其实我们一直在以它为“支点”，撬动着宇宙的奥秘

學人Scholar

延伸伟大的古希腊数学家、哲学家阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”而在人类历史发展和社会生活中，数学作为一个撑起整个文明进步的重要“支点”，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

回想上学时的数学课堂上老师基本都在讲授数学的解题技巧，很少会讲什么是数学，我们为什么要学习数学。这就使我们认为数学就是应用相关技巧解决特定问题的一门学科。其实，数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明。直到从古希腊时期开始，数学才被当作是一门严肃的研究。

大约公元前500年，希腊最早的哲学学派-米利都学派的创始人泰勒斯最先在数学中引用逻辑证明，它的重要意义在于保证了命题的正确性，揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系。泰勒斯所指出的道路，在欧几里得的《几何原本》中体现的淋漓尽致，《几何原本》也因此成为继《圣经》之后流传最广的经典。

数学的重要性，几乎是不言自明的，仅举几个重要的例子：黎曼几何被黎曼（也就是直线外一点可以做多条平行直线）在1851年开创之后，过了约60年，才被爱因斯坦采用为发展广义相对论的主要数学工具；目前物理学界最重要的公式杨-米尔斯公式，事实上是数学能力极高的杨振宁利用抽象代数当中的群论建立的；现代计算机结构事实上是数学家冯·诺伊曼发展出来的；而目前应用无处不在的密码学，基础是群论，密码学是比特币等区块链技术的基石。等等这样的例子数不胜数。

德国数学家、物理学家-波恩哈德·黎曼

不少数学理论，创立后几十年甚至上百年后才发挥作用，这是因为数学的本质特点：基于公理体系的逻辑推演。也就是说，在承认某一些公理无条件成立之后，逻辑上可以得出无穷的有意义的结论，这些结论终有一天能够成为生产或其它活动的指导，从而发挥作用。而这些结论不断地增加，能达到什么高度，取决于人类的思维边界。因为只是逻辑推演，不需要做实验，所以数学的进步总是领先于其它学科的进步。当然，其它学科的发展，也会给业已建立的数学体系指明重点方向，如此，数学与其它科学相得益彰。

而《几何原本》最重要的作用，就是开创了公理体系。为什么中国历史上的“数学”不叫数学，而是叫作算数，原因在于中国没有建立公理体系。如果没有公理体系，没有抽象的假设，一切只能靠生活中的经验，那么推理是不能走远的，结论就不够丰富。于是，在漫长的进步当中，算数先发而后至；公理体系下的数学积累到某个程度，进入微积分时代后开始爆发式地加速增长，算数在之后就远远不能及了。因为数学的落后，直接导致了中国工业的落后。是近代中国经济衰落的一大原因。

【欧氏几何的延伸】

古希腊数学家几何之父-欧几里得

《几何原本》有几个公理是重要的，小学课本上基本上都会学到：

1. 过两点能作且只能作一直线；

2. 线段(有限直线)可以无限地延长;

3. 以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；

4. 凡是直角都相等；

5. 两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角， 则两直线作会在该侧相交。

第五个公理又叫平行公理，一般我们使用其更普遍的等价形式：

通过已知直线外一已知点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行。

满足这五条公理的几何被称为欧几里德几何，或者是欧几里德空间。在这几条公理的基础上发展出庞大的数学体系。我们常用的牛顿力学正是以承认这五条公理在现实中都是正确为前提的，也就是说牛顿力学是欧几里德空间中适用的。然而，现实真的是欧几里德空间吗？

英国物理学家、数学家-艾萨克·牛顿

大数学家黎曼假设第五条公理并不成立，即直线外一点可作多条不同直线与原直线平行，于是发展出黎曼几何，或者说是黎曼空间。你会问：“这怎么可能呢？”我在一直线外一点，画了一条平行直线，怎么可能画出第二条直线与第一条直线平行呢？这是因为你只画了一小段，你再画一公理，再画一百公理，再画一亿公理，再画十万亿公理，再画宇宙的边界这么长的直线，如果宇宙是有边界的，那么事实上就是在一个球面上画直线，可以想象一个球面画一条“直”线，在“直”线外一点，是不是可以做多条”直“线不与原“直”线相交？

爱因斯坦正是利用了黎曼几何发展出了广义相对论，而目前人类实践已经明确无误地表明了黎曼几何更符合现实。《几何原本》五条公理都满足的是欧几里德空间，直观上看就是横平竖直的空间，其只在空间较小的情况下适用，比如说整个中国这样的尺度，基本上还是适用的，但是如果扩展到地球这么大的空间事实就已经不适用了，所以在发射人造卫星时，要用的是黎曼空间的广义相对论，而非欧几里德的牛顿力学。

物理学家阿尔伯特·爱因斯坦

上面的这个例子或许过度高深，其实日常大家都在使用几何的规律与原理。比如说两点之间直线段最短，可以帮你在规划路线时节约不少时间；利用勾股定律可以更方便地提前制作出三角形框架的各个边，然后拼搭在一起；车轮是圆的而不是方的，因为圆的半径是个恒定值，故能保证车轮旋转时，车轴离地面的距离永远恒定，从而车能够平衡。

《几何原本》公理体系的重要意义

《几何原本》最重要的意义在于，它破天荒地构建了公理体系，当然这些公理必然是符合直觉的，是基于生活经验抽象与简化得来的，基于这些简单的直觉，人类思维的边界便是这套理论的边界，这使得数学能够成为人类生产力源源不断地推动力。而缺乏公理体系的古代算数，后劲不足，是中国的科技在明朝后就开始落后于西方的一大原因。那么当初构建出公理体系的契机是什么呢？还是得追踪当时《几何原本》的作者欧几里得所处在古希腊的社会形态。

古希腊是个移民的社会，且位于地中海，主要是商品经济，商品贸易纠纷以及民主政治盛行下孕育出辩论风尚以及对法律的重视，尤其是商品贸易纠纷，辩论需要解决纠纷，目的是在于说服对方或裁决者，辩论需要“前提、条件”，以供逻辑发挥作用；另一方面希腊语言结构复杂，动词变化多端，有人称、时、态、体、式的变化，可以精确地表示某个意思，在这样的条件之下，“辩论”空间道理的《几何原本》，便以公设（公理）开始阐释。

中国未能产生公理体系原因可能主要是两点，一是商品经济并不发达，辩论除了发生在政治场合，在人们生活当中并不普遍。商业贸易纠纷的辩论更加较真，不是你错就是我错，是更严格的辩论。而政治辩论，往往主题宏大，难以明确判定熟是熟非，因此各类前提与条件，也不甚重要，如果读过诸子百家的朋友应该有印象，有些文章往往只是设个比喻或讲个故事，然后再阐释自己的结论并以此来认为自己的结论与比喻或故事有异曲同工的地方因而是正确的，并没有严格的基于公理的逻辑推理；二是中国语言是模糊性比较大，不够精确，也不利于逻辑性阐述，这一问题直到现在都无法完美解决，某些理论，中文读起来总是觉得模棱两可，但是其原英文阐释，则一般是十分精确，很少会让人会错意的。

商品经济到了宋朝之后已经有所发展，并且语言模糊的问题只是稍微降低数学研究的效率，但不会产生重大的影响，只要数学界对数学用语加以规范，比如当下。那么为什么中国直到《几何原本》传入中国之前，仍然没有发展出公理体系呢？所以千万别小看人类文明的路径依赖，有些时候，当初如果没有走到这条路上，整个文明就是七拐八拐一两千年，也未必能走回正途。而因为数学理论不够发达，影响了文明进步，当生产力不及人口的增速后，往往会产生战争与饥荒，经济与文明再次倒退，此时有可能从事科学研究的人力降低，于是更不能促进数学理论的前进。

因此，基于古希腊文明横空出世的《几何原本》是如此的弥足珍贵。同时也启发我们，要尊重文明的多样性，每种文明都因其独特性可以产生不一样的事物，而这些事物最终对人类整个文明的发展是有益的。通过《几何原本》，你可以看到“数学”——人类文明的一大支柱——在开始觉醒时的第一个推动力。虽然现在看起来平平无奇，但是这一推动力其它文明却可能求索上千年亦不得。

《几何原本》2019年12月10日-果麦文化出品

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