下载客户端

人教版数学教材：爱因斯坦和他的勾股定理？

2020-06-21 08:37

来源：澎湃新闻·澎湃号·湃客

原创 Helen 罗博深数学

作者 | Helen

文 2459字阅读时间 5分钟

导语

人教版的教材惊现“利用相对论证明了勾股定理”大乌龙，网友：你数学是体育老师教的吧！

勾股定理，相信大家都很熟悉了，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，a⊃2;+ b⊃2; = c⊃2; 都要背烂了。可就在最近，人教版的教材中的“爱因斯坦对勾股定理的证明”惊现大乌龙——“利用相对论证明了勾股定理”。

我们给大家还原一下大型翻车现场。

槽点实在是太多了。

首先，E=mc⊃2;这里的c是指光速，和斜边没有任何关系。

其次，这里的E是指物体固有的质能。不同物体的质量m是不一样的，像这里的小三角和大三角，显然不能用同一个m来表示。

地铁大爷脸逐渐僵硬。关于相对论的知识，我们稍后再进行讨论。

那么爱因斯坦和勾股定理到底有什么关系呢？答案是有的。

作为典型的别人家的小孩，我们还在玩泥巴的年纪，爱因斯坦就证明了勾股定理。虽然爱因斯坦当时并没有把整个证明记录下来，但是他的助手和其他物理学家依然尽量还原了他的巧妙证明。

第一步，我们加一条辅助线，是斜边上的高。注意这条高和斜边 c 是垂直的。

第二步，我们知道绿色和黄色这两个小的直角三角形的面积相加等于整个大直角三角形的面积。

我们小学的时候就学过这三个三角形是相似的。

根据我们学过的判定方法寻找“角角角”。首先它们都是直角三角形，90度是第一个角。第二，绿和黄两个三角形分别和蓝三角形共用一个角。因为三角形的内角和都是180度，剩下的那一个角一定也相等。所以根据角角角的判别方式，他们一定相似。

关键的部分来啦。因为每个三角形的形状是一样的，那么它们占各自对应的正方形的比例也应该是一样的。

在这里我们用f来表示这个比例，那么绿三角形的面积就是fa⊃2;, 黄三角形的面积就是fb⊃2;，蓝三角形的面积是fc⊃2;。

根据前一步的观察，因为绿三角形的面积加上黄三角形的面积等于蓝色三角形的面积。我们很容易就能推导出 fa⊃2; + fb⊃2; = fc⊃2; ，f在这里表示的是同样的比例，我们可以将 f 约掉，剩下来的等式，就是我们熟悉的勾股定理啦。

这个证明可比我们平时推导的要简单优雅得多。但是一时半会儿可能还是有些让人难以理解，尤其是最后一步。为什么同样形状的三角形，占边长为斜边的正方形的比例是相等的？我们不妨从一个最特殊的例子来观察一下。想象一个等腰直角三角形，我们取斜边上的正方形，就像折叠信封的形状一样，

我们知道每个等腰直角三角形的面积都是相应斜边上正方形的1/4，与三角形的大小没有关系。

这也是相似图形的奥妙所在，不论我们怎样放大或者缩小整个图形，图形内各个部分的比例是不会变的。

说完了勾股定理的部分，我们回到爱因斯坦和他的相对论。E = mc⊃2; 这个公式可谓是无人不知，无人不晓。我们今天就简单来介绍一下相对论。

相对论中的最重要概念就是参考系。有一句物理学的名言，大家可能都听说过，“这个世界上没有绝对的静止”。你静静坐在尘世喧嚣中，修篱种菊。那是你相对于地球而言是静止的，地球是我们描述运动的参考系。毛主席的“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”也说明了这个道理。尽管我们相对于地球可能是静止的，我们仍然随着地球的自转在运动。所以不标明参考系的运动都是在耍流氓。

在牛顿的经典力学中，相对于参考系静止的物体是不具有能量的。但是在相对论中，爱因斯坦认为相对于参考系静止的物体仍然是有能量的。这个能量可以与质量等价，这就是我们著名的质能方程，表示相对于参考系静止的物体的能量。这里的c是光速，是一个常数。和勾股定理里的斜边没有任何关系。

之所以想讲一讲相对论，是因为虽然爱因斯坦并没有用相对论证明勾股定理，勾股定理仍然是相对论中重要的一个部分，我们可以通过勾股定理更好地理解相对论。

在狭义相对论里，我们常常用时空图来表示任意物体的运动。因为当一个物体的速度足够快，在它的参考系里，时间会膨胀（time dilation），长度会收缩（length contraction）。所以我们需要在时空图里，将时间和空间的变化都体现出来。

换句话说，坐在两艘速度不同的飞船里，两个宇航员对时间的感受不同，对空间的感受也不同，我们只知道光速是绝对的，那么我们怎么将不同参考系的时空“统一”起来呢？这就要用到勾股定理啦。

我们知道，如果我们将一把十米的尺子逆时针旋转一个角度，它顶点的x坐标就不再是十米了，但是通过勾股定理，我们仍然可以通过这个新的坐标求出这把尺子原本的长度。在狭义相对论中，我们也可以用到勾股定理。我们知道一个物体在它自己的参考系中是永远静止的，所以在它自己的参考系里，我们可以找到这个物体的“固有时间”和“固有长度”，叫做“时空间隔”。

要求任何两个物体的“时空间隔”，可以看作是四维空间内两个物体间的距离。我们知道根据勾股定理，求三维空间内两个物体的距离，我们只需要求x，y 和z轴方向的平方和。(△d)⊃2; = (△x)⊃2; + (△y)⊃2; + (△z)⊃2;。那么在四维空间里，我们只需要再考虑时间的维度(△s)⊃2; = (c△t)⊃2; - (△x)⊃2; ，这里的 t 是指时间，x 来描述位置，如果要考虑三维空间的话，可以表示为(△s)⊃2; = (△ct)⊃2; - (△x)⊃2; - (△y)⊃2; - (△z)⊃2;

爱因斯坦和勾股定理固然有许许多多的羁绊，但是从来没有用相对论证明过勾股定理。这场大乌龙也教会我们，做学问是为了知识本身能带给我们的乐趣。所谓知之为知之，不知为不知，是知也。

下面这个这个视频，是开源学习社区expii的对勾股定理的趣味解说��！罗教授的Daily Challenge系列数学课程从Module0开始也有涵盖对勾股定理相关知识的系统讲解。其实不止是勾股定理和相对论，宇宙中的知识纷繁复杂，各种“权威”教材的解释众说纷纭。让孩子从小树立对知识的正确认识，培养发现错误的批判性思维，才是可以让他们可以受益一辈子的事。