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《数学天堂逸闻——希尔伯特第1问题集合论连续统假设CH》by 何塞·费雷罗斯（José Ferreirós）——EMS欧洲数学会

2026-11-06 00:00

来源：澎湃新闻·澎湃号·湃客

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数学天堂逸闻

——希尔伯特第1问题集合论连续统假设CH

来源：第九届欧洲数学大会（9ECM）会议文集

9ECM于2024年7月15日至19日在西班牙塞维利亚举行。

该文集2026年10月由欧洲数学会出版社（EMS Press）出版，并可公开获取。（本文副标题为译者所加，以便理解）

作者：何塞·费雷罗斯（José Ferreirós）

《数学天堂逸闻——希尔伯特第1问题集合论连续统假设CH》by 何塞·费雷罗斯（José Ferreirós）——EMS欧洲数学会

何塞・费雷罗斯，是塞维利亚大学哲学系教授。他先后求学于马德里自治大学与加州大学伯克利分校，曾在伯克利、巴黎、博洛尼亚、圣地亚哥以及欧美其他多所学术机构担任客座教授。他是科学史与科学哲学方向的专家，专攻数学与逻辑学相关问题，同时也研究物理学与实验实践相关课题。他是数学实践哲学协会（APMP）的创始会员，并于 2010‑2015 年间担任该协会主席。同时任职于塞维利亚大学数学研究所（IMUS），也是布鲁塞尔国际科学哲学研究院院士。

报告日期：2024-7-19

出版日期：2026-10-30

摘要：大约一百年前，希尔伯特说出那句著名的断言：“没有人能把我们逐出康托尔创造的天堂。”集合论正式诞生距今（2024年）恰好150年，源于康托尔一篇充满内在曲折故事的惊人论文。本篇历史报告选取集合论早期史上三则片段，对应三个关键节点：1874年，在颇具戏剧性的背景下，超限基数诞生；1905年，论战激烈，构造主义者与“形式主义者”的分裂浮出水面；1925年，批评者（外尔、布劳威尔、斯科伦）与高阶无穷的拥护者之间，基础大辩论达到高潮。本文不采用严格时间顺序叙事，行文会带有类似电影闪回的效果。

“康托尔为我们创造的天堂，没有人可以将我们驱逐出去。”

——希尔伯特，1925年6月4日，明斯特，魏尔斯特拉斯纪念会议讲话。

差不多一个世纪以前，大卫·希尔伯特讲出这句名言：没有人能把我们逐出康托尔的天堂。他的一些同时代学者认为，这个所谓的“天堂”完全是人为虚构之物。本篇历史报告将重新审视这场争论的若干侧面。文中选取集合论早期历史的三则片段，时间跨度约五十年，对应三个关键时刻：1874年，超限基数在特殊背景下诞生；1905年，论战白热化，构造主义者与所谓“形式主义者”之间的分歧显现；1925年，批评者（外尔、布劳威尔、斯科伦）与高阶无穷支持者之间的数学基础大辩论达到高潮。

文中会介绍故事主角们一些有趣的个人细节（数学终究是人的事业），同时也会涉及这段历史当中一些方法论层面的微妙之处。借此，我们能够理解：集合论相关问题为何最终让数学界分化成立场对立的各个阵营。

我不打算严格依照时间顺序来讲这个故事，还请见谅。让我们从一百年前说起，从希尔伯特那篇著名的《论无穷》报告开始，之后再闪回至1874年。

1. 1925年：身处天堂的希尔伯特？

1925年，直觉主义与形式主义之间的数学基础论战达到顶峰。这场交锋自1921年外尔介入之后愈演愈烈；针对直觉主义的反驳声音声势渐起，在1925‑1926年前后来到最高点（参阅Hesseling 2003）。

1924‑1925年间学术活动十分活跃：才华横溢的直觉主义者布劳威尔大量发表论文；希尔伯特作《论无穷》的演讲；外尔也发表数篇文章，此外还有弗伦克尔、贡塞特、柯尔莫哥洛夫、利茨曼等一众学者参与其中。（布劳威尔：发表于《数学年刊》1925、《克雷尔纯粹与应用数学杂志》1924、《德国数学会年报》1925。外尔：发表于《数学杂志》1924，另有一篇通俗讲演刊载于哲学期刊《Symposion》。）

史学家注意到，这场论战从一开始就充满政治隐喻与象征修辞：布劳威尔被称作“革命者”；外尔与布劳威尔被说成是“一再发动政变”；他们的观点被拿来和克罗内克对比（与之对照的，就是希尔伯特所推崇的康托尔）；希尔伯特则被描绘成拒绝离开天堂的“叛逆的亚当”；还有诸如“开端即是符号”这类说法，诸如此类。（整个事件矛盾在1928年彻底爆发，也就是所谓的 “蛙鼠大战”。这场冲突仅有一部分起因来自数学基础问题，更大程度上或许源于1928年9月的博洛尼亚国际数学家大会。布劳威尔发起了一场抵制行动，双方在 “根本问题上的观念分歧” 愈发不可调和。D. Rowe 和 H. Mehrtens都研究过该事件；另可参阅van Dalen 1990年的相关论述。）

但除去个人恩怨与政治化的修辞，背后是实打实的数理基础议题：实无穷的正当性、选择公理这类纯粹存在性原理的地位、是否应当把研究方法限制在构造性流程之内。希尔伯特1925年那篇著名报告《论无穷》，就处在这样的大背景之下。

这篇报告最为人铭记的，正是那句名言：“康托尔为我们创造的天堂，没有人可以将我们驱逐出去。”和多年来一贯的立场一样，希尔伯特坚定站在集合论以及所谓“经典数学”这一边。这篇文献同时也是希尔伯特元数学纲领详尽而精微的阐述。元数学纲领的目标，是为数学核心理论（皮亚诺算术、实分析、集合论）给出一致性证明。

本文不展开细说希尔伯特纲领的技术细节，但想要回顾他试图建立的几条主要哲学洞见，这些观点本身充满矛盾，也因此耐人寻味。

希尔伯特开篇大篇幅讨论自然科学当中的无穷。他细致论证：无论往无穷小，还是无穷大的方向看，现实世界当中都找不到无穷。也就是说，现实是有限的；无穷在物理世界意义上并不真实存在。“但无穷完全有可能在我们的思维当中占据合理位置，成为一个不可或缺的概念。”

不过希尔伯特在此处表现出两面态度。一方面，他全力捍卫整个康托尔集合论宇宙，因为集合论带给我们“对于无穷本质最深刻的洞见”；这是他浪漫主义的一面，满怀热忱拥抱超限数，欣赏数学的丰富多姿。他写道：“康托尔的超限数理论，在我看来，是人类智识开出的最美花朵，也是人类纯粹理性活动最高成就之一。”

然而他身上又同时具备批判的一面，到文章末尾，他又否认无穷拥有实质性的思维客体地位。

报告中间有一段著名文字，讨论“一种完全令人满意的方案：既避开悖论，又不背叛我们的科学”。他提出应当秉持如下态度与立场：

(1) 凡是尚有挽救希望的富有成果的概念构造与演绎方法，我们都要仔细研究、大力发扬。呵护它们，强化它们，让它们发挥价值。没有人能够把我们逐出康托尔创造的天堂。

(2) 我们要让整个数学的推演，都获得初等算术那样的确定性。算术是无人质疑的领域，矛盾与悖论只会源于人的疏忽大意。

显然，只有把无穷的本性彻底阐释清楚，这些目标才能够实现。

但出人意料的是，这位哥廷根数学家最后却剥夺了无穷的实体地位，把它降格为康德意义下的调节性理念：

最终结论便是：无穷无处得以实现；它既不存在于自然界，也不能作为我们理性思考的基础——存在与思想之间达成这样一种奇妙的和谐。只有借助有限手段（也就是通过一致性证明来证成这套操作），我们使用无穷的权利才得以保障。

（这一观点与康托尔关于无穷的哲学立场背道而驰，可以肯定，倘若康托尔看到希尔伯特的这些看法，一定会感到不满。）

这里看到的就是希尔伯特思想的批判面向，和前面的浪漫色彩形成鲜明对照。无穷仅仅是“理想元”，是一种言说方式，最终都可以归约为有限步骤。于是他收尾写道：

因此无穷所扮演的角色，仅仅是一个理念——借用康德的话来说，理念就是超越一切经验的理性概念，借助它我们把具体事物补全，形成一个整体。而在我的理论所搭建的框架之内，我们可以毫无疑虑地信赖这一理念。（希尔伯特，1925，第392页）

这终究只是一份期许，后来哥德尔那些划时代的结果证明这个期许无法实现。

由此可见，希尔伯特对于高阶无穷的态度，在某种程度上是矛盾、两面摇摆的。他坚定维护集合论，但是对数学基础现状的批判性思考，又把他推向怀疑，至少是一种温和审慎的立场。当时许多数学家都是类似状态。

确实，1920年代，既有大量工作尝试为策梅洛‑弗伦克尔公理系统ZFC奠基，也不乏想要限制这套公理体系的努力，策梅洛本人对此颇感沮丧。像希尔伯特这般乐观的人并不多；不少学者对实无穷持中立态度——其中甚至包括像谢尔宾斯基、卢津这样的集合论大家；还有部分顶尖数学家拒绝接受康托尔的天堂。

举两个例子。埃米尔·博雷尔最早在法国传播康托尔的工作，但经过选择公理与良序定理的争论之后，1905年他转而成为集合论的批评者，甚至拒绝承认ℵ₁这个概念，他的观点影响力很大。后文还会回到他的故事。

另一位代表人物，是当时活跃于西班牙与阿根廷的胡利奥·雷伊·帕斯托（1888‑1962）。他的著作《高等数学》成书于1916年，写作前不久他曾在哥廷根访学，深受熏陶。但1951年第二版当中，雷伊·帕斯托与自己年轻时对集合论的热忱拉开距离。1916初版中，他曾预言未来数学会被定义为“集合的科学”。而在新版中，他重写第一章：

20世纪初，康托尔主义短暂迎来黄金时代，当时人们把康托尔的超限算术与超限几何视作分析学必不可少的基础，新出版的大部头著作都会用长长的开篇章节专门介绍它们。法国学派（博雷尔、贝尔、勒贝格、弗雷歇）取得的成果，印证了这套理论的声望。但博雷尔与庞加莱的批评冷却了人们过度的热情：人们意识到，完整的经典分析完全不需要实无穷，只需要一部分不可或缺的康托尔概念就可以建立起来，以此推进实变函数理论……（聚点、邻域等等）。本世纪初那些突如其来的悖论，浇灭了曾经感染我的那股热潮，当年那些讲义当中，超限概念被抬到了过分重要的地位。（雷伊·帕斯托，1951，20‑21页，本文作者译）

在他看来，19世纪数学虽然从具体走向抽象，但从未脱离现实与自然科学。反观当下，“我们这个时代的特征，是肆意的抽象构造、随意的公理、随心所欲的函数；一大堆随心所欲，庞加莱对此深感不安。”（雷伊·帕斯托，1951，第7页）。

庞加莱、勒贝格、贝尔、外尔、斯科伦、范德瓦尔登等等一众重要学者，都出现过这类重新审视集合论的想法。正如我在别处写过的那样，两次世界大战之间，学界弥漫着一种“不安全感”。现在，让我们把时间往回拨动，回到故事的开端。

2. 1874年：带着“原罪”诞生

集合论诞生于1874年，标志性事件是康托尔发表论文《论全体实代数数集合的一个性质》。（康托尔 1874。当然，这种说法多少有些夸大其词。集合论在此之前数年就已经萌芽（参见Ferreirós 2024 年文献）。不过正是这篇 1874 年的论文，首次证明存在具有不同 “规模” 的无穷集合。从这个意义上讲，它标志着超限集合论的开端。）

正如我们接下来会看到的那样，它的诞生从一开始就伴随着争议。

这篇精巧的1874年论文，其内容成型于1873年11‑12月康托尔与戴德金的通信往来。文章给出两个在当时绝非平凡的定理：其一，代数数是可数的；其二，实数集ℝ不可数。这两个结果揭示了无穷集合之间存在本质差别，同时证明了超越数（非代数数）是存在的。

这里有几段不甚光彩的史实（据已出版的《康托尔‑戴德金通信集》1937，该书也有英文译本。）：

第一个定理（代数数可数），是戴德金在11月30日的一封信当中证明出来的。

论文标题重点突出第一个定理，也就是戴德金主要深耕的代数数论领域。

留存的手稿笔记显示，戴德金惊讶地发现，康托尔几乎一字不改，就把他11月30日、12月8日两封信件的内容直接刊登在了《克雷尔杂志》第77卷上。

第二个定理的核心想法确实出自康托尔，但戴德金在12月8日的回信里对证明做了极大简化与局部修改。

（这一版本几乎被原封不动直接写进论文，仅有五个字词做了改动（这就是前文 “几乎一字不改” 说法的由来）。在另一封信里，康托尔承认戴德金的 “意见与表述” 对他而言 “价值极高”，因此他 “认为理应直接采用这些内容”）

整件事和所谓“柏林方面的处境”（即魏尔斯特拉斯与克罗内克）存在关联，但戴德金从未得知更多细节，二人之后也再也没有针对这篇论文展开过讨论。

（1874 年这篇论文背后这些蹊跷内情，或许牵涉到克罗内克（还有库默尔）与戴德金之间的一场争执 —— 这是典型的学术优先权纠纷，二人同为代数数论领域的专家。参见《戴德金全集》第 3 卷，第 481 页。）

事实上，魏尔斯特拉斯十分看重第一条定理——把代数数整理成简单的可数序列，并且鼓励康托尔把结果发表出来。

梳理这些史实之后，人们不免心生疑问：这篇文本究竟是谁写的？这些定理又该归功于谁？在我看来，这本该是一篇联合署名论文。再加上标题这件事，更耐人寻味。彼时戴德金刚刚在代数数论领域崭露头角（1871年），相当于重新定义了高等数论。几乎原封不动引用私人信件，再配上这样的标题，这件事对戴德金而言想必是难堪至极。

我不准备给出个人评判，只转述其他研究者的观点。撰写戴德金传记的S·米勒‑施塔赫（S. Müller-Stach, 2024）认为：康托尔把二人共同的想法拿去发表，却没有提及戴德金，是一次“考虑不周的发表行为”，公然违背了当时的学术规范。1887年戴德金侄子写给朱莉·戴德金的家书可以佐证，这件事在戴德金家族内部是人尽皆知的往事。这听上去像是一则逸闻，但信息量极大。

对康托尔态度更为宽容的奥利弗·戴泽（参见戴泽个人网站：https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=cd1 站内检索关键词：Die Veröffentlichung von Cantor 1874）这样写道：“作为折中方案，后人或许可以把代数数可数这一结果称为康托尔‑戴德金定理，其余部分仍归属于康托尔。”康托尔谈及戴德金给出的可数性证明时，称其思路和自己证明整数元组可数的方法相近，这也是戴泽主张二人共享该定理归属的依据。但康托尔的方法，如果不引入戴德金提出的多项式高度这一关键概念，是无法推广到代数数的情形。

无论如何，两位数学家的性格、处事方式差异巨大，有时甚至格格不入。

而“带着原罪诞生”还有第二层含义：源自康托尔、戴德金1872年给出的实数定义，表面清晰透彻，背后却暗藏问题。它们看似给出实数连续统完全精确的刻画，但二人都没有充分意识到自己预设前提带来的全部后果。这里指的是（隐式的）幂集原理，以及“任意子集”这个模糊概念。

1872年的两篇论文分别依托戴德金分割（有理数集ℚ之上），以及有理数基本序列（柯西序列）。想要得到完备实数系，就意味着要接受全部满足柯西条件的任意有理数序列（康托尔），等价地，接受有理数集ℚ之上全部任意戴德金分割。他们预先假定，所有这些无穷构造构成一个完整的总体，并且是外延确定的集合，而不只是依靠内涵条件定义出来的对象。

注：内涵确定 vs 外延确定（外尔提出的区分，可参见 Crosilla 和 Linnebo （2024）的详细阐释）。内涵确定：给定一个条件，随便拿一个对象，可以判断条件对它成立与否；外延确定：一个集合的全部成员被完整划定，形成封闭总体。

用集合论的专业术语来讲：戴德金与康托尔在没有清晰自觉的情况下，采纳了集合的准组合观念。这一点，是后来经过构造主义数学家（克罗内克、庞加莱、博雷尔、贝尔、布劳威尔、外尔、斯科伦等人）的批评，才逐步厘清。可以说，这些批评者立下大功，帮助集合论数学澄清自身的基础。

换一种更通俗的说法：早在1872年，这些实数定义就已经明确用到实无穷集合；但却模糊地预设了任意、“随机”集合（并非由确定法则给出的“合乎规律”集合），甚至预设了所有这类集合构成一个完整总体。

多年之后希尔伯特也承认这个问题。他提到，有人质疑“全体实数构成一个总体”这个概念，因为人们会把“实数集合”想象成“所有能够生成基本序列的法则的全体”。而现实情况比这更麻烦：我们还假定存在不服从任何法则的序列。

3. 1904‑1905：公开大论战

20世纪最初十年，集合论诸多奇特性质引发激烈论战：高度非构造化的研究取向、接纳“任意”集合，以及选择公理AC。争论的核心是：哪些方法论可以被允许，尤其在无穷集合研究当中；进而关乎部分基础公理应当被接受还是被摒弃。

逻辑主义早期理念已经退居幕后，论战主要发生在两派之间：一派是现代“形式主义者”，支持集合论那套自由的方法、富有成果的概念推演；另一派是持批判立场的构造主义者，批判集合论的“任意性”，主张使用约束更强的方法。

时代背景包含几件大事：第一，1899‑1903年间，集合论悖论就在各类学术会议被反复讨论；罗素、弗雷格1903年著作出版之后，讨论范围进一步扩大。（正如康托尔所坚持的（1899 年致希尔伯特、戴德金的书信），存在若干理由，反对 “全体序数的汇集”、“全体基数（阿列夫数）”，甚至 “由全部集合构成的实无穷” 这类概念。诸多其他 “逻辑” 悖论（罗素 1903 年、理查德 1905 年等）又让事态进一步复杂化；后世将这些悖论归为语义悖论。）

第二，更关键的是，1904年海德堡ICM国际数学家大会上，围绕连续统问题爆发激烈辩论。这正是希尔伯特23个问题当中的第1题：康托尔连续统假设CH，以及良序定理。

1904年海德堡国际数学家大会上，久洛·柯尼希给出一个证明：连续统不是任何一个阿列夫数。当时康托尔与希尔伯特都在场，此事轰动学界。据记载，大会甚至调整其他分会场日程，让全体参会者都来听柯尼希报告。有一段颇具感染力的记述，描绘康托尔当时的反应：

随后康托尔起身，情绪万分激动。他感谢上帝，让自己活着看到自己的错误被驳倒。报纸也报道了柯尼希的这场报告。巴登大公本人还通过菲利克斯·克莱因，想要了解这桩轰动事件的详情。（科瓦列夫斯基，1950）

可惜回忆录并不可全信。（根据国际数学家大会会议记录，在柯尼希的报告《论连续统问题》结束之后，康托尔、希尔伯特与舍恩弗利斯依次上台发言。科瓦列夫斯基本人并没有出席 1904 年的这届国际数学家大会。）

真实亲历者留下的记述则完全不同：“康托尔从一开始就认定柯尼希的结果无效，哪怕对方给出了严谨推演。他乐于表示自己不是不信任柯尼希本人，只是不信任‘上帝的使者’。”（舍恩弗利斯，1922，第100页）

面对柯尼希的证明，康托尔、希尔伯特、策梅洛等人聚在一起梳理问题。倘若柯尼希结论成立，康托尔的超限集合论大厦将会轰然倒塌。1904年晚些时候，豪斯多夫与策梅洛的工作扭转局面。豪斯多夫厘清柯尼希定理的适用边界：并非柯尼希本人论证出错，而是伯恩斯坦博士论文里面一条定理表述有误。（该结果仅对下标为极限序数的阿列夫数成立，对后继序数不成立；也就是说它适用于ℵ_ω，但不适用于ℵ₁、ℵ₂……）

颇具讽刺意味的是，伯恩斯坦既是康托尔也是希尔伯特的博士生。

1904年9月，策梅洛以信件形式给出依托选择公理AC的良序定理证明，立刻发表在《数学年刊》，刊物主编正是克莱因与希尔伯特。

良序定理意味着每一个集合的基数都是某个阿列夫，极大加固了康托尔理论。但策梅洛的论证招来大量质疑，多篇回应马上刊登于《数学年刊》第60、61卷。一场席卷欧洲多国的大辩论就此爆发：法国那封著名的“五人通信”，还有皮亚诺、庞加莱、哈代、朱尔丹、罗素等人纷纷参与。（刊载于《法国数学会会刊》；参见博雷尔等人（1905）。《数学年刊》第 60 卷第 2 期共刊登四篇论文讨论策梅洛那篇简短文章；若算上第 61 卷的相关文章，总计达到七篇。）

众人的疑虑来自多重源头：不光是选择公理这条高度非构造性的新公理；就算愿意接纳AC，不少人还担心证明会用到“全体序数”这类本身就有问题的集合，伯恩斯坦就持这种看法。策梅洛1908年给出定理的新版证明，公开为选择公理辩护，并且完整提出集合论公理系统，才把局面厘清。

值得注意希尔伯特在《数学问题》报告当中的诉求：他希望得到实数的有效良序，也就是构造性地把实数集ℝ良序化。

现在就出现一个问题：全体实数是否能够以另一种方式排列，使得每一个子集都拥有首元，亦即连续统是否可以被看作良序集合——康托尔认为答案必定是肯定。在我看来，最值得期待的，是直接证明康托尔这条非凡命题：实实在在给出一套数的排列，保证每一个子集合都能指出第一个元素。

时至今日，没有人找到这样一套构造性解；而ZFC公理体系下，也完全相容于“不存在这样的解”。策梅洛给出的，却是一个彻头彻尾非构造性的解答。

很多学者同样渴求构造性的有效解答。埃米尔·博雷尔认为策梅洛结果只是条件式成立：如果你能在集合S的幂集上定义选择函数，那么S就可以良序化；否则便毫无办法。博雷尔在此后多年持续辩论这件事，影响力巨大，甚至把ℵ₁视作定义不明确的概念。

但要知道：如果我们把集合论理解为研究任意无穷集合，选择公理本身是十分自然的。正如策梅洛所言，它适用于“所有子集总体有意义的集合”。可问题来了：完全任意的函数这个概念，本身真的站得住脚吗？正是这一点，造成数学家群体内部的分裂。

即便希尔伯特一派在现实中逐渐占据上风，这场论战依旧持续许多年。再举一例，佩龙1911年论文写道：

如今数学当中有这样一个分支，学者们观点撕裂：一部分人视作正确的东西，另一部分直接予以否定。这就是集合论。在这里，数学推演的确定性仿佛已经荡然无存。

最尖锐的冲突集中在连续统的良序问题。一半人认为证明毫无瑕疵……另一半则宣称整套证明全然错误。（佩龙，1911）

从1904直到当代，每一代都可以找到集合论的批评者。集合论的未来将会走向何方？过去一个世纪该领域技术取得巨大飞跃，但怀疑主义的理由依旧存在，最突出便是连续统问题——这个问题有无“解决”，本身就可以成为怀疑的理由。

康托尔的那座天堂，到头来会不会终究只是一座人为构筑的虚幻天堂？

（正如迪厄多内所写；参见 P. Dugac：《理查德・戴德金与数学基础》（巴黎：弗兰出版社，1976年），第11页。）

原文参考资料

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[12] D. Hilbert, Über das Unendliche.（https://doi.org/10.1007/BF01206605 ） Math. Ann. 95 (1926), no. 1, 161–190 (English translation in J. van Heijenoort, From Frege to Gödel, pp. 367–392, Harvard University Press, 1967) JFM 51.0044.02 https://www.emis.de/cgi-bin/jfmen/MATH/JFM/quick.html?first=1&maxdocs=20&type=html&an=51.0044.02&format=complete MR 1512272 https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1512272

[13] G. Kowalewski, Bestand und Wandel. R. Oldenbourg, München, 1950, 309 pp. Zbl 0037.00203 https://zbmath.org/?q=an:0037.00203&format=complete

[14] S. Müller‑Stach, Richard Dedekind. What are and what should the numbers be? Continuity and irrational numbers. （https://doi.org/10.1007/978-3-662-70057-0 ）Class. Texts Sci., Springer, Berlin, 2024, 236 pp. Zbl 1560.01051 https://zbmath.org/?q=an:1560.01051&format=complete MR 4881998 https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4881998

[15] O. Perron, Über Wahrheit und Irrtum in der Mathematik. Jahresber. Dtsch. Math.‑Ver. 20 (1911), 196–211 JFM 42.0073.03 https://www.emis.de/cgi-bin/jfmen/MATH/JFM/quick.html?first=1&maxdocs=20&type=html&an=42.0073.03&format=complete

[16] J. Rey Pastor, La matemática superior. Iberoamericana, Buenos Aires, 1951; 1st edn., 1916

[17] A. Schoenflies, Zur Erinnerung an Georg Cantor. Jahresber. Dtsch. Math.‑Ver. 31 (1922), 97–106 JFM 48.0019.02 https://www.emis.de/cgi-bin/jfmen/MATH/JFM/quick.html?first=1&maxdocs=20&type=html&an=48.0019.02&format=complete

[18] D. van Dalen, The war of the frogs and the mice, or the crisis of the Mathematische Annalen. （https://doi.org/10.1007/BF03024028）Math. Intelligencer 12 (1990), no. 4, 17–31 Zbl 0723.01006 https://zbmath.org/?q=an:0723.01006&format=complete MR 1076531 https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1076531

[19] E. Zermelo, Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann.（https://doi.org/10.1007/BF01445300） Math. Ann. 59 (1904), no. 4, 514–516 (in Z. Werke, Vol. 1 (2010), 80–119. English translation in van Heijenoort, op. cit. (1967). See also the 1908 papers in Werke, Vol. 1, 120–230) JFM 35.0088.03 https://www.emis.de/cgi-bin/jfmen/MATH/JFM/quick.html?first=1&maxdocs=20&type=html&an=35.0088.03&format=complete MR 1511281 https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1511281

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