数学史上最美丽的三角形

作者简介

本文作者Helen Zhao就读于卡耐基梅隆大学数学系，她爱数学也爱散文，而且还是罗教授的小迷妹，今天，她将与大家聊聊世界上最美的三角形！

作者 | Helen

编辑 | 罗数君

文 1486 字 阅读时间约 5 分钟

数学史上总是充满着各种各样惊人的巧合，关于牛顿和莱布尼茨到底谁先发明了微积分；商高和希伯索斯分别先后发现了勾股定理。今天要讲的这个巧合，诞生于浙江杭州(古之为钱塘)， 美丽的西子湖畔，也是笔者的故乡。故事中的数学家叫做杨辉，是南宋时期的数学家。他是个高产的学者，著有数学书共五种二十一卷。在《详解九章算术》中，杨辉详细解释了我们故事的主角——杨辉三角。三百多年后，法国神童帕斯卡发现了同样的三角，所以这个美丽的三角，也叫帕斯卡三角。

我们不妨从多项式开始说起。这些简单的公式我们从初中开始就耳熟能详，怕是这辈子也很难忘掉了。

看似平平无奇，但是把这些多项式的系数一一提取出来，那可谓是惊鸿一瞥。我说惊鸿一瞥，可能在大家眼里看起来仿佛也不是很稀奇的样子。我们不妨凑近一点看看，到底妙在哪里。

稍微调整一下位置，看起来是不是漂亮很多？

现在是不是美得十分明目张胆了。我们不难看到，每一个数，都是它肩膀上两个数的和。更奇妙的是，还有以下这个“巧合”:

上下两个梯形其实是完全一样的。(在这里

表示有多少种从n里选择k的不同方式。比如我们从三个小朋友(小a，小b，小c)里选择两个小朋友去参加比赛，那就一共有ab，ac，bc这三种选择方式)。不过这真的是巧合吗？学数学的我们总有种神在的信仰，我们相信万物皆有运行规律，我们相信世界上没有那么多巧合。我们不妨倒带回去看看

果然，“塔尖”被补齐了，蠢蠢欲动的直觉告诉我们这一定不是巧合。

我们来想一想，到底是为什么吧。回到最开始的多项式，我们再来仔细观察一下。为什么(a+b)⊃2;=a⊃2;+2ab+b⊃2; 的展开系数会对应2 选 0，2选 1和 2 选 2？我们知道像(a+b)⊃2;这样的多项式展开来，每一项的指数和都是n，譬如a⊃2;, b⊃2;,还有ab，它们的指数和都是2。区别就在于里面究竟有几个a和几个b。看下面这张图，如果我们全选a，不选b，那就是2选0，也就等于1。如果选一a一b，2选1，就有两种选法，所以一共有两个。选两个b，就是2选2，也等于一。

那么(a+b)⊃2;应该怎么分析，你想到了吗？

同样的方法, 我们知道第n行的k个数字一定等于

，n选k。那么我们故事开头说的“每一个数，都是它肩膀上两个数的和”在这里也还算数吗？换句话说，

这个等式成立吗？我们来想想看。等式两边表示什么？我们不妨来讲个小故事。等式左边说一共有n个数学家，我们想选择 k 个数学家来解决一个数论难题。等式右边说，因为我们特别喜欢杨辉三角，所以我们先选择了老杨，那么剩下有两种情况。一种情况，老杨有空，那我们就只需要在剩下的（n-1）个数学家里选择（k-1）个。另一种情况，我们非常不幸，老杨没有空，那我们只能在剩下的（n-1）个数学家里选择k个数学家。所以等式两边描述的是同一个故事，自然是相等的。

我们今天介绍的只是杨辉三角最基本的两个性质。它身上的秘密远远不止我们现在看到的这冰山一角。今天把数学史上最美的三角送给你，希望让数学家魂牵梦萦的它，也能入你梦中，继续几个世纪的回溯与追寻。

原标题：《数学史上最美丽的三角形》

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