础能力的重要性及提升路径（by Anna Stokke）——EMS欧洲数学会

2月13日 努诺・克拉托（Nuno Crato）& 蒂姆・苏尔马（Tim Surma）：《运用人类认知原理优化数学学习》

探索检索练习、间隔学习、例题示范等高效认知科学策略，帮助学生夯实知识熟练度，构建深度理解。

2026数学教育讲座系列第2讲——利用人类认知原理提升数学学习（by Nuno Crato &Tim Surma）——EMS欧洲数学会

3月13日 伍鸿熙（Hung-Hsi Wu）：《何为学校数学？》

深入剖析学校数学课程的连贯性，探讨如何为教师配备必备的数学专业知识，助力教学成功。

2026数学教育讲座系列第3讲——伍鸿熙教授讲述何为学校数学——EMS欧洲数学会

4月10日 萨拉・鲍威尔（Sarah Powell）：《帮扶数学学习困难学生》

分享五种经实证验证的有效策略，为有特殊数学学习需求的学生提供支持。

2026数学教育讲座系列第4讲——帮扶数学学习困难学生（by Sarah Powell）——EMS欧洲数学会

5月8日 菲利普・穆恩斯（Filip Moons）：《“d代表鸭子”：在认知误区中教好变量概念》

揭示代数教学中的常见陷阱，学习如何引导学生正确理解变量的核心内涵。

6月12日 陶哲轩（Terence Tao）：《学生应如何合理运用人工智能？》

聆听菲尔兹奖得主的见解，探讨如何规范使用人工智能工具，培养健康高效的学术思维习惯。

主持人（汤姆・克劳福德博士 Tom Crawford）：

欢迎来到欧洲数学会数学教育系列讲座的第五场。抱歉刚才双音频串音了，听着很别扭，稍等一下，好了。不好意思，刚才开的窗口太多，想自作聪明调设置，结果听到自己回声，特别影响状态。我重新开始。

欢迎来到欧洲数学会数学教育系列讲座第五期。这周依旧由我来主持，虽说刚才开场一团糟，实在有点不应该。也特别感谢安（Ann Dooms）上周临时替我主持。可能有人好奇我上周怎么缺席了：我犯了数学人最典型的毛病 —— 算术不好、又搞不定时区，订机票算错时间，第四场讲座直播时我还在飞机上。再次感谢安临时救场。

欢迎新来的各位观众。我是汤姆・克劳福德博士，英国在职数学家，任教于牛津大学和剑桥大学，今天人在剑桥。菲利普特别遗憾我没带上我的巨型橡皮鸭玩偶，今天讲座主题刚好是《d代表鸭子》，实在抱歉。玩偶留在牛津了，我人在剑桥，安排得太不巧。

本场是第五讲，也是倒数第二讲。终场讲座将在五周后，6月12日周五开讲，特邀陶哲轩教授分享：学生该如何管控自己的人工智能使用节奏，收官讲座看点十足。当然今天的内容同样精彩。

正式介绍菲利普之前，照例先介绍主办方 —— 欧洲数学会。学会一直致力于推广数学研究与数学教育事业。想了解入会详情的观众，我们会把链接发在 YouTube 聊天区和视频简介里。任何人都可以加入，能助力个人职业发展，还能获取海量优质学术资源。

另外，本次系列讲座已接近尾声，往期回放都在欧洲数学会 YouTube 官方频道 https://www.youtube.com/c/EuropeanMathematicalSociety/live 。大家进入直播专区，就能找到所有录播，可以按自己的倍速回看。

本场流程照旧：一小时主题讲座，之后三十分钟问答环节。大家有问题尽量用问卷表单提交；发聊天区我很难统计、容易遗漏。问卷链接同样会发在 YouTube 聊天区和直播简介下方。

铺垫了一堆流程事务，现在正式有请今天的主讲嘉宾：菲利普・穆恩斯（Filip Moons）。

他是乌得勒支大学弗洛伊登塔尔数学教育研究所数学教育助理教授，研究方向包含代数教学与数学学业测评，今天的讲座大概率会围绕这两个方向展开。菲利普也曾是一线中学数学教师，兼具学术研究与一线教学经验，视角会非常独到。

本次讲座标题：d代表鸭子，副标题：在误解丛生的道路上讲授变量概念。接下来交给菲利普，讲座结束后我会收集大家的问题向他提问。祝大家听得愉快！

菲利普・穆恩斯：

感谢主持人介绍。大家好。今天我主讲变量概念，以及学生在数学学习中初次接触变量时的认知解读方式。

大家有问题可以扫描屏幕二维码提问，结尾也会再次放出。今晚分享的研究并非我一人完成，是和埃森大学的凯特琳・克林拜尔（Katrin Klingbeil）合作，她也是我的挚友与同事，目前正在完成博士学业，所以今晚由我代为分享成果。

讲这个主题，我习惯先梳理历史脉络。著名瑞士数学家欧拉（Euler）对代数的定义是：从已知量求解未知量的学问。本次讲座重点聚焦：学生大多在 12–14 岁课标阶段首次接触变量概念。而人类自身，其实也花了极漫长的时间才建立起变量思想。

已知最早蕴含变量雏形的史料，是伦敦大英博物馆藏的莱因德数学纸草书。纸草书上有这样一道题：把一块土地分给两人，其中一人分得的土地是另一人的四倍。古埃及人有一套独特解法，比如假设土地总量为 15 单位，用文字表述为：一个量加上它的四分之一，总和等于 15。这就是人类历史上最早的变量思想雏形 —— 不用字母，只用文字指代未知量。

这种方式至今仍在中学实用课程中沿用：不引入字母，只用文字代替变量。

再往后略过部分历史：丢番图（Diophantus）已有变量意识，但无法对变量做运算；他使用字母，却没有代数运算规则。又过了上千年，努梅里乌斯（Jordanus Nemorarius）用大写字母表示变量，但后人至今没完全读懂他的用法。

直到 1591 年，韦达（Vieta）首次完整写出代数公式，距今不到 500 年。他还引入了沿用至今的运算符号、括号，更巧妙地用元音字母表未知量、辅音字母表已知量，早早区分了变量的不同功能角色，这一点和如今数学教学思路不谋而合。

四百年后，笛卡尔（Descartes）确立了我们现在通用的变量书写习惯，引入下标符号 x₁,x₂,…,xₙ，现代变量使用范式就此定型。

人类花了这么久才吃透变量概念，所以学生初学觉得难，完全正常，不必有挫败感。

顺带聊一个有趣的经典问题：为什么未知数常用字母 x 表示？背后是欧洲与阿拉伯数学文化交融的历史，我给大家放一段短片讲解。

（短片旁白）有一个所有人都好奇过的问题：为什么字母 x 用来代表未知数？数学课都学过，如今 x 早已渗透流行文化：X大奖、X档案、X计划、TEDx 等等。这个用法从何而来？

六年前我开始学阿拉伯语，才发现这门语言逻辑极其严谨。阿拉伯语遣词造句如同构建方程，每个字符信息密度极高、表意精准。也正因如此，如今我们熟知的大量西方数学、科学、工程知识，其实在公元最初几个世纪，由波斯人、阿拉伯人、土耳其人奠定基础，代数一词就源自阿拉伯语，本义是 “拆分重组、调和关系”。

阿拉伯数学典籍在 11—12 世纪传入欧洲西班牙，欧洲学者迫切想要翻译这批智慧成果，却遇到两大难题：第一，阿拉伯语有一些发音，欧洲人很难模仿；第二，这些发音没有对应的欧洲文字字母。

典型代表：阿拉伯语شين字母，发 /ʃ/ 也就是汉语 “师” 的音，它也是阿拉伯词شيء（某物、未知事物）的首字母，加上定冠词ال后就是الشيء，专指 “未知之物”，频繁出现在早期数学证明文献中。

中世纪西班牙学者翻译时，西班牙语没有 /ʃ/ 这个音，也没有对应字母。于是约定俗成，借用古希腊字母 χ 的发音与字形替代；后续再转译为拉丁语时，直接把希腊字母 χ 换成了拉丁语 x。自此，这套体系沿用近六百年，成为欧洲数学教材的通用范式。

所以答案很简单：未知数用 x，只是因为西班牙语发不出阿拉伯语的 /ʃ/ 音。这个冷知识值得分享给大家。

回到正题。数学教育中，学生要完成一次关键跨越：从算术到代数。算术只用到具体数字做计算，代数则引入字母变量。几乎所有国家都把算术放在小学阶段，12–14 岁初中阶段正式引入变量与代数。

从教研中我们发现一个关键问题：很多数学老师并不清楚，变量在不同数学主题中承担完全不同的功能角色；对纯数学家来说这一点也很反直觉，但从数学教学法视角，这是核心痛点。

变量的四类核心角色

1. 未知量 / 占位符

小学就有类似题型，比如方框填空、红点遮挡数字，学生靠直觉推理答案，不用正式规则。

莱因德纸草书的文字表述、方程 x ＋ x÷4 ＝ 15 都属于这类：变量代表唯一待求解的未知值。这也是学生从小学带到初中唯一理解的变量角色。

2. 变化量（函数自变量 / 因变量）

初中引入函数后，y＝2x＋3 中，x 可自由赋值，y 随之变化。和 “唯一未知量” 完全不同：这里 x 没有固定唯一解，是可自由选取的变化量。

3. 广义数 / 模式概括符号

用于归纳数学规律、通用公式，比如完全平方公式。学生初期很难接受：式子不用算出具体数字，只是概括通用规律。总觉得代数式必须算出一个数值，这是典型认知误区。

4. 参数

如二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a≠0），给定一组 a,b,c 就确定一个具体函数，变量充当参数角色。

课堂上我们常常默认这些角色切换，却从不主动给学生讲清楚。同一个字母，在方程、函数、公式、参数里用法完全不一样，学生很容易混淆。

我希望大家记住一条核心教学原则：低年级初学变量时，字母永远指代某个「数量」。高阶抽象数学中变量可以指代任意数学对象，但中学阶段，变量一定对应可计量的数量，而不是实物本身。这是学生最容易遗忘的根本原则。

除此之外，从小学到初中，等号=的意义也发生了本质变化。小学阶段学生被潜移默化灌输一个认知：看到等号就要做计算、算出一个结果。但初中代数里，很多等式只是表达左右两边数值相等，不需要计算、不用得出数字答案，这让学生极度困惑。

这契合数学教育界著名的过程 — 对象二元性理论：任何数学概念初次接触时，都先被当成一个操作过程；等号在小学是 “计算流程”，到高阶学习必须被抽象成一个独立数学对象，仅表示等价关系。函数也是同理：初学是代入求值的计算过程，学求导时必须把函数当成一个整体对象处理。

感兴趣可以去查阅安娜的相关著作，有非常系统的论述。

变量教学还有一个典型误区：认知闭合缺失。

看到完全平方这类恒等式，学生总觉得 “必须往下算、必须得出结果”，无法接受式子本身就是最终的规律概括。教学中必须明确告知学生：到此为止，我们只是描述通用模式，无需继续计算。

接下来请大家准备纸笔（手机记录也可以），我分享数学教育界经典难题：学生与教授人数方程问题。给大家 15 秒思考作答。

题目：用变量 S 表示学生人数、P 表示教授人数，列方程描述：学生人数是教授的六倍。

绝大多数人会写出：6S＝P，这是典型逆向翻译错误；

正确方程应为：6P＝S。

出错根源：

逐字直译：顺着句子语序直接套公式；

直观静态对比：脑海里浮现 “6 个学生配 1 个教授”，直接乱写等式。

必须从数量运算关系出发，而非字面语序或直观画面。

我和凯特琳围绕代数教育做了专项研究，测评题目也衍生出本次讲座标题的鸭子应用题：露西花 12 美元买了 6 只鸭子，列出方程 6d＝12，问字母 d 代表什么？

正确答案：一只鸭子的价格。

但在普通课堂上，学生最常见的错误答案：一只鸭子 / 鸭子本身。

这就是经典的字母指代实物误区：把变量字母当成物体缩写，而非数量符号。

该误区由Küchemann在 1981 年首次系统提出，本质就是忘了：变量永远指代数量，不是实物本身。

同类衍生误区还有：

字母指代单位：

把 d 理解成 “美元”，源自小学用字母缩写单位（m 米、kg 千克）的习惯；

系数当作答案：

自行车三轮车车轮总数问题，学生不列通用方程，反而直接凑出一组整数解，把数字硬塞进系数位置；或者纯实物相加：直接写成 自行车数＋三轮车数＝100，完全忽略数量关系。

我们这套测评隶属于澳洲发起、德国跟进的 SMART 教研项目，核心是开发形成性测评试卷，精准诊断课堂里的数学认知误区，让老师依据测评结果调整教学。

https://media.springernature.com/full/springer-static/image/art%3A10.1007%2Fs10649-025-10428-7/MediaObjects/10649_2025_10428_Fig1_HTML.png?as=webp

整套测评包含五类题型：变量含义题、加法关系题、比例关系题等；为避免字母本身干扰，有的题目用和实物无关的字母设计，平衡实验误差。

我们对 2220 名德国 12–14 岁中学生、103 位数学授课教师做了两轮测评：代数教学 1–2 周后首轮测试，教学满一个月后复测，两套试卷题型结构一致、仅生活场景替换（鸭子换成甜甜圈等），保证测评等效。

统计采用潜在转变分析 LTA（结合潜在类别分析），把学生按答题模式分成不同认知群体，兼顾同一位老师授课学生的聚类相似性，采用多层 LTA 建模。

最终划分出五类认知群体，从理解最到位到误区最严重依次排列：

基本正确组：变量含义、应用题正确率最高，但仍有部分实物指代误区；

字面含义正确组：直接提问变量含义能答对，但放到方程应用题就混淆；

普遍实物误区组：大概率把字母当成实物，仅简单加法题偶尔答对；

系数凑解固化组：所有题型都用凑整数解、硬代系数的方式答题；

混合型误区组：加法题凑解、其余题型一律实物指代。

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两轮测评的群体演化数据显示：初始阶段完全正确的学生仅占 7%，一个月教学后升至 21%，依旧只有五分之一学生真正理解变量本质；且初始正确组 96% 能保持正确认知，极少倒退。

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而误区最大的两类群体始终占比极高，只是略有缩减；纯凑系数答题的群体从 11% 降到 4%，且无新增学生误入这类误区，说明教学能遏制这类最差误区。

整套样本里仅有 7 名学生满分，数量太少无法单独归类。

我们也对比了三位风格迥异的教师教学效果：

第一位标杆教师：能大幅消解两大主流误区，正确认知群体大幅扩容，教学效果极其亮眼；

第二位普通教师：群体结构变化不大，仅有小幅进步，整体趋于固化；

第三位低效教师：不仅没有改善，认知误区反而加剧扩散。

我们仍在研究背后成因，目前已有明确发现：

很多老师刚教变量，就急于带学生做化简运算，惯用水果类比代数：把 5a－3a 解释成 5 个苹果减 3 个苹果，剩 2 个苹果；香蕉同理。这种教法全球盛行，但危害极大：不断强化 “字母 = 实物” 的错误认知，牢牢固化学生的实物指代误区。

第二位老师的问题：讲解方程时只说 “把项移到等号另一边”，把变量当成可以随意挪动的实物，同样强化错误认知。

而标杆教师的核心秘诀：反复、明确强调变量的数量含义。遇到题目先问学生：这个字母代表什么数量？不断强化 “变量指代数量，不是物体”，久而久之帮学生建立正确认知。

当然不能只怪老师，教材本身也有责任。荷兰部分教材的习题，不用水果类比根本无法讲解，客观上倒逼老师采用错误教法。

我们还做了多层线性回归分析：教师、班级对学生变量认知正确率影响极其显著；意外发现：在家不说德语、母语非德语的学生，测评成绩反而更好。我们推测：这类学生不会被母语语序、字面直译思维束缚，更少陷入逐句套方程的误区。

相关研究论文已经发表，YouTube 视频简介会附上链接 https://doi.org/10.1007/s10649-025-10428-7 。大家还有问题可以继续扫码提问，接下来把时间交还给主持人。

Q&A问答环节

主持人：

非常精彩的分享，干货满满。大家可以继续提交问题，我已经收到一部分了。照例我先抢先问一个一线老师最关心的问题：结合你的研究，老师想要向标杆教师看齐、规避低效教法，最实用的一两条核心建议是什么？不用等研究完全定论，要能立刻落地用在课堂上的方法。

菲利普・穆恩斯：

第一，反复明确强调变量的数量含义，时不时复盘追问：这个变量在这里代表什么数量？坚持强调一定有效。

第二，彻底摒弃水果实物类比教法。学生小学已经掌握算术运算，变量本质是算术规律的抽象推广，不用靠苹果香蕉类比。可以分组给 a、b 赋不同具体数值，让学生自行计算、发现通用规律，再抽象出变量表达式，这才是正确的教学路径。

主持人：

那是不是意味着完全不能用水果类比？能不能初学阶段先用它帮学生入门，高年级再重新纠正定义？

菲利普・穆恩斯：

我建议任何阶段都彻底不用。5a－2a 的运算逻辑和苹果毫无关系，只会根深蒂固误导学生认为字母是实物。而且这种类比只适用于加减，乘法、根式完全不适用，后续还要花大量时间纠错。宁可多花一点时间慢慢铺垫，也不要走这种捷径。

主持人：

确实是捷径一时省事，埋下长期认知隐患，和之前讲座提到的 “重理解、轻套路” 本质相通。只求当下学生会做题，后续会付出更大代价。

接下来看观众提问：讲解方程时常说 “把 x 移到等号另一边”，这种通俗讲法要不要杜绝？有没有更合适的表述？

菲利普・穆恩斯：

解方程的本质是等式两边同时做相同运算，这是根本原则。初学阶段一定要直白讲清楚、甚至写出来：两边同时减 2、同时乘同一个数。熟练后可以简化步骤，但教学语言必须坚守本质，不说 “把变量挪到另一边” 这种实物化表述。

坚守 “两边同运算” 的逻辑，后续指数、对数、根式方程都能通用，不会产生认知断层。

主持人：

下一个问题：小学该如何引入等号的正确意义？毕竟小学生看到等号就想计算，这很难改变。

菲利普・穆恩斯：

小学阶段把等号当成 “计算流程” 无法完全避免，这是过程 — 对象二元性的必然。但要杜绝一个坏习惯：不能把等号当续写算式的省略符号，比如连写一串等式接龙，滥用等号简写步骤，完全偏离等价的本质含义。比利时甚至课标明文禁止这种不规范用法，虽说落地执行有难度，但规范使用等号是底线。

主持人：

学生把 d 理解成鸭子实物，是不是因为小学用 m 代表米、kg 代表千克，习惯了字母当缩写？教学中要不要刻意规避单位缩写，或是明确区分变量和单位符号？

菲利普・穆恩斯：

日常书写 m 代表米这类单位缩写不用改，现实中本就通用。建议多采用文字公式过渡：先用完整文字表述长、宽、单价，再缩写成字母，让学生明白字母是数量名称的缩写，不是实物本身。部分职业中学甚至全程只用文字公式、不引入字母变量，就是为了规避这类误区。

主持人：

像学生教授人数这种题，先把题意用完整文字写出来，再转方程，会不会减少逆向翻译错误？还是反而容易被语序带偏？

菲利普・穆恩斯：

文字过渡是有用的，能倒逼学生理清变量含义，贴合标杆教师的教学思路。还要教学生结果合理性自检：列出方程后代入简单数值验证，凭常识判断逻辑是否合理。另外一个现实难点：实物指代误区有时反而能碰巧做对题目，比如鸭子 6d＝12，字面直译刚好等式正确，这也让学生很难意识到自己的认知有错。

主持人：

几何里字母既用作变量，又用作点、线段的名称，怎么帮学生区分，守住 “变量代表数量” 的原则？

菲利普・穆恩斯：

必须明确告知学生字母的不同功能：公式里的字母是变量、代表数量；几何里 A、B 是点的名称、不属于变量。不用刻意创造新规则，只要每一次使用都讲清当下字母的身份即可。韦达当年用元音、辅音区分已知未知量，其实非常科学，后来反而慢慢遗失了这种教学约定。

主持人：

总结下来核心就是：每一个场景都明确讲清变量的含义与角色，不默认学生自行领悟，标杆教师也正是靠这点取得好效果。非常认同。

时间关系，最后不再收新问题了。再次感谢菲利普带来超高质量的讲座，收获非常大。往期讲座都可以在频道回看，五周后6月12日收官讲座特邀陶哲轩主讲，值得期待。感谢欧洲数学会EMS主办，感谢菲利普，也感谢各位观众参与，我们五周后再见。

菲利普・穆恩斯：

谢谢大家。

参考资料

https://www.youtube.com/watch?v=Sot17VXDhAY

https://doi.org/10.1007/s10649-025-10428-7