幂尾数周期律可解决“完美立方体问题”

洛书数独图所呈现出来的幂尾数体现了四周期规律，故把这一发现命名为洛书定理，就像不同模数不同余数的未知数可用孙子算法解决，于是叫孙子定理一样，尽管现代算法是独立发现的，我们还是要尊重古人的首次发现权。

那洛书定理的现代数学表达是怎样的呢？ 用模运算表达就是：

偶数的情形（2 幂数左旋，8 幂数右旋，4幂数双旋，6幂数自旋）

（2mod10）^（  4n+1 or 2 or3 or 4）≡（2 or 4 or 8 or 6）mod10；

（8mod10）^（  4n+1 or 2 or3 or 4）≡（8 or 4 or 2 or 6）mod10；

（4mod10）^（  4n+1 or 2 or3 or 4）≡（4 or 6 or 4 or 6）mod10；

（6mod10）^（  4n+1 or 2 or3 or 4）≡（6 or 6 or 6 or 6）mod10；

（0mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（0 or 0 or 0 or 0）mod10 ；

奇数的情形（3 幂数右旋，7 幂数左旋，9幂数双旋，1幂数自旋）

（3mod10）^（  4n+1 or 2 or3 or 4）≡（3 or 9 or 7 or 1）mod10；

（7mod10）^（  4n+1 or 2 or3 or 4）≡（7 or 9 or 3 or 1）mod10；

（9mod10）^（  4n+1 or 2 or3 or 4）≡（9 or 1 or 9 or 1）mod10；

（1mod10）^（  4n+1 or 2 or3 or 4）≡（1 or 1 or 1 or 1）mod10；

（5mod10）^（ 4n+1 or 2 or3 or 4）≡（5 or 5 or 5 or 5）mod10 。

证明该定理很容易，根据乘法口诀表，我们进行分类穷举可得到有限的情形：个位数为5 的奇素数只有 5 一个，其他 5 和 0 为个位数的正整数都能被 5 整除，自乘后尾数不变，且与其他数相乘后，尾数依然是 0 或 5，故在洛书图里 0 和 5 居中。由于除 2 外的所有素数都是奇数，所以奇素数的个位数就只能是 3、9、7、1，所有奇合数与奇素数都是奇素数自身或自乘或互乘的结果，故奇数的幂尾数除 5 外，定是 3、9、7、1，偶数的幂尾数除 0 外，剩下的定是 2、4、8、6。即所有不含5因子的整数的幂尾数都在四数周期内循环。

此工具除了能帮助解决费马猜想、比尔猜想、考拉兹猜想外，还可作为关键引理解决“完美立方体问题”，这是一道 300 年来未解决的难题，即勾股数方程 a2+b2+c2= g2 是否有整数解的问题，1719 年由一名叫 Paul  Halcke 的专为天文学家进行数据计算的工程师提出。三根棱长和三个面上的对角线都是整数的立方体叫欧拉砖，在欧拉砖（如，三边为 44，117， 240）的基础上继续添加条件“体对角线是整数”的叫完美立方体（perfect cuboid），它要求全部的边和对角线长都是整数。本原解欧拉砖要求体对角线必须同其他6边都分别互素，那这样的完美立方体是否存在呢？本文作者用洛书定理判定它不存在，并给出证明。

 

欧拉砖有一个重要性质，就是立方体本原解必须有一边被 5 整除，被 3 整除，被 7整除，被 9整除，被 11 整除，有两边被 4 整除。关于勾股数必有一边含 5 因子的这一性质也被洛书定理所证明，在三元方程中，整数2次方的幂，其个位数经穷尽排列组合，要匹配相等时必有个位数或0或5，故每组三元勾股数中必有一元含5因子数，这个发现和证明都是首次公布，是非常非常重要的数学贡献。所以这个性质在欧拉砖中也就必然存在，基于这一性质可解决完美立方体问题。

现证明如下，令 gcd（a，b，c）=1，即三元组无公因数，则 g 必与 a、b、c 皆互素， 若非互素，必会导致方程两边整数等于分数，故可反证出 g 必与 a、 b、c 三元分别互素， 此时四元组为本原解方程。于是可知四元组 a、b、c、-g 是线性无关组，假如有另四元组a、b、c、g 与其构成的线性组合是线性相关的，即 a2+b2+c2= g2，则 g2 必与 a、b、c 分别互素。假如 g2 有整数解，根据毕达哥拉斯三元组方程性质，那么在四元组中必有一项含 5 因子数，前文用洛书定理已完成证明了该性质，欧拉砖的定义性质也证明了这一点。欧拉砖三边必有一边含 5 因子的这一性质，已有数学家完成证明，其他情形都不是欧拉砖，但也可用洛书定理幂尾数周期律证明。

假如欧拉砖三面的对角线都含 5 因子，即三边都不含 5 因子，我们来考察方程的性质。先用方程两边乘以 2 可得到，2a2+2b2+2c2=2g2，左边将得到三组含 5 因子的数，这与右边跟它互素不含 5 因子的条件相矛盾，故该类立方体不是欧拉砖，三边都不含 5 因子将不构成欧拉砖。因为三面对角线皆含 5 因子，若 2g2 不含 5 因子，必矛盾；若 g2 含 5 因子，g2- a2 必不含 5 因子，而 b2+c2 必含 5 因子，于是也矛盾。这就反证了三面对角线都含 5 因子数的欧拉砖不存在，即三边都不含 5 因子的非欧拉砖四元组方程可排除。

三边都含 5 因子数的方程亦可排除，因为不是本原解方程。

若 a2 含 5 因子数，g2 不含 5 因子，-（b2+c2）中必有一项含 5 因子数，否则两项相加再两项相减就产生不了 5 因子数，同样由洛书定理幂尾数周期律以及互异互素运算决定，如此 a、 b、 c 中，就有两项含 5 因子数， a2、 c2 含 5 因子时， a、c 所关联的对角线就无法有整数解。此情形不能满足欧拉砖的条件，因本原解勾股数不存在皆含 5 因子， 也不存在两个含 5 因子的数，这一点洛书定理已证明，本原解方程也不许有共因子 5，如此就与完美立方体是欧拉砖的要求矛盾了，因此两边含 5 因子数的立方体必不是欧拉砖，不可列入完美立方体问题。若 g2 含 5  因子，那此情形的完美立方体方程就不是本原解方程， 与 a、b、c 三边不能互素，可排除。b2、 c2 的情形亦同，皆可得到在 a、b、c 中会有两项含 5 因子数，这样就会与完美立方体至少要求是欧拉砖相矛盾。可见要么因本原解两边长都含 5 因子的数，导致无法产生整数的对角线，故不是欧拉砖方程；要么因  g2 含 5 因子，不是本原解方程，可排除。

立方体三边可穷分类为，三边不含 5 因子、三边含 5 因子、两边含 5 因子、 一边含 5 因子等四种情形。经推导，在必有欧拉砖的前提下，4 种情形已排除 3 种， 那么三边中仅有一边含 5 因子时就是欧拉砖。于是可证欧拉砖的必要条件只能是三边必有一边含 5因子数。现证明欧拉砖不存在有完美立方体。

若 g2 含 5 因子，a、b、c 三边必有一边含 5 因子数，否则三项相加产生不了 5 因子数(  欧拉砖性质)，可由洛书定理幂尾数周期律加上互异互素运算来判定，如此  g2   含  5  因子时就与 a、b、c 分别互素的本原解要求矛盾了，若两元互素则两两互素的三元互素方程性质也决定了这一点，g与三边中的一项互素，必与其他两项之和互素，否则就不是本原解欧拉砖，故此时 g2可不必判定它是否有整数解。若 g2 不含 5 因子，根据洛书定理，两个不含 5 因子的互异勾股数，其平方数相加，必产生 5 尾数或 0 尾数，否则就不是欧拉砖，其他尾数不在平方数中（仅含 4、6、0、9、1、5），三边平方和含 5 因子已不可避免，而本原解方程要求 g 与三边互素，不含 5 因子，如此方程就变成了不等式，完美立方体方程必无整数解获证。

通俗地说，此问题是通过等式尾数无法对齐解决的，即方程两边最后计算出的数值个位数无法匹配成相同数，这一点被洛书定理的幂尾数周期律所确定，它要么两边互素是不等式，本原解无解，要么是两边合成三元方程时每项有公因子5，属于非本原解方程，本原解无解，通解就无解。这是一道无须数学大咖就能验证解法是否正确的数学难题，尽管全世界数学家苦苦思考了它 300多 年。

这样欧拉砖的体对角线，经洛书定理和互素性质证明，g 必无整数解，其他情形，要么就不是欧拉砖方程，要么就不是本原解方程。综合以上所有可能发生的情形，可推理出完美立方体本原解方程必无整数解，当然也就无整数通解，无本原解必无通解。也就是说完美立方体并不存在。

可见洛书定理是非常强大，非常管用的数学工具。

该文收录于最近由海天出版社出版的罗莫的代数加性数论专辑《数学底层引擎相邻论和重合法》（56万字）一书中，见 p360。本书还收录了证明哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，四色猜想， 比尔猜想、考拉兹猜想、abc 猜想、黎曼猜想等多道世界未解难题的完整解决方案。（罗莫）