世界上最美丽的数学公式

引

在科学的世界，人间最美的是“天书”般的方程：

从数学基石1+1=2到揭示电磁现象的“麦克斯韦方程”，

从开启暗黑之门的E = mc⊃2;到神秘莫测的“薛定谔方程”，

从简洁至极的e^πi+1=0到让相对论量子理论牵手的“狄拉克方程”……

这些公式如此美丽而精妙，是地球上伟大智者一生的凝练。

今天，一起欣赏至美公式。有趣而美好，人人都可以爱上数学。

01

毕达哥拉斯定理

Pythagorean theorem

发现者 商高、毕达哥拉斯

在中国古代，大约是公元前十一世纪战国时期，西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理，也称为“商高定理”。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。毕达哥拉斯则得出背后的规律，这位数字原教旨主义者、高举“万物皆数”的暴君，爱上数学真不是故弄玄虚，毕达哥拉斯定理是人类历史上第一次让数字与几何完美融合。

牵一发而动全身，毕达哥拉斯定理在沟通数字与客观世界的同时，还导致了人类历史上第一次数学大危机——√2无理数的发现。

02

欧拉公式

Euler's formula

发现者 欧拉

题词

欧拉28岁右眼失明，年过60完全失明，多舛多才，凭数学、力学和航海建筑学等方面的广博造诣，被评为欧洲历史上最多产的数学家，十八世纪被称为欧拉世纪也毫不过分。

欧拉内心纯粹，正如这个欧拉公式，也是用最简明的方式，沟通了世界上几乎全部的数学元素。无理数e，它是自然对数的底，隐藏于飞船的速度和蜗牛的螺线。

无理数π，隐藏于世上最完美的平面对称图形，引爆数字狂热。最简单的两个实数0和1，是构造代数的基础。

甚至，最重要的虚单位i也在其中。在欧拉之后的未来，虚数奠定了电子学革命的量子力学的理论基础。

03

万有引力

Law of universal gravitation

发现者 牛顿

题词

自然和自然律隐没在黑暗中：

神说，让牛顿去吧！万物遂成光明。

天地玄黄，宇宙洪荒，日月盈昃，辰宿列张……

在牛顿之前，人类认为这一切都掌控在神的手中；而牛顿之后，人类才知道，天和地以万有引力为法则，在牛顿发现的定律中运转。

宇宙和万物找到了统一规律，物理学达到第一次真正的统一。

所以有人说：道法自然，久藏玄冥；天降牛顿，万物生明。

而后，以牛顿为代表的机械论之自然观，在整个自然科学领域中占据长达200多年的统治地位，现代科学由此形成。

04

黎曼猜想

Riemann Hypothesis

发现者 黎曼

题词

“数学界无冕之王”希尔伯特表示，如果在死后500年能重返人间，他最想问：

是否已经有人解决了黎曼猜想？过直线外一点，可作其几条平行线？

黎曼并没有意识到自己对这个世界的影响会如此深远，临走之前非常平静，没有挣扎也没有临终痉挛，仿佛饶有兴趣地观看灵魂与肉体的分离。

《素数之恋》一书中谈到：

他妻子给他拿来面包和酒，他要她把他的问候带给家里人，并对她说：“亲亲我们的孩子”。她为他诵读了主祷文，他的眼睛虔诚地向上仰望，几次喘息以后，他纯洁而高尚的心脏停止了跳动。

他长眠在塞拉斯加教区比甘佐罗教堂的院子里，墓碑上的碑文是：

万事都互相效力，叫爱神的人得益处。

05

质能方程

Mass–energy Equivalence

发现者 爱因斯坦

题词

1905年，史上最业余的公务员爱因斯坦，提出了若干颠覆人类三观的理论，想象力和胆量都比正常人高出一大截的爱因斯坦宣称，能量和质量是可以转换的，一个小小的水杯都能炸掉半个城市，不仅如此，能量和质量之间的关系还超级简单。

爱因斯坦曾戏称：

“当结论看起来很简单时，一定是上帝在回答。”

此番言论无疑打了无神论者爱因斯坦的脸。

但换句话说，如果这个方程来自上帝，那原子弹一定是上帝对人类开的玩笑。但这个方程的出现，也打开了潘多拉魔盒，全人类都在这个公式下已经颤抖了60年！

06

麦克斯韦方程组

Maxwell's Equations

发现者 麦克斯韦

题词

如果你能看懂这组方程，那么恭喜你，高数基本不会挂掉了。

如果你能看懂这组方程虎躯一震，认为只有上帝才能创造如此完美公式，那更恭喜你，你拥有强大的数学审美。

因为，全世界至少有100个物理学家跪倒在它的石榴裙下。简单地说，这是一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程，由两个散度方程、两个旋度方程组成，相互之间耦合，变化万千。

麦克斯韦的公式融合了电与磁的四大定律，在此之后，电即是磁，磁即是电。

这个方程组是人类历史上空前绝后的物理学大一统，给物理学家打了一剂鸡血，以爱因斯坦为首的众多科学家，都紧跟麦克斯韦的脚步，寻找物理学大一统。

07

薛定谔方程

Schrödinger equation

发现者 薛定谔

题词

关于薛定谔，恐怕他的那只猫比他本人更加出名，因为薛定谔的猫虽然成功在宏观层面阐释了量子叠加原理问题，但却像一个潘多拉魔盒，引出了平行宇宙等一系列争议，搞得很多科学家都怀疑人生。

最后连薛定谔都搞不懂薛定谔方程了，它相当于量子力学界的牛顿第二定律，只不过，公式的主人一个是史上最傲骄的处子，一个是荷尔蒙泛滥成灾的把妹大神。

回归正题，薛定谔方程颠覆了人类所认知下，这个确凿无疑的世界。

薛定谔说，世界是随机的，这一结论直接挑战了爱因斯坦建立的确定宇宙观，薛定谔方程为好莱坞大片提供了理论基础，骗取了无数票房。迄今为止，量子力学与相对论是关于宇宙彼此不同，又平分秋色的解释。

08

香农定律

Shannon Theory

发现者 香农

题词

进入信息时代，你们除了要感谢数学家傅立叶，还要好好感谢信息领域的牛顿——香农，他是当之无愧的信息论师祖。那些玩着“王者毒药”，看着《花木兰》，拿着卫星电话旅游，电话里与女友你侬我侬的朋友记住了，香农是我们的大恩人。

如果说傅立叶启发人们如何传输信号，那么香农的功劳相当于搭建了信息世界的交通网络。香农定律则严格证明，在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C是什么。喝水不忘掘井人，别只记得乔布斯，还有背后的大神香农。

09

狄拉克方程

Dirac Equation

发现者 狄拉克

题词

狄拉克方程的出现，让整个物理学界长长舒了一口气，大家终于可以友好地做朋友。差点成功策反爱因斯坦投奔量子理论，他顺理成章地成了物理学界的和平使者，大神玻尔和爱因斯坦也找到理由一起握手言欢，这个方程汇集了现代物理学的两大基石：

量子力学和相对论——描述微观世界的量子力学和描述高速运动物体特性的狭义相对论。

也许最重要的是，狄拉克方程预言了反物质（所有已知粒子的镜像）存在。2017年7月21日，4位华人科学家宣布找到正反同体的“天使粒子”，都不过是在验证1928年伟大的理论物理学家狄拉克(Dirac)作出惊人的预言：

宇宙中每一个基本费米粒子必然有相对应的反粒子。

10

三体问题

The Three-body Problem

发现者 牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱

题词

三体问题像个暴躁的国王，它喜怒无常的出行路线永远让人捉摸不定。

当理论物理学家普遍开始绝望时，现实中的拉格朗日点已有所应用。

一切都是未知。摧毁三体的光粒文明，之所以能击中三体的一颗恒星，是因为他们解析出了三体运动，才能精确击中吗？这一切，并非仅仅是科幻，更要作出科学的理性思考。

11

杨-米尔斯规范场论

Yang-Mills Theory

发现者 杨振宁、米尔斯

题词

2012年希格斯粒子发现后，“规范场论”最后一个缺陷被弥补，它统一了目前自然界的四种基本力中的三种，爱因斯坦穷尽后半生追求的“大统一理论”——“规范场论”正在步步逼近。

但物理学的终极奥义会走向哪里呢？

人类最伟大的科学家，纷纷踏上了那个用生命交换真理的祭坛。

这一小撮人一边追寻着梦寐以求的答案，一边走向最后的灭亡。

或许，这条路的终点，就是为了探寻宇宙的终极之美，很有可能为之付出了一切，也终究无法到达。

结

发现人文与数学之美

改编大师罗丹的话：

数学中不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛。

我们以一首人文诗词来解释数学的美——大漠孤烟直，长河落日圆。

这首诗描绘了雄阔、壮美的大漠图景。从几何学的角度上看，“大漠”可视为一个平面，而直上“孤烟”是垂直于地面的直线（图1）。

第二句是是将横卧的长河视为一条直线，逐渐下沉的落日被视为一个圆，“长河落日圆”便是一个圆切于一条直线（如图2），两图对照，泾渭分明，简洁明了，刚柔相济。

任何自然的景致都会在历史波涛中湮没，

江渚上的白发渔樵都会成过眼烟云，

只有抽象出来的美感才会永垂不朽！

“大漠孤烟直，长河落日圆”正是几何学的高度凝练，人文与数学的美在这里相聚，才拥有了震撼千古的艺术魅力！

原标题：《世界上最美丽的数学公式》

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