数学课｜天气预报不准？算算背后的概率问题吧

作者|吴昊&编辑|罗数君

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导语：

小时候每晚都会陪家人一起看新闻联播后的天气预报，边看边好奇能测算出天气的人是有超能力吗？长大后才明白原来天气预测与数学的概率知识竟如此的紧密相关，今天我们就一起尝试用概率来解释天气预报吧！

夏天，对于大部分地区意味着下雨，而对于每天还要出门的上班族和学生族来说，天气预报就像女生的防晒霜一样，是临行的必备。匹兹堡的夏天，时而阴云密布，时而晴空万里，每日外出前，我定是要看看天气预报才敢安心出门。

今天出门前，为了决定要不要带伞，我打开天气预报，在最显眼位置上的“降水概率0%”让我顿时心情舒畅，几天的阴雨连绵终于告一段落。 我放心地扔下手中的伞，但谁能料想到，我刚推门而出，就被突如其来的一场阵雨淋了个落汤鸡。

不是说今天降水概率为零吗？正思索着，另一个问题忽然出现在我的脑海：如果没人能预测未来，那天气预报是如何知道一个小时后的降水概率呢？

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美国气象局的官网写到，降水概率（Probability of Precipitation，简称 PoP）有两种解释方式，一种是用以往相似气象数据的天气情况进行统计得出的降水频率，另一种，便是我们在天气预报里看到的，根据各种气象数据直接对未来进行推测出的降水概率。

在定义PoP之前，我们先回顾一下什么是条件概率（Conditional Probability ）。条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率，记作P(A|B)。假如面前有一颗标准的六面骰子，我掷了两次，看到两次正面朝上的数字之和是10（事件 A），那么其中一次数字是5（事件 B）的概率是多少？这时，已给定的条件是“两次数字和为10”，那么在该条件发生的情况下某次数字是5的概率，便可简称为给定 A，B 的条件概率，写作 P(B|A)。

当 A 是 B 的必要条件时，即只有在 A 发生的前提下 B 才能发生，那么 P(B)=P(A)xP(B|A)。意思是说，B 发生的概率等于 A 发生的概率乘以给定 A，B 的条件概率。

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PoP的定义很简单，就是某点有可观测降水（比如大于0.01英寸）的概率P（该点有可观测降水）。这个值很难直接测量，于是我们利用刚才所讲的条件概率的知识，把它展开成两个概率相乘：某地区有降水的概率P（该地区有降水）乘以给定这一地区有降水，那么地区内任意一点内有可观测降水的概率P（该点有可观测降水|该地区有降水），两个概率分别以 C 和 A 表示，整体写成 PoP=CxA。只有当该地区有降水时，该点才可能有可观测降水，所以前者确实是后者的必要条件。

细心的读者可能会发现，这个公式使用了一个重要的假设，就是某个地区内，每个点有可观测降水的概率相等。这么假设，是为了简化计算。只要地区划分得够小，这个假设得出的结果和真实值就不会差太多。

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和降水概率息息相关的一个值就是降水量，也就是降水的期望值（Expected Value）。在超市抽奖时，奖金的期望值可以写成：获得一等奖的概率乘以一等奖的奖金，再加上获得二等奖的概率乘以二等奖的奖金，再加上三等奖所对应的乘积。降水的期望值也是一样的：把每个可能降水量的概率乘以这个降水量本身，再整体求和，得到的值就称为降水的期望值。

网上曾流传一个笑话：降水概率70%就是指10个气象学家坐在一起投票，其中有7个人觉得会有降水。真实的降水概率当然比笑话里的投票靠谱得多，但不可忽视的是，它终究也只是一个估计而已。0%的降水概率不代表百分百不会下雨，100%的降水概率也不能证明一定会下雨。时刻带把伞，才是最万无一失的方法。

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（原载于“罗博深数学”公众号：LuoboshenMath）