专访｜北大教授董彬：数学应走出数学，与AI共同进化

2023年暑假，在北京大学的一场开班讨论上，北京大学博雅特聘教授、从事应用数学研究的董彬向学生们抛出一个问题：人工智能何时可以解决一个真实的数学猜想？大多数学生认为还需要一二十年，但董彬笃定判断：3年。

3年后，2026年10月6日，OpenAI在GitHub发布了722份预印本，称在几何、计算机科学、代数及其他学科的372个数学问题上取得了进展。尽管在发布不到24小时后，OpenAI因错误撤回其中3篇手稿，但这批由AI产出的数百项数学新发现，仍在短时间内搅动甚至推进了高等数学的研究前沿。

2026年，AI在数学领域的进展，比董彬设想的来得更快、更猛烈，但对董彬来说，触发的不是焦虑，而是兴奋。

“我看到了数学能够更好地支持科学和工程更好的未来，而不用困在过去那些理论、那些机械化的细节里了。”同时担任国际机器学习研究中心副主任的董彬表示，过去数十年，数学的发展极度缓慢，学科壁垒越来越高。回望数千年的数学发展史，人类的探索速度近似线性，但数学留给人类探索的空间却呈双指数增长。

“人类迄今所触及的部分，连冰山一角都谈不上。”董彬说，“如果真正热爱数学，就能够意识到，数学要走出数学。如果我们把目光投向未来而非眼前，就能看见无比广阔的可能性。”

北大教授董彬

走出数学危机

“如果只是把数学狭隘地定义为证明定理，现在确实岌岌可危，但我一点都不担心，因为我从来没有把数学定义为证明定理。”董彬表示，简洁优美的数学是我们理解世界最底层的语言，它不应被窄化为基础数学。数学的本质是更好地理解世界和改造世界，为科学与工程提供支撑。前沿科技领域的痛点，核心往往是底层的数学问题。可控核聚变、量子技术、芯片制造，背后大量问题本质上都属于科学计算范畴，包括微观、介观、宏观尺度下的方程求解与数据表征。

过去数十年，无论是基础数学、应用数学还是计算数学，即便是相近细分方向的研究者，也常常难以读懂彼此的工作，数学与其他学科之间的壁垒同样日益加深，这正是数学面临的危机。

产业端对数学能力的现实需求常常得不到满足，根源在于底层数学理论长期缺少突破性进展。数学能力可以分为四个层级，分别是定理证明、提出问题、搭建理论体系和面向现实场景的学科交叉。越往后，难度越高，能力越稀缺，也越考验数学家的品味、审美、判断以及跨领域的视野。

“说白了，我们的知识面太狭窄了。人类数学家穷尽一生，可能都只是在研究某一类甚至某个方程在特定条件下的数值解法。我们能调动的工具终究只是自己毕生所学，没有接触过数学其他领域的方法，甚至都不知道它的存在。”

AI的出现恰恰有望化解这场危机。

过去，要想开展大范围的跨学科研究，门槛很高，现在只要研究者有探索的意愿，就可以顺着一种数学工具、数学方法，追溯它背后的问题。AI打破了数学的壁垒，打通供需匹配，让数学家可以更灵活地调动现有工具，加速发展新的工具，从底层突破算法和建模瓶颈，向外拓展边界，把数学的能力工程化，把数学的需求规模化。

“数学发挥价值，更多是在数学以外的学科，而不在数学本身。”董彬说，数学天然是要走出去的，向外延伸，天地广阔。

走出迂回的证明

根据董彬的观察，数学家对待AI的态度大致可归为三类：一部分数学家仍坚守“古法数学”，核心推导与论证依靠“手搓”，AI仅承担文献检索的辅助工作；另一部分学者接纳AI作为工具，但主张将其限定在辅助范畴，不动摇既有学术规范；而董彬自己则属于第三类，他们更为开放激进，认可AI蕴藏的价值与全新可能，主张拥抱AI，数学家负责方向把控和宏观研判，将大量繁复的推演工作交由AI承担，推动人工智能和数学“共同进化”。

1986年，日本数学家宫冈洋一与森重文共同发表了一个关于有理曲线的经典判据：在光滑复射影簇X上，如果一条不可约曲线C满足K_X·C<0，那么C上的每一点都有X中的有理曲线经过。经典证明借助约化到正特征及Frobenius技术，再回到特征零。有理曲线是研究高维代数簇结构的重要工具，但学界一直认为这条证明路径迂回曲折，期待一份更加简洁直接的证明，一旦找到，就会对数学工具的发展产生重要价值。

时隔40年，今年9月，董彬团队与数学合作者公开了这一判据的特征零代数证明。团队开发的智能体Pharos在只输入问题的自主运行中找到证明思路，从项目创建到目标被系统接受用时约20小时，随后由数学合作者理解、重写、发展论证并核验正确性。在273条已验证的事实中，4条进入最终主定理的依赖链，其余的探索路径也间接促成了最终结果。董彬认为，观察AI的推理轨迹，对理解人类自身的思考方式也有启发，AI能够在已有数学框架内提出新的思路。

他的另一项工作围绕形式化“庞加莱猜想”展开。2002年-2003年，俄罗斯数学家佩雷尔曼发布三篇论文证明“庞加莱猜想”，这是学术界唯一公认由人类数学家解决的千禧年问题。佩雷尔曼的三篇论文仅约60页，其中大量细节并未展开，数学家们耗费相当长的时间逐步补齐这一猜想的方方面面。形式化“庞加莱猜想”，可验证经典猜想的可靠性，沉淀出可复用的基础数学工具代码。董彬表示，形式化的基础设施目前仍然薄弱，可复用代码有助于为其他重要定理和定义的形式化研究提供支撑。在这个过程中，反复揣摩、理解佩雷尔曼的证明，也对数学有了新的理解。

走出知识本位

董彬的学术轨迹，也是一条不断“走出数学”的路。

2003年从北京大学数学科学学院毕业后，他先后在新加坡国立大学和加州大学洛杉矶分校获得数学硕士与博士学位。他和合作者一起揭示了偏微分方程与小波之间的深层联系，启发了解决复杂的计算成像问题的新算法。在计算成像的传统研究方法性能遭遇天花板后，董彬发现，深度学习的预测能力在某些情况下反而显著优于团队精心设计的数学模型。2016年，他从图像处理的数学建模与理论分析，转向机器学习和人工智能，希望把数学工具和方法同深度学习融合。2022年起，他同步开展AI与数学推理的交叉研究，借助AI与基础数学的交叉研究，破解数学领域的痛点。

董彬直言，以培养数学家为责任的研究生教育在当下的AI时代确实面临突出困境，学生迷茫与焦虑也很正常。但仍然要区分“数学知识”与“数学训练”。数学知识本身也许并无直接用处，数学训练所带来的能力提升则是至关重要的。

数学训练的价值，不在于掌握了多少定理和定义，而在于获得思维训练，这种训练能让人在面对复杂问题时迅速看到本质，以第一性原理思考问题，快速学习新事物。因此，需要警惕AI带给数学教育的风险，学生直接依赖AI完成课业，会丧失高阶思维能力的自主训练。

董彬认为，AI时代的数学教育不必再囿于公式推导与定理证明，而是有机会变得更加有趣。“（借助AI）我们能够更好地理解一个概念到底是怎么得来的、为什么不能换一种定义方式、它到底描述的是什么、它稍微变一变可能会发生什么。”对于学生而言，如果眼下还看不清未来的世界会被AI颠覆到什么程度，就应当先练好“内功”，尤其是思维模式和认知能力，“学习基础学科从战略上来说是更加明智的选择，因为无论外界怎么变化，基础学科能够锻炼出站在时代前沿的能力。”