对“椭圆周长初等公式”的再认识

作者：沾益一中  赵长润 

不论用什么公式计算椭圆周长值，都绕不开一个概念——计算的'精度'，而'精度'是相对于'真值'而言的，那么，

一、什么是椭圆周长的'真值'呢？

一个椭圆只有一个周长值，且这个周长值具有唯一确定性，它是真实存在的，所以叫'真值'，但'真值'自己不会说话！

在数学上椭圆周长是一个定积分:

图1

如果我们不对这个定积分的数值作任何实质性的计算，则在符号学的意义上，它就是椭圆周长的'真值'L0，这个值近在眼前，却远在天边，只有'上帝'才知晓它具体是多少！

到目前为止，用椭圆积分（实际上是级数求和）得到的周长值，记为L'0，它是自带余项误差的，L'0与L0相比，它存在明显的偏差，但与用其他近似公式得出的周长值相比，它又兼具更多的确定性，在L0长期缺席的情况下，人们往往退而求其次，常把L'0也叫作'真值'。

沾益一中赵长润老师把'中值定理'运用于上述定积分得：

图2

二、郭建平老师的校验数据

作者邀请河南省焦作技师学院数学专业的郭建平老师（副高，已退休！），对'赵长润公式'进行了全值域的独立校验，这里以L'0的值为基准，并把侧重点放在0≤x≤1的超低端（计算难度较大的区间）：

①'赵长润公式'的周长值L与级数求和的周长值L'0在0.001≤x≤0.009的区间内的数据对比：

图3

②'赵长润公式'的周长值L与级数求和的周长值L'0在0.01≤x≤1.00的区间内的数据对比：

图4

结论：在全值域范围内，'赵长润公式'对级数求和的相对误差不超过万分之1.4，这一点正好应验了'赵长润公式'既要紧跟级数求和，又要坚持与级数求和保持适当距离的初衷！只有这样才能甩脱余项误差的包袱！

三、相对误差正负值的分水岭

在sinφ0—x坐标系中，x0=0.174259084代表'曲直交点的横坐标':

图5

上述图象中，'曲直交点'的右侧相对误差为负，左侧相对误差为正：

①对应x0≤x≤1的大多数椭圆，级数求和的误差主要来源于余项误差。

②对应0≤x<x0的极扁平椭圆，除了余项误差，还叠加了级数收敛性变差的因素，导致在x的超低端累积误差较大。

级数求和的不足之处既已明晰，有一句话呼之欲出：问天下数学爱好者，为什么要'抱残守缺'，总是抓住L'0的值不放呢？椭圆周长的'真值'，舍我其谁？

四、'赵长润公式'的优点

'赵长润公式'注重研究方法的整体推进，虽然它依旧披着拟合公式的外衣，但其拟合是一个渐进的过程，'中值定理'保证了'池塘里有一条鱼'，而赵长润用排水法（试错），逐渐把水放空，最后一定能捉到这条鱼，至此，拟合公式与'真值'并无二致！且公式中的三个数学常数都存在严格的定义：

图6

这是一般拟合公式不具备的结构特征，只有严格的数学公式才能获此殊荣！

作者以十分的虔诚来辅助读者加深对其公式的理解，人们读书学习的目的是形成自己'独立的判断系统'，让'正念'慢慢浮出水面，把'杂念'渐渐沉入海底。

五、'赵长润公式'的软肋

'赵长润公式'的终极目标是作'真值'的代言人！从形式上来看，'赵长润公式'是完美无缺的，整个公式就像不施粉黛的美人，涂上一点太艳，抹去一点太淡！'赵长润公式'的软肋不在公式自身，而是对使用公式的人来说:

①公式中指数函数套着幂函数，幂函数又嵌入三个数学常数的定义式，特别是在x值的超低端，即x→0时，公式对低精度计算器很不友善，运算的迭代误差不可小觑！这在一定程度上影响了人们的使用体验，当然解决问题的办法是采用高精度计算器，这将给使用普通计算器计算周长的人增加了门槛，好在像'毛衣针形'这样的极扁平椭圆比较罕见，它的存在只是理论完备性的需要。

②'赵长润公式'实现了对椭圆积分的'零偏差'转录，其精度取决于3个数学常数的取值量级！

③'赵长润公式'一方面得益于正确区分'求椭圆周长'与'求椭圆弧长'的本质区别，另一方面又得益于'中值定理'的保驾护航。

④在物理学中'没有办法的办法'本身也是一种办法，这一点可能让纯粹的数学家不爽，赵长润的研究，独特之处就在于建立了相对完整的'数据库'，并用不完全归纳法总结规律，用演绎法贯通因果逻辑链，使数学和物理相得益彰！

⑤'赵长润公式'是数学和物理相结合的典范，也是整体推进策略得以成功的关键一环，更是椭圆周长初等公式得以问世的唯一阀门！

六、'赵长润公式'与拉马努金公式的对比

两个公式的出发点不同：

①拉马努金公式只是一个经验公式，它试图无限逼近级数求和，但在x值的超低端并未达到预期。

②'赵长润公式'拥有'贵族'血统，有望成为'储君'的潜能，在跟踪级数求和的同时又有意与级数求和保持适当距离。

从结果来看，在x值的高端，如果以级数求和得到的L'0的值为'标的'，两者都有较高的精度，'赵长润公式'略逊于拉马努金公式；在x值的超低端，'赵长润公式'明显优于拉马努金公式！出现这些问题的根源在于'标的'的选择，因为级数求和得出的L'0的值本身就自带误差！那么谁更适合作'标的'呢？这个问题的答案已经一目了然，但结论还是留给读者自行思考判断！

七、几点补充说明

①郭建平，1957年9月生，河南省焦作技师学院数学老师，拥有副高级职称，他对数理科学有较深的造诣，其课堂循循善诱，论证严谨，常令听者耳目一新！

②针对x在超低端时，普通计算器的缺陷，郭建平老师改用计算机进行运算，并对微小数据进行了放大处理，见下图：

图7

③本文的校验数据由郭建平老师独立完成，笔者引用的'表1'和'表2'已征得其本人同意在此公开发布，特别感谢郭建平老师严谨的治学精神和辛勤的付出！

④众人拾柴火焰高，欢迎广大数学爱好者对'赵长润公式'开展更多的拓展性研究，作者将真诚接受大家的批评指正。

⑤科学是一个不断发展的认知体系，祂吸引着无数追随者以顽强的韧性，几十年如一日不断前行！祂的触角已经延伸到不同的学科体系，所以，跨学科的研究方法常常优于单兵种作战！且靠短期投入就能攻克的课题越来越少，所以科研的过程也是科研工作者修炼心性的过程，凡事慢慢来，只有松弛的科研氛围，才能最大限度的挖掘人的潜力，只有自由之探索才能独辟蹊径，实现方法的突破，最终有所成就。

图8