纽结的形态——“结”论的历史、应用与未解

纽结遍布我们周遭的世界，既可以是缠绕的线缆、鞋带，也能是脱氧核糖核酸（DNA）的复杂构造。纽结绝非单纯的麻烦之物，它蕴藏深邃又优美的数学性质，与几何学、拓扑学、物理学、生物学都有着千丝万缕的关联。

本次讲座，Alain Goriely教授将带大家走进奇妙的纽结理论（knot theory）世界，讲解对纽结的数学研究如何帮助我们理解、预判其形成、稳定性与形态变化规律。

作者：Alain Goriely（阿兰·戈里利教授）2026-6-9

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-6-23

主持人开场

各位晚上好，欢迎来到巴恩斯礼堂，欢迎莅临格雷沙姆学院（Gresham College）。我是克里斯汀・古德费洛（Christine Goodfellow），本院学术项目主管。今晚我十分荣幸为大家带来本场讲座：纽结的形态 —— 从脱氧核糖核酸（DNA）到鞋带、太阳耀斑（solar flare）。本场是《自然几何与万物形态》系列讲座第六场，也是收官之作。

接下来，请掌声有请几何学教授阿兰・戈里列（Alain Goriely）。

阿兰教授讲座内容全文

非常感谢克里斯汀，也感谢所有到场、线上收看的观众。今天的内容十分特别。每年收官讲座我都会挑选一个兼具深度数学内涵、应用场景丰富的主题。大约25年前我攻读博士后时便开始研究纽结（knot，也简称结）相关课题，此后多年持续探索它各维度特性，今天和大家分享我的研究成果。

随处可见的纽结

说起结，生活中随处可见。低头看看鞋带，或是系领带的人都能见到。但纽结的历史远比人类文字记载更久远，早在文字诞生之前，人类就已掌握打结技艺。航海、外科手术、登山等领域，纽结都是不可或缺的基础工具。

阿什利（Clifford Warren Ashley，1881 - 1947，美国）1944年出版的著作完整梳理了人类打结文明，他耗时11年整理出近4000种绳结。书的序言里他写道：简单的打结动作，是一场无限维度的空间探险。接下来，我将带领大家开启这场探索之旅。

我们身边既有独立绳结，也有乱线缠结（tangle），还有编发这类多股线材交织结构。自然界同样遍布纽结：太平洋鳗鲡（Pacific hagfish）遇天敌时会将自身身体打成结，也依靠结状结构清理体表黏液。

本次讲座会多角度讲解纽结应用。微观层面，结理论是分子生物学、脱氧核糖核酸（DNA）研究的核心工具，至今仍是解析生物发育的关键；微观尺度约10的负8次方米，而宏观宇宙，比如太阳内同样存在纽结结构，太阳耀斑便是典型代表。

太阳爆发耀斑时会释放巨量能量，放大观测可见大量缠绕磁通量管（magnetic flux rope），这类管状结构汇聚磁场，绕公共轴线盘旋，整体尺寸远超地球。

纽结科学的起源便和这类宇宙大尺度缠绕结构息息相关，源头可追溯至1858年赫尔曼・冯・亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）的研究。

我很喜欢展示科学家年轻时的照片，彼时他们满怀求知热忱，而非暮年授课的老者形象。亥姆霍兹的核心发现是涡环（vortex ring），也就是烟圈这类流体涡旋结构。涡线（vortex line）标记流体旋转区域，他证明理想流体中涡旋形态随时间守恒，这也是烟圈形态稳定的原因。

20年前我购置高速摄像机，完成一组实验：两台烟炮喷出两道烟环，烟环能够相互穿插、重新联结。这套流体穿插、重组、相互作用的理论，启发了另一位青年学者 —— 彼时尚未获开尔文勋爵（Lord Kelvin）头衔的威廉・汤姆森（William Thompson）。1860年代末，汤姆森拓展亥姆霍兹的理论，提出以太（ether）涡环原子假说：不同元素对应复杂程度各异的涡环结。该猜想一度引发学界热烈讨论，他的友人、爱丁堡大学教授彼得・泰特（Peter Tait）投入相关研究。

泰特认为，想要区分各类元素，就必须系统分类所有可能的纽结构型，由此开启纽结理论的系统性研究，也是数学结论（mathematical knot theory）的奠基工作。他在著作序言写道：结论或将成为数学重要分支。接下来我们会看到，它不仅是重要分支，更是拓扑学（topology）、曲面几何、形态研究的基础核心，作用等同于数字在各类数学分支中的地位。

下面讲解数学层面结的定义。对数学家而言，纽结的规范定义：三维欧几里得空间内圆周（S¹）的嵌入（embedding），在环境同痕（ambient isotopy）意义下等价。

这句话表述晦涩，我们逐层拆解。圆周 S¹ 可通过角度 θ（0 至 2π）参数化，将圆周上每一点映射至三维空间坐标，得到三组连续函数 x、y、z，共同构成一条空间曲线。基础条件：曲线无自交点，线上任意两点不会重合，这便是圆周嵌入，也就是闭合空间曲线，是结的基础形态。

何为环境同痕？简单说，只要不剪断线材、不让线段互相穿过，任意拉伸、扭转得到的构型都属于同一个结。无论简单扭转、小幅拉扯，只要无穿线、无剪断，等价为同一种结，所有这类形态归为同一个等价类（equivalent class）。

举个直观类比：数字1可由一颗橙子、一个苹果代表，实物形态不同，但数值本质一致。同理，不同空间绘制的结图样，只要能无穿线变形互相转化，就是同一个数学结。

单圈圆环称作无结（unknot），是最简纽结；三叶结（trefoil knot）无法不穿线转化为圆环，二者分属不同等价类。

再举一例，图右侧是无结，左侧看似复杂缠绕曲线，可通过多步无交叉变形完全舒展成圆环，二者等价。

注意：日常活结（overhand knot）不算数学结。

数学定义要求纽结必须首尾闭合。活结比结更通用，因为你有很多方法将

它闭合，因此它是纽结的一种可能推广形式。

如同自然数会拓展至有理数、实数、复数，结理论也有多重拓展方向。

首先是辫（braid）：多股线材上下交错编织，编发就是典型案例，纽结是辫的特殊闭合形式；

其次是链环（link），由多条闭合结相互扣合而成。例如 7/9 环面结（Torus knot）可与无结扣合，形成双环链环。链环理论可用于解析蛋白质（protein）分子交联结构。

我们以闭合数学结为核心展开研究。三维曲面难以直接演算，数学家需要可印刷、便于分步推导的二维图示表达，核心方法是结投影图（knot diagram）：

将三维结投影至平面，线段交叉处留白区分上下层，上层线段完整、下层断开，直观区分穿插关系。

举康威结（Conway knot）示例，图示含 11 个交叉点，平面投影通过留白营造三维视觉效果，纯平面线条也可完整记录全部交叉位置。康威结是知名经典结，剑桥大学数学系、应用数学系与牛顿研究所校区大门印有该纹样。

掌握结图示后，下一步是分类。

区分结最核心数值是交叉数（crossing number）：结所有等效投影中，最少的交叉数量。

无结交叉数为 0；单交叉、双交叉的缠绕曲线均可无穿线舒展为圆环，不存在 1、2 交叉的独立结。

初始九交叉无尽结（endless knot，无尽结，盘长结，吉祥结）看似复杂，通过形变可缩减至 7 个交叉，7 才是它的最小交叉数（该结也称为7₄结，7₄ Knot）。

学界按照最小交叉数依次分类：三交叉、四交叉、五交叉逐一梳理。

区分两幅投影是否代表同一结，核心工具是瑞德迈斯特变换（Reidemeister move），共三类基础操作：

I类变换(RI)：增减单圈小环；

II类变换(RII)：两条线段交错，不改变结本质，仅变更图示；

III类变换(RIII)：三条线段交错，顶层线段越过另外两条。

瑞德迈斯特定理（Reidemeister theorem）：两幅结图示，若可通过有限次三类变换互相转化，则二者为同一结。

一个示例证明：看似复杂的缠绕图形，通过多次一类变换舒展线圈，即可化为无结。

这套证明无数字、无微积分，完全依靠图形变换，是一套可视化严谨数学证明。

再举例“8”字结（figure-eight knot，在系统分类中也记为4₁结）：8字结与其镜像能否通过变换等价？

多次二、三类变换重组图示，可完成转化，证明8字结无手性（achiral），镜像为同一结。

整套证明仅调整平面线条，每一步变换均符合瑞德迈斯特规则，逻辑严密。

纽结的算术运算

如同数字定义加减乘运算，结也可定义复合运算（knot composition），类比整数乘法：

取三交叉、五交叉两种结，各剪断一小段后首尾拼接重组，完成复合。

复合后纽结最小交叉数等于原二者交叉数之和，该定理由马克・拉肯比（Marc Lackenby）在十年前证明，他是本院同事、顶尖结论专家。

复合运算满足交换律（K₁ 复合 K₂ 等价于 K₂ 复合 K₁）；无结是复合运算的单位元，任意结与无结拼接后形态不变。

类比数论素数概念：无法拆分为多个更简单结复合的构型，称为素结（prime knot）。

素结是结的 “基本原子”，所有复杂结均可由素结复合而成。

舒伯特（Horst Schubert）1949年提出纽结的算术基本定理：任意结都能唯一分解为若干素结的复合，类比欧几里得算术基本定理。

素结分类

素结分类统计：

0 交叉：仅无结；

1、2 交叉：无独立素结；

3 交叉：仅三叶结（三叶结镜像无法通过变换等价，1912年才完成严格证明）；

4 交叉：仅8字结；

5 交叉：2 种；

6 交叉：3 种；

7 交叉：7 种；

8 交叉：21 种；

9 交叉：49 种；

10 交叉：165 种。

10 交叉编号 10₁₆₁ （上图最后一行第7个）与 10₁₆₂ 曾被泰特（Tait）、利特尔（Little）列入两套独立素结表。

百年后美国律师肯尼斯・珀科（Kenneth Perko）利用业余数学研究证明二者等价，后世称其为珀科对（Perko pair）。

现有免费绘图软件KnotPlot ( https://knotplot.com )，可模拟各类结、支撑学术演算。1900年泰特、利特尔仅统计最高10交叉共 165 种素结；

2020年伯顿（Burton）算出19 交叉素结超百万种；

今年莫文·西斯特莱特维特（Morwen Thistlethwaite）刚过完 81 岁生日，证明 20 交叉素结超十亿，21 交叉预估达 210 亿，素结数量随交叉数呈指数级暴涨。

解结

核心开放难题：解结问题。

给定结，最少需要多少次瑞德迈斯特变换才能化为无结？

难点在于化简过程中交叉数可能先增多，再减少。

哈肯斯·戈尔迪安结（Hakens Gordian knot）是经典案例，图示 141 个交叉，但本质等价无结。

马克・拉肯比（Marc Lackenby）2015年给出重要理论上界：所需变换次数上限与交叉数的11次幂成正比。

数值极大，若每次变换耗时一纳秒，完成化简所需时间远超宇宙年龄。

该问题属于NP非确定性多项式复杂度问题，学界核心悬题：是否存在多项式时间算法判定结是否为无结？

另一核心操作：交叉变换（crossing change），剪断一段线材、从另一侧穿过再缝合，直接改变结类型。

解结数（unknotting number）：将结转化为无结所需最少交叉变换次数。

例如五交叉结仅需两次交叉变换即可化为三叶结，三叶解结数为 1。该数值极难精确求解，学界有猜想：非平凡交叉变换必然改变结等价类，但至今无严谨证明。

沙勒曼定理（Scharlemann's theorem，1958）：若单次交叉变换可将结化为无结，则该结必为素结；反之不成立，五交叉结可佐证。

传说亚历山大大帝斩断戈尔迪乌姆结，或许恰好符合该定理条件，一刀完成交叉变换，再通过瑞德迈斯特变换彻底解结。

结现实应用：脱氧核糖核酸（DNA）

上世纪八九十年代，学界掀起纽结理论分子生物学应用热潮。

1971年王倬（James C. Wang，1936 -）取得突破性发现：脱氧核糖核酸（DNA）是双螺旋（double helix）结构，携带生物遗传信息，两条互补链。细胞分裂时双螺旋必须完全拆分，才能复制遗传物质。单纯拉扯双链只会加剧缠绕，细胞无巨型外力拆解超长DNA（单条长达2米），生物依靠 拓扑异构酶（topoisomerase）完成解缠：

一型拓扑异构酶（Topo I）：切断单链，穿过缠绕区域后重接，每次减少一组螺旋扭转。

二型拓扑异构酶（Topo II）：同时切断双链，整条DNA穿过缝隙后缝合，可拆分互锁环形 DNA（catenane，索烃，链环）。

抗癌药物可抑制拓扑异构酶活性，阻断癌细胞DNA复制。

伯克利学者尼克・卡雷利（Nick Karelli）80年代利用转座子（transposon，转位子、转移子、跳跃基因）定点切割 DNA，

通过纽结拓扑方程预测DNA打结形态，

电子显微镜观测证实理论预判的6₁斯蒂夫多结（Stevedore knot），

开创拓扑分子生物学全新领域。

现有原子力显微镜（atomic force microscopy）可自动识别 DNA 结类型。

凝胶电泳（gel electrophoresis）技术可区分不同拓扑 DNA，

结平均交叉数越大，电泳迁移速度越慢。

由此引出 理想结（ideal knot） 概念：

固定线材粗细，在不挤压自交前提下，能达到的最饱满构型，对应最小线材长度，例如单位半径三叶理想结最小长度为32.7429345。

瑞士联邦理工学院（EPFL）乔瓦尼・迪特勒（Giovanni Dietler）3D打印各类理想结模型，

投入高粘性流体观测沉降速度，沉降速率与平均交叉数呈线性相关。

凝胶迁移、流体沉降两套物理实验，印证拓扑交叉数、几何理想结、真实DNA分子三者统一规律，环形DNA平均形态趋近理想结。

结现实应用：脐带结

24年前我第三个孩子即将出生时，我开始思考脐带打结概率。

史料记载1786年威廉・斯梅利（William Smellie，1697 - 1763）便绘制脐带结案例，

临床两万例新生儿中约两千例出现脐带真结（true knot），

发生率1%，包含三叶结、八字结乃至复杂复合结。

模拟实验：将绳索放入密闭容器持续翻滚，线材越长打结概率越高，容器空间越小打结概率越低。

数学模型采用自回避随机游走（self-avoiding random walk），行走长度趋近无穷时打结概率无限趋近1。

胎儿脐带打结概率关键变量：脐带长度与胎儿球体半径比值。

9至16周胎儿体型、脐带长度配比达到打结峰值；同卵单羊膜双胎共享胎盘羊膜，脐带易形成互锁链环，风险远高于单胎。脐带结会压迫血管阻断供血，但胎儿活跃度高往往脐带更长，整体风险可控。

结其他领域与总结

纽结理论横跨多门数学分支，已有五项菲尔兹奖相关成果，应用涵盖计算复杂度、流体涡环、天体磁通量、分子生物、植物藤蔓等。150年前彼得・泰特（Peter Tait）便预言纽结研究会衍生无穷兼具理论与实用价值的课题，欢迎大家深入探索。

Q&A 问答环节

观众问：您提到DNA近似理想结，分子生物学家能依靠该结论获得什么实际研究价值？

答：分子生物学核心课题是碱基序列如何改变DNA空间构型。理想结模型可作为标准对照，修改碱基序列后，通过模拟与凝胶观测对比形变规律，解析基因序列对分子拓扑的调控作用，为酶反应机制提供几何参考。

观众问：您所说环形DNA是细菌质粒、线粒体DNA，而非细胞核DNA吗？

答：如今可线上定制目标DNA序列，厂商直接合成纯环形样本，无需提取生物体内核酸；整套拓扑理论对质粒、线粒体、细胞核DNA全部适用，环形DNA如同分子乐高，可精准定制各类结、链环构型。

观众问：日常生活中哪些绳结缠绕需要我们留意，有无解决办法？

答：伯克利机械工程教授奥利弗・奥雷利（Oliver O'Reilly）曾发表鞋带打结论文，不同构型鞋带滑脱概率差异极大。户外徒步鞋常出现单侧易松问题，可选用高稳定性复合绳结。

观众问：授课大量实物案例，学生是否更容易理解抽象结理论？

答：因人而异，多数学生依靠现实应用建立学习兴趣；也有纯粹热爱抽象拓扑、无需具象案例的学习者，两类学习路径都合理。

观众问：纽结理论是仍存在大量重大待发现，还是学科体系已成熟？

答：该领域极为活跃，纯纽结理论有诸多悬而未决的复杂度难题；同时拓展至高维结、链环、辫结构，和多项式、曲面、积分数学深度关联，如同数论一般长期持续产出新成果。

观众问：近年基因编辑飞速发展，纽结拓扑理论对基因编辑成功率有无推动，未来会影响人类基因改造吗？

答：我仅能解读数学层面内容，伦理问题有专职教授研讨。早期拓扑模型奠定基础，如今CRISPR等新技术大幅提升基因精准调控能力。各类科技（人工智能、基因编辑）的利弊需要科学界系统推演，科研人员、普通民众、政策制定者都需建立科学认知，共同约束技术滥用。

主持人：本场系列讲座圆满收官，明年九月您将重返学院，明年课程以实操实验为主，期待更多实物演示，感谢各位到场。

参考资料

https://www.youtube.com/watch?v=UF4HU3edjwM

https://www.gresham.ac.uk/watch-now/shape-knots

https://www.gresham.ac.uk/watch-now/series/geometry-nature

https://knotplot.com