π真的是一个无理数吗？

原创： Jason Ren 罗博深数学

作者 | Jason

编辑 | 罗数君

文 1793字 阅读时间约 15分钟

导语：

今天我们所尝试的证明，虽然用到了一些高等数学中泰勒展开的知识，但非常巧妙，且容易理解。作为数学爱好者的你，想不想尝试着看看这个巧妙的证明！

说起π，大家一定都不陌生。

自从小学接触圆以来，π就成为我们数学学习中一个重要的数字。 我们都知道，圆的周长和直径的比是π，也知道圆的面积也与π有关。 但与此同时，π又是一个有些神秘的数字，它无法用一个分数表达出来，且尾数无穷无尽。渐渐地，随着我们对数学更深入的学习，我们知道了π和e与根号2一样，是无理数大家庭中的一员。 然而我们应该如何严谨地证明π是无理数呢？

乍一想，我们似乎从来没有思考过π是无理数这个问题。其实π是一个无理数的证明并没有想象中那样简单，很多的证明都需要用到 高等数学的知识。今天我们所尝试的证明，虽然用到了一些高等数学中泰勒展开的知识，确实非常的巧妙，也比较容易理解，作为数学爱好者的你，想不想尝试着看看这个巧妙的证明！

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在这个证明中，我们用到了不少 反证法。首先让我用一个简单的例子帮助大家了解反证法的妙用。当我们想证明：对于所有的整数n，如果n⊃3;+5是奇数，那么n一定是偶数时，当然，我们可以直接证明，但从n⊃3;+5是奇数推出n是偶数似乎并不是那么的直观。所以我们在这里可以使用反证法：我们假设n和n⊃3;+5同为奇数，这样，我们知道一定存在整数k和j来表示n与n⊃3;+5：n⊃3;+5=2k+1和n=2j+1。通过一些简单的代数计算，我们可以得到：

这里，我们可以看到等式的左边所有的项都是整数，所以整数的加减运算后一定会得到一个整数，而等式的右边是一个分数，于是我们知道这样的等式是不会存在的。我们成功 找到了反论题的虚假，于是得到若n⊃3;+5是奇数，那么n一定是偶数。

想必大家一定觉得这个问题非常简单，下面让我们直接进入到 π是无理数的证明，我们会将这个证明分成 三部分：

第一部分：证明tan(x)是一个连分数

第二部分：证明若x是非零的有理数，tan(x)是一个无理数

第三部分：证明π是无理数

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第一部分证明

首先，通过 泰勒展开，我们知道：

我们又知道，tan(x)=sin(x)/cos(x)，所以：

通过一些 化简，我们得到：

我们接着在分子分母同时 乘以一个相同的式子：

通过移项，得到：

我们接下来计算括号内的式子：

看到分母分数中的分母和分子的第一项有一样的了吗？我们可以进一步化简：

我们现在继续化简分母：

我们可以使用同样的方法进行化简：

同样的方法继续化简，就可以得到：

这样，我们就证明了tan(x)是一个连分数。

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地

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第二部分证明

第二部分需要证明若x是非零的有理数，tan(x)是一个无理数。我们已经在上一部分已经证明了tan(x)可以用一个连分数表示。既然x是一个非零的有理数，我们可以将x表示成u/v，u，v为整数。 我们现在可以将tan(x)表示成：

我们现在将分子分母同时乘以v，这里大家需要小心一些，因为连分数的计算会稍稍有一些复杂，我们得到：

这一步的证明中最关键的一点是发现连分数分子中u和u^2是不变的，而分母1v，3v，5v… 则在不断的增大。在某个时候，不断变大的分母将 一定会比分子大。实际上，所有有这样性质的连分数都是无理数， 我们在下面尝试用通俗的方法来证明一下 ：

因为我们不知道u和v的真实大小，也就并不知道(2n+1)v什么时候会比u^2大。我们可以假设5v大于u^2。这样我们可以得到：

那么，通过替代，我们也可以得到：

我们知道5v比u^2要大，这样我们也知道7v比u^2要大，相同的，我们可以得到：

现在，我们可以使用反证法。 为了证明原式3v之后的连分数是无理数，我们假设它是一个有理数，这样这个数就能被一个分子分母都是整数的分数表示出来。 我们得到：

我们知道A和B都是整数且A>B>0，将这个式子重新整理一下，得到：

我们还知道A, B, u和v都是整数，这样，等式左边分母也是一个整数，将这个分母用C来代替，就可以得到:

这样：

综合上述的结论，我们得到：

同时，因为连分数由无穷多项组成，我们使用相同的分析，可以得到无穷个正整数满足：

这里，我们就成功地找到了反论题的虚假，这是因为不可能存在无穷个递减的正整数。这样，我们证明了表示tan(x)的一系列连分数中，一定存在无理数。这样，这个分数也是一个无理数，所以， 我们就成功证明了当x是非0的有理数的时候，tan(x)是一个无理数。

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第三部分证明

第三部分的证明再一次运用到了反证法，但这次却非常的直观。有兴趣的读者可以自己先想一想再往下阅读。

这里，我们已经在第二部分证明了当x是非0的有理数的时候，tan(x)是一个无理数。我们一定知道：

假设x = π/4是一个有理数，这样，从第二部分的证明中我们就可以得出tan(π/4)是一个无理数。然而tan(π/4)= 1。但1显然不是无理数，这样，通过反证法，我们可以得到π/4是一个无理数，

显而易见地，我们就证明了π也是一个无理数！

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