无理数的“谋杀案”

无理数怎么和谋杀案扯到一起去了呢？

这件事还要从公元前6世纪的古希腊毕达哥拉斯学派说起

……

毕达哥拉斯学派的创始人是著名数学家毕达哥拉斯。

他认为：“任何两条线段之比，都可以用两个整数的比来表示。”

两个整数之比实际上包括了整数和分数。因此，毕达哥拉斯认为，世界上只存在着整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。

可是，后来出现了一个问题，当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少（见下图）？是整数还是分数？

根据勾股定理可知，m⊃2;=1⊃2;+1⊃2;=2。

显然，m不是整数，因为1⊃2;=1，2⊃2;=4，而m⊃2;=2，1<2<4，所以m一定比1大，比2小。

那么m一定是分数了。

可是，毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也找不出这个分数。

边长为1的正方形，它的对角线m总该有个长度吧！

如果m既不是整数，又不是分数，m究竟是个什么数呢？

难道毕达哥拉斯错了，世界上除了整数和分数以外还有别的数？这个问题使毕达哥拉斯学派大伤脑筋。

小编有话说

读者朋友们，你知道为什么找不出m这个分数吗？其实，我们用“反证法”来推导一下就明白了。

我们先假定m是一个分数，即m=A/B

其中A和B是互素的整数，也就是它们之间不能再约分。

根据毕达哥拉斯定理，我们知道m⊃2;=2，也就是（A/B）⊃2;=2

所以，我们得出m要满足以下3个条件：

（1） A和B是整数

（2） A和B互素

（3） A/B的平方等于2

于是我们得出：

A⊃2;/B⊃2;=2

A⊃2;=2 B⊃2;

因为2 B⊃2;一定是偶数，那么A⊃2;也是偶数

所以，A一定是偶数

我们把A改写成，A=2C，C是整数

A⊃2;=4C⊃2;=2 B⊃2;

2 C⊃2;= B⊃2;

因为2C⊃2;一定是偶数，那么B也是偶数

我们看看条件（2）

A和B，明明是互素

那怎么可能A和B又同时是偶数呢？

所以，m既不是整数，也不是分数。

毕达哥拉斯学派有个成员叫希帕苏斯，他对正方形对角线问题也很感兴趣，花了很多时间去钻研这个问题。

希帕苏斯除了研究正方形外，还研究了正五边形。他发现，当正五边形的边长为1时，它的对角线既不是整数也不是分数。

希帕苏斯断言：正五边形的对角线和边长的比，是人们还没有认识的新数。

希帕苏斯的发现，推翻了毕达哥拉斯“数只有整数和分数”的论断，动摇了毕达哥拉斯学派的基础。毕达哥拉斯学派非常崇拜数，他们认为数是世界的法则，是主宰宇宙的力量。

如果希帕苏斯发现了新数，那么毕达哥拉斯关于数的认识就将是错误的。而这，是毕达哥拉斯学派绝对不能接受的。

为了维护毕达哥拉斯的威信，他们下令严密封锁希帕苏斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以他们学派规定的极刑——活埋。

真理是封锁不住的。

尽管毕达哥拉斯学派教规森严，希帕苏斯的发现还是被许多人知道了。学派的头头大为恼火，下令追查泄密的人。追查的结果，泄密的不是别人，正是希帕苏斯本人！

这还了得！希帕苏斯竟敢背叛自己的老师，背叛自己的学派。毕达哥拉斯学派的头头开会决定，按照教规，活埋希帕苏斯！希帕苏斯的一位好友，把这个决定偷偷告诉了他。三十六计，走为上计。希帕苏斯趁人不注意，逃跑了。

希帕苏斯在国外流浪了好几年，由于思乡心切，他决定偷偷返回希腊。

在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希帕苏斯。他们趁黑夜人们都睡熟的时候，偷偷绑架了希帕苏斯，并把他装进一个装满重物的口袋，扔进了地中海。

无理数的发现者就这样被人谋杀了！

希帕苏斯虽然被害死了，但是，希帕苏斯发现的新数并没有随之而消灭。

从希帕苏斯的发现中，人们知道除整数和分数之外，世界上还存在着一种新数，正方形的对角线和边长之比是这种新数，正五边形的对角线和边长之比也是这种新数。

给这种新数起什么名字呢？

由于当时人们觉得，整数和分数容易理解，并且在日常生活中经常应用，因此就把整数和分数合称“有理数”，而把希帕苏斯发现的新数起名叫“无理数”。

小编有话说

要想彻底理解一件事，就必须洞察它的本质。

数学也一样，要想学好数学，我们就必须先理解“数学的本质”是什么？

“数学和科学的区别在于：数学从诞生开始，就绝对真，而科学只能一步一步逼近真！”

数学的定理永远为“真”，它一旦被证明，你就找不到反例。

所以，“无理数事件”被称作“第一次数学危机”。这也是为什么毕达哥拉斯一定要杀死学生希帕苏斯的原因。

毕达哥拉斯的错误在于，他认为“无理数”带来的矛盾颠覆了数学，其实恰恰相反，正是这些危机，说明了人类对数字认识上的局限性，需要新的理论来解释，从而让数学不断进步。

END

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李毓佩，首都师范大学数学科学学院教授，我国著名数学科普作家，“中国数学科普三驾马车”之一。他擅长用讲故事的方式，将抽象、枯燥的数学知识讲得深入浅出，读起来既轻松有趣，又寓教于乐，将课堂上的数学知识与课外数学阅读结合，弥补孩子在数学阅读上的缺失，启发孩子的数学思维。代表作有《奇妙的曲线》《圆面积之谜》《数学司令》等。

你知道数字是怎么来的吗？

男人数和女人数是什么？

无理数为什么卷进了可怕的谋杀案？

那些伟大的数学家们又有着怎样的传奇故事？

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原标题：《无理数的“谋杀案”》

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