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量子力学百年纪念：从秩序到混沌

2026-05-30 14:48

来源：澎湃新闻·澎湃号·湃客

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延斯・马克洛夫（Jens Marklof，布里斯托大学教授，前伦敦数学会主席）近期在剑桥的INI艾萨克-牛顿研究所进行罗斯柴尔德（Rothschild）科普讲座，主题为：“量子力学百年纪念：从秩序到混沌”。

作者：延斯・马克洛夫（Jens Marklof，布里斯托大学）

INI艾萨克-牛顿研究所 2026-5-19

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-5-

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主持人：

本次是罗斯柴尔德（Rothschild）讲座。这是本研究所极具声望的系列讲座，自34年前研究所创立之初便已开办。今天我们有幸迎来布里斯托大学的延斯・马克洛夫（Jens Marklof）教授。接下来我简单介绍一下他。

马克洛夫是一位成就斐然的数学家，研究领域涵盖动力系统、遍历理论、量子混沌、自守函数理论、随机矩阵等。今天他将重点讲解量子理论。

他的学术生涯始于汉堡大学，取得物理学文凭。1997年，他先后前往普林斯顿高等研究院、牛顿研究所等机构从事博士后研究。彼时欧洲多家数学研究所联合设立博士后项目，研究员需要辗转不同机构任职，这份工作挑战重重，同时也声名卓著。

1999年，他正式入职布里斯托大学，历任学院院长，现任理学院院长，长期为本校学科建设出力。他斩获的荣誉不胜枚举，这里仅列举部分：2009年，他在布拉格国际数学物理大会作全会报告；2014年受邀出席首尔国际数学家大会并发言。

他曾获欧洲科学研究委员会高级研究员基金、里昂奖、玛吉杰出奖、英国皇家学会沃尔夫森科研成就奖、伦敦数学会怀特海奖，还拿到过欧洲研究委员会高级项目资助，并于2015年当选英国皇家学会会士。此外，他还担任过伦敦数学会主席，长期奔走帮扶英国各地发展遇困的数学系，成果卓著。

让我们热烈欢迎延斯教授，期待他的精彩演讲。

（掌声）

延斯・马克洛夫（Jens Marklof）：

非常感谢这番介绍，各位来宾大家好。本场为公开讲座，在座既有数学领域的专家，也有普通公众，希望我的分享能让大家都有所收获。过程中大家有任何问题，都可以随时提问。

我们身处一个日新月异的时代。AI人工智能如今占据各大媒体版面，也成为各国政府重点扶持的方向。接到这场讲座邀约时，我思索许久该分享什么内容。最终我认为，有必要和大家回顾人类历史上最伟大的科学与技术革命 —— 百年前量子力学的诞生。

这段历史意义深远，它让我们明白，探索未知世界、扶持基础研究至关重要。我也会向大家展示，量子力学带来的影响遍及方方面面。人工智能未来会如何改变社会，我们尚不得而知，但听完这场讲座大家会发现，量子力学几乎重塑了现代生活的每一处细节。我不确定人工智能能否达到这样深远的影响力，一切仍有待时间检验。

今天的分享主要分为几个板块：首先聊聊人类如何认知世界，从浩瀚的星系宇宙到微小的原子分子；接着回顾量子力学的发展历程，这段历史十分精彩；再介绍由量子力学催生的重大技术变革；最后结合牛顿研究所当下开展的几何谱理论项目，谈谈量子混沌领域的前沿研究。

人类向来自诩聪慧，但我们认知世界的基准，始终是日常的感官体验。我们看见万物形态、触摸实物、感知气味，人体拥有一套精密的感知系统。我们将三维世界映射为二维视觉画面，听觉系统的构造也极为复杂。我本人患有耳鸣，曾和耳科医生交流，得知人体自带一套精密的降噪机制。只是耳鸣会干扰这套系统的运作。

事实上，我们感知外界的过程，本身就伴随着信息筛选与处理。当我们尝试去理解世界，首先要清楚：人类始终在通过观测与感知认识万物。

而科学与工程领域发展的核心，在于抽象建模。我们构建模型，用以描述观测到的现象。很多人觉得抽象理论晦涩、脱离现实，但建模的本质恰恰是简化问题，借助简化后的模型，我们才能把世界看得更透彻。跨越这道思维门槛后，一切都会豁然开朗。在此基础上，我们进一步推演预测，建立可被验证的科学理论。

谈及近代科学，有一个如今看似稀松平常、在当年却石破天惊的模型，那就是哥白尼提出的日心说。如今我们早已接受太阳位于中心、行星围绕太阳运转的理论。但回溯到16世纪，人们普遍认为大地是平的。即便有人认可地球是球体，也很难接受 “地球并非静止，而是围绕太阳公转” 这一观点。

这个理论的伟大之处，在于它用更简洁的模型解释天象。此后伽利略、开普勒接续研究，最终牛顿建立经典力学体系，精准推演、解释行星运行规律。日心说看似只是一套数学抽象模型，但仅仅是更换参考坐标系，就实现了科学上的重大突破。

时至今日，牛顿力学依旧发挥着重要作用，它是一种实用的近似理论。即便量子力学才是描述微观世界的基础理论，工程与技术领域仍在大范围使用牛顿力学。

这是今年4月阿尔忒弥斯二号任务拍摄的 “地落”（earthset）影像，飞船行至月球背面，拍下了这幅画面。这张照片也直观体现出人类世界观的巨大转变。如今我们坦然接受，地球正带着人类在宇宙中围绕太阳高速运转。当年人类登月也曾饱受质疑，不少人认为这是骗局。但如今，这段历史早已成为全人类的共同记忆，我们愿意相信亲历者留下的影像与记录。

再看另一张震撼的照片，这是2021年5月拍摄的晶体原子成像。詹姆斯・韦伯望远镜能拍下宇宙天体，而这张照片定格了微观尺度下的原子与晶体结构。这并非依靠普通显微镜拍摄，背后依托着尖端的电子衍射技术。我们选择相信这项技术，也相信照片呈现的原子形态。

而在一百多年前，人类对微观物质的样貌一无所知。彼时的科学家，只能依靠逻辑推演，去解释肉眼无法观测的现象，现代量子理论便在这样的背景下诞生。

接下来我为大家讲述现代量子理论的诞生历程。以往诸多科学突破往往归功于一位先驱，比如牛顿、爱因斯坦，但现代量子力学的建立，离不开三位科学家的共同努力：海森堡、薛定谔与狄拉克，三人各自独立提出开创性见解，共同构筑起这套全新理论。

这张合影汇集了20世纪早期一众顶尖科学家，拍摄于1927年，正值现代量子力学问世不久，学界也在这场会议中集中探讨了这一新理论。大家可以辨认一下图中的人物，正中的就是爱因斯坦。如今不少人只在商业广告里见到爱因斯坦的形象，但在当年，他是整个物理学界的标杆。很多人误以为爱因斯坦排斥量子力学，这其实是误解。恰恰相反，他是推动量子力学发展的核心人物之一。

我用指示笔标注一下：后排这位是海森堡，旁边是薛定谔、狄拉克。画面中唯一一位女性是玛丽・居里，她也是全场唯一一位两度斩获诺贝尔奖的学者。图中其余学者，大多也都拥有诺贝尔奖头衔，或是日后摘得诺奖。这张合影也被世人称作 “人类史上智商最高的合影”。图中还能见到普朗克等多位科学巨匠，阵容空前强大。

在海森堡、薛定谔与狄拉克之前，学界就已尝试解读原子与分子的结构，其中玻尔提出的氢原子模型是当时最成功的理论之一。人类认知事物总习惯依托已知经验，研究微观世界时，科学家也下意识借用宏观世界的概念，比如粒子、波动。人们很难凭空构想完全超出认知的事物，只能用宏观规律去解读尺度极小的微观世界。

卢瑟福此前就发现，原子由原子核与核外电子构成。于是有人直接套用太阳系模型：将原子核比作太阳，电子比作行星。但这套模型存在致命缺陷，根本无法解释微观现象，原子体系也极不稳定，电子最终会坠入原子核。

玻尔对此做出修正：他硬性规定电子只能在特定轨道上运行。结合普朗克、爱因斯坦提出的能量量子化概念 —— 能量只能以整数倍的形式存在，玻尔将电子轨道也进行量子化处理。这套模型成功解释了氢原子的光谱谱线，比如太阳光中来自氢元素的谱线，取得了阶段性成功。当然它并非完美，却能定量解释部分微观现象。

彼时的学界图景大致如此。普朗克凭借黑体辐射相关研究、爱因斯坦凭借用光的粒子性解释光电效应，分别拿下诺贝尔奖。值得一提的是，爱因斯坦获得诺奖的成果是光电效应，而非相对论。

玻尔的理论也在不断完善，索末菲拓展了玻尔模型，近似解释了氢原子在磁场中产生的斯塔克（Stark）效应。前文也提到，爱因斯坦同样是量子力学的先驱，他研究了玻尔、索末菲理论无法覆盖的复杂系统，也就是一般可积系统，并为此建立了对应的量子化方法。

但早期玻尔、索末菲、爱因斯坦的简易模型，仅能处理单电子原子、无外场或简单外场这类极基础的量子系统，面对多粒子体系、粒子气体等复杂微观系统，则完全无能为力。

法国物理学家路易・德布罗意提出了一个极具启发性的观点：微观量子粒子同样具备波动性。这一想法为后续研究指明了方向，却依旧无法解读当时诸多复杂的微观现象，但它极大启发了海森堡。

1925年6月，23岁的维尔纳・海森堡因重度花粉症，面部严重浮肿，无法正常工作。他前往北海一座礁石岛屿疗养，岛上植被稀少、花粉极少。这座岛屿历史十分特殊，曾长期归属英国，后来英国用它换取了德国在非洲的部分殖民地。二战期间这里战略位置关键，战后英军还在此引爆了大量遗留弹药，是当时规模最大的常规爆炸。大家可以查阅这座岛屿的维基百科，相关故事十分有趣。

海森堡在岛上得以远离纷扰、静心思考。这也印证了一点：科研工作者需要充足的时间与安静的环境来沉淀思索。即便身体尚未痊愈，海森堡依旧在此完成了颠覆性的新理论。他在六月前往海岛，七月就提交了一篇仅有十五页的论文，而这篇短文彻底改变了物理学的发展轨迹。

海森堡的核心思想，回归到了 “抽象建模” 的逻辑之上：他决定构建一套理论，只描述可实际观测的物理量。他摒弃了玻尔模型中电子绕核运动的轨迹概念，因为这类轨迹无法被观测，也就不该纳入理论体系。

他在论文中指出，即便是斯塔克效应这类原子处于复杂外场中的现象，旧理论也无力解释。经典力学里，我们可以精准描述行星、星系的运行轨迹，但量子粒子的轨迹无法观测，因此不必对其进行描述。

他在论文中推导出一系列可观测物理量之间的数学关系。在座的物理学家可以重读这篇论文，其中的巧思堪称天才之作。后来他的好友马克斯・玻恩凭借更扎实的数学功底指出，这些关系式本质上就是矩阵运算。海森堡本人起初并未意识到这一点，在孤岛上凭空推导出矩阵相关规律，至今看来依旧不可思议。

不久后，同领域的沃尔夫冈・泡利验证了这套理论的正确性。1932年，海森堡凭借矩阵力学斩获诺贝尔物理学奖。

但这套理论最初问世时，学界充满质疑与不解。学者们认为这套理论形式晦涩，虽然计算结果准确，却完全脱离直观认知。理论里没有具象的粒子、波动，只剩下抽象的代数运算，让人难以接受。

我简单为不了解矩阵的朋友做个解释。我们熟知普通数字的乘法，3 乘 7 等于 21，7 乘 3 结果也完全一致，这就是乘法交换律。但矩阵是由一组数字排列而成的数表，矩阵乘法有着专属运算法则，并且不满足交换律：调换两个矩阵的相乘顺序，最终结果会截然不同。

矩阵的非交换性，是量子力学区别于以往所有经典理论的核心特征。这也是当时学界抗拒这套理论的主要原因 —— 人们更愿意接受粒子、波动这类具象概念。

就在此时，薛定谔登上了历史舞台。薛定谔常年受肺结核困扰，这种疾病在当时极为凶险。他前往瑞士阿尔卑斯山区阿罗萨的一家疗养院休养。他住在弗瑞齐亚别墅，在此养病的同时潜心研究，拥有了完整的时间与专注度。他希望将德布罗意的物质波理论发展为完整的量子体系。

薛定谔比海森堡年长约14岁。1926年，他接连发表四篇系列论文，内容系统而完备，堪比一部专业教材，其中就包含大名鼎鼎的薛定谔方程。

非物理、数学专业的朋友也不必深究公式细节，只需感受它的形式即可。这一方程颠覆了传统波动方程的形式，引入了虚数单位，方程的解也包含虚数，在当时十分反常。

但学界很快接纳了薛定谔的理论，因为物理学家早已熟练掌握波动方程的解法。一时间薛定谔成为万众瞩目的新星，海森堡的矩阵力学则被冷落。借助薛定谔方程，人们可以精准求解氢原子、谐振子等模型，计算结果十分理想。

薛定谔在后续论文中又证明：他的波动力学与海森堡的矩阵力学本质等价。这一结论让矩阵力学重新获得关注。从人的心理角度来说，人们天然更容易理解 “波” 这种具象概念，即便量子波是复杂的复波。

此后学界对波函数做出物理解释：将波函数取平方，其结果代表在某一位置观测到量子粒子的概率。这一解读被总结为哥本哈根诠释。但并非所有人都认同这一观点，爱因斯坦就对此持反对态度。

爱因斯坦并不反对量子力学本身，他只是无法接受 “客观世界本质由概率主导” 这一结论。那句著名的 “上帝不掷骰子” 便源于此。这句话流传至今，却屡屡被误读，很多人借此认为爱因斯坦排斥量子力学，这与事实完全相悖，前文也提到，爱因斯坦是量子力学发展的重要奠基人。

海森堡始终坚持自己的理念：理论只应描述可观测的物理量。面对波动力学的兴起，他又提出了另一大开创性理论 ——海森堡不确定性原理，相信很多人都听过这个理论：我们无法同时精准测量一个粒子的位置与动量，这是一条可以定量描述的物理规律。

1933年，薛定谔与狄拉克共同获得诺贝尔物理学奖。

接下来我们聊聊狄拉克，他也曾在布里斯托大学工作，故居离我现在的住所仅一街之隔。狄拉克在布里斯托长大、求学，最初攻读工程学，后来转向数学。

这是他1923年的数学考卷，字迹工整、条理清晰，这份答卷完成于海森堡发表矩阵力学的两年之前。

狄拉克获奖的核心成果，是对薛定谔理论的拓展与完善。薛定谔方程无法满足狭义相对论的时空变换要求，薛定谔本人也曾尝试修正，却未能成功。而狄拉克推导出了符合相对论原理的方程。

大家可以欣赏一下这个公式，形式简洁又优美。该方程包含四个波函数分量：前两个对应粒子的自旋向上、自旋向下，后两个则对应反粒子。

这个推论在当时再次震惊学界。反粒子？负能态？这些概念完全超出了当时人们的认知。狄拉克纯粹依靠理论自洽性完成推演，并未依托任何实验数据，就预言了反物质的存在。海森堡甚至评价，这是现代物理学史上最令人费解（而悲伤）的篇章。

直到反物质被实验证实，一切才有了答案。首个被发现的反粒子是正电子，也就是电子的反粒子。电子与正电子相遇会发生湮灭，质量完全转化为能量。1933年，狄拉克与薛定谔共享诺贝尔物理学奖。

回顾量子力学的诞生历程，我们能得到诸多启示。如今我们热衷于追捧新兴技术，和政策制定者交流时也常会谈及科研投入。但一定要记住：重大科学突破往往诞生于意料之外。三位奠基人里，唯有狄拉克没有身处疗养院或是偏远海岛，但他的研究历程同样艰辛。

狄拉克后来任职于剑桥大学，对剑桥的物理学、核工程、半导体技术、激光、量子计算等领域影响深远。时至今日，生命科学领域的技术革新，也全都建立在现代量子力学的基础之上。接下来我们逐一介绍量子力学催生的关键技术变革。

首先是核技术。1938年，奥托・哈恩与弗里茨・斯特拉斯曼通过实验发现了核裂变现象：用粒子轰击铀原子核，原子核会分裂成两个碎片。同年，莉泽・迈特纳（Lise Meitner）与奥托・弗里施（Otto Frisch）从理论上解释了这一现象。

科学家很快意识到，核裂变产生的中子会继续轰击其他铀原子，进而形成链式反应。1944年，奥托・哈恩因核裂变研究获得诺贝尔奖。二战期间他作为德国科学家被拘留在英国农场庄园，奖项直到战后才正式颁发。

链式反应的应用，催生出人类第一枚核弹。1945年，美国开展 “三位一体” 核试验，完成了人类首次核爆炸。引发爆炸的钚原料，体积其实非常微小。照片依次记录了爆炸发生 0.016 秒、7 秒时的景象，最终爆炸火球直径达到百米级别。数周后，两枚核弹先后被投放到日本长崎与广岛，造成数十万人遇难，也加速了二战的结束。这是量子力学改变世界格局的重大体现。

七年后，热核武器（氢弹）问世，它依托核聚变原理，爆炸威力达到长崎核弹的五百倍。图中是美国在马绍尔群岛开展的常春藤行动，也是人类首次氢弹试验。

当然，核技术也有大量民用价值：核能可以转化为热能，进而发电；放射性同位素广泛用于医疗诊断、治疗与粒子探测；家用烟雾报警器中也含有微量放射性物质，正常使用无需担忧。此外，核技术还应用于工业探伤、材料检测、农产品培育等诸多领域。

量子力学催生的第二场技术革命，是半导体技术。晶体管、集成电路（芯片）的发明，都离不开量子理论。如今人工智能的发展，更是建立在高性能芯片的基础之上。

除此之外，太阳能电池、蓝光 LED 也都是量子力学的产物，离开薛定谔方程，这些设备都无从制造。很多人或许不了解蓝光 LED 的重要性。早年市面上只有绿光、红光 LED，发光效果差，无法用作通用照明。蓝光 LED 问世后，三色结合才能制作出高亮度白光灯具，如今它遍布家家户户，也极大节约了电力能源。

激光技术同样依托量子原理，应用场景遍布各行各业。而当下各国政府重点布局的量子计算机、量子信息，也是量子力学最受关注的前沿方向。

目前，能够运行肖尔（Shor）算法的成熟量子计算机尚未问世。如今全网的信息安全，都依靠公钥密码体系，其核心原理是：大数的质因数分解难度极高。而肖尔算法可以快速完成这项运算，但必须依托量子计算机。一旦首台实用化量子计算机诞生，现有的加密体系将被彻底攻破，银行卡、网络数据的安全都会受到威胁，我们只能静观其变。

讲到这里，相信大家已经了解了量子力学波澜壮阔的发展史，以及它对人类社会的深刻影响。可以说，我们如今的生活形态，完全因量子力学而改写。

接下来进入讲座的后半段，围绕本次主题 “从有序到混沌”，聊聊该领域当下热门的基础研究。在此之前，我们先简单认识经典混沌。

用牛顿经典力学的视角来解释：一个系统如果初始条件发生微小改变，最终的运动轨迹会产生巨大偏差，这个系统就是混沌系统。气象学家兼数学家洛伦兹提出的 “蝴蝶效应”，就是对混沌特性最经典的诠释：巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，都可能引发美国得克萨斯州的一场龙卷风。微小的初始差异，会被无限放大，最终造成天差地别的结果。

总结两个核心特征：混沌系统对初始条件极度敏感；同时系统的运动范围有限，粒子会在固定区域内往复运动。我和布里斯托大学的同事合作制作过相关科普视频，详细讲解了蝴蝶效应，感兴趣的朋友课后可以观看。

回到量子力学。海森堡曾提出：量子世界中不存在可观测的粒子轨迹，经典力学里基于轨迹定义的混沌，在量子体系中不再适用。那么我们该如何定义、研究量子混沌？

维格纳的研究思路恰好契合海森堡的理念。维格纳曾参与曼哈顿计划，主攻重原子核研究，比如铀核。用量子力学描述这类复杂原子核，虽然可以列出方程，却无法直接求解。于是他提出一个大胆设想：把海森堡力学中描述重核的高阶矩阵，直接视作随机矩阵。

他不再纠结矩阵内具体的数值，转而研究随机矩阵的能谱分布。维格纳率先计算了二阶随机矩阵的能级间距分布规律。图中背景的柱状图，是近代针对铀核的实验观测数据，理论曲线与实验结果高度吻合。

这就是量子混沌的核心研究方向：为复杂量子系统建立统计描述。早年理论预测与实验数据达成一致时，在学界引起了巨大轰动。

到了上世纪80年代，物理学家开始研究比重原子核简单得多的模型。左侧图示是 “圆形壁垒台球模型”：粒子被限制在方形区域内，区域中心设有圆形障碍物。粒子在区域内自由运动，撞击边界后遵循几何光学规律反射。

中心圆盘的存在，让这套经典系统产生混沌效应：初始角度的微小偏差，会在一次次反射中不断放大，每撞击一次圆盘，误差就会翻倍，撞击n次后误差将变为初始值的2的n次方倍，完美诠释了蝴蝶效应。

法国的一个研究团队对这套经典混沌系统做了量子化处理：将经典粒子替换为量子粒子，限定在同一区域内，求解薛定谔方程，再统计量子能级的分布规律。最终结果再次与随机矩阵理论完美契合。

时至今日，学界仍在探究一个核心难题：为何这样一个简单的量子系统，其特性会和随机矩阵高度相似？1997年我在剑桥牛顿研究所访学时，就曾和这支法国团队交流，彼时他们已经完成了这项研究，那段经历也让我收获良多。

我们再对比非混沌系统的特征。粒子在空心方盒内做规则运动，这就是典型的可积系统，也是爱因斯坦1917年研究过的系统。这类系统的能级间距服从泊松分布，随机性达到最大。

著名的贝里-泰伯尔（Berry-Tabor）猜想，就是围绕这两类系统的能级分布差异展开。对该猜想给出严谨的数学证明，至今仍是学界重大难题。

今年早些时候，我与韩国学者Wooyeon Kim、美国学者马修・威尔士（Matthew Welsh）合作，证明了三维方盒内量子粒子体系下的贝里-泰伯尔猜想。我们证实，这类系统的本征值关联呈现完全随机的特征。感兴趣的朋友，课后可以和我继续交流。

这项证明站在前人的研究基础之上，用到了遍历理论、李群理论等高深工具，相关理论由达尼（S .G. Dani）、马古利斯（G. A. Margulis）、玛丽娜・拉特纳（M. E. Ratner）、拉古纳坦（M. S. Raghunathan）等学者建立，在此向各位前辈学者致以敬意。

海森堡注重可观测物理量，能级统计恰好贴合这一思路；薛定谔聚焦波动方程，量子系统的波函数也呈现出丰富的几何图案。

过去三十年间，学界一直在研究这类问题，量子疤痕等现象也是当下的热门课题，同样属于牛顿研究所本次几何谱理论项目的研究范畴。

以上便是量子混沌领域的核心研究工具。受时间限制，这部分内容我就不展开了。

这张老照片拍摄于近三十年前，是我初到牛顿研究所时留下的影像。博士毕业后初入学界的我，在这里结识了领域内所有顶尖学者，这段经历极大助推了我的学术生涯。我也希望能像前辈们一样，帮助在场的年轻学者成长。

我的办公室室友是戴维・索利斯（David Thouless），他后来斩获2016年诺贝尔物理学奖。牛顿研究所常年同时开展两个平行学术项目，1997年这里就举办过机器学习相关研讨，主讲人是两年前拿下诺奖的杰弗里・辛顿（Geoffrey Hinton）。当年我还认为机器学习难以发展，如今看来着实判断失误。

就在上周，我们举办了随机算术模型专题研讨会，聚焦量子混沌的数学建模，重点分析复杂不可积量子系统。另外，学界近期在双曲面谱间隙研究上也取得了突破。

图中右侧是娜莉妮・阿南塔拉曼（Nalini Anantharaman），左侧是我的布里斯托大学同事劳拉・蒙克（Laura Monk）。去年劳拉证明了大型典型双曲曲面上量子基态的最优界，这项成果入选《量子杂志》年度重大突破，研究工作也依托并拓展了玛丽亚姆・米尔扎哈尼关于双曲曲面几何与谱的理论。详情参阅：小乐数学科普：小乐数学科普：数学天才英年早逝多年后，她的思想焕发新生——译自量子杂志Quanta Magazine