爱因斯坦相对论证明勾股定理,人教版数学教材引围观

2020-06-20 11:56 来源:澎湃新闻·澎湃号·湃客

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原创 Synced 机器之心
机器之心报道
机器之心编辑部
相对论也没想到,自己有生之年还可以被拿来证明勾股定理。
勾股定理是什么,人人都知道:
在平面上的一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是 a 和 b,斜边长度是 c,那么可以用数学语言表达为「a⊃2;+b⊃2;=c⊃2;」。
勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一,现存几百种证明方法。
不过,用爱因斯坦相对论中的质能方程证明勾股定理,是怎样的一个过程?
最近,这个话题已经登上了知乎热榜的第一名。
6 月 17 日晚间,一位匿名的知乎用户发布提问「如何看待人教版教材疑似出现低级错误,用爱因斯坦相对论证明勾股定理?」,提到在人教版数学八年级下册的自读课本中,出现了「爱因斯坦对勾股定理的证明」的相关内容。
教材上这样写道:「2005 年是爱因斯坦建立相对论 100 周年,爱因斯坦在相对论中给出了一个著名的质能方程 E=mc⊃2;,其中 E 表示物质所含的所有能量,m 是物质的质量,c 是光速,这个质能方程是现代制造核武器、核电站的理论基础。」
紧接着话锋一转,这本教材展示了爱因斯坦用相对论证明勾股定理的详细过程:
首先,假设某一直角三角形的三条边为 a、b、c,同时设这一直角三角形的面积为 E,根据相对论质能方程可知:E=mc⊃2;。
然后,从直角顶点出发作斜边 c 的垂线段。此时,这一直角三角形被分割成为了两个小三角形,它们的面积分别为:
E(a)=ma⊃2;, E(b)=mb⊃2;
鉴于 E=E(a)+E(b),即 mc⊃2;=ma⊃2;+mb⊃2;。
只需要约去式子两边相同的 m,可得 c⊃2;=a⊃2;+b⊃2;。
乍一看,似乎有点道理。也就是说,成功地用相对论质能方程证明了勾股定理?
在证明过程之后,教材编撰者特别提到,爱因斯坦随后发表了这个证明,并且「震惊了国际数学界」。
「大家发现原来相对论有这么大的威力。后来德国著名的数学刊物 Mathematische Annalen 聘请爱因斯坦去做了多年的主编。」
等等,为什么质能方程里的 m 可以随便约掉,真空光速 c 和斜边长 c 也变成了一回事?
一场迷惑的数学证明:翻译的锅?
看完这个头头是道的证明过程以后,许多网友表示「我裂开了」,并缓缓打出了一个问号:
虽然一眼看起来就是很不靠谱,但大家也尝试分析了一下教材上出现这种低级错误的原因。
知乎用户 @卢健龙表示:「用量纲分析和相似三角形来证明勾股定理本来是一个很巧妙的思路。将大的直角三角形以斜边上的高分成两个小直角三角形后,三个直角三角形是互为相似三角形的,它们各自的面积正比于各自斜边边长的平方(来源于量纲分析),且三者的系数相等(来源于相似性)。将这个共同的系数记为 m,将三个直角三角形的斜边长度分别记为 c、a 和 b,便有了等式:mc⊃2;=ma⊃2;+mb⊃2;,约去非零系数 m 便得到了勾股定理。
题目中课本的编写者可能是看到『mc⊃2;』和『爱因斯坦』等字眼,便自作聪明地将这个证明与相对论中的质能方程 E=mc⊃2; 联系了起来。这也体现了编写者自己并没有真正理解这个证明的思路,只是根据一知半解的主观臆想去脑补和传播错误信息。」
也有人认为,这是翻译教材时出错的结果。知乎用户 @张峻铭表示:「我估计是翻译的老师意淫出了这么一个过程。」
知乎用户 @张峻铭:先不说把光速和斜边长混淆起来多么可笑了,即便这个过程是对的,我印象里相对论的推导也是用到了勾股定理来着,这样难道不算循环论证?
话说回来,爱因斯坦究竟有没有证明过勾股定理?
爱因斯坦和勾股定理
经过一番查证,我们得知,爱因斯坦确实证明过勾股定理,但和质能方程真的没什么关系。
这是另外一个版本的经历,故事还要从他 12 岁说起……
根据 The NewYorker 在 2015 年刊发的一篇报道,1949 年,爱因斯坦在美国的一本文学杂志《星期六评论》上发表文章,回忆了自己童年的两个重大时刻。12 岁时,爱因斯坦得到了一本「关于欧几里得平面几何的小册子」,里面所提到的毕达哥拉斯定理(也就是勾股定理)令他着迷。最终他证明了这一定理,并在文章中提到自己使用的是「三角形的相似性」。
后人尝试还原了这个过程。当我们从直角顶点作垂线段时,原三角形就被分成了两个小三角形。
因为它们对应的角是相等的,对应的边长也是等比的,所以我们称之为「相似」。因此,这三个三角形的面积可表示为 fc、fa、fb,显然 fc=fa+fb。
如下图所示,a⊃2;、b⊃2;、c⊃2; 分别代表由三角形斜边形成的正方形的面积。
注意,在相似性的前提下,每一个正方形的面积都与对应的三角形面积有着等比关系。
因此推导出,a⊃2;+b⊃2;=c⊃2;。
当然,由于年代已久,我们无从得知幼年的爱因斯坦具体是如何证明勾股定理的,也无从得知他当年的证明方法是否独树一帜。但总归和相对论没有任何联系。
更重要的是,这一错误出现在义务教育阶段的课本上,购买了这本教材的学生,会不会因此产生理论认知上的偏差呢?
在某电商平台上,这本教材已经售出了 600 本。
参考链接:
https://www.zhihu.com/question/401988398
https://www.newyorker.com/tech/annals-of-technology/einsteins-first-proof-pythagorean-theorem

原标题:《爱因斯坦相对论证明勾股定理,人教版数学教材引围观,网友:我裂开了》
阅读原文
关键词 >> 勾股定理
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